2018_2019学年高中物理新人教版选修3_1第三章磁场专题整合

第三章 磁场
专题整合·深化提升
考点一　带电粒子在有界磁场中的临界、极值问题
1.有界磁场及边界类型：
(1)有界匀强磁场是指在局部空间存在着匀强磁场，带电粒子从磁场区域外垂直磁场方向射入磁场区域，经历一段匀速圆周运动后，又离开磁场区域。
(2)常见边界的类型如图所示。
2.常用临界、极值结论：
(1)刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，则带电粒子在有界磁场中运动时间越长。
(3)当比荷相同时，在匀强磁场中运动的圆心角越大，运动时间越长。
【对点训练】
1.平面OM和平面ON之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如
图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)。粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交点O的距离为 (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】选D。如图，由题意知运动轨迹与ON相切。设切点为D，入射点为A，出射点为C，圆心为O′，由入射角为30°可得△AO′C为等边三角形，则
∠ACO′=60°，而∠MON=30°，∠ODC=90°，故D、O′、C在同一直线上，故出射点到O点的距离为CO===4r，又r=，故距离为。
2. (多选)如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的任意值。静止的带电粒子带电荷量为+q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ=30°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰好垂直打在CD板上，则 (　　)
A.两板间电压的最大值Um=
B.CD板上可能被粒子打中区域的长度x=L
C.粒子在磁场中运动的最长时间tm=
D.能打在N板上的粒子的最大动能为
【解析】选B、C、D。M、N两板间电压取最大值时，粒子恰好垂直打在CD板上，所以其轨迹圆心在C点，CH=QC=L，故半径R1=L，又因Bqv1=m，qUm=m，可得Um=，所以A错误。
设轨迹与CD板相切于K点，半径为R2，在△AKC中sin 30°==，可得R2=，CK长为R2=L，则CD板上可能被粒子打中的区域即为HK的长度，x=HK=L-CK=L，故B正确；打在QE间的粒子在磁场中运动的时间最长，周期T=，所以tm=，C正确；能打到N板上的粒子的临界条件是轨迹与CD相切，由B选项知，rm=R2=，可得vm=，动能Ekm=，故D正确。
【补偿训练】
1.如图所示，在边长为L的正方形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，有一带正电的电荷从D点以v0的速度沿DB方向射入磁场，恰好从A点射出，已知电荷的质量为m、带电量为q，不计电荷的重力，则下列说法正确的是 (　　)
A.匀强磁场的磁感应强度为
B.电荷在磁场中运动的时间为
C.若减小电荷的入射速度，使电荷从CD边界射出，电荷在磁场中运动的时间会减小
D.若电荷的入射速度变为2v0，则粒子会从AB边的中点射出
【解析】选A。带正电的电荷从D点射入，恰好从A点射出，在磁场中的轨迹半径R=L，由牛顿第二定律Bqv0=得B=，A选项正确。电荷在磁场中运动的时间为t=T=×=，B选项错误。若减小电荷的入射速度，使电荷从CD边界射出，轨迹所对的圆心角将变大，在磁场中运动的时间会变长，C选项错误。若v=2v0，则由Bqv=得r=2L，如图从F点射出，设BF=x，由几何关系知r2=(r-x)2+L2，则x=L，D选项错误。
2.如图所示，长方形abcd长ad=0.6 m，宽ab=0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以ad为直径的半圆内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无磁场)，磁感应强度B=0.25 T。一群不计重力、质量m=3×10-7 kg、电荷量q=+2×10-3 C的带电粒子以速度v=5×102 m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射入磁场区域，则
(　　)
A.从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B.从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C.从Od边射入的粒子，出射点分布在Oa边和ab边
D.从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边
【解析】选D。带电粒子在匀强磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，qvB=，R==0.3 m=ab，所以从Od边射入的粒子全部从ab、be边射出，选项A、C错误；从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边和be边，选项D正确，B错误。
