11.1 简谐运动
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1.下列情形中不属于机械振动的是 ( )
A.水中浮标上下浮动
B.秋千的摆动
C.拨动后的琴弦
D.表针沿表盘转动
【解析】选D。物体做机械振动时存在某一平衡位置,且物体在这一位置两侧往复运动,A、B、C选项中描述的运动均符合这一要求,D选项表针做圆周运动,它并不是在某一位置两侧往复运动,故D选项不属于机械振动。
2.关于简谐运动,下列说法正确的是 ( )
A.位移的方向总指向平衡位置
B.加速度方向总和位移方向相反
C.位移方向总和速度方向相反
D.速度方向总和位移方向相同
【解析】选B。简谐运动的位移的初始位置是平衡位置,所以简谐运动过程中任一时刻的位移都是背离平衡位置的,故A选项错误;振子的加速度总是指向平衡位置的,而位移总是背离平衡位置的,故B选项正确;振子在平衡位置两侧往复运动,速度方向与位移方向有时相同,有时相反,故C、D选项错误。
3.某弹簧振子的振动图象如图所示,将弹簧振子从平衡位置拉开4cm后放开,同时开始计时,则在t=0.15s时 ( )
A.振子正在做加速度减小的加速运动
B.振子正在做加速度增大的减速运动
C.振子速度方向沿x轴正方向
D.振子的位移一定等于2 cm
【解析】选B。振子正向负的最大位移处运动,加速度在增大,速度在减小,故A错、B对;振子的速度方向沿x轴负方向,C错;在0.1～0.2 s内振子做变速运动,故振子的位移不等于2 cm,D错。
4.(多选)一质点做简谐运动的图象如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.0～1 s速度在增大
B.0～1 s位移在增大
C.2～3 s速度在增大
D.2～3 s位移在增大
【解析】选A、C。0～1 s质点从正向最大位移处向平衡位置运动,速度增大,位移减小;2～3 s质点从负向最大位移处向平衡位置运动,速度增大,位移减小。故A、C正确。
5.一质点做简谐运动的图象如图所示,在前2s内具有最大负方向速度的时刻是
( )
A.0.5 s B.1 s C.1.5 s D.2 s
【解析】选A。质点经过平衡位置时速度最大,速度方向可以根据切线斜率的正负来判断,也可以根据下一时刻位移的变化来判断,还可以根据简谐运动的过程来判断。该题中,从t=0到t=1s时间内质点向负方向的最大位移处运动,因此可判断速度方向为负方向,当位移为零时速度最大,所以0.5s时负方向上速度最大。A正确。
【补偿训练】
一质点做简谐运动的图象如图所示,该质点在t=3.5 s时刻 ( )
A.速度为正、加速度为正
B.速度为负、加速度为负
C.速度为负、加速度为正
D.速度为正、加速度为负
【解析】选D。由图象可知,质点从正的最大位移处出发,向平衡位置运动,由此知3.5s时,质点由平衡位置向正的最大位移处运动,所以此时速度为正,质点做减速运动,加速度为负,故选项D正确。
11.2 简谐运动的描述
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1.周期为2s的简谐运动,在半分钟内振子通过的路程是60 cm,则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为 ( )
A.15次,2 cm B.30次,1 cm
C.15次,1 cm D.60次,2 cm
【解析】选B。振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置均为两次(除最大位移处),而每次全振动振子通过的路程为4个振幅。
2.如图所示,在光滑水平面上振动的弹簧振子的平衡位置为O,把振子拉到A点,OA=1cm,然后释放振子,经过0.2s振子第1次到达O点,如果把振子拉到A′点,OA′=2cm,则释放振子后,振子第1次到达O点所需的时间为 ( )
A.0.2 s B.0.4 s C.0.1 s D.0.3 s
【解析】选A。简谐运动的周期只跟振动系统本身的性质有关,与振幅无关,两种情况下振子第1次到达平衡位置所需的时间都是振动周期的,它们相等。A正确。
3.一质点做简谐运动的图象如图所示,下列说法正确的是 ( )
A.质点的振动频率是4 Hz
B.在10 s内质点通过的路程是20 cm
C.第4 s末质点的速度是零
D.在t=1s和t=3s两时刻,质点位移大小相等、方向相同
【解析】选B。根据振动图象可知,该简谐运动的周期T=4s,所以频率f==0.25Hz,A错;10 s内质点通过的路程s=×4A=10A=10×2cm=20 cm,B正确;第4 s末质点经过平衡位置,速度最大,C错;在t=1s和t=3s两时刻,质点位移大小相等、方向相反,D错。
4.水平放置的弹簧振子先后以振幅A和2A振动,振子从左边最大位移处运动到右边最大位移处过程中的平均速度分别为v1和v2,则 ( )
A.v1=2v2 B.2v1=v2 C.v1=v2 D.v1=v2
【解析】选B。弹簧振子做简谐运动,周期与振幅无关,设为T,则从左边最大位移处运动到右边最大位移处过程的时间均为;第一次位移大小为2A,第二次位移大小为4A,即位移之比为1∶2,根据平均速度的定义式=,平均速度之比为1∶2。
5.有一个弹簧振子,振幅为0.8cm,周期为0.5s,初始时刻具有负方向的最大加速度,则它的振动方程是( )
A.x=8×10-3sin(4πt+)m
B.x=8×10-3sin(4πt-)m
C.x=8×10-1sin(πt+π)m
D.x=8×10-1sin(t+)m
【解析】选A。A=8×10-3m,T=0.5s,ω==4π,初始时刻具有负方向的最大加速度,则初相位为φ=,故振动方程应为x=8×10-3sin(4πt+)m,选项A正确。
6.一质点做简谐运动,其位移和时间关系如图所示。
(1)求t=0.25×10-2s时的位移。
(2)在t=0到8.5×10-2s时间内,质点的路程、位移各多大?
