第9章 多边形
9.1.1.1 三角形的有关概念及其分类
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1．[2018春·巨野县期末]试通过画图来判定，下列说法正确的是( )
A．一个直角三角形一定不是等腰三角形
B．一个等腰三角形一定不是锐角三角形
C．一个钝角三角形一定不是等腰三角形
D．一个等边三角形一定不是钝角三角形
2．[2018春·道外区期末]如图，以AB为边的三角形共有( )
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A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
3．若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC为公共边的“共边三角形”有( )
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A．2对 B．3对
C．4对 D．6对
4．观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的圈内．
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5．[2018·柳州]如图，图中直角三角形共有( )
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A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
6．如图，图1中有____个三角形，图2中有____个三角形，图3中有____个三角形．
/ / /
7．如图，过A、B、C、D、E五个点中任意三点画三角形．
(1)其中以AB为一边可以画出多少个三角形？
(2)其中以C为顶点可以画出多少个三角形？
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8．已知△ABC的周长为18 cm，AB边比AC边短2 cm，BC边是AC边的一半，求△ABC三边的长．
参考答案
【分层作业】
1． D
2． C
3． B
4． 解：如答图所示．
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5． C
【解析】 图形中的3个三角形都含有一个内角是直角，故图中有3个直角三角形．
6． 3 6 10
7． 解：(1)其中以AB为一边可以画出3个三角形，即△ABE、△ABD、△ABC.
(2)其中以C为顶点可以画出6个三角形，即△ABC、△BCD、△BCE、△ADC、△DEC、△ACE.
8．解：设AC边长为x cm，则AB边长为(x－2)cm，BC边长为x cm．
根据题意，得x＋(x－2)＋x＝18，
解得x＝8，
∴x－2＝6，x＝4，
即AB＝6 cm，BC＝4 cm，AC＝8 cm．
第9章 多边形
9.1.1.2 三角形的高、中线和角平分线
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1．[2017·广安改编]三角形的下列线段中，能将三角形分成面积相等的两部分的是( )
A．中线 B．角平分线 C．高 D．都不是
2．[2017春·滦县期末]如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C、D、E，则下列说法不正确的是( )
A．AC是△ABC的高
B．DE是△BCD的高
C．DE是△ABE的高
D．AD是△ACD的高
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3．[2018·贵阳]如图，在△ABC中有四条线段DE、BE、EF、FG，其中有一条线段是△ABC的中线，则该线段是( )
A．线段DE
B．线段BE
C．线段EF
D．线段FG
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4．[2018·房山区二模]如图，在△ABC中，过点B作PB⊥BC于点B，交AC于点P，过点C作CQ⊥AB，交AB延长线于点Q，则△ABC的高是( )
A．线段PB
B．线段BC
C．线段CQ
D．线段AQ
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5．(1)如图1，AD、BE、CF是△ABC的三条角平分线，则∠1＝____＝____，∠3＝____，∠ACB＝____；
(2)如图2，AD、BE、CF是△ABC的三条中线，则AB＝2____，BD＝____，AE＝____.
/
6．如图，△ABC中，高CD、BE、AF相交于点O，则△BOC的三条高分别为线段__________________．
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7．[2018春·抚宁区期末]如图，AE是△ABC的中线，已知EC＝4，DE＝2，则BD的长为( )
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A．2 B．3 C．4 D．6
8．如图，在△ABC中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，△ABC的高AD与CE的比是多少？
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9．如图，已知△ABC的周长为21 cm，AB＝6 cm，BC边上的中线AD＝5 cm，△ABD的周长为15 cm，求AC的长．
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参考答案
【分层作业】
1． A
2． C
3． B
4． C
5．(1)∠2 ∠BAC ∠ABC 2∠4
(2) BF(或AF) CD AC
6． OF、BD、CE
【解析】△BOC的高：①点O到BC的垂线段OF；②点C到OB的垂线段CE；③点B到OC的垂线段BD.
7． A
【解析】 ∵AE是△ABC的中线，EC＝4，∴BE＝EC＝4.∵DE＝2，∴BD＝BE－DE＝4－2＝2.
