课时提升作业 九 太阳与行星间的引力
(20分钟 50分)
一、选择题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
1.关于太阳与行星间的引力,下列说法不正确的是 ( )
A.神圣和永恒的天体做匀速圆周运动无需原因,因为圆周运动是最完美的
B.行星绕太阳旋转的向心力来自太阳对行星的引力
C.牛顿认为物体运动状态发生改变的原因是受到力的作用,行星围绕太阳运动,一定受到了力的作用
D.牛顿把地面上的动力学关系应用到天体间的相互作用,推导出了太阳与行星间的引力关系
【解析】选A。任何做曲线运动的物体都需要外力的作用,行星绕太阳旋转的向心力来自太阳对行星的引力,A错,B、C、D对。
2.在牛顿发现太阳与行星间引力的过程中,得出太阳对行星的引力表达式后推出行星对太阳的引力表达式,这是一个很关键的论证步骤,这一步骤采用的论证方法是 ( )
A.研究对象的选取 B.理想化过程
C.类比 D.等效
【解析】选C。求太阳对行星的引力F时,行星是受力星体,有F∝(m是行星的质量),求行星对太阳的引力F′时,太阳是受力星体,类比可得F′∝(M是太阳的质量),故C正确。
3.把行星运动近似看成匀速圆周运动以后,开普勒第三定律可写为T2=,则可推得 ( )
导学号38026142
A.行星受太阳的引力为F=k
B.行星受太阳的引力都相同
C.行星受太阳的引力为F=
D.质量越大的行星受太阳的引力一定越大
【解析】选C。太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力,则F=m,又v=,结合T2=,可得F=,故C正确。
4.火星是地球的近邻,已知火星的轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍,火星的质量和半径分别约为地球的0.1倍和0.5倍,则太阳对地球的引力和太阳对火星的引力的比值为 ( )
A.10 B.20 C.22.5 D.45
【解析】选C。由F=可得:F地=,F火=,则:==×=22.5,故选项C正确。
二、非选择题(14分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要注明单位)
5.与行星绕太阳运动一样,卫星之所以能绕地球运动也同样是因为它受到地球的引力。一位同学根据向心力公式F=m推断,如果人造卫星质量不变,当轨道半径增大到2倍时,人造卫星需要的向心力减为原来的;另一位同学根据引力公式F∝推断,当轨道半径增大到2倍时,人造卫星受到的向心力减小为原来的。这两位同学中谁说得对?为什么?
【解题指南】要找到两个变量之间的关系,必须是在其他量一定的条件下才能确定。分析时注意v、M、m是否为定值。
【解析】第二位同学说得对。因为根据向心力公式F=m,只有当运动速率v一定时,需要的向心力F才与轨道半径r成反比。根据开普勒定律可知,卫星的速率将随轨道半径的增大而减小,所以向心力F不与轨道半径r成反比;另外,由于星体的质量为定值,由行星与中心天体间的引力公式F∝可知,卫星受到的引力F将与卫星轨道半径的平方r2成反比。
答案:见解析
1.(6分)地球对月球具有相当大的引力,可它们没有靠在一起,这是因为 ( )
A.不仅地球对月球有引力,而且月球对地球也有引力,这两个力大小相等,方向相反,互相抵消了
B.不仅地球对月球有引力,而且太阳系中的其他星球对月球也有引力,这些力的合力为零
C.地球对月球的引力还不算大
D.地球对月球的引力用于不断改变月球的运动方向,使得月球围绕地球运动
【解析】选D。地球对月球的引力和月球对地球的引力是相互作用力,作用在两个物体上,不能相互抵消,A错误。地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力,从而不断改变月球的运动方向,所以B、C错误,D正确。
(14分)事实证明,行星与恒星间的引力规律也适用于其他物体间,已知地球质量约为月球质量的81倍,宇宙飞船从地球飞往月球,当飞至某一位置时,宇宙飞船受到的合力为零,宇航员感到自己处于“完全失重”状态。问:此时飞船在空间什么位置?(已知地球与月球中心间距离是3.84×105 km)
【解析】把宇宙飞船作为研究对象,当月球和地球对宇宙飞船的引力相等时,宇宙飞船受到的合力为零。设地球、月球和飞船的质量分别为M地、M月和m,x表示飞船到地球球心的距离,则
F地=F月
即=
代入数据解得
x=3.456×108 m
答案:在地球与月球的连线上,距地球球心3.456×108 m
课时提升作业 八 行星的运动
(20分钟 50分)
一、选择题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
1.物理学发展历史中,在前人研究基础上经过多年的尝试性计算,首先发表行星运动的三个定律的科学家是 ( )
A.哥白尼 B.第谷 C.伽利略 D.开普勒
【解析】选D。哥白尼提出了日心说,第谷对行星进行了大量的观察和记录,开普勒在第谷的观察记录的基础上提出了行星运动的三个定律,选项D正确,A、B、C错误。
2.关于开普勒对行星运动规律的认识,下列说法正确的是 ( )
A.所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
B.所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
