课时提升作业 一 简谐运动
(40分钟 100分)
一、选择题(本题共7小题,每小题8分,共56分)
1.(多选)从运动特点及运动的性质来看,简谐运动是一种 ( )
A.匀速运动 B.变速运动
C.匀变速运动 D.加速度不断变化的运动
【解析】选B、D。由于简谐运动物体的位移随时间的变化规律为正弦规律,由此可得,该物体的速度、加速度的大小和方向都做周期性的变化,故A、C错,B、D对。
2.(多选)下列说法中正确的是 ( )
A.弹簧振子的平衡位置一定在弹簧的原长位置
B.弹簧振子的平衡位置可能在弹簧的原长位置
C.弹簧振子的运动是简谐运动
D.弹簧振子的运动是振动,不是简谐运动
【解析】选B、C。通过水平、竖直弹簧振子来分析其平衡位置,水平弹簧振子其平衡位置就在弹簧原长的位置。在竖直悬挂的弹簧下端固定一个钢球,它们组成了一个振动系统,其平衡位置不在弹簧的原长位置,而是在弹力与重力平衡(即合力为零)的位置,故A错,B对;弹簧振子的运动满足位移随时间按正弦规律变化,是简谐运动,故C对,D错。
3.一个弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,如图所示,以某一时刻作为计时起点(t为0),经周期,振子具有正方向最大的加速度,那么在如图所示的几个振动图象中,正确反映振子振动情况(以向右为正方向)的是 ( )
【解析】选D。本题可采用逐项代入法,找到周期时,具有正方向最大加速度的是D。
4.如图所示为某质点在0～4s内的振动图象,则 ( )
A.质点在3 s末的位移为2 m
B.质点在4 s末的位移为8 m
C.质点在4 s内的路程为8 m
D.质点在4 s内的路程为零
【解析】选C。振动质点的位移指的是质点离开平衡位置的位移。位移是矢量,有大小,也有方向。因此3s末的位移为-2 m,4 s末的位移为零。路程是指质点运动的路径的长度,在4 s内应该是从平衡位置到最大位移位置这段距离的4倍,即为8 m,C正确。
5.一个质点做简谐运动,它的振动图象如图所示,则 ( )
A.图中的曲线部分是质点的运动轨迹
B.有向线段OA是质点在t1时间内的位移
C.有向线段OA在x轴的投影是质点在t1时刻的位移
D.有向线段OA的斜率是质点在t1时刻的速率
【解析】选C。图中的曲线部分是质点的位移与时间的对应关系,不是质点的运动轨迹,故A错;质点在t1时间内的位移,应是曲线在t1时刻的纵坐标,故B错,C对;质点在t1时刻的速率应是曲线在t1时刻所对应的曲线的斜率,故D错。
6.(多选)如图所示是质点做简谐运动的图象。由此可知 ( )
A.t=0时,质点位移、速度均为零
B.t=2s时,质点位移最大、速度为零
C.t=4s时,质点位移为零、速度负向最大
D.t=8s时,质点停止运动
【解析】选B、C。t=0时,速度最大,位移为零,A错;t=2s时,质点位移最大、速度为零,B对;t=4s时,质点经过平衡位置,位移为零,速度沿负方向最大,C正确;t=8s时,质点位移为零,速度最大,D错。
7.(多选)一质点做简谐运动,如图所示,在0.2s到0.3s这段时间内质点的运动情况是 ( )
A.沿负方向运动,且速度不断增大
B.沿负方向运动,且位移不断增大
C.沿正方向运动,且速度不断增大
D.沿正方向运动,且加速度不断减小
【解析】选C、D。由图象可看出,在0.2s至0.3s这段时间内,质点沿负方向的位移不断减小,说明质点正沿正方向由负的最大位移向着平衡位置运动,由此可判断A、B是错误的。0.2s至0.3s之间质点加速度不断减小,而加速度方向沿正方向,故D正确。又质点的速度方向与加速度方向都是正方向,故质点做变加速运动,质点速度不断增大,所以C正确。
二、非选择题(14分)
8.如图所示是某弹簧振子做简谐运动的位移随时间变化的图象,求:
(1)振子在从计时时刻起20s内通过的路程。
(2)在30s末,振子的位移。
【解析】(1)由图可知,振子离开平衡位置的最大距离为30cm,在20 s内正好一个来回,故通过的路程为60 cm。
(2)由图可知:在30 s末,振子的位移大小为30 cm,方向沿x轴的负方向。
答案:(1)60cm (2)30 cm,方向沿x轴的负方向
1.(15分)(1)(多选)弹簧振子做简谐运动,振动图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.t1、t2时刻振子的速度大小相等,方向相反
B.t1、t2时刻振子的位移大小相等,方向相反
C.t2、t3时刻振子的速度大小相等,方向相反
D.t2、t4时刻振子的位移大小相等,方向相反
E.t3、t4时刻振子的加速度大小相等,方向相同
(2)如图所示,简谐运动的图象上有a、b、c、d、e、f六个点,其中:
①与a点位移相同的点有哪些?
②与a点速度相同的点有哪些?
③图象上从a点到c点,质点经过的路程为多少?