8． 解：∵S△ABC＝AB·CE＝BC·AD，
即AB·CE＝BC·AD，
∴2CE＝4AD，∴＝.
9． 解：∵AB＝6 cm，AD＝5 cm，△ABD的周长为15 cm，
∴BD＝15－6－5＝4 (cm)．
∵AD是BC边上的中线，
∴BC＝2BD＝8 cm．
∵△ABC的周长为21 cm，
∴AC＝21－6－8＝7 (cm)．
第9章 多边形
9.1.2 三角形的内角和与外角和
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1．[2017·株洲]如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是( )
A．145° B．150° C．155° D．160°
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2．[2017·德阳]如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC ＝ 60°，∠ABC＝50°，则∠DAC的大小是( )
A．15° B．20° C．25° D．30°
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3．[2018·淄博改编]如图，已知△ABC是任意一个三角形，求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°.
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证明：过点A作DE∥____，
∴∠B＝________，∠C＝________(____________________)．
∵∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝________(平角的定义)，
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝________(等量代换)．
于是可以得到三角形三个内角和等于________．
4．[2018·宜昌]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E.
(1)求∠CBE的度数；
(2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
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5．[2018·青海]小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠1＋∠2＝( )
A．150° B．180°
C．210° D．270°
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6．[2018·眉山]将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是( )
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A．45° B．60° C．75° D．85°
7．[2018春·郓城县期末]将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角∠α的度数是( )
A．45° B．60° C．70° D．75°
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8．如图为一个零件的形状，按规定∠A＝90°，∠B、∠C分别为32°和21°.检验工人量得∠BDC＝148°，就断定这个零件不合格．请运用三角形的有关知识，说说零件不合格的理由．
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9．[2018春·邢台期末]如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线．
(1)若∠B＝30°，∠C＝70°，则∠CAE＝____°，∠DAE＝____°；
(2)若∠B＝40°，∠C＝80°.则∠DAE＝____°；
(3)通过探究，小明发现将(2)中的条件“∠B＝40°，∠C＝80°”改为“∠C－∠B＝40°”，也求出了∠DAE的度数．请你写出小明的求解过程．
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参考答案
【分层作业】
1． B
2． B
3． BC ∠DAB ∠EAC 两直线平行，内错角相等
180° 180° 180°
4．解：(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠ABC＝90°－∠A＝50°，
∴∠CBD＝130°.
又∵BE是∠CBD的平分线，
∴∠CBE＝∠CBD＝65°.
(2)∵∠ACB＝90°，∠CBE＝65°，
∴∠CEB＝90°－65°＝25°.
又∵DF∥BE，
∴∠F＝∠CEB＝25°.
5． C
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【解析】 如答图，由三角形的外角性质可知∠1＝∠A＋∠AGD，∠2＝∠B＋∠BHE.∵∠AGD＝∠FGH，∠BHE＝∠FHG，∴∠AGD＋∠BHE＝∠FGH＋∠FHG＝180°－∠F＝180°－(90°－∠D)＝120°，∴∠1＋∠2＝∠A＋∠B＋∠AGD＋∠BHE＝90°＋120°＝210°.
6． C
【解析】 含30°角的三角板的另一个锐角为60°.将45°角和60°角放在同一三角形中，利用三角形内角和与对顶角相等即可求出α＝75°.
7． D
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【解析】 如答图，根据直角三角板，知∠1＝60°，∠3＝45°，∠BAC＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠2＝90°－45°＝45°，∴∠α＝180°－45°－60°＝75°.
8． 解：如答图，延长BD交AC于点E，
则有∠BDC＝∠C＋∠DEC，
∠DEC＝∠A＋∠B，
∴∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C.
又∵∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°，
∴∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C＝143°.
而量得∠BDC＝148°≠143°，故零件不合格．
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9． (1) 40 20
(2) 20
【解析】 (1)∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)＝80°.
∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝40°.
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°.
又∵∠C＝70°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝20°，
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝40°－20°＝20°.
(2)∵∠B＝40°，∠C＝80°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)＝60°.
∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝30°.
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°.
又∵∠C＝80°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝10°，
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD＝30°－10°＝20°.