C.所有行星的轨道半长轴的二次方跟它的公转周期的三次方的比值都相同
D.所有行星的公转周期与行星的轨道半径都成正比
【解析】选A。由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上,选项A正确,B错误;由开普勒第三定律知所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等,选项C、D错误。
3.关于开普勒第二定律,正确的理解是 ( )
A.行星绕太阳运动时,一定是匀速曲线运动
B.行星绕太阳运动时,它在近日点的线速度小于它在远日点的线速度
C.行星绕太阳运动时,由于角速度相等,故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度
D.行星绕太阳运动时,由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等,故它在近日点的线速度大于它在远日点的线速度
【解析】选D。根据开普勒第二定律可知选项D正确。
4.太阳系八大行星绕太阳运行的轨道可粗略地视为圆,下表是各星球的半径和轨道半径。从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近 ( )
行星名称
水星
金星
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
星球半径/×106 m
2.44
6.05
6.37
3.39
69.8
58.2
23.7
22.4
轨道半径/×1011 m
0.579
1.08
1.50
2.28
7.78
14.3
28.7
45.0
A.80年 B.120年 C.165年 D.200年
【解析】选C。设海王星绕太阳运行的轨道半径为r1,周期为T1,地球绕太阳公转的轨道半径为r2,周期为T2(T2=1年),由开普勒第三定律有=,故T1=·T2≈164年,故选C。
【补偿训练】
若太阳系八大行星公转轨道可近似看作圆轨道(如图所示),地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米,结合下表可知,火星与太阳之间的平均距离约为 ( )
水星
金星
地球
火星
木星
土星
公转周
期(年)
0.241
0.615
1.0
1.88
11.86
29.5
A.1.2亿千米 B.2.3亿千米
C.4.6亿千米 D.6.9亿千米
【解析】选B。由表中数据知T地=1年,T火=1.88年,由=得,r火=≈2.3亿千米,故B正确。
二、计算题(14分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要注明单位)
5.一颗小行星,质量为m=1.00×1021 kg,它的轨道半径是地球绕太阳运动的轨道半径的2.77倍,求它绕太阳运动一周所需要的时间。
【解题指南】解答本题应注意以下两点:
(1)地球的公转周期T0=365天。
(2)小行星和地球都绕太阳运动,满足开普勒第三定律。
【解析】假设地球绕太阳运动的轨道半径为R0,则小行星绕太阳运动的轨道半径为R=2.77R0。
已知地球绕太阳运动的周期为T0=365天,
即T0=31 536 000 s。
依据=k可得:对地球绕太阳运动有:=k
对小行星绕太阳运动有:=k
联立上述两式解得:T=·T0。
将R=2.77R0代入上式解得:T=T0。
所以,该小行星绕太阳一周所用时间为:
T=T0=1.45×108 s。
答案:1.45×108 s
1.(6分)(多选)哈雷彗星绕太阳运动的轨道是比较扁的椭圆,下列说法中正确的是 ( )
A.彗星在近日点的速率大于在远日点的速率
B.彗星在近日点的角速度大于在远日点的角速度
C.彗星在近日点的向心加速度大于在远日点的向心加速度
D.若彗星周期为76年,则它的半长轴是地球公转半径的76倍
【解析】选A、B、C。根据开普勒第二定律,为使相等时间内扫过的面积相等,则应保证近日点与远日点相比在相同时间内走过的弧长要大,因此在近日点彗星的线速度(即速率)、角速度都较大,选项A、B正确。而向心加速度a=,在近日点,v大,R小,因此a大,选项C正确。根据开普勒第三定律=k,则==762,即r1=r2,选项D错误。
【补偿训练】
(多选)美国宇航局发射的“深度撞击”号探测器成功撞击“坦普尔一号”彗星,实现了人类历史上第一次对彗星的“大对撞”,如图所示。假设“坦普尔一号”彗星绕太阳运行的轨道是一个椭圆,其运动周期为5.74年,则关于“坦普尔一号”彗星的下列说法中正确的是 ( )
A.绕太阳运动的角速度不变
B.近日点处线速度大于远日点处线速度
C.近日点处加速度大于远日点处加速度
D.其椭圆轨道半长轴的三次方与周期的二次方之比是一个与太阳质量有关的常数
【解析】选B、C、D。根据开普勒定律可以判断B、D正确,A错误;近日点v大,R小,由a=知近日点加速度大,C正确。
(14分)如图所示,飞船沿半径为R的圆周绕地球运动,其周期为T,地球半径为R0,若飞船要返回地面,可在轨道上某点A处将速率降到适当的数值,从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行,椭圆与地球表面在B点相切,求飞船由A点到B点所需要的时间。
【解题指南】(1)根据开普勒第三定律可求出飞船的周期。
(2)由A到B的时间为半个周期。