【解析】(1)选A、D、E。从图象可看出,t1、t2时刻振子位于同一位置,位移大小相等,方向相同,速度大小相等,方向相反,故A正确,B错误;t2、t3时刻振子位移大小相等,方向相反,速度大小相等,方向相同,故C错误;t2、t4时刻振子分别位于平衡位置两侧且对称,位移大小相等,方向相反,故D正确;t3、t4时刻振子加速度大小相等,方向相同,E正确。
(2)①分析图象可得a、b、e、f的位移均为1cm。c、d点的位移都是-1cm。故与a点位移相同的点为b、e、f三点。
②由①可知,图象上的a、b、e、f点对应质点运动到同一位置。图象上的c、d点对应质点运动到关于O点对称的另一位置。故以上6个点的速度大小相等。再结合图象可以判断a、b、c、d、e、f6个点的运动方向分别为向上、向下、向下、向上、向上和向下。故与a点有相同速度的点为d和e。
③图象上从a点到b点,对应质点从正方向1cm处先是到达2cm处又返回到1cm处,通过的路程为2cm。从b点到c点,对应质点从正方向1cm处经平衡位置运动到负方向1cm处,通过的路程也为2cm,故从a点到c点总共通过的路程为4cm。
答案:(1)A、D、E (2)①b、e、f ②d、e ③4cm
2.(15分)(1)(多选)弹簧振子以O点为平衡位置,在水平方向上的A、B两点间做简谐运动,以下说法正确的是 ( )
A.振子在A、B两点时的速度为零位移不为零
B.振子在通过O点时速度的方向将发生改变
C.振子所受的弹力方向总跟速度方向相反
D.振子离开O点的运动总是减速运动,靠近O点的运动总是加速运动
E.振子在A、B两点时加速度不相同
(2)某质点做简谐运动的振动图象如图所示。根据图象中的信息,回答下列问题。
①质点离开平衡位置的最大距离有多大?
②质点在10s末和20 s末的位移是多少?
③质点在15 s和25 s时各向什么方向运动?
④质点在前30 s内的运动路程是多少?
【解析】(1)选A、D、E。振子在A、B两点时的速度为零,但位移为最大,故A正确;振子经过O点时速度方向不变,故B错;弹力的方向有时也与速度方向相同,故C错。振子离开O点运动时,加速度方向与速度方向相反,是减速运动;靠近O点运动时,加速度方向与速度方向相同,是加速运动,D正确;振子在A、B两点时,加速度大小相同,方向相反,E正确。
(2)①质点离开平衡位置的最大距离等于质点的最大位移的大小,由题图看出,此距离为20cm。
②质点在10 s末的位移x1=20cm,20 s末的位移x2=0。
③15s末质点位移为正,15 s后的一段时间,位移逐渐减小,故质点在15 s末向负方向运动,同理可知,25 s末质点也向负方向运动。
④前30 s质点先是由平衡位置沿正方向振动了20 cm,又返回平衡位置,最后又到达负方向20 cm处,故质点在前30 s内的总路程为60 cm。
答案:(1)A、D、E
(2)①20 cm ②20 cm 0
③负方向 负方向 ④60 cm
课时提升作业 三 简谐运动的回复力和能量
(40分钟 100分)
一、选择题(本题共7小题,每小题8分,共56分)
1.(多选)做简谐运动的振子每次通过同一位置时,相同的物理量是 ( )
A.速度 B.加速度
C.位移 D.动能
【解析】选B、C、D。振子通过同一位置时,位移、加速度的大小和方向都相同。速度的大小相同,但方向不一定相同,因此B、C、D正确。
2.弹簧振子在做简谐运动的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.加速度的方向总是与位移的方向相同,而与速度方向相反
B.在物体靠近平衡位置运动时,速度方向与位移方向相反,且大小都减小
C.从平衡位置到最大位移处它的动能逐渐减小
D.从最大位移处到平衡位置它的机械能逐渐减小
【解析】选C。由牛顿第二定律,知a==-x,a与x成正比,x减小时,a的大小也减小,a与x的方向总相反,A错;靠近平衡位置运动时,位移减小,速度增大,B错;从平衡位置到最大位移处的运动是振子远离平衡位置的运动,速度减小,动能减小,C对;简谐运动过程中机械能守恒,D错。
3.对于弹簧振子,其回复力和位移的关系,图中正确的是 ( )
【解析】选C。由简谐运动的回复力公式F=-kx可知,弹簧振子做简谐运动时的回复力和位移呈线性关系,且图象的斜率为负值,故其关系图象应是C。
4.(多选)当一弹簧振子在竖直方向上做简谐运动时,下列说法中正确的是
( )
A.振子在振动过程中,速度相同时,弹簧的长度一定相等,弹性势能相等