解：(3)∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)．
∵AE是角平分线，
∴∠CAE＝∠BAC＝[180°－(∠B＋∠C)]＝90°－∠B－∠C.
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°－∠ADC－∠C＝90°－∠C，
∴∠DAE＝∠CAE－∠CAD
＝90°－∠B－∠C－(90°－∠C)
＝∠C－∠B
＝(∠C－∠B)
＝×40°
＝20°.
第9章 多边形
9.1.3 三角形的三边关系
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1．[2018·河北]下列图形具有稳定性的是( )
/A /B /C /D
2．[2018·毕节]已知一个三角形的两边长分别为8和2，则这个三角形的第三边长可能是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
3．有长为3 cm、6 cm、8 cm、9 cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．[2018·绥化]三角形三边长分别为3、2a－1、4.则a的取值范围是____．
5．[2018春·镇平县期末]已知a、b、c是△ABC的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是x.
(1)直接写出c及x的取值范围；
(2)若x是小于18的偶数．
①求c的长；
②判断△ABC的形状．
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6．已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为( )
A．2a＋2b－2c
B．2a＋2b
C．2c
D．0
7．在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为21 cm和12 cm两部分，求三角形的各边长．
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8．如图，P为△ABC内任意一点，求证：AB＋AC＞PB＋PC.
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参考答案
【分层作业】
1． A
2． C
【解析】 设这个三角形的第三边长为a，则由“两边之差＜三角形的第三边＜两边之和”可得，8－2＜a＜8＋2，即6＜a＜10.故选C.
3． C
4． 1＜a＜4
【解析】 ∵三角形的三边长分别为3、2a－1、4，
∴4－3＜2a－1＜4＋3，解得1＜a＜4.
5． 解：(1)∵a＝4，b＝6，∴2＜c＜10，
故周长x的范围为12＜x＜20.
(2)①∵周长为小于18的偶数，
∴x＝16或x＝14.
当x＝16时，c＝6；
当x＝14时，c＝4.
②当c＝6时，b＝c，△ABC为等腰三角形；
当c＝4时，a＝c，△ABC为等腰三角形．
综上所述，△ABC是等腰三角形．
6． D
【解析】 ∵a、b、c是△ABC的三条边长，
∴a＋b＞c，即a＋b－c＞0，c－a－b＜0，
∴|a＋b－c|－|c－a－b|＝a＋b－c＋c－a－b＝0.
7． 解：设AB＝x cm，则AD＝DC＝x cm.
①若AB＋AD＝21 cm，则BC＋CD＝12 cm，
∴x＋x＝21，解得x＝14，
即AB＝AC＝14 cm，∴DC＝7 cm，
∴BC＝12－7＝5(cm)．
此时AB＋AC＞BC，可构成三角形．
②若AB＋AD＝12 cm，
∴x＋x＝12，解得x＝8，
即AB＝AC＝8 cm，∴DC＝4 cm，
∴BC＝21－4＝17(cm)．
此时AB＋AC＜BC，不能构成三角形．
综上所述，三角形的边长分别为14 cm、14 cm和5 cm.
8． 证明：如答图，延长BP交AC于点D.
在△ABD中，PB＋PD＜AB＋AD.①
在△PCD中，PC＜PD＋CD.②
①＋②，得PB＋PD＋PC＜AB＋AD＋PD＋CD，
即PB＋PC＜AB＋AC，即AB＋AC＞PB＋PC.
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第9章 多边形
9.2.1 多边形的内角和
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1．将一个n边形变成(n＋1)边形，内角和将( )
A．不变
B．增加90°
C．增加180°
D．增加360°
2．已知五边形的一个内角为100°，其余四个内角之比为1∶2∶3∶4，则这个五边形中有( )
A．1个钝角 B．2个钝角
C．3个钝角 D．4个钝角
3．[2018·上海]通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是____度．
4．[2018春·洛宁县期末]如图，在四边形ABCD中，∠DAB、∠CBA的平分线交于点E，试证明：∠AEB＝(∠C＋∠D)．
/
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5．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1 080°，那么原多边形的边数为( )
A．7 B．7或8
C．8或9 D．7或8或9
6．两个多边形的边数之比为1∶2，它们的内角和之比为1∶3，求这两个多边形的边数．
7．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
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8．[2018春·滨湖区期中]如图，在n边形中，AF∥DE，∠B＝130°，∠C＝110°.求∠A＋∠D的度数．
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参考答案
【分层作业】
1． C
2． C
3． 540
【解析】 由从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条可知，此多边形是五边形，所以其内角和为(5－2)×180°＝540°.