3.如图所示，内径为r、外径为2r的圆环内有垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。圆环左侧的平行板电容器两板间电压为U，靠近M板处由静止释放质量为m、电荷量为q的正离子，经过电场加速后从N板小孔射出，并沿圆环直径方向射入磁场，求：　　　
(1)离子从N板小孔射出时的速率。
(2)离子在磁场中做圆周运动的半径。
(3)要使离子不进入小圆区域，磁感应强度的取值范围。
【解析】(1)设离子射入匀强磁场时的速度为v，由动能定理：qU=mv2 ①
解得：v= ②
(2)设离子在磁场中做圆周运动的半径为R，离子所受洛伦兹力提供向心力；由牛顿第二定律有：qvB= ③
联立②③可得R== ④
(3)若离子恰好不进入小圆，轨迹如图所示
设离子轨迹与小圆相切时轨道半径为R0，在△OPO′中，由几何关系得：+(2r)2=(R0+r)2 ⑤
解得：R0=r ⑥
要使离子不进入小圆，必须满足R≤R0 ⑦
解得磁感应强度B≥ ⑧
答案：(1)　(2)　(3)B≥
4.如图甲所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，其边界AB、CD相距为d，在左边界的Q点处有一质量为m、带电量为q的负粒子沿与左边界成30°的方向射入磁场，粒子重力不计。求：
(1)带电粒子能从AB边界飞出的最大速度。
(2)若带电粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图乙所示的匀强电场中减速至零且不碰到负极板，则极板间电压U应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中运动的时间是多少？
(3)若带电粒子的速度是(2)中的倍，并可以从Q点沿纸面各个方向射入磁场，则粒子能打到CD边界的距离大小？
【解析】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为R1，运动速度为v0。粒子能从左边界射出，临界情况如图甲所示，由几何条件知R1+R1cos 30°=d
又qv0B=
解得v0==
所以粒子能从左边界射出时的最大速度为
vm=v0=
(2)带电粒子能从右边界垂直射出，如图乙所示。
由几何关系知R2=
由洛伦兹力提供向心力得Bqv2=m
由动能定理得-qU=0-m
解得U==
所加电压满足的条件U≥。
粒子转过的圆心角为60°，所用时间为，而T=
因返回通过磁场所用时间相同，所以总时间
t=2×=
(3)当粒子速度是(2)中的倍时，解得R3=2d
由几何关系可得粒子能打到CD边界的范围如图丙所示。
粒子打到CD边界的距离
l=2×2dcos 30°=2d
答案：(1)
(2)U≥　
(3)2d
考点二　带电粒子在磁场中运动的多解问题
1.带电粒子电性不确定形成多解：
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。
如图甲，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。
2.磁场方向不确定形成多解：
有些题目只告诉磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不确定而形成的多解。
如上图乙，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3.临界状态不唯一形成多解：
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图丙所示，于是形成了多解。
4.运动的周期性形成多解：
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解。如图丁所示。
【对点训练】
1.(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，如图所示。磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
D.使粒子的速度【解析】选A、B。若带电粒子刚好打在极板右边缘，有=(r1-)2+l2，又因r1=，解得v1=；若粒子刚好打在极板左边缘时，有r2==，解得v2=，故A、B正确。
2.(多选)如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab=L，则粒子的速度可能是 (　　)
世纪金榜导学号05136156
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】选A、B。由题意可知粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径为r=·(n=1，2，3，…)，由洛伦兹力提供向心力得qvB=m，则v==·(n=1，2，3，…)，所以A、B正确。
【补偿训练】
如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O′正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示，设垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：