【解析】当飞船做半径为R的圆周运动时,由开普勒第三定律=k
当飞船返回地面时,从A处降速后沿椭圆轨道至B,设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T′,椭圆的半长轴为a,则
可解得T′=·T
由于a=,
由A到B的时间为
=·
答案:·
课时提升作业 十 万有引力定律
(20分钟 50分)
一、选择题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
1.牛顿发现万有引力定律的思维过程是 ( )
A.理想实验—理论推导—实验检验
B.假想—理论推导—规律形成
C.假想—理论推导—实验检验
D.实验事实—假想—理论推导
【解析】选C。牛顿的思维过程:从苹果落地产生假想,后来经过理论推导得出万有引力定律,最后通过地—月检验,确定定律的正确性。
2.关于万有引力和万有引力定律的理解,正确的是 ( )
A.不能看作质点的两物体间不存在相互作用的引力
B.只有能看作质点的两物体间的引力才能用F=计算
C.由F=知,两物体间距离r减小时,它们之间的引力增大
D.万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的,且约等于6.67×10-11 N·m2/kg2
【解析】选C。任何物体间都存在相互作用的引力,故称万有引力,选项A错误;两个质量分布均匀的球体间的万有引力也能用F=来计算,选项B错误;物体间的万有引力与它们间距离r的二次方成反比,故r减小,它们间的引力增大,选项C正确;引力常量G是由卡文迪许精确测出的,选项D错误。
【补偿训练】
下列关于物理学家的说法正确的是 ( )
A. 开普勒通过深入研究第谷的数据提出行星运动三大定律
B.笛卡尔发现了万有引力定律
C.卡文迪许为了检验万有引力定律的正确性,首次进行了“月—地检验”
D.伽利略第一次精确测量出了万有引力常量
【解析】选A。开普勒通过观察天象以及深入研究第谷的数据提出行星运动三大定律,选项A正确;牛顿提出了万有引力定律,选项B错误;牛顿为了检验万有引力定律的正确性,首次进行了“月—地检验”,而卡文迪许通过扭秤实验测出了万有引力常量,选项C、D错误。
3.两个质量均匀的球体相距r,它们之间的万有引力为10-8 N,若它们的质量、距离都增加为原来的2倍,则它们间的万有引力为 ( )
A.10-8 N B.2×10-8 N
C.4×10-8 N D.8×10-8 N
【解析】选A。根据万有引力定律F=G,若它们的质量、距离都增加为原来的2倍,则万有引力不变,仍为10-8 N,选项A正确。
4.火箭在高空某处所受的引力为它在地面某处所受引力的一半,则火箭离地面的高度与地球半径之比为( )
A.(+1)∶1 B.(-1)∶1
C.∶1 D.1∶
【解析】选B。设地球的半径为R,火箭离地面高度为h,所以Fh=,F地=,其中Fh=F地,因此=,选项B正确。
二、计算题(14分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要注明单位)
5.已知太阳的质量为M,地球的质量为m1,月球的质量为m2,当发生日食时,太阳、月球、地球几乎在同一直线上,且月球位于太阳与地球中间,如图所示。设月球到太阳的距离为a,到地球的距离为b,则太阳对地球的引力F1和太阳对月球的引力F2的大小之比为多少?
【解析】由太阳对地球和月球的吸引力满足
F=G,知:
太阳对地球的引力F1=G,
太阳对月球的引力F2=G,
故=。
答案:
【补偿训练】
月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍,运行周期约为27天。应用开普勒定律计算:在赤道平面内离地多高时,人造地球卫星随地球一起转动,就像停留在天空中不动一样?(结果保留三位有效数字,取R地=6 400 km)
【解析】月球和人造地球卫星都环绕地球运动,故可用开普勒第三定律求解。当人造地球卫星相对地球不动时,则人造地球卫星的周期与地球自转周期相同。设人造地球卫星轨道半径为R、周期为T。根据题意知月球轨道半径为60R地,周期为T0=27天,则有:=。整理得R=×60R地=×60R地≈
6.67R地。卫星离地高度H=R-R地=5.67R地=5.67×6 400 km≈3.63×104km。
答案:3.63×104 km
1.(6分)某未知星体的质量是地球质量的,直径是地球直径的,则一个质量为m的人在未知星体表面受到的引力F星和地球表面所受引力F地的比值为( )
A.16 B.4 C. D.
【解析】选B。根据万有引力定律F=G∝,故=·=×()2=4。选项B正确。
【补偿训练】
(2015·海南高考)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体,它们在水平方向运动的距离之比为2∶。已知该行星质量约为地球的7倍,地球的半径为R,由此可知,该行星的半径约为
( )
A.R B.R
C.2R D.R
【解析】选C。物体平抛时水平方向满足x=v0t,所以==;竖直方向由h=gt2得g=,因此==。在星球表面物体所受的重力等于万有引力,由g=得==2,又因为R2=R,所以R1=2R,故选C。
2.(14分)火星半径是地球半径的,火星质量大约是地球质量的,那么:
(1)地球表面上质量为50 kg的宇航员在火星表面上受到的重力是多少?
