北师大版 数学 八年级下 1.4 角平分线（2） 教学设计
课题
1.4 角平分线（2）
单元
第一章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
知识与技能：理解三角形三条角平分线相交于一点，并且这个交点到三角形三边的距离相等；
过程与方法：在证明和作图的过程中，体验观察、归纳、猜想、验证的思维过程，发展合情推理能力，培养数学创新意识；
情感态度与价值观：体验解决问题的过程，感受成功的快乐，培养学生学习数学的兴趣..
重点
证明三角形三条角平分线性质．
难点
角平分线性质的应用.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，在上前面的学习中，我们学习了角平分线的性质和判定，下面请同学们回答：
问题1、说一说角平分线的性质定理？
答案：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
问题2、说一说角平分线的判定定理？
答案：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
学生根据老师的提问回答问题.
通过回顾角平分线的性质和判定，为证明三角形三条角平分线的性质的探究做好铺垫
新知讲解
下面，让我们一起完成下面的问题：
想一想：你还记得用尺规作角平分线的过程吗？
已知： ∠AOB.
求作：射线OC,使OC是∠AOB的平分线.
操作：作出下面每个三角形的三条角平分线.
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
答案：
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
追问：你发现了什么？
答案：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为D，E，F.
求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.
证明：∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,且PD丄AB,PE丄BC,
∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理，PE＝PF．
∴PD＝PE＝PF.
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
即∠A的平分线经过点P.
归纳：定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
几何语言：
在△ABC中，
∵a，b，c分别是BC，AC，AB的垂直平分线，
∴a，b，c相交于点P，且PA=PB=PC.
指出：这是一个证明三条直线交于一点的又一种证明依据.
练习1：在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．以上均不对
答案：B
例1：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE丄AB垂足为E,
(1)已知CD＝4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB＝AC＋CD.
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DC丄AC，DE丄AB垂足为E，
∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠BAC， (等边对等角).
∵∠C＝90°，
∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
∴BE＝DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中，
∴AC＝BC＝CD＋BD＝
（2）证明：由(1)的求解过程易知，
Rt △ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC＝AE(全等三角形的对应边相等)
∵BE＝DE＝CD，
∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
练习2：如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝______________.
答案：4:5:6
归纳：三角形三条内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形.
学生利用尺规作一个角的平分线.
学生动手画图，并认真观察所画图形，得出猜想.
学生在老师的引导下进行证明.
学生归纳三角形三条角平分线的性质，并尝试转化为几何符号语言.
学生独立完成练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评.
学生在老师的引导下完成例题的学习.
学生独立完成练习题，然后班内交流，并认真听老师的点评，并与老师共同总结规律.
回顾利用尺规作角平分线的过程.
直观体会三角形三条角平分线交于一点的这一性质.
证明三角形三条角平分线的性质.
归纳三角形三条角平分线的性质，并掌握几何符号语言的表达形式.
应用三角形三条角平分线的性质解决实际问题.
进一步提高角平分线性质定理的应用.
提高学生应用三角形三条角平分线的性质解决实际问题的能力.
课堂练习
1．如图，小林已经画出了一个三角形的两条角平分线，他说：“我不用再将第三个角平分，就能画出第三条角平分线．”他说的有道理吗？他会怎样做？他这样做的理由是什么？
答：有道理．
连接CO，并延长交AB于点F，则CF即为∠ACB的平分线.
三角形的三条角平分线交于一点
2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，下列结论正确的是( )
A．∠1>∠2 B．∠1＝∠2
C．∠1<∠2 D．不能确定∠1与∠2的大小关系
答案：B
3．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案：C
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
如图，BP，CP分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P.
求证：点P在∠BAC的平分线上．
证明：过点P分别作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PG⊥BC于点G.
∵BP，CP分别是△ABC的外角平分线，
∴PE＝PG，PG＝PF.
∴PE＝PF.
∴点P在∠BAC的平分线上．
在师的引导下完成问题.
提高学生对知识的应用能力
中考链接
下面让我们一起赏析一道中考题：
（2018·益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：
①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AC于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧相交于点E；
③作射线AE；
④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC.
则OC＝________.
答案：
在师的引导下完成中考题.
体会所学知识在中考试题运用.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
问题1、说一说三角形三条角平分线有什么特点？
答案：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
问题2、你还有哪些收获呢？
答案：（1）利用这个定理可以证三条直线交于上点；
（2）利用这个定理可以一个三角形分割成三个等高的小三角形.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第32页习题1.10第1、2、3题
能力作业
教材第32页习题1.10第4题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
1.4 角平分线（2）
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．如图，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在（ ）
A．△ABC的三条内角平分线的交点处 B．△ABC的三条高线的交点处
C．△ABC三边的中垂线的交点处 D．△ABC的三条中线的交点处
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
2．△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC的大小为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
3．如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OAC：S△OBC＝（ ）
A．2：3：4 B．1：1：1 C．1：2：3 D．4：3：2
4．如图，点P是Rt△ABC各内角平分线的交点，如果AB=3，BC=4，AC=5，PE⊥BC，那么PE=（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.4
5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，连接 AO并延长，交BC于点D，OH⊥BC于点H；若∠BAC=60°，OH=3cm，则OA=（ ）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直，垂足为A，交CD于D，若AD＝8，则点P到BC的距离是_____．
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
7．如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC的面积=_________.