(1)磁感应强度B0的大小。
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
【解析】(1)正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力
qv0B0=
做匀速圆周运动的周期
T0=
联立两式得磁感应强度
B0=。
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场，v0的方向应如图所示，两板之间正离子只运动一个周期即T0时，有r=
当两板之间正离子运动n个周期，
即nT0时，有
r=(n=1，2，3…)
联立求解得，正离子的速度的可能值为
v0==(n=1，2，3…)
答案：(1)B0=　(2)v0=(n=1，2，3…)
考点三　带电粒子在复合场中的运动
1.四种运动类型：
(1)静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动。
(2)匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。
(3)一般的曲线运动：当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。
(4)分阶段运动：带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。
2.对应分析方法：
【对点训练】
1.(多选)如图所示，两虚线之间的空间内存在着正交或平行的匀强电场E和匀强磁场B，有一个带正电的小球(电荷量为+q、质量为m)从电、磁复合场上方的某一高度处自由落下，那么，带电小球可能沿直线通过电、磁复合场的是
(　　)
【解析】选C、D。A图中小球受重力、向左的电场力、向右的洛伦兹力，下降过程中速度一定变大，故洛伦兹力一定增大，不可能一直与电场力平衡，故合力不可能一直向下，故一定做曲线运动，故A错误；B图中小球受重力、向上的电场力、垂直纸面向外的洛伦兹力，合力与速度方向一定不共线，故一定做曲线运动，故B错误；C图中小球受重力、向左上方的电场力、水平向右的洛伦兹力，若三力平衡，则小球做匀速直线运动，故C正确；D图中小球受向下的重力和向上的电场力，合力一定与速度共线，故小球一定做直线运动，故D正确。
2.(2018·成都高二检测)如图所示，一个电子沿磁场边界从A点射入Ⅰ区域，速度大小未知，已知电子质量为m、电荷量为-e，其中区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ宽均为d，Ⅰ、Ⅲ两区域存在垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度均为B，Ⅱ区域无任何场。电子从A点射出后经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域后恰能回到A点，不计电子重力。
(1)求电子从A点射出到回到A点经历的时间t。
(2)若在区域Ⅱ内加一水平方向的匀强电场，且区域Ⅲ的磁感应强度变为2B，电子也能回到A点，求电场强度E的大小和方向。
(3)若电子经Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域后，返回到区域Ⅰ前的瞬间使区域Ⅰ的磁场反向且磁感应强度减半，则电子的出射点距A点的距离为多少？
【解析】(1)因粒子从A点出发，经过Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ区域后能回到A点，由对称性可知粒子做圆周运动的半径为r=d
由evB=m得v=
所以运行时间为t==。
(2)在区域Ⅱ内由动能定理知eEd=m-mv2
由题意知在区域Ⅲ内粒子做圆周运动的半径仍为r=d
由2Bev1=m
得=
联立上式得E=
方向水平向左。
(3)改变区域Ⅰ内磁场后，粒子运动轨迹如图所示，
由Bev=m得R=2r=2d
所以OC==d
即粒子出射点距A点的距离为
s=r+R-OC=(3-)d。
答案：(1)　(2)　方向水平向左　(3)(3-)d
【补偿训练】
1.地面附近空间中存在着水平方向的匀强电场和匀强磁场，已知磁场方向垂直纸面向里，一个带电油滴能沿一条与竖直方向成α角的直线MN运动(MN在垂直于磁场方向的平面内)，如图所示，则以下判断中正确的是 (　　)
A.油滴一定带正电
B.油滴一定带负电
C.如果电场方向水平向右，油滴是从M点运动到N点
D.如果电场方向水平向左，油滴是从M点运动到N点
【解析】选D。粒子所受力中重力的方向是竖直向下的，根据力的合成与分解可知磁场力的方向必须是垂直MN斜向上的，电场力的方向必须是水平向左的，所以如果电场方向水平向左，那么粒子带正电，从M点运动到N点，如果电场方向水平向右，那么粒子带负电，从N点运动到M点，故D正确。
2.在直角坐标系的第Ⅰ象限与第Ⅲ象限分布有如图所示的匀强磁场和匀强电场，电场强度为E、磁感应强度为B；现在第Ⅲ象限中从P点以初速度v0沿x轴方向发射质量为m、电荷量为+q的离子，离子经电场后恰从坐标原点O射入磁场。
(1)已知P点的纵坐标为-L，试求P点的横坐标-xP。
(2)若离子经O点射入磁场时的速度为2v0，试求离子在磁场中运动的时间t及磁场出射点距O点的距离d。