(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高,那他在火星表面能跳多高?(在地球表面的重力加速度g取 10 m/s2)
【解题指南】本题涉及星球表面重力加速度的求法,应先求火星表面的重力加速度,再求宇航员在火星表面所受的重力;然后再利用竖直上抛运动规律求上升的高度。
【解析】(1)在地球表面有
mg=G,
得g=G,
同理可知,在火星上有g′=G,
即g′===g= m/s2
宇航员在火星上受到的重力
G′=mg′=50× N=222.2 N。
(2)在地球表面宇航员跳起的高度H=,
在火星表面宇航员跳起的高度h=,
综上可知,h=H=×1.5 m=3.375 m。
答案:(1)222.2 N (2)3.375 m
【补偿训练】
某物体在地面上受到的重力为160 N,将它放置在卫星中,在卫星以a=g 的加速度随火箭向上加速升空的过程中,物体与卫星中的支持物的相互挤压的力为90 N,卫星距地球表面有多远?(地球半径R地=6.4×103 km,g表示重力加速度,
g取10 m/s2)
【解析】卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动,设卫星离地面的距离为h,这时受到地球的万有引力为
F=G
在地球表面
G=mg ①
在上升至离地面h时,
FN-G=ma ②
由①②式得=
则h=R地 ③
将mg=160 N,FN=90 N,
a=g=5 m/s2,R地=6.4×103 km,g=10 m/s2,
代入③式得h=1.92×104 km。
答案:1.92×104 km
课时提升作业 十一 万有引力理论的成就
(40分钟 100分)
一、选择题(本题共6小题,每小题6分,共36分)
1.火星的质量和半径分别约为地球的和,地球表面的重力加速度为g,则火星表面的重力加速度约为 ( )
A.0.2g B.0.4g C.2.5g D.5g
【解析】选B。在星球表面有mg=,设火星表面的重力加速度为g火,则==0.4,故B正确。
2.月球表面重力加速度是地球表面重力加速度的,若已知月球半径约为1.72×
103 km,万有引力常量为6.67 ×10-11N·m2/kg2 ,地球表面重力加速度为9.8 m/s2。试估算月球质量的数量级为 ( )
A.1016 kg B.1020 kg
C.1022 kg D.1024 kg
【解析】选C。根据G=mg可得M=,则M月== kg
=7.2×1022 kg,选项C正确。
3.(2016·四川高考)国务院批复,自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号,目前仍然在椭圆轨道上运行,其轨道近地点高度约为440 km,远地点高度约为2 060 km;1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km的地球同步轨道上。设东方红一号在远地点的加速度为a1,东方红二号的加速度为a2,固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3,则a1、a2、a3的大小关系为( )
A.a2>a1>a3 B.a3>a2>a1
C.a3>a1>a2 D.a1>a2>a3
【解题指南】解答本题应注意以下两点:
(1)同步卫星与地球具有相同的角速度和周期。
(2)放到赤道上的物体和卫星两者受力情况是不同的,要区别对待,不能混淆。
【解析】选D。东方红二号和固定在地球赤道上的物体转动的角速度相同,根据a=ω2r可知,a2>a3;根据G=ma可知a1>a2;故选D。
4.海王星是绕太阳运动的一颗行星,它有一颗卫星叫海卫1,若将海王星绕太阳的运动和海卫1绕海王星的运动均看作匀速圆周运动,则要计算海王星的质量,需要知道的量是(引力常量G为已知量) ( )
A.海卫1绕海王星运动的周期和半径
B.海王星绕太阳运动的周期和半径
C.海卫1绕海王星运动的周期和海卫1的质量
D.海王星绕太阳运动的周期和太阳的质量
【解析】选A。由万有引力提供向心力知,=mr,整理可得,M= 。故要计算海王星的质量,则需要海王星为中心天体,需要知道围绕体的轨道半径和周期,所以选项A正确。
【补偿训练】
火星有两颗卫星,分别是火卫一和火卫二,它们的轨道近似为圆,已知火卫一的周期为7小时39分,火卫二的周期为30小时18分,则两颗卫星相比 ( )
A.火卫一距火星表面较近
B.火卫二的角速度较大
C.火卫一的运动速度较小
D.火卫二的向心加速度较大
【解析】选A。由行星(或卫星)绕太阳(或行星)做圆周运动的线速度、角速度、周期、向心加速度与旋转半径的关系可知,火卫二周期较大,其轨道半径较大,故火卫二的线速度较小、角速度较小、加速度较小,选项A正确,B、C、D错误。
5.由于某种原因,人造地球卫星的轨道半径减小了,那么,卫星的
A.速率变小,周期变小
B.速率变小,周期变大
C.速率变大,周期变大
D.速率变大,周期变小
【解析】选D。人造卫星绕地球做匀速圆周运动,根据万有引力提供向心力,设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M,有G=m=mr得:v=,T=