B.振子从最低点向平衡位置运动的过程中,弹簧弹力始终做负功
C.振子在运动过程中的回复力由弹簧弹力和振子重力的合力提供
D.振子在运动过程中,系统的机械能守恒
【解题指南】解答本题时应注意以下问题:
(1)先画草图,正确理解运动情景。
(2)找到平衡位置,分析振子受力以及弹簧所处的状态。
(3)速度相同时的两个位置一定关于平衡位置对称。
(4)分析弹力做功时要明确弹力方向与运动方向的关系,分析总的机械能时要注意守恒的条件。
【解析】选C、D。振子在平衡位置两侧往复运动,速度相同的位置可能出现在关于平衡位置对称的两点,这时弹簧长度明显不等,A错;振子由最低点向平衡位置运动的过程中,弹簧对振子施加的力指向平衡位置,做正功,B错;振子运动过程中的回复力由振子所受合力提供且运动过程中机械能守恒,故C、D对。
5.(多选)弹簧振子在做简谐运动过程中的位移随时间的变化规律如图所示,则下列说法中正确的是 ( )
A.振子在0.1s末的速度最大,方向沿x轴负方向
B.振子在0.15s末的回复力最大,振子的动能最大
C.振子在0.2s末的动能最大,加速度为零
D.振子在0.1s到0.15s过程中,速度、加速度均增大
【解析】选A、C。由图象得,振子在0.1s末处于平衡位置,速度最大且方向沿x轴负方向,随后速度又减小,故A对;在0.15s末处于最大位移处,回复力最大,速度为零,动能为零,加速度最大,故B错;在0.2s末处于平衡位置,动能最大,加速度为零,故C对;在0.1s到0.15s过程中,位移增大,速度减小,加速度增大,故D错。
6.如图所示,在光滑水平桌面上有一弹簧振子,弹簧的劲度系数为k,开始时振子被拉到平衡位置O的右侧A处,此时拉力大小为F,然后轻轻释放振子,振子从初速度为零的状态开始向左运动,经过时间t后,第一次到达平衡位置O处,此时振子的速度为v,则在这个过程中振子的平均速度 ( )
A.等于
B.等于
C.小于
D.等于不为零的某值,但由题设条件无法求出
【解析】选B。由于振子从A→O的运动不是匀变速直线运动,A点加速度最大,O点加速度为零,v-t图象如图所示,故>,即A、C选项都不对;由F回=-kx知,A→O位移大小为,据平均速度定义==,故B对。
7.(多选)如图所示,两木块A和B叠放在光滑水平面上,质量分别为m和M,A与B之间的最大静摩擦力为f,B与劲度系数为k的轻质弹簧连接构成弹簧振子,为使A和B在振动过程中不发生相对滑动,则 ( )
A.它们的振幅不能大于f
B.它们的振幅不能大于f
C.它们的最大加速度不能大于
D.它们的最大加速度不能大于
【解析】选B、D。当A和B在振动过程中恰好不发生相对滑动时,A、B间静摩擦力达到最大,此时A、B到达最大位移处。根据牛顿第二定律,以A为研究对象,最大加速度:a=,D正确,C错误;以整体为研究对象:kA=(M+m)a,联立两式得到最大振幅:A=,B正确,A错误。
二、非选择题(14分)
8.一质量为m,侧面积为S的正方体木块,放在水面上静止(平衡),如图所示。现用力向下将其压入水中一段深度后(未全部浸没)撤掉外力,木块在水面上下振动,试判断木块的振动是否为简谐运动。
【解析】以木块为研究对象,设水密度为ρ,静止时木块浸入水中Δx深,当木块被压入水中x后所受力如图所示,则
F回=mg-F浮 ①
又F浮=ρgS(Δx+x) ②
由①、②两式,得
F回=mg-ρgS(Δx+x)=mg-ρgSΔx-ρgSx
因为mg=ρgSΔx,所以F回=-ρgSx
即F回=-kx(k=ρgS),所以木块的振动为简谐运动。
答案:见解析
1.(15分)(1)(多选)如图所示,图甲为以O点为平衡位置,在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子,图乙为该弹簧振子的振动图象,由图可知下列说法中正确的是
( )
A.在t=0.2s时,弹簧振子可能运动到B位置
B.在t=0.1s与t=0.3s两个时刻,弹簧振子的速度相反
C.从t=0到t=0.2s的时间内,弹簧振子的动能持续地增加
D.在t=0.2s与t=0.6s两个时刻,弹簧振子的加速度相同
E.在t=0.4s和t=0.8s时弹簧振子动能最大
(2)如图所示为一弹簧振子的振动图象,求:
①从计时开始经多长时间第一次达到弹性势能最大?
②在2～3s这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各怎样变化?
③该振子在前100s内的总位移是多少?路程是多少?