8．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点I，则∠BIC＝_______________．
9．如图,已知BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,且交BE于点E,∠BAC=30°,则∠CAE=________.?
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有几处？请在图中标出来；
11．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线BD与∠ACB的邻补角的平分线CE相交于点P； 求证：点P到△ABC三边所在直线的距离相等；
12．如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P；
（1）在图①中，分别画出点P到△ABC的三边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，写出三条垂线段的数量关系，并说明理由；
（2）在图②中，∠ABC是直角，∠C=60o，其余条件不变，判断PE，PD之间的数量关系，并说明理由；
试题解析
1．A
【解析】三条公路围成一个三角形，三角形中到三边的距离相等的点是三角形的内心，即三条内角平分线的交点．
解：三角形中到三边的距离相等的是三角形的内心，即为三条内角平分线的交点.
故选A.
2．A
3．A
【解析】由角平分线的性质可得，点O到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB、BC、CA边上的高相等，利用面积公式即可求解．
解：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵AB＝4，AC＝6，BC＝8，
∴S△OAB：S△OAC：S△OBC＝2：3：4．
故选：A．
4．A
【解析】根据角平分线的性质定理可得点P到各边的距离都相等，设点P到各边的距离为r，根据直角三角形面积的两种表示法可得12AC?BC=12（AC+BC+AB）?r，由此即可求得r的值，即为PE的值.
解：∵点P为三条角平分线的交点，
∴点P到各边的距离都相等，设点P到各边的距离为r，
∵Rt△ABC中，∠C是直角，O是角平分线的交点，AC=3，BC=4，AB=5，
∴S△ABC=12AC?BC=12（AC+BC+AB）?r，
∴3×4=（3+4+5）×r，
解得：r=1．
即PE=1.
故选A．
5．A
【解析】作OE⊥AB交AB于E，由OB平分∠ABC，OH⊥BC，根据角平分线的性质定理可得OE=OH=3cm，再由角平分线的定义得到∠BAO=30°，根据30°角直角三角形的性质即可求得OA的长．
解：作OE⊥AB交AB于E，
∵OB平分∠ABC，OH⊥BC，
∴OE=OH=3cm，
∵∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，
∴AO平分∠BAC，
∵∠BAC=60°，
∴∠BAO=30°，
∴AO=2OE=6cm，
故选A．
6．4
【解析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PA=PE，PD=PE，那么PE=PA=PD，又AD=8，进而求出PE=4．
解：如图，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4.
故答案为：4.
7．50.
【解析】根据△ABC的三条角平分线交于O点，故点O到三角形各边的距离相等，即△ABO、△ACO、△BCO的高相等，再把这三个三角形的面积加起来即为△ABC的面积.
解：∵△ABC的三条角平分线交于O点，
∴点O到三角形各边的距离相等，
即△ABO、△ACO、△BCO的高相等，h=5,
∵△ABC的周长为20，即AB+AC+BC=20,
∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO
=12AB×h+12AC×h+12BC×h
=12×（AB+AC+BC）×h
=12×20×5=50.
8．125°
【解析】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，根据角平分线定义得出∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，求出∠IBC+∠ICB=65°，代入∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）求出即可．
解：∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°，
∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于I，
∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=12×110°=55°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=125°，
故答案为：125°．
9．75°
【解析】如图过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，根据角平分线的性质可得EH=EG，EI=EG，再根据角平分线的性质的逆定理可证AE平分∠FAC，再根据∠FAC与∠BAC互补即可．
解：如图所示：过点E分别作EG⊥BD、EH⊥BA、EI⊥AC，垂足分别为G、H、I，
∵BE平分∠ABC，EG⊥BD，EH⊥BA， ∴EH=EG． ∵CE平分∠ACD，EG⊥BD，EI⊥AC， ∴EI=EG， ∴EI=EH， ∵EH⊥BA，EI⊥AC，
∴AE平分∠FAC
∵∠BAC=30°
∴∠FAC=180°-∠BAC=150°
∴∠CAE=12∠FAC=75°
故答案为：75°
10．可供选择的地址有4处，图见解析
【解析】到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求．由此即可求解.
解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．
∴可供选择的地址有4处（如图所示）.
11．证明见解析.
【解析】过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线,垂足分别是Q、M、N.根据角平分线性质定理即可证明结论.
证明：如图,过点P作三边AB、BC、CA所在直线的垂线,垂足分别是Q、M、N.则垂线段PQ、PM、PN,即为P点到三边AB、BC、CA所在直线的距离.
∵P是∠ABC的平分线BD上的一点,
∴PQ=PM.
∵P是∠ACM的平分线CE上的一点,
∴PN=PM.
∴PQ=PM=PN.
即点到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等.