2π,所以当轨道半径减小时,其速率变大,周期变小,故D正确。
6.两颗人造地球卫星,都在圆形轨道上运行,轨道半径之比为2∶1,则它们速度之比等于 ( )
A. 1∶2 B. 2∶1
C.1∶ D.∶1
【解析】选C。由于人造地球卫星受到地球的万有引力提供卫星圆周运动的向心力,则有:G=m。则得,v=,式中M是地球的质量,r是卫星的轨道半径。所以有===。选项C正确。
【补偿训练】
人造卫星离地球表面距离等于地球半径R,卫星以速度v沿圆轨道运动,设地面上的重力加速度为g,则 ( )
A.v= B.v=
C.v= D.v=
【解析】选D。人造卫星的轨道半径为2R,所以G=m,又因为mg=G,联立可得:v=,选项D正确。
二、计算题(本题共2小题,共24分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要注明单位)
7.(10分)土星和地球均可近似看作球体,土星的半径约为地球半径的9.5倍,土星的质量约为地球质量的95倍,已知地球表面的重力加速度g0=10 m/s2,地球密度约为ρ0=5.5×103 kg/m3,试计算:
(1)土星的密度。
(2)土星表面的重力加速度。
【解析】(1)星体的密度ρ==,===0.11,
故土星的密度约为ρ=0.11ρ0=0.61×103 kg/m3。
(2)根据星球表面的物体受到的万有引力近似等于物体的重力,mg=G,g=,
则===1.05。
所以土星表面的重力加速度g=1.05g0=10.5 m/s2。
答案:(1)0.61×103 kg/m3 (2)10.5 m/s2
【补偿训练】
已知太阳光从太阳射到地球需时间t,光速为c,地球公转轨道可近似看成圆轨道,公转周期为T,地球半径为R,地球表面的重力加速度为g,试计算:
(1)太阳的质量。
(2)地球的质量。
【解析】(1)设太阳的质量为M,地球的质量为m,因为太阳对地球的万有引力提供地球绕太阳做匀速圆周运动的向心力,有G=mω2r=mr,
解得M==。
(2)地球半径为R,则地面上质量为m′的物体的重力近似等于物体与地球的万有引力,故有:
F引′=m′g,即:=m′g,m=。
答案:(1) (2)
8.(14分)某人造地球卫星沿圆轨道运动,轨道半径是6.8×103km,周期是5.6×103s,已知:G=6.67×10-11N·m2/kg2。请根据这些数据计算:
(1)人造地球卫星绕地球运动的角速度。(计算结果保留两位有效数字)
(2)地球的质量。(计算结果保留一位有效数字)
【解析】(1)设人造地球卫星绕地球运动的角速度为ω,则有: ω==1.1×10-3rad/s。
(2)设地球的质量为M,地球与人造地球卫星间的万有引力充当卫星做圆周运动的向心力,则:
G=mr
所以M==kg=6×1024kg。
答案:(1)1.1×10-3 rad/s (2)6×1024kg
1.(8分)有一星球的密度与地球的密度相同,但它表面处的重力加速度是地球表面处的重力加速度的4倍,则该星球的质量是地球质量的 ( )
A. B.4倍 C.16倍 D.64倍
【解析】选D。由G=mg,得M=,ρ===,所以R=,则==4,根据M====64M地,所以D项正确。
2.(8分)不可回收的航天器在使用后,将成为太空垃圾。如图所示是飘浮在地球附近的太空垃圾示意图,对此说法中正确的是 ( )
A.离地越低的太空垃圾运行周期越大
B.离地越高的太空垃圾运行角速度越小
C.由公式v=得,离地球高的太空垃圾运行速率越大
D.太空垃圾一定能跟同一轨道上同向飞行的航天器相撞
【解析】选B。太空垃圾绕地球做匀速圆周运动,根据G=m=mω2r=mr,可得:离地越低,周期越小,角速度越大,速度越大,选项A错误,选项B正确,选项C错误。太空垃圾与同一轨道上同向飞行的航天器速率相等,不会相撞,选项D错误。
3.(8分)已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍。若某行星的平均密度为地球平均密度的一半,它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍,则该行星的自转周期约为 ( )
A.6小时 B.12小时
C.24小时 D.36小时
【解析】选B。对地球同步卫星有=m(7R),解得M=,结合V=解得ρ=,即地球密度为ρ=,同理可得行星密度为ρ′=,又因为某行星的平均密度为地球平均密度的一半,解得T地=2T行,即T行=12小时,故选项B正确。
4.(16分)如图所示,火箭内平台上放有测试仪器,火箭从地面发射后,以加速度竖直向上匀加速运动,升到某一高度时,测试仪器对平台的压力为发射前压力的。已知地球半径为R,求火箭此时离地面的高度。(g为地面附近的重力加速度)
【解析】火箭上升过程中,测试仪器受竖直向下的重力和向上的支持力,设高度为h时,重力加速度为g′,由牛顿第二定律得mg-mg′=m×,
解得g′=g,
由万有引力定律知:G=mg′,=mg,
解得h=。
答案:
课时提升作业 十三 万有引力定律的应用
(20分钟 50分)
一、选择题(本题共4小题,每小题4分,共16分)
1.下列关于万有引力的说法,正确的有 ( )
A.物体落到地面上,说明地球对物体有引力,物体对地球没有引力
B.万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的