4． 证明：∵∠DAB、∠CBA的平分线交于点E，
∴∠DAB＝2∠EAB，∠CBA＝2∠EBA，
∴在△EAB中，∠AEB＝180°－∠EAB－∠EBA＝180°－(∠DAB＋∠CBA)＝180°－(360°－∠C－∠D)＝(∠C＋∠D)．
5． D
【解析】 设内角和为1 080°的多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝1 080°，解得n＝8，则原多边形的边数为7或8或9.
6．解：设这两个多边形的边数分别为n和2n，则它们的内角和分别为(n－2)·180°和(2n－2)·180°，
则＝，解得n＝4，
∴这两个多边形的边数分别为4、8.
7．解：(1)甲对，乙不对．
若θ＝360°，则(n－2)×180°＝360°.
解得n＝4.
若θ＝630°，则(n－2)×180°＝630°，解得n＝.
∵n为整数，∴θ不能取630°.
(2)依题意，得(n－2)×180°＋360°＝(n＋x－2)×180°.
解得x＝2.
8． 解：如答图，作BM∥AF，CN∥DE.
∵AF∥DE，
∴BM∥AF∥DE∥CN，
∴∠MBC＋∠NCB＝180°，∠A＋∠ABM＝180°，∠NCD＋∠D＝180°.
∵∠ABC＝130°，∠BCD＝110°，
∴∠DCN＋∠ABM＝240°－180°＝60°，
∴∠A＋∠D＝360°－60°＝300°.
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第9章 多边形
9.2.2 多边形的外角和
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/
1．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是( )
A．a＞b B．a＝b
C．a＜b D．b＝a＋180°
2．一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形的对角线的条数是( )
A．12 B．13
C．14 D．15
3．[2018·山西]图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝____度．
/图1 /图2
4．一个多边形的内角和与外角和之比是7∶2，求这个多边形的边数．
/
5．一个多边形的内角和与外角和之和是2 160°，求这个多边形的边数．
6．如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60°.
(1)求证：AB∥DE；
(2)连结BD，如果BD平分∠CDA，求证：BD⊥AB.
/
/
7．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于( )
(A(((((( (B(((((( (C(((((( (D((((((
/
8．如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )
A．450° B．540° C．630° D．720°
/
9．(1)如图1，你知道∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A的奥秘吗？请你用学过的知识予以证明；
(2)如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝____°；
如图3，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝____°；
如图4，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝____°；
(3)图5是一个六角星，其中∠BOD＝70°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝____°.
/图1/图2/图3/图4/图5
参考答案
【分层作业】
1． B
2． C
3．360
【解析】 如答图，延长CD、DE，
/
则∠1＝∠7，∠2＝∠6，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝∠7＋∠6＋∠3＋∠4＋∠5＝360°.
4． 解：设这个多边形的边数为n，
则＝，解得n＝9，
故这个多边形的边数为9.
5．解：设这个多边形的边数为n，
则(n－2)×180°＋360°＝2 160°，解得n＝12.
故这个多边形的边数为12.
6． 证明：(1)六边形的内角和为(6－2)×180°＝720°.
∵六边形ABCDEF的内角都相等，
∴每个内角的度数为720°÷6＝120°.
又∵∠DAB＝60°，四边形ABCD的内角和为360°，
∴∠CDA＝360°－∠DAB－∠ABC－∠C＝360°－60°－120°－120°＝60°，
∴∠EDA＝120°－∠CDA＝120°－60°＝60°，
∴∠EDA＝∠DAB＝60°，
∴AB∥DE(内错角相等，两直线平行)．
(2)∵DB平分∠CDA，
∴∠ADB＝∠BDC＝30°.