【解析】(1)离子在电场中做类平抛运动：
L=at2
a=
xP=v0t
解得xP=v0
即P点的横坐标-xP=-v0
(2)如图所示，由cos θ==
可得速度方向与x轴的夹角θ=60°，β=120°
离子在磁场中做圆周运动：qvB=(v=2v0)
得R=
T==
t=T=
由几何关系可得d=2Rsin θ==
答案：(1)-v0　(2)　
3.如图所示，有位于竖直平面上的半径为R的圆形光滑绝缘轨道，其上半部分处于竖直向下、场强为E的匀强电场中，下半部分处于垂直水平面向里的匀强磁场中；质量为m、带正电、电荷量为q的小球，从轨道的水平直径的M端由静止释放，若小球在某一次通过最低点时对轨道的压力为零，求：
(1)磁感应强度B的大小。
(2)小球对轨道最低点的最大压力。
(3)若要小球在圆形轨道内做完整的圆周运动，求小球从轨道的水平直径的M端下滑的最小速度。
【解析】(1)设小球向右通过最低点的速率为v，由题意得：
mgR=mv2 ①
qBv-mg=m ②
B= ③
(2)小球向左通过最低点时对轨道的压力最大。
FN-mg-qBv=m ④
FN=6mg ⑤
(3)要小球完成圆周运动的条件是在最高点满足：
mg+qE=m ⑥
从M点到最高点由动能定理得：
-mgR-qER=m-m ⑦
由⑥⑦可得v0= ⑧
答案：(1)　(2)6mg　(3)
【强化训练】
1.带电质点在匀强磁场中运动，某时刻速度方向如图所示，所受的重力和洛伦
兹力的合力恰好与速度方向相反，不计阻力，则在此后的一小段时间内，带电质点将 (　　)
A.可能做直线运动　　　　 B.可能做匀减速运动
C.一定做曲线运动 D.可能做匀速圆周运动
【解析】选C。带电质点在运动过程中，重力做功，速度大小和方向发生变化，洛伦兹力的大小和方向也随之发生变化，故带电质点不可能做直线运动，也不可能做匀减速运动和匀速圆周运动，C正确。
2.(多选)在空间某一区域里，有竖直向下的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B，且两者正交。有两个带电油滴，都能在竖直平面内做匀速圆周运动，如图所示，则两油滴一定相同的是 (　　)
A.带电性质　　　　　 B.运动周期
C.运动半径 D.运动速率
【解析】选A、B。油滴受重力、电场力、洛伦兹力做匀速圆周运动。由受力特点及运动特点知，得mg=qE，结合电场方向知油滴一定带负电且两油滴比荷=相等。洛伦兹力提供向心力，有周期T=，所以两油滴周期相等，故选A、B。由r=知，速度v越大，半径则越大，故不选C、D。
3.(多选)如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，第Ⅲ、Ⅳ象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，第Ⅳ象限同时存在方向平行于y轴的匀强电场(图中未画出)，一带电小球从x轴上的A点由静止释放，恰好从P点垂直于y轴进入第Ⅳ象限，然后做圆周运动，从Q点垂直于x轴进入第Ⅰ象限，Q点距O点的距离为d，重力加速度为g。根据以上信息，不能求出的物理量有 (　　)
A.圆周运动的速度大小
B.电场强度的大小和方向
C.小球在第Ⅳ象限运动的时间
D.磁感应强度大小
【解析】选B、D。带电小球从P到Q做圆周运动，满足Eq=mg，Bqv=，且由左手定则知小球带负电，那么电场强度方向竖直向下。带电小球从A运动到P，重力做功为mgd，洛伦兹力不做功，由动能定理得mgd=mv2，所以v=，小球在第Ⅳ象限的时间为周期的，t=T===·。要想计算E和B，则需知道比荷，故选B、D。
4.如图所示，在第二象限和第四象限的正方形区域内分别存在着两匀强磁场，磁感应强度均为B，方向相反，且都垂直于xOy平面。一电子由P(-d，d)点，沿x轴正方向射入磁场区域Ⅰ。(电子质量为m，电量为e，sin 53°=)求电子能从第三象限射出的入射速度的范围。
【解析】能射入第三象限的电子临界轨迹如图所示。电子偏转半径范围为由evB=m，解得v=
入射速度的范围为答案：见解析
5.(多选)(2018·洛阳高二检测)如图所示，宽度为d的双边界有界磁场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B。一质量为m、带电量为+q的带电粒子(不计重力)从MN边界上的A点沿纸面垂直MN以初速度v0进入磁场。已知该带电粒子的比荷=。其中A′为PQ上的一点，且AA′与PQ垂直。则下列判断正确的是 (　　)
A.该带电粒子进入磁场后将向下偏转
B.该带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为2d
C.该带电粒子打在PQ上的点与点A′的距离为d
D.该带电粒子在磁场中运动的时间为
【解析】选B、D。因带电粒子带正电，在A点所受洛伦兹力向上，所以向上偏转，A选项错误。洛伦兹力作向心力：Bqv0=得R=2d，B选项正确。如图，带电粒子从PQ上的E点射出，sinθ==，θ=30°，带电粒子在磁场中运动的时间t=T=×=，D选项正确。如图A′E=R(1-cosθ)=(2-)d，C选项错误。
6.(多选)如图所示，宽d=4 cm的有界匀强磁场，纵向范围足够大，磁场方向垂直纸面向里。现有一群正粒子从O点以相同的速率沿纸面不同方向进入磁场，若粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r=10 cm，则 (　　)