【解析】(1)由题图可知A=2cm,T=2×10-2s,振动方程为x=Asin(ωt-)=
-Acosωt=-2costcm=-2cos100πtcm。
当t=0.25×10-2s时,x=-2coscm=-cm。
(2)从t=0至8.5×10-2s时间内为个周期,质点的路程为s=17A=34cm,位移为2cm。
答案:(1)-cm (2)34cm 2cm
11.3 简谐运动的回复力和能量
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1.关于简谐运动的回复力,下列说法正确的是 ( )
A.可以是恒力
B.可以是方向不变而大小变化的力
C.可以是大小不变而方向改变的力
D.一定是变力
【解析】选D。回复力特指使振动物体回到平衡位置的力,对简谐运动而言,其大小必与位移大小成正比,故D正确。
2.(多选)关于简谐振动,以下说法中正确的是 ( )
A.回复力总指向平衡位置
B.加速度、速度方向永远一致
C.在平衡位置加速度、速度均达到最大值
D.在平衡位置速度达到最大值,而加速度为零
【解析】选A、D。回复力是把物体拉回到平衡位置的力,A对;加速度方向始终指向平衡位置,速度方向可能指向平衡位置,也可能远离平衡位置,B错;平衡位置位移为零,据a=-知加速度为零,势能最小,动能最大,速度最大,C错,D对。
3.如图所示为某质点的振动图象,由图可知 ( )
A.第3s末质点的位移是-5cm
B.第2s末和第3s末,质点的动量方向相同
C.第2s内回复力做正功
D.第2s内的加速度在逐渐变大
【解析】选D。从图象可以看出第3s末,位移是0,速度沿x轴负方向且最大,而第2s末v=0;第2s内,速度减小,回复力做负功,位移增加,由a=可知,加速度变大。故正确答案为D。
【补偿训练】
如图为一弹簧振子(弹簧水平放置,振子在水平方向振动)的振动图象,由此可知
( )
A.在t1时刻,振子的动能最大,所受的弹力最大
B.在t2时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小
C.在t3时刻,振子的动能最大,所受的弹力最小
D.在t4时刻,振子的动能最大,所受的弹力最大
【解析】选B。由图知t1和t3时刻,振子分别处于正向最大位移和负向最大位移处,速度为零,动能为零;弹簧形变最大,振子所受弹力最大。可见选项A、C均错。由图知t2和t4时刻,振子处于平衡位置,速度最大,动能最大;弹簧无形变,振子所受弹力最小。可见选项B正确,选项D是错误的。
4.(多选)如图所示是某弹簧振子的振动图象,下列说法中正确的是 ( )
A.振幅是4cm
B.周期是8s
C.第4s末振子的加速度为零,速度为负
D.第14s末振子的加速度为正,速度最大
【解析】选A、B、C。由图象可直接读出振幅A=4cm,周期T=8s,所以A选项正确,B选项正确。第4s末通过平衡位置,加速度为零,速度方向沿x轴负向,故C选项正确。由周期性可知,振子在第14s末的运动情况与第6s末的运动情况相同,加速度最大,方向为正,但速度为零,故D选项错误。
11.4 单摆
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1.发生下列哪一种情况时,单摆周期会增大 ( )
A.增大摆球质量 B.缩短摆长
C.减小单摆振幅 D.将单摆由山下移至山顶
【解析】选D。由单摆周期公式T=2π知,T与单摆的摆球质量、振幅无关,缩短摆长,l变小,T变小;单摆由山下移到山顶,g变小,T变大。
【补偿训练】
甲、乙两个单摆的摆长相等,将两单摆的摆球由平衡位置拉起,使摆角θ甲<θ乙<
5°,由静止开始释放,则 ( )
A.甲先摆到平衡位置
B.乙先摆到平衡位置
C.甲、乙两摆同时到达平衡位置
D.无法判断
【解析】选C。两个单摆的摆长相等,则两个单摆的周期相等,单摆从最大位移摆到平衡位置所用的时间相等,选项C正确。
2.已知在单摆a完成10次全振动的时间内,单摆b完成6次全振动,两单摆摆长之差为1.6m,则两单摆摆长La与Lb分别为 ( )
A.La=2.5m,Lb=0.9m
B.La=0.9m,Lb=2.5m
C.La=2.4m,Lb=4.0m
D.La=4.0m,Lb=2.4m
【解析】选B。单摆完成一次全振动所需的时间即单摆的周期,据题设可知a、b两单摆的周期之比为=,由单摆周期公式T=2π得:=,据题设得Lb-La=1.6m,联立解得La=0.9m,Lb=2.5m。故正确答案为B。