12．（1）PF=PG=PH；理由见解析；（2）PE=PD；理由见解析
【解析】（1）PF=PG=PH，根据已知条件及角平分线的性质定理即可证得结论；（2）过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F、G，证明△PFE≌△PGD，根据全等三角形的性质即可证得PE=PD．
证明：（1）如图1所示：
PF=PH=PG，理由如下：
∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，
∴PF=PH，
∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，
∴PG=PH，
∴PF=PH=PG；
（2）PE=PD．
证明：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠CAB=30°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠CAD=∠BAD=12∠CAB=15°，∠ABE=∠CBE=12∠ABC=45°，
过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F、G，
则∠PFE=∠PGD=90°，
∵∠PDG为△ADC的一个外角，
∴∠PDG=∠C+∠CAD=60°+12∠CAB=60°+15°=75°，
∵∠PEF是△ABE的一个外角，
∴∠PEF=∠CAB+∠ABE=30°+12∠CBA=30°+45°=75°，
∴∠PEF=∠PDG，
∵PF⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PFE=∠PGD=90°，
由（1）得：PF=PG，
∴△PFE≌△PGD，
∴PE=PD．
课件20张PPT。角平分线（2）数学北师大版 八年级下新知导入1、说一说角平分线的性质定理？角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．2、说一说角平分线的判定定理？在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．新知讲解想一想：你还记得用尺规作角平分线的过程吗？已知： ∠AOB.
求作：射线OC,使OC是∠AOB的平分线.C作法：（1）在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
（2）分别以点D和E为圆心,以大于 DE长
为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
（3）作射线OC.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
新知讲解操作：作出下面每个三角形的三条角平分线.你发现了什么？三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.锐角三角形直角三角形钝角三角形新知讲解已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC，的垂线，垂足分别为D，E，F.
求证：∠A的平分线经过点P，且PD＝PE＝PF.证明：∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,且PD丄AB,PE丄BC,
∴PD＝PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
同理，PE＝PF．
∴PD＝PE＝PF.
∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的
两边距离相等的点在这个角的平分线上)，
即 ∠A的平分线经过点P.新知讲解定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.在△ABC中，
∵a，b，c分别是BC，AC，AB的垂直平分线，
∴a，b，c相交于点P，且PA=PB=PC.几何语言： 这是一个证明三条直线交于一点的又一种证明依据.新知讲解练习1：在△ABC内到三条边距离相等的点是△ABC的( )
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．以上均不对B新知讲解例1：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE丄AB垂足为E,
(1)已知CD＝4 cm，求AC的长；（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DC丄AC，DE丄AB垂足为E，
∴ DE＝CD＝4 cm (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).
∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC， (等边对等角).
∵∠C＝90°，
∴∠BDE＝90°－45°＝45° .
∴BE＝DE(等角对等边).
在等腰直角三角形BDE中，
∴ AC＝BC＝CD＋BD＝新知讲解例1：如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE丄AB垂足为E,
(1)已知CD＝4 cm，求AC的长；
(2)求证：AB＝AC＋CD.（2）证明：由(1)的求解过程易知，
Rt △ACD≌Rt△AED(HL).
∴ AC＝AE(全等三角形的对应边相等)
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.新知讲解练习2：如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝______________.4:5:6归纳：三角形三条内角平分线的交点与三角形三个顶点的连线形成三个等高的小三角形，课堂练习1．如图，小林已经画出了一个三角形的两条角平分线，他说：“我不用再将第三个角平分，就能画出第三条角平分线．”他说的有道理吗？他会怎样做？他这样做的理由是什么？三角形的三条角平分线交于一点 连接CO，并延长交AB于点F，则CF即为∠ACB的平分线答：有道理．课堂练习2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于O，下列结论正确的是( )
A．∠1>∠2
B．∠1＝∠2
C．∠1<∠2
D．不能确定∠1与∠2的大小关系B课堂练习3．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上，则△ABC一定是( )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰三角形
D．等腰直角三角形C拓展提高如图，BP，CP分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P.
求证：点P在∠BAC的平分线上．证明：过点P分别作PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,PG⊥BC于点G.
∵BP，CP分别是△ABC的外角平分线，
∴PE＝PG，PG＝PF.
∴PE＝PF.
∴点P在∠BAC的平分线上．中考链接（2018·益阳）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3，按以下步骤作图：
①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交
AB、AC于点M、N；
②分别以点M、N为圆心，以大于 MN的
长为半径作弧，两弧相交于点E；
③作射线AE；
④以同样的方法作射线BF，AE交BF于点O，连接OC.
则OC＝________.课堂总结1、说一说三角形三条角平分线有什么特点？三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.2、你还有哪些收获呢？（1）利用这个定理可以证三条直线交于上点；（2）利用这个定理可以一个三角形分割成三个等高的小三角形.板书设计
课题：1.4角平分线（2）??
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1、三角形三条角平分线的性质：
2、应用：基础作业
教材第32页习题1.10第1、2、3题
能力作业
教材第32页习题1.10第4题
作业布置