A.右边界：-8 cmB.右边界：0C.左边界：y>8 cm有粒子射出
D.左边界：0【解析】选A、D。根据左手定则，正粒子在匀强磁场中将沿逆时针方向转动，由轨道半径r=10 cm画出粒子的两种临界运动轨迹，如图所示，则OO1=O1A=OO2 =O2C=O2E=10 cm，由几何知识求得AB=BC=8 cm，OE=16 cm，选项A、D正确。
7.(多选)(2018·惠州高二检测)如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁场，MN是一竖直放置的感光板。从圆形磁场最高点P以速度v垂直磁场正对着圆心O射入带正电的粒子，且粒子所带电荷量为q、质量为m，不考虑粒子重力，关于粒子的运动，以下说法正确的是(　　)
A.粒子在磁场中通过的弧长越长时间也越长
B.出磁场的粒子其出射方向的反向延长线也一定过圆心O
C.出磁场的粒子一定能垂直打在MN上
D.只要速度满足v=，入射的粒子出射后一定垂直打在MN上
【解析】选B、D。速度不同的同种带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期相等，对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中运动的轨迹半径越大，弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，由t=T知，运动时间t越小，故A错误；带电粒子的运动轨迹是圆弧，根据几何知识可知，对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线也一定过圆心，故B正确；速度不同，半径不同，轨迹对应的圆心角不同，对着圆心入射的粒子，出射后不一定垂直打在MN上，与粒子的速度有关，故C错误；速度满足v=时，粒子的轨迹半径为r==R，入射点、出射点、O点与轨迹的圆心构成菱形，射出磁场时的轨迹半径与最高点的磁场半径平行，粒子的速度一定垂直打在MN板上，故D正确。故选B、D
【总结提升】带电粒子射入磁场后做匀速圆周运动，对着圆心入射，必将沿半径离开圆心，根据洛伦兹力充当向心力，求出v=时的轨迹半径，确定出速度的偏向角。对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，轨迹对应的圆心角越小，即可分析时间关系。
8.(多选)如图所示，以直角三角形AOC为边界的垂直纸面向里的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A=60°，AO=a。在O点放置一个粒子，可以向各个方向发射某种带负电粒子，粒子的比荷为，发射速度大小都为v0，且满足v0=，发射方向由图中的角度θ表示(0°≤θ≤90°)。对于粒子进入磁场后的运动(不计重力作用)，下列说法正确的是 (　　)
A.粒子在磁场中运动的最长时间为
B.以θ=60°飞入的粒子在磁场中运动的时间最短
C.以θ<30°飞入的粒子在磁场中运动的时间都相等
D.在AC边界上只有一半区域有粒子射出
【解析】选A、D。根据Bqv0=m，可知粒子的运动半径R=a，当θ=60°飞入的粒子在磁场中运动时间恰好是周期，是在磁场中运动的时间最长，故A正确，B错误；当θ=0°飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC中点飞出，在磁场中运动时间也恰好是，θ从0°到60°在磁场中运动时间先减小后增大，故C错误；当θ=0°飞入的粒子在磁场中，粒子恰好从AC中点飞出，因此在AC边界上只有一半区域有粒子射出，故D正确。
9.(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是 (　　)
A.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从cd边射出磁场
B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场
C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场
D.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ab边射出磁场
【解析】选A、C。如图所示，作出刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④。由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。可知，从ad边射出磁场经历的时间一定小于t0，从ab边射出磁场经历的时间一定大于等于t0，小于t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于等于t0，小于t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是t0。
【总结提升】带电粒子在磁场中运动的临界极值问题的解题方法的一般解题模式
(1)根据粒子的运动轨迹，运用动态思维，作出临界和极值轨迹图。
(2)寻找几何关系，分析临界条件，总结临界和极值点的规律。