3.某同学利用单摆测定当地重力加速度,发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方,他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L,通过改变摆线的长度,测得6组L和对应的周期T,画出L-T2图线,然后在图线上选取A、B两个点,坐标如图所示。他采用恰当的数据处理方法,则计算重力加速度的表达式应为g=________。请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比,将________(选填“偏大”“偏小”或“相同”)。
【解题指南】解答本题应注意以下两点:
(1)用图象法处理数据既直观又方便,同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响。
(2)由于l-T的图象不是直线,不便于进行数据处理,所以采用l-T2的图象,目的是将曲线转换为直线,便于利用直线的斜率计算重力加速度。
【解析】设A、B点测得摆长为LA和LB,球心到重心的距离为L′,所以A、B两处的实际摆长分别为LA+L′和LB+L′。
根据周期公式T=2π得l=
则LA+L′= ①
LB+L′= ②
②-①得LB-LA=-=
所以g=。
从上式可以看出,最终的结果与重心的位置无关,所以不影响g值的测量。
答案: 相同
11.5 外力作用下的振动
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1.(多选)做阻尼振动的弹簧振子,先后两次经过同一位置,下列说法不正确的是
( )
A.有相同的速度 B.有相同的动能
C.有相同的势能 D.有相同的机械能
【解析】选A、B、D。在阻尼振动中,振子的机械能逐渐减小,所以做阻尼振动的弹簧振子经过同一位置时的动能越来越小,机械能也越来越小,在先后两次经过同一位置时,速度和动能、机械能都减小。但势能与弹簧的形变和振子的位置有关,所以在同一位置,势能不变,C对。
2.(多选)对于阻尼振动,下列说法正确的是 ( )
A.阻尼振动就是减幅振动,其振动的能量不断减少
B.实际的振动系统不可避免地要受到阻尼作用
C.阻尼振动的振幅、振动能量、振动周期逐渐减小
D.对做阻尼振动的振子来说,其机械能逐渐转化为内能
【解析】选A、B、D。振动系统的振动频率与本身的结构有关,为固有频率,所以在阻尼振动中,振幅减小,振动能量减少,最终转化为内能,但周期不变,故A、D正确,C错。实际的振动系统都要受到摩擦或空气阻力等阻尼作用,故B正确。
3.下列振动,属于受迫振动的是 ( )
A.用重锤敲击一下悬吊着的钟后,钟做受迫振动
B.打点计时器接通电源后,振针做受迫振动
C.小孩睡在自由摆动的吊床上,小孩随着吊床一起摆动为受迫振动
D.弹簧振子在竖直方向上上下振动为受迫振动
【解析】选B。受迫振动是在周期性驱动力作用下的振动,应该有周期性驱动力作用作为前提。B项中振针随振片在电磁铁的周期性驱使下周期性振动,故B对,A、C、D选项中在受到外力后不再持续接受周期性外力的驱使,故均是自由振动,故A、C、D错。
【补偿训练】
(多选)把一个筛子用四根弹簧支起来,筛子上一个电动偏心轮,它每转一周,给筛子一个驱动力,这样就做成了一个共振筛,筛子做自由振动时,完成10次全振动用时15s。在某电压下,电动偏心轮转速是36r/min。已知增大电压可使偏心轮转速提高;增加筛子的质量,可以增大筛子的固有周期。那么要使筛子的振幅增大,下列哪些做法是正确的 ( )
A.提高输入电压 B.降低输入电压
C.增加筛子质量 D.减小筛子质量
【解析】选A、C。在题设条件下,筛子振动固有周期T固=s=1.5s,电动偏心轮的转动周期(对筛子来说是驱动力的周期)T驱=s=1.67s,要使筛子振幅增大,就是使这两个周期值靠近,可采用两种做法:第一,提高输入电压,偏心轮转得快一些,减小驱动力的周期;第二,增加筛子的质量使筛子的固有周期增大。
4. (2018·台州高二检测)如图是探究单摆共振条件时得到的图象,它表示了振幅跟驱动力频率之间的关系,(取π2=g)试分析:
(1)这个单摆的摆长是多少?
(2)如果摆长变长一些,画出来的图象的高峰将向哪个方向移动?
【解析】(1)由图可知,单摆的固有频率为0.3Hz,
T=s=2π,解得摆长L=m。
(2)若摆长变长一些,由T=2π知其周期变大,又由f=知,频率变小,图中最高峰对应的频率即为此频率,故向左移动。
答案:(1)m (2)向左