C.地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮,受到的不是同一性质的力
D.F=G中,G是一个比例常数,没有单位
【解析】选B。物体间力的作用是相互的,物体落到地面上,地球对物体有引力,物体对地球也存在引力,选项A错误;万有引力定律是牛顿在总结前人研究的基础上发现的,选项B正确;地面上自由下落的苹果和天空中运行的月亮,受到的合力都是地球的万有引力,选项C错误;国际单位制中质量m、距离r、力F的单位分别是kg、m、N,根据牛顿的万有引力定律F=G,得到G的单位是N·m2/kg2,选项D错误。
2.北斗卫星导航系统空间段计划由35颗卫星组成,包括5颗静止轨道卫星、27颗中轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星。中轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动,中轨道卫星离地面高度低,则中轨道卫星与静止轨道卫星相比,做圆周运动的 ( )
A.角速度小 B. 周期大
C.线速度小 D.向心加速度大
【解析】选D。卫星受到的万有引力充当向心力,所以有G=m=mω2r=mr=ma,解得T=2π,v=,ω=,a=,故轨道半径越小,周期越小,线速度越大,角速度越大,向心加速度越大,故D正确。
【补偿训练】
如图,若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动,a、b到地心O的距离分别为r1、r2,线速度大小分别为v1、v2。则 ( )
A.= B.=
C.=2 D.=2
【解析】选A。由题意知,两颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,根据G=m,得v=,所以=,选项A正确。
3.火星是太阳系中与地球最为类似的行星,人类对火星生命的研究在2015年因“火星表面存在流动的液态水”的发现而取得了重要进展。若火星可视为均匀球体,其表面的重力加速度为g,半径为R,自转周期为T,引力常量为G,则下列说法正确的是 ( )
A.火星的平均密度为
B.火星的同步卫星距火星表面的高度为-R
C.火星的第一宇宙速度为2
D.火星的同步卫星运行的角速度为
【解析】选B。由G=mg,M=ρV,V=πR3,得ρ=,A项错误;由G=m(R+h),G=mg,得h=-R,B项正确;由G=mg,G=m,得v=,C项错误;同步卫星的角速度ω=,D项错误。
4.一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v;假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力,物体静止时,弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G,则这颗行星的质量为 ( )
A. B.
C. D.
【解析】选B。根据G物=mg知,g==,根据万有引力提供向心力,万有引力近似等于重力知,G=m=mg,解得M=,选项B正确。
二、计算题(14分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要注明单位)
5.火星半径为地球半径的一半,火星质量约为地球质量的。一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为100 kg,则在火星上其质量为多少?重力为多少?(设地面上重力加速度g取9.8 m/s2,星球对物体的引力等于物体的重力)。
【解析】质量是物体本身的属性,在不同的星球上物体质量不变,还是100 kg。
由G重=G得,在火星表面物体重力与地球表面物体重力之比
=·=×=
所以物体在火星上的重力
G重火=×100×9.8 N≈436 N。
答案:100 kg 436 N
1.(6分)“天链一号04星”是我国的第四颗地球同步卫星数据中继卫星。设地球的质量为M,自转角速度为ω,引力常量为G,则 ( )
A.“天链一号04星”的轨道只能是椭圆,不可能是圆
B.月球绕地球运动的角速度比“天链一号04星”绕地球运行的角速度大
C.“天链一号04星”的角速度为ω,线速度为
D.相同质量的同步卫星比近地卫星机械能小
【解析】选C。“天链一号04星”的轨道只能是圆,不可能是椭圆,否则不可能与地球自转同步,选项A错误;因同步卫星的周期为24小时,月球绕地球运行的周期为27天,由公式ω=可知,“天链一号04星”绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大,选项B错误;根据万有引力提供向心力有G=mω2r,解得“天链一号04星”的轨道半径r=,则线速度v=ωr=·ω=,选项C正确;要将卫星发射到较高的轨道,发射时需要更多的能量,故卫星的高度越大,机械能就越大,即相同质量的同步卫星比近地卫星的机械能大,选项D错误。
2.(14分)一颗人造卫星在离地面高度等于地球半径的圆形轨道上运行,已知地球的第一宇宙速度为v1=7.9 km/s,g取9.8 m/s2。(1)这颗卫星运行的线速度为多大?