【解析】(1)选A、B、E。t=0.2s时,振子的位移为正的最大,但由于没有规定正方向,所以此时振子的位置可能在A点也可能在B点,A正确。t=0.1s时速度为正,t=0.3s时速度为负,两者方向相反,B正确。从t=0到t=0.2s的时间内,弹簧振子远离平衡位置,速度减小,动能减小,C错。t=0.2s与t=0.6s两个时刻,位移大小相等,方向相反,故加速度大小相等,方向相反,D错。振子在平衡位置动能最大,E正确。
(2)①由题图知,在计时开始的时刻振子恰好以沿x轴正方向的速度通过平衡位置,此时弹簧振子有最大动能,随着时间的延长,速度不断减小,而位移逐渐增大,经T,即1s,其位移达到最大,此时弹性势能最大。
②由题图知,t=2s时,振子恰好通过平衡位置,此时加速度为零;随着时间的延长,位移不断增大,加速度也变大,速度不断减小,动能不断减小,弹性势能逐渐增大;当t=3s时,加速度达到最大,速度等于零,动能等于零,弹性势能达到最大值。
③振子经一个周期,位移为零,路程为4×5cm=20cm,前100s刚好经过了25个周期,所以前100s内振子位移x=0,振子通过的路程s=20cm×25=500cm=5m。
答案:(1)A、B、E (2)①1s ②见解析 ③0 5m
2.(15分)(1)(多选)关于振子的振动过程,以下说法正确的是 ( )
A.振子在平衡位置,动能最大,势能最小
B.振子在最大位移处,势能最大,动能最小
C.振子在向平衡位置运动时,由于振子振幅减小,故总机械能减小
D.在任意时刻,动能与势能之和保持不变
E.振子在平衡位置,弹性势能一定最小
(2)两根质量均可不计的弹簧,劲度系数分别为k1、k2,它们与一个质量为m的小球组成弹簧振子,静止时,两弹簧均处于原长,如图所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。
【解析】(1)选A、B、D。振子在平衡位置两侧往复振动,在最大位移处速度为零,动能为零,此时弹簧的形变量最大,势能最大,所以B正确;在任意时刻只有弹簧的弹力做功,所以机械能守恒,D正确;到平衡位置处速度达到最大,动能最大,势能最小,所以A正确;振幅的大小与振子的位置无关,所以选项C错误;振子在平衡位置时,弹簧不一定处于原长,如竖直放置的弹簧振子,故E选项错误。
(2)以平衡位置为坐标原点建立坐标轴,设左右两边弹簧的弹力分别为F1、F2,振子在平衡位置时F合=F1+F2=0,当振子离开平衡位置时,因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的力。设离开平衡位置的正位移为x,则振子所受的合力为F=-(k1x+k2x)=-(k1+k2)x=-kx。所以,弹簧振子的运动为简谐运动。
答案:(1)A、B、D (2)见解析
课时提升作业 二 简谐运动的描述
(40分钟 100分)
一、选择题(本题共7小题,每小题8分,共56分)
1.有一个在光滑水平面内的弹簧振子,第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动,第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动,则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为 ( )
A.1∶1 1∶1 B.1∶1 1∶2
C.1∶4 1∶4 D.1∶2 1∶2
【解析】选B。弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离,即振幅,故振幅之比为1∶2。而对同一振动系统,其周期由振动系统自身的性质决定,与振幅无关,则周期之比为1∶1,选项B正确。
2.一质点做简谐振动,从平衡位置运动到最远点需要周期,则从平衡位置走过该距离的一半所需时间为 ( )
A.周期 B.周期
C.周期 D.周期
【解析】选D。由简谐振动的表达式有A=Asint,解得t=,D正确。
3.质点沿x轴做简谐运动,平衡位置为坐标原点O。质点经过a点(xa=-5cm)和b点(xb=5cm)时速度相同,时间tab=0.2s;质点从b点回到a点所用的最短时间tba=0.4s;则该质点做简谐运动的频率为 ( )
A.1 Hz B.1.25 Hz
C.2 Hz D.2.5 Hz
【解析】选B。由题意可知:a、b点在O点的两侧,相对于O点对称,通过a、b点时速度大小相等、方向相同;质点由a到b所用时间tab=0.2s,由b点回到a所用最短时间tba=0.4s,表明质点经过b点后还要继续向x轴的正方向运动,振幅大于5cm;设质点做简谐运动的四分之一周期为T=tab+(tba-tab),解得周期T=2[tab+(tba-tab)]=2×[0.2s+(0.4s-0.2s)]=0.8s。频率f==Hz=1.25Hz。
4.(多选)一质点做简谐运动,其位移x与时间t的关系曲线如图所示,由图可知
( )
A.质点振动频率是4Hz
B.t=2s时,质点的加速度最大
C.质点的振幅为2cm
D.t=2s时,质点的位移是2cm
【解析】选B、C。由图象知:质点的周期是4s,频率是Hz,A错;t=2s时,质点的加速度最大,B对;由图线知质点的振幅为2cm,C对;t=2s时,质点的位移是-2cm,D错。
5.(多选)一个质点做简谐运动的图象如图所示,下列叙述中正确的是 ( )