又∵∠DAB＝60°，
∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠DAB＝180°－30°－60°＝90°，
∴BD⊥AB.
7． C
8． B
9． (2) 180 180 180
(3) 140
解：(1)如答图1，延长BO交AC于点D，
则∠BOC＝∠BDC＋∠C.
∠BDC＝∠A＋∠B，
∴∠BOC＝∠B＋∠C＋∠A.
/答图1
(2)如答图2，
根据外角的性质，得
∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D.
∵∠1＋∠2＋∠E＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
如答图3，根据外角的性质，得
∠1＝∠A＋∠B，∠2＝∠C＋∠D.
∵∠1＋∠2＋∠E＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
如答图4，延长EA交CD于点F，EA和BC交于点G.
根据外角的性质，得
∠GFC＝∠D＋∠E，∠FGC＝∠BAE＋∠B.
∵∠GFC＋∠FGC＋∠C＝180°，
∴∠BAE＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
/答图2 /答图3 /答图4
(3)如答图5，
∵∠BOD＝70°，
∴∠A＋∠C＋∠E＝70°，
∴∠B＋∠D＋∠F＝70°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝70°＋70°＝140°.
/答图5
第9章 多边形
9.3.1 相同的正多边形铺设地面
/
/
1．如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形能够将平面密铺的是( )
A．正五边形 B．正四边形
C．正九边形 D．正十边形
2．如图，这是一个正面为黑、反面为白的未拼完的拼木盘，给出如下四块正面为黑、反面为白的拼木．现欲拼满拼木盘使其颜色一致，那么应该选择的拼木是( )
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3．当围绕一个点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个____时，就能密拼一个平面图形．
4．按下面摆好的方式，并使用同一种图形，只通过平移方式就能进行平面镶嵌(即平面密铺)的有____.(填序号)
/
5．能够用正六边形铺满地面的理由是____________________；不能用正五边形铺满地面的理由是______________________________．
/
6．如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的．
/
(1)用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面？
(2)像上面那样铺地砖，能否全用正十边形的材料？为什么？
7．某体育馆用大小相同的长方形木板镶嵌地面，如图，第1次铺2块如图1；第2次把第1次铺的完全围起来，如图2，此时共使用木板12块；第3次把第2次铺的完全围起来，如图3.
(1)依此方法，第4次铺完后，共使用的木板数为多少？
(2)依此方法，第10次铺完后，共使用的木板数为多少？
(3)依此方法，第n次铺完后，共使用的木板数为多少？
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8．我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满地面，但某公园的一段路面是用型号相同的特殊的五边形地砖铺成的．如图是拼铺图案的一部分，其中每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于( )
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A．120° B．108° C．100° D．90°
参考答案
【分层作业】
1． B
2． B
3．周角
4．②③
5． 3个120°拼成360° 不能用正整数个108°拼成360°
6． 解：(1)每个顶点周围有6个正三角形的内角，恰好组成一个周角．
(2)不能，因为正十边形的每个内角为144°，不能整除360°.
7． 解：(1)第4次铺完后，共使用的木板数为7×8＝56.
(2)第10次铺完后，共使用的木板数为19×20＝380.
(3)第n次铺完后，共使用的木板数为2n(2n－1)＝4n2－2n.
8． A
【解析】 由题图可以看出，每一个顶点处角的个数分别有三个或四个．根据密铺的条件可知，三个等角共用一个顶点时，每个角的度数为120°；四个等角共用一个顶点时，每个角的度数为90°.又因为五边形的内角和为540°，且3×120°＋2×90°＝540°，所以五边形中相等的三个角的度数为120°.