(2)它绕地球运动的向心加速度为多大?
(3)质量为1 kg的仪器放在卫星内的平台上,仪器的重力为多大?它对平台的压力有多大?
【解析】(1)卫星近地运行时,有
G=m
卫星离地面的高度为R时,有
G=m
由以上两式得
v2== km/s≈5.6 km/s。
(2)卫星离地面的高度为R时,有
G=ma
靠近地面时,有=mg
解得a=g=2.45 m/s2。
(3)在卫星内,仪器的重力等于地球对它的吸引力,则
G′=mg′=ma=1×2.45 N=2.45 N
由于卫星内仪器的重力完全用于提供做圆周运动的向心力,仪器处于完全失重状态,所以仪器对平台的压力为零。
答案:(1)5.6 km/s (2)2.45 m/s2
(3)2.45 N 0
课时提升作业 十二 宇 宙 航 行
(40分钟 100分)
一、选择题(本题共6小题,每小题6分,共36分)
1.火星探测器在地球上发射后向火星运动,最终绕火星做匀速圆周运动,则其发射速度可以是下列的哪些数据 ( )
A.等于或小于7.9 km/s
B.等于或小于11.2 km/s
C.介于11.2～16.7 km/s
D.一定大于16.7 km/s
【解析】选C。火星位于太阳系之内地球之外,因此其发射速度介于第二宇宙速度和第三宇宙速度之间,故选项C正确。
2.如图所示,在同一轨道平面上的几颗人造地球卫星A、B、C,在某一时刻恰好在同一直线上,下列说法正确的是 ( )
A.根据v=,可知三颗卫星的线速度vAB.根据万有引力定律,可知三颗卫星受到的万有引力FA>FB>FC
C.三颗卫星的向心加速度aA>aB>aC
D.三颗卫星运行的角速度ωA<ωB<ωC
【解析】选C。由G=m得v=,故vA>vB>vC,选项A错误;卫星受的万有引力F=G,但三颗卫星的质量关系不知道,故它们受的万有引力大小不能比较,选项B错误;由G=ma得a=,故aA>aB>aC,选项C正确;由G=mrω2知,D错误。
3.关于地球的同步卫星,下列说法正确的是 ( )
A.同步卫星的轨道和北京所在的纬度圈共面
B.同步卫星的轨道必须和地球赤道共面
C.所有同步卫星距离地面的高度不一定相同
D.所有同步卫星的质量一定相同
【解析】选B。同步卫星所受向心力指向地心,与地球自转同步,故卫星所在轨道与赤道共面,故A项错误,B项正确;同步卫星距地面高度一定,但卫星的质量不一定相同,故C、D项错误。
4.一探月卫星的轨道是圆形的,且贴近月球表面,已知月球的质量约为地球质量的,月球半径约为地球半径的,地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s,则该探月卫星绕月运行的速率约为 ( )
A.0.4 km/s B.1.8 km/s
C.11 km/s D.36 km/s
【解析】选B。对于环绕地球或月球的人造卫星,其所受万有引力即为它们做圆周运动所需向心力,即G=m,所以v=,第一宇宙速度指的是最小发射速度,同时也是近地卫星的环绕速度,对于近地卫星来说,其轨道半径近似等于中心天体半径,所以===,所以v月=v地=×7.9 km/s=1.8 km/s。故正确答案为B。
5.如图所示,a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上匀速运行的四颗人造卫星。其中a、c的轨道相交于点P,b、d在同一个圆轨道上。某时刻b卫星恰好处于c卫星的正上方。下列说法中正确的是 ( )
A.b、d存在相撞危险
B.a、c的加速度大小相等,且大于b的加速度
C.b、c的角速度大小相等,且小于a的角速度
D.a、c的线速度大小相等,且小于d的线速度
【解析】选B。b、d在同一轨道,线速度大小相等,不可能相撞,选项A错误;由a向=知,a、c的加速度大小相等,且大于b的加速度,选项B正确;由ω= 知,a、c的角速度大小相等,且大于b的角速度,选项C错误;由v=知,a、c的线速度大小相等,且大于d的线速度,选项D错误。
6.假设地球的质量不变,而地球的半径增大到原来半径的2倍,那么地球的第一宇宙速度的大小应为原来的 ( )
A. B. C. D.2
【解析】选B。因第一宇宙速度即为地球的近地卫星的线速度,此时卫星的轨道半径近似认为等于地球的半径,且地球对卫星的万有引力提供向心力。由G=得v=,因此,当M不变,R增大为2R时,v减小为原来的,选项B正确。
二、计算题(本题共2小题,共24分。要有必要的文字说明和解题步骤,有数值计算的要注明单位)
7.(10分)恒星演化发展到一定阶段,可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星,中子星的半径很小,一般为7～20 km,但它的密度大得惊人。若某中子星的密度为1.2×1017 kg/m3,半径为10 km,那么该中子星的第一宇宙速度约为多少?(G=6.67×10-11 N·m2/kg2)(结果保留两位有效数字)