A.质点的振动频率为4 Hz
B.在10 s内质点经过的路程为20 cm
C.在5 s末,质点做简谐运动的相位为π
D.t=1.5s和t=4.5s两时刻质点的位移大小相等,都是cm
【解析】选B、D。由振动图象可直接得到周期T=4s,频率f==0.25Hz,故选项A错误;一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A=8cm,10 s为2.5个周期,故质点经过的路程为20 cm,选项B正确;由图象知位移与时间的关系式为x=Asin(ωt+φ0)=0.02sin(t)m,当t=5s时,其相位ωt+φ0=×5=π,故选项C错误;在1.5 s和4.5 s两时刻,质点位移相同,与振幅的关系是x=Asin135°=A=cm,故D正确。
6.(多选)如图所示,弹簧振子以O为平衡位置,在BC间做简谐运动,则 ( )
A.从B→O→C为一次全振动
B.从O→B→O→C为一次全振动
C.从C→O→B→O→C为一次全振动
D.从D→C→O→B→O→D为一次全振动
【解析】选C、D。从全振动中路程与振幅间固定关系上解决本题。选项A对应的路程是振幅的2倍,选项B对应的路程为振幅的3倍,选项C、D所述过程中路程为振幅的4倍,故C、D选项正确。从全振动意义上解答此题,即物体完成一次全振动时,一定回到了初始位置,且以相同的速度回到初始位置,可判断C、D选项正确。
7.(多选)如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块简谐运动的表达式为y=0.1sin(2.5πt)m。t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下;t=0.6 s时,小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g=10 m/s2。以下判断正确的是 ( )
A.h=1.7 m
B.简谐运动的周期是0.8 s
C.0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t=0.4 s时,物块与小球运动方向相反
【解析】选A、B。t=0.6s时,物块的位移为y=0.1sin(2.5π×0.6)m=-0.1 m;则对小球h+|y|=gt2,解得h=1.7 m,选项A正确;简谐运动的周期是T==s=0.8 s,选项B正确;0.6 s内物块运动的路程是3A=0.3 m,选项C错误;t=0.4 s=,此时物块在平衡位置向下振动,则此时物块与小球运动方向相同,选项D错误。
二、非选择题(14分)
8.如图所示,一质点沿水平直线做简谐运动,先后以相同速度通过a、b两点,经历时间tab=1s,过b点后再经t′=1s质点第一次反向通过b点。若在这两秒内质点所通过的路程是8cm,试求该质点的振动周期和振幅。
【解析】简谐运动是以平衡位置为中心的对称运动,因为通过a、b两点时的速度相同,所以a、b连线的中点O必是振动的平衡位置。根据简谐运动的对称性,可知质点从b点返回a点所用的时间必与从a点到b点所用的时间相同,即tba=tab=1s,质点从a点经左方极端位置d再返回a点所用的时间tada必与质点从b点经右方极端位置c再返回b点所用的时间tbcb相等,即tada=tbcb=t′=1s。
综上所述,质点的振动周期为T=tab+tbcb+tba+tada=4s。
由图和简谐运动的对称性可知,质点在一个周期内通过的路程为s=2+2+2=2(+2)=2×8cm=16cm。
所以质点的振幅为A==4cm。
答案:4s 4 cm
1.(15分)(1)某同学设计了一个测量物体质量的装置,如图所示,其中P是光滑水平面,A是质量为M的带夹子的已知质量金属块,Q是待测质量的物体。已知该装置的弹簧振子做简谐运动的周期为T=2π,其中m是振子的质量,k是与弹簧的劲度系数有关的常数。当只有A物体振动时,测得其振动周期为T1,将待测物体Q固定在A上后,测得振动周期为T2,则待测物体的质量为__________;如果这种装置与天平都在太空站中使用,则__________。
A.这种装置不能用来测质量,天平仍可以用来测质量
B.这种装置仍可以用来测质量,天平不能用来测质量
C.这种装置和天平都可以用来测质量
D.这种装置和天平都不能用来测质量
(2)如图所示,倾角为θ、光滑的斜面体固定在水平面上,底端有垂直斜面的挡板,劲度系数为k的轻质弹簧,下端拴接着质量为M的物体B,上端放着质量为m的物体P(P与弹簧不拴接)。现沿斜面向下压P一段距离释放,它就沿斜面上下做简谐运动,振动过程中,P始终没有离开弹簧。试求:
①P振动的振幅的最大值。
②P以最大振幅振动时,B对挡板的最大压力。
【解析】(1)根据弹簧振子做简谐运动的周期公式T=2π,得:m=
由题得:M=,M+mQ=
解得待测物体Q的质量为mQ=M
如果这种装置与天平都在太空站中使用,由于装置处于完全失重状态,物体对支持面没有压力,所以天平不能用来测质量。
弹簧振子的周期不变,这种装置仍可以用来测质量,故B正确。故选B。
(2)①P若做简谐运动,则P位于平衡位置时,沿斜面方向受到的合外力等于0,而P沿斜面的方向上有重力的分力和弹簧的弹力,可知二者大小相等,方向相反,即:kΔx=mgsinθ
所以:Δx=
由题意,P向上到达最高点的位置时,弹簧的长度恰好等于原长,是P仍然能做简谐运动的最高点,所以P的最大振幅:A=Δx=