第9章 多边形
9.3.2 用多种正多边形铺设地面
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1．[2018春·商水县期末]某广场准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖铺满地面，在每个顶点的周围，正方形和正三角形地砖的块数分别是( )
A．1、2 B．2、1
C．2、2 D．2、3
2．如图是一块正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四个等腰梯形组成．小明家的地面是由这样的地板砖镶嵌而成的，小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图案需要这样的地板砖至少( )
A．8块 B．9块
C．11块 D．12块
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3．用正三角形与正四边形铺满平地，设在每一个顶点周围有m个正三角形，有n个正四边形，则m、n满足的关系式是( )
A．2m＋3n＝12
B．m＋n＝6
C．m＋n＝8
D．m＋2n＝6
4．[2018春·永安市期末]某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种边长相同、形状不同的正多边形地砖，与正三角形地砖作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖是( )
A．正方形
B．正六边形
C．正八边形
D．正十二边形
D．正十二边形每个内角是150°，150°×2＋60°＝360°，∴能密铺．
5．用边长相等的正方形和正三角形镶嵌平面．
(1)一个顶点处需要几个正方形、几个正三角形？(两种图形都要用上)
(2)请画出你的镶嵌图．
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6．如图，用正多边形A、 B、 C密铺地面，其中A为正六边形， C为正方形，请通过计算求出正多边形B的边数．
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7．[2018春·黄岛区期末]数学问题：用边长相等的正三角形、正方形和正六边形能否进行平面图形的镶嵌？
问题探究：为了解决上述数学问题，我们采用分类讨论的思想方法进行探究．
探究一：从正三角形、正方形和正六边形中任选一种图形，能否进行平面图形的镶嵌？
第一类：选正三角形．因为正三角形的每一个内角是60°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有6个正三角形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形可以进行平面图形的镶嵌．
第二类：选正方形．因为正方形的每一个内角是90°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有4个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正方形也可以进行平面图形的镶嵌．
第三类：选正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)
探究二：从正三角形、正方形和正六边形中任选两种图形，能否进行平面图形的镶嵌？
第四类：选正三角形和正方形．在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正方形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程60x＋90y＝360.整理，得2x＋3y＝12.我们可以找到唯一组适合方程的正整数解为镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着3个正三角形和2个正方形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正方形可以进行平面镶嵌．
第五类：选正三角形和正六边形．(仿照上述方法，写出探究过程及结论)
第六类：选正方形和正六边形．(不写探究过程，只写出结论)
探究三：用正三角形、正方形和正六边形三种图形是否可以镶嵌平面？
第七类：选正三角形、正方形和正六边形三种图形．(不写探究过程，只写结论)，
参考答案
【分层作业】
1． D
【解析】 正三角形的每个内角是60°，正方形的每个内角是90°.∵3×60°＋2×90°＝360°，∴需要正方形2块，正三角形3块．
2． A
【解析】 如答图，由实线组成的两个正八边形图案显然用了8块这样的地板砖．
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3． A
4． C
【解析】 A．正方形的每个内角是90°，90°×2＋60°×3＝360°，∴能密铺；
B．正六边形每个内角是120°，120°＋60°×4＝360°，∴能密铺；
C．正八边形每个内角是180°－360°÷8＝135°，135°与60°无论怎样也不能组成360°的角，∴不能密铺；
D．正十二边形每个内角是150°，150°×2＋60°＝360°，∴能密铺．
5． 解：(1)正三角形的每一个内角为60°，正方形的每一个内角为90°.∵3×60°＋2×90°＝360°，∴3个正三角形和2个正方形可做平面镶嵌．
(2)如答图．
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6． 解：设正多边形B的一个内角为x，
则120°＋90°＋x＝360°，解得x＝150°，
∴n＝360°÷(180°－150°)＝12，
∴正多边形B的边数为12.
7． 解：第三类：因为正六边形的每一个内角是120°，所以在镶嵌平面时，围绕某一点有3个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以用正六边形可以进行平面图形的镶嵌．
第五类：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形和y个正六边形，
则60x＋120y＝360，
即x＋2y＝6，
正整数解是或
即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形(或4个正三角形和1个正六边形)的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌．
第六类：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正六边形，
则90x＋120y＝360，
即3x＋4y＝12，
此方程没有正整数解．
即镶嵌平面时，不能在一个顶点周围围绕着正方形和正六边形的内角拼成一个周角，所以不能用正方形和正六边形进行平面镶嵌．
第七类：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正三角形、y个正方形和z个正六边形，
则60x＋90y＋120z＝360，
2x＋3y＋4z＝12，
正整数解是
即镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形、1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以用正三角形、正方形、正六边形可以进行平面镶嵌．