【解析】中子星的第一宇宙速度即为它表面卫星的环绕速度,此时卫星的轨道半径可近似认为是中子星的半径,且中子星对卫星的万有引力充当卫星的向心力,由G=m,
得v=,
又M=ρV=ρπR3,
解得v=R
=1×104×m/s
=5.8×107 m/s=5.8×104 km/s。
答案:5.8×107 m/s或5.8×104 km/s
8.(14分)某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体,经时间t物体以速率v落回手中,已知该星球的半径为R,求该星球上的第一宇宙速度。
【解析】根据匀变速运动的规律可得,该星球表面的重力加速度为g=
该星球的第一宇宙速度,即为卫星在其表面附近绕它做匀速圆周运动的线速度,该星球对卫星的引力(重力)提供卫星做圆周运动的向心力,则mg=,该星球表面的第一宇宙速度为v1==。
答案:
【补偿训练】
某火星探测器登陆火星后,在火星表面h高处静止释放一钢球,经时间t落地,已知火星半径为R,引力常量为G。求:
(1)火星的质量。
(2)若该探测器要再次起飞成为火星的卫星,需要的最小发射速度大小。
【解析】(1)设火星表面的重力加速度为g,
h=gt2,
火星质量为M,=mg,
解得:M=。
(2)最小发射速度为v,
mg=m,
解得v=。
答案:(1) (2)
1.(8分)中国计划在2020年发射火星探测器,并在10年后实现火星的采样返回。已知火星的质量约为地球的,火星的半径约为地球的。下列关于火星探测器的说法正确的是 ( )
A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C.发射速度应大于第二宇宙速度,可以小于第三宇宙速度
D.火星探测器环绕火星运行的最大速度约为第一宇宙速度的2倍
【解析】选C。火星探测器前往火星,脱离地球引力束缚,还在太阳系内,发射速度应大于第二宇宙速度,可以小于第三宇宙速度,故A、B错误,C正确。由G=m得v=,已知火星的质量约为地球的,火星的半径约为地球的,则火星的第一宇宙速度约为地球第一宇宙速度的,火星探测器环绕火星运行的最大速度为火星的第一宇宙速度,故D错误。
【补偿训练】
(多选)一颗人造地球卫星以初速度v发射后,可绕地球做匀速圆周运动,若使发射速度增大为2v,则该卫星可能 ( )
A.绕地球做匀速圆周运动
B.绕地球运动,轨道变为椭圆
C.不绕地球运动,成为太阳的人造行星
D.挣脱太阳引力的束缚,飞到太阳系以外的宇宙
【解析】选C、D。以初速度v发射后能成为人造地球卫星,可知发射速度v一定大于第一宇宙速度7.9 km/s;当以2v速度发射时,发射速度一定大于15.8 km/s,已超过了第二宇宙速度11.2 km/s,也可能超过第三宇宙速度16.7 km/s,所以此卫星不再绕地球运行,可能绕太阳运行,或者飞到太阳系以外的宇宙,故选项C、D正确。
2.(8分)如图,甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动,下列说法正确的是 ( )
A.甲的向心加速度比乙的小
B.甲的运行周期比乙的小
C.甲的角速度比乙的大
D.甲的线速度比乙的大
【解析】选A。由G=ma,得卫星的向心加速度与行星的质量成正比,即甲的向心加速度比乙的小,选项A正确;由G=mr,得甲的运行周期比乙的大,选项B错误;由G=mrω2,得甲的角速度比乙的小,选项C错误;由G=m,得甲的线速度比乙的小,选项D错误。
3.(8分)(多选)假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0,在赤道的大小为g;地球半径为R,引力常量为G,则( )
A.地球同步卫星的高度为h
B.地球的质量为
C.地球的第一宇宙速度为
D.地球密度为
【解析】选A、B。由万有引力定律可知: G=mg0,在地球的赤道上: G-mg=mR
对于同步卫星: =m(R+h)
联立可得:h=R ,A正确;
根据=mg0,地球的质量:M=,B正确;在地球表面运行的卫星:=mg0
=m ,地球的第一宇宙速度为,C错误;地球的质量:M=πR3ρ ,可得:
ρ=,D错误。
(16分)我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动多年,同学们也对月球有了更多的关注。有同学设计了如下问题,请你解答:
若用g表示月球表面的重力加速度,用R表示月球的半径,用h表示“嫦娥三号”卫星在环月圆轨道上离月球表面的距离。
(1)试写出“嫦娥三号”卫星进入环月圆轨道后,运行的周期的表达式,要求写出推导过程。
(2)在月球上要发射一颗环月卫星,则最小的发射速度多大?
【解析】(1)万有引力提供向心力
G=(R+r)
由G=mg,
可得T=。
(2) 在月球表面附近mg=m,
得v=。
答案:(1)见解析 (2)