②P以最大振幅振动时,由简谐运动的特点可知,P到达最低点时,弹簧的压缩量Δx′=2x。
以B为研究对象,则B受到重力、斜面的支持力、挡板的支持力和弹簧沿斜面向下的压力,沿斜面的方向:Nmax=Mgsinθ+k·Δx′
联立得:Nmax=Mgsinθ+2mgsinθ
答案:(1)M B
(2)① ②Mgsinθ+2mgsinθ
2.(15分)(1)(多选)有两个简谐运动,其表达式分别是x1=4sincm, x2=5sincm,下列说法正确的是 ( )
A.它们的振幅相同
B.它们的周期相同
C.它们的相位差恒定
D.它们的振动步调一致
E.它们的圆频率相同
(2)弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,振子从O、B间的P点以速度v向B点运动;在t=0.2s时,振子速度第一次变为-v;在t=0.5s时,振子速度第二次变为-v。
①求弹簧振子振动周期T。
②若B、C之间的距离为25cm,求振子在4.0 s内通过的路程。
③若B、C之间的距离为25cm,从平衡位置计时,写出弹簧振子的位移表达式,并画出弹簧振子的振动图象。
【解析】(1)选B、C、E。它们的振幅分别是4cm、5cm,故不同,选项A错误;ω都是100πrad/s,所以周期都是s,选项B、E正确;由Δφ=-=得相位差恒定,选项C正确;Δφ≠0,即振动步调不一致,选项D错误。
(2)①弹簧振子简谐运动的示意图如图甲所示。由对称性可得:T=0.5×2s=1.0 s。
②B、C间的距离为2个振幅,则振幅A=×25cm=12.5 cm。振子4.0 s内通过的路程为:s=4×4×12.5cm=200cm。
③根据x=Asinωt,A=12.5cm,ω==2πrad/s,
得x=12.5sin2πt(cm)。
振动图象如图乙所示。
答案:(1)B、C、E (2)见解析
课时提升作业 五 外力作用下的振动
(20分钟 50分)
一、选择题(本题共3小题,每小题7分,共21分)
1.(多选)若空气阻力不可忽略,单摆在偏角很小的摆动中,总是减小的物理量为
( )
A.振幅 B.位移 C.周期 D.机械能
【解析】选A、D。有空气阻力时,振动为阻尼振动,振幅不断减小,机械能也不断减小。位移做周期性变化,不是一直减小。根据单摆周期公式T= ，l、g不变,则T不变,故选项A、D正确。
2.(多选)关于受迫振动,下列说法正确的是 ( )
A.受迫振动是在外力作用下的振动
B.受迫振动是在周期性驱动力作用下的振动
C.受迫振动的频率一定等于其固有频率
D.受迫振动的频率一定等于驱动力的频率
【解析】选B、D。受迫振动必须是在周期性外力作用下的振动,也就是在一定频率的驱动力作用下的振动,故A错误,B正确。物体做受迫振动的频率等于驱动力的频率,不一定与固有频率相等,故C错误,D正确。
3.一个单摆做受迫振动,其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示,则 ( )
A.此单摆的固有周期约为0.5s
B.此单摆的摆长约为1m
C.若摆长增大,单摆的固有频率增大
D.若摆长增大,共振曲线的峰将向右移动
【解析】选B。由共振条件知单摆固有频率为f=0.5Hz,则其固有周期为T==2s,选项A错;由单摆周期公式T= ,可求得单摆摆长为l=≈1m,选项B对;摆长增大,单摆的周期变大,其固有频率变小,共振曲线的峰将向左移动,选项C、D错。
【补偿训练】
(多选)如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线,下列说法正确的是
( )
A.若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行,且摆长相同,则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B.若两次受迫振动是在地球上同一地点进行,则两次摆长之比l1∶l2=25∶4
C.图线Ⅱ若是在地球上完成的,则该摆摆长约为1m
D.若摆长均为1m,则图线Ⅰ是在地球上完成的
【解析】选A、B、C。图线中振幅最大处对应频率应与单摆的固有频率相等,从图线上可以看出,两摆的固有频率f1=0.2Hz,f2=0.5Hz。根据周期公式可得f== ,当两摆分别在月球上和地球上做受迫振动且摆长相等时,g越大,f越大,所以g2>g1,由于月球上的重力加速度比地球上的小,所以图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线,选项A正确;若两次受迫振动是在地球上同一地点进行,则g相同,两次摆长之比l1∶l2=∶=25∶4,所以选项B正确;图线Ⅱ若是在地球上完成的,将g=9.8m/s2和f2=0.5Hz代入频率的计算公式可解得l2≈1m,所以选项C正确,D错误。
二、非选择题(14分)
4.(2018·大连高二检测)火车在轨道上行驶时,由于在钢轨接头处车轮受到撞击而上下振动。如果防震弹簧每受104N的力将被压缩20 mm,而每根弹簧的实际负荷为5 000 kg,已知弹簧的振动周期T=2π,问车速为多大时,列车振动得最剧烈?(设钢轨长为12.5m,g取10m/s2)
【解析】由题意可知弹簧在做受迫振动,要使振动最强烈,必然使弹簧发生共振,此时必须满足:f驱=f固(或T驱=T固)。