(3)然后应用数学知识和相应物理规律分析临界和极值量列出方程。
10.如图所示，在x轴上方有一匀强磁场，磁感应强度为B；x轴下方有一匀强电场，电场强度为E。屏MN与y轴平行且相距L。一质量m，电荷量为e的电子，在y轴上某点A自静止释放，如果要使电子垂直打在屏MN上，那么：
(1)电子释放位置与原点O的距离s需满足什么条件？
(2)电子从出发点到垂直打在屏上需要多长时间？
【解析】(1)在电场中，电子从A→O，动能增加eEs=m
在磁场中，电子偏转，半径为r=
据题意，有(2n+1)r=L
所以s=(n=0，1，2，3，…)
(2)在电场中匀变速直线运动的时间与在磁场中做部分圆周运动的时间之和为电子总的运动时间t=(2n+1)++n，其中a=，T=。
整理后得t=+(2n+1)(n=0，1，2，3，…)
答案：(1)s=(n=0，1，2，3，…)
(2)+(2n+1)(n=0，1，2，3，…)
11.如图所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E，一质量为m，电荷量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出，射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L，求此粒子射出的速度v和运动的总路程s。(重力不计)
【解析】由题意知第3次经过x轴的运动如图所示：则L=4R
设粒子初速度为v，则有：qvB=m
可得：v=；
设粒子进入电场做减速运动的最大路程为L′，加速度为a，则有：v2=2aL′，qE=ma，则电场中的路程：L′=
粒子运动的总路程：s=2πR+2L′=+
答案：　+
12.如图所示，坐标平面第Ⅰ象限内存在大小为E=4×105 N/C、方向水平向左的匀强电场，在第Ⅱ象限内存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。质量与电荷量之比为=4×10-10 kg/C的带正电粒子从x轴上的A点以初速度v0=2×107 m/s垂直x轴射入电场，OA=0.2 m，不计重力。求：
(1)粒子经过y轴时的位置到原点O的距离。
(2)若要求粒子不能进入第Ⅲ象限，求磁感应强度B的取值范围(不考虑粒子第二次进入电场后的运动情况)。
【解析】(1)带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，设粒子在电场中运动的时间为t，粒子经过y轴时的位置与原点O的距离为y，沿电场方向：qE=ma
sOA=at2
垂直电场方向：y=v0t
联立解得
a=1.0×1015 m/s2；t=2.0×10-8 s；y=0.4 m。
(2)粒子经过y轴时在电场方向的分速度为：
vx=at=2×107 m/s
粒子经过y轴时的速度大小为：
v==2×107 m/s
与y轴正方向的夹角为θ，则θ=arctan=45°
要使粒子不进入第Ⅲ象限，如图所示，此时粒子做匀速圆周运动的轨道半径为R，由几何关系得：
R+R≤y
在磁场中由牛顿第二定律得qvB=m
联立解得B≥(2+2)×10-2 T。
答案：(1)0.4 m　(2)B≥(2+2)×10-2 T
13.如图所示，MN、PQ是平行金属板，板长为L，两板间距离为，PQ板带正电，MN板带负电，在PQ板的上方有垂直纸面向里的匀强磁场。一个电荷量为q、质量为m的带负电的粒子以速度v0从MN板边缘沿平行于板的方向射入两板间，结果粒子恰好从PQ板左边缘飞进磁场，然后又恰好从PQ板的右边缘飞进电场。不计粒子重力，求：
(1)两金属板间所加电场的场强大小。
(2)匀强磁场的磁感应强度B的大小。
【解析】(1)如图所示，设粒子在平行金属板匀强电场中运动的时间为t，由类平抛运动可知：
L=v0t
=at2
a=
联立解得：E=。
(2)粒子以速度v飞出电场后射入匀强磁场做匀速圆周运动，由
qvB=m，sin θ=，sin θ=，vy=at
联立解得：B=。
答案：(1)　(2)
14.如图所示的直角坐标系xOy中，x<0，y>0的区域内有沿x轴正方向的匀强电场，x≥0的区域内有垂直于xOy坐标平面向外的匀强磁场，x轴上P点坐标为(-L，0)，y轴上M点的坐标为(0，L)。有一个带正电的粒子从P点以初速度v沿y轴正方向射入匀强电场区域，经过M点进入匀强磁场区域，然后经x轴上的C点(图中未画出)运动到坐标原点O，不计重力。求：
(1)粒子在M点的速度v′。
(2)C点与O点的距离x。
(3)匀强电场的电场强度E与匀强磁场的磁感应强度B的比值。
【解析】(1)设粒子在由P到M的过程中运动时间为t，在M点时速度为v′，沿x轴正方向的速度大小为vx，带电粒子在第二象限做匀变速曲线运动，则：=vt=L ①
=vxt=L ②
v′2=v2+ ③
联立①②③解得：v′=2v ④
(2)设粒子在M点的速度v′与y轴正方向的夹角为θ，如图所示，
则：tan θ= ⑤
粒子在x≥0的区域内受洛伦兹力作用做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示。 ⑥
设轨迹半径为R，由几何关系有：
=2Rsin θ=L ⑦
x=2Rcos θ ⑧
联立⑤⑥⑦⑧解得：x=L ⑨
(3)设粒子质量为m，带电荷量为q，则：
qE·=mv′2-mv2 ⑩
qv′B=m
联立⑧⑨⑩解得：=
答案：(1)2v　(2)L　(3)