根据题意知,防震弹簧的劲度系数为
k==N/m=5×105N/m
由于每根弹簧的实际负荷为m=5000kg,所以弹簧的固有周期为T固=2π=
2πs=s
当振动最强烈时有T驱= =s=s
故火车的速度为v= =19.9m/s。
答案:19.9m/s
【补偿训练】
秒摆摆球质量为0.2kg,它振动到最大位移时距最低点的高度为0.4 cm,当它完成10次全振动回到最大位移处时,因有阻尼作用,距最低点的高度变为0.3 cm。如果每振动10次补充一次能量,使摆球回到原高度,那么1 min内总共应补给多少能量?(g取9.8 m/s2)
【解析】每振动10次要补充的能量为ΔE=mgΔh=0.2×9.8×(0.4-0.3)×10-2J=1.96×10-3J。
秒摆的周期为2s,1 min内完成全振动的次数为30次,则1min内总共应补充的能量为E=3ΔE=5.88×10-3J。
答案:5.88×10-3J
(1)(5分)(多选)如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线,下列说法中正确的是
( )
A.摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
B.摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
C.摆球A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D.摆球A时刻的机械能大于B时刻的机械能
E.摆球摆动的频率保持不变
(2)(10分)汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上,弹簧的等效劲度系数k=1.5×105N/m。汽车开始运动时,在振幅较小的情况下,其上下自由振动的频率满足f= (l为弹簧的压缩长度)。若人体可以看成一个弹性体,其固有频率约为2Hz,已知汽车的质量为600 kg,每个人的质量为70kg,则这辆车乘坐几个人时,人感到最难受?(g=9.8m/s2)
【解析】(1)选B、D、E。在单摆振动过程中,因不断克服空气阻力做功使振动的能量逐渐转化为内能,C错,D对。虽然单摆总的机械能在逐渐减小,但在振动过程中动能和势能仍不断地相互转化。由于A、B两时刻单摆的位移相等,所以势能相等,但动能不相等,A错,B对;阻尼振动的频率不变,E正确。
(2)人体的固有频率f固=2Hz,当汽车的振动频率与其相等时,人体与之发生共振,人感觉最难受,即f==f固,得l=,代入数据l=0.0621m,由胡克定律得
kl=(m1+nm2)g
==5(人)
答案:(1)B、D、E (2)5人
课时提升作业 四 单摆
(40分钟 100分)
一、选择题(本题共7小题,每小题8分,共56分)
1.(多选)关于摆的等时性及摆钟的发明,下列叙述符合历史事实的是 ( )
A.单摆的等时性是由惠更斯首先发现的
B.单摆的等时性是由伽利略首先发现的
C.惠更斯首先将单摆的等时性用于计时,发明了摆钟
D.伽利略首先发现了单摆的等时性,并把它用于计时
【解析】选B、C。伽利略最早发现了教堂里吊灯摆动的等时性。后来惠更斯按照伽利略的构想,发明制作了一个摆钟。
2.周期为2s的摆叫秒摆,若要将秒摆的周期变为0.5s,下列措施可行的是
( )
A.将摆球的质量及振动的振幅均减半
B.将振幅和摆长均减半
C.将摆长减为原来的
D.将摆长减为原来的
【解析】选D。摆球质量和摆的振幅均不影响单摆的周期,故只要改变摆长即可改变周期,由周期公式知:= 得l2=l1,D正确。
3.(多选)对于做简谐运动的单摆,当所受回复力逐渐增大时,随之变小的物理量是 ( )
A.摆线上的张力 B.摆球的振幅
C.摆球的重力势能 D.摆球的动能
【解析】选A、D。回复力逐渐增大时,摆球的重力沿切线方向的分力增大,速度变小,动能变小,重力势能增大,向心力减小,张力减小,振幅不变。
4.如图所示的单摆,摆长为l=40cm,摆球在t=0时刻从右侧最高点静止释放做简谐运动,则当t=1s时,摆球的运动情况是( )
A.向右加速 B.向右减速
C.向左加速 D.向左减速
【解析】选B。单摆的周期T==2πs=0.4πs≈1.256s,则T5.有一天体半径为地球半径的2倍,平均密度与地球相同,将在地球表面走时准确的摆钟移到该天体表面,秒针走一圈的实际时间为 ( )
A.min B.min
C.min D.2min
【解析】选B。由万有引力公式得=mg,地球表面的重力加速度g=,M=πR3ρ,计算得该天体表面重力加速度g′是地球表面重力加速度的2倍,即g′=2g,由单摆的周期公式T=,得出T′=T,秒针走一圈时,完成全振动的次数相同,由于周期不同,所以实际经历的时间不同,该摆钟在地球上秒针转一圈时间为1min,在该天体表面秒针转一圈时间为min,故B选项正确。
6.如图所示,曲面AO是一段半径为2m的光滑圆弧面,圆弧与水平面相切于O点,AO弧长为10cm,现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放,到达底端的速度分别为v1和v2,经历的时间分别为t1和t2,那么 ( )
A.v1B.v1>v2,t1=t2
C.v1=v2,t1=t2
D.以上三项都有可能
【解析】选B。因为AO弧长远小于半径,所以小球从A、B处沿圆弧滑下可等效成小角度单摆的摆动,即做简谐运动,等效摆长为2m,单摆的周期与振幅无关,故有t1=t2,因mgh=mv2,所以v=,故v1>v2,B项正确。
7.(多选)如图所示为同一地点的甲、乙两单摆的振动图象,下列说法中正确的是
( )
A.甲、乙两单摆的摆长相等
B.甲单摆的振幅比乙的大
C.甲单摆的机械能比乙的大
D.在t=0.5s时有正向最大加速度的是乙单摆
【解析】选A、B、D。振幅可从题图上看出,甲单摆振幅大。两单摆周期相等,则摆长相等。因质量关系不明确,无法比较机械能。t=0.5s时乙单摆摆球在负的最大位移处,故有正向最大加速度。A、B、D正确。
【补偿训练】
如图所示,摆长为L的单摆,周期为T。如果在悬点O的正下方的B点固定一个光滑的钉子,使摆球A通过最低点向左摆动,悬线被钉子挡住成为一个新的单摆,则下列说法中正确的是 ( )
A.单摆在整个振动过程中的周期将变大
B.单摆在整个振动过程中的周期将变小
C.单摆在整个振动过程中的周期不变
D.单摆在整个振动过程中的周期无法确定
【解析】选B。由于摆球A通过最低点向左摆动,悬线被钉子挡住成为一个新单摆,摆长变小,而此题的周期只与摆长有关,且满足:T=,故单摆在整个振动过程中的周期将变小,B正确。
二、非选择题(14分)
8.一个单摆的摆长为l,在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P(如图所示),现将摆球向左拉开到A,使摆线偏角θ<5°,放手后使其摆动,摆动到B的过程中摆角也小于5°,求出单摆的振动周期。
【解析】释放后摆球到达右边最高点B处,由机械能守恒可知B和A等高,则摆球始终做简谐运动。单摆做简谐运动的摆长有所变化,它的周期为两个不同单摆的半周期的和。
小球在左边的周期为T1=
小球在右边的周期为
则整个单摆的周期为T=+
答案:
1.(15分)(1)(多选)在“探究单摆周期与摆长关系”的实验中,下列做法正确的是 ( )
A.应选择伸缩性小、尽可能长的细线作摆线
B.用刻度尺测出细线的长度并记为摆长l
C.在小偏角下让单摆摆动
D.当单摆经过平衡位置时开始计时,测量一次全振动的时间作为单摆的周期T
E.通过简单的数据分析,若认为周期与摆长的关系为T2∝l,则可作T2-l图象;如果图象是一条直线,则关系T2∝l成立
(2)如图是单摆振动时摆球位移随时间变化的图象(取重力加速度g=π2m/s2)。
①求单摆的摆长l。
②估算单摆偏离竖直方向的最大角度(单位用弧度表示)。
【解析】(1)选A、C、E。摆长等于摆线的长度加上摆球的半径,为减小误差应保证摆线的长短不变,选择伸缩性小、尽可能长的细线作摆线,故A正确;刻度尺测出细线的长度再加上小球的半径才是摆长,故B错误;单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动,单摆的摆角不能太大,一般不超过5°,否则单摆将不做简谐运动,故C正确;当单摆经过平衡位置时速度最大,此时开始计时误差最小,但是要测量n次全振动的时间为t,再由T=求周期误差较小,故D错误;处理数据的时候,通常由线性关系比较好得出结论,故作T2-l图象,E正确。
(2)①根据周期公式有T=
由图象可知单摆周期T=2s
解得l=1m
②单摆振动时偏离竖直方向的最大角度θ≈
解得θ≈0.05rad。
答案:(1)A、C、E (2)①1m ②0.05rad
2.(15分)(1)(多选)同一地点的甲、乙两单摆(摆球质量相等)的振动图象如图所示,下列说法中正确的是 ( )
A.甲、乙两单摆的摆长相等
B.甲摆的机械能比乙摆小
C.甲摆的最大速率比乙摆小
D.在周期时振子具有正向加速度的是乙摆
E.在周期时甲摆的回复力为零
(2)有一单摆,其摆长l=1.02m,已知单摆做简谐运动,单摆振动30次用的时间t=60.8s,试求:
①当地的重力加速度是多大?
②如果将这个单摆改为秒摆,摆长应怎样改变?改变多少?
【解析】(1)选A、D、E。由图象可知,甲、乙周期相同,又T=,同一地点所以g相同,故摆长l相等,A项正确;由图象可知,甲、乙振幅相同,摆球质量相等,所以两摆的机械能相等,最大速率相等,B、C项错误;由图象可知,周期时甲摆处于平衡位置,乙摆处于负向最大位移处,故乙摆具有正向加速度,D项正确;在周期时甲摆正经过平衡位置,故此时回复力为零,E正确。
(2)①当单摆做简谐运动时,其周期公式T=,
由此可知g=,只要求出T值代入即可。
因为T==s=2.027s
所以g==m/s2=9.79m/s2。
②秒摆的周期是2s,设其摆长为l0,由于在同一地点重力加速度是不变的,根据单摆的振动规律有:
故有:
所以其摆长要缩短
Δl=l-l0=1.02m-0.993 m=0.027 m。
答案:(1)A、D、E (2)①9.79m/s2 ②缩短 0.027 m
【补偿训练】
图甲是一个单摆振动的情形,O是它的平衡位置,B、C是摆球所能到达的最远位置。设摆球向右方向运动为正方向。图乙是这个单摆的振动图象。根据图象回答:
(1)单摆振动的频率是多大?
(2)开始时刻摆球在何位置?
(3)若当地的重力加速度为10m/s2,试求这个摆的摆长是多少。
【解析】(1)由乙图知周期T=0.8s,
则频率f==1.25Hz。
(2)由乙图知,0时刻摆球在负向最大位移处,因向右为正方向,所以在B点。
(3)由T=2π得L==0.16m。
答案:(1)1.25Hz (2)B点 (3)0.16m
