【走进重高汇编】八下数学第十七章培优提高 勾股定理 第二节训练卷
文档属性
| 名称 | 【走进重高汇编】八下数学第十七章培优提高 勾股定理 第二节训练卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-04 08:57:12 | ||
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文档简介
八下数学第十七章培优提高 勾股定理 第二节
一．选择题（共10小题）
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
2．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）
A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理
3．已知三角形的三边长分别为5，13，12，则三角形的面积为（ ）
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
4．如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1）点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．45°
5．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
6．如图，在4×5的方格中，A、B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…，根据以上规律的第⑦组勾股数是（ ）
A．14、48、49 B．16、12、20 C．16、63、65 D．16、30、34
9．如果△ABC的三边a、b、c满足ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
10．下列说法中正确的有（ ）
（1）如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形；
（2）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；
（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；
（4）如果三边长分别是n2﹣1，2n，n2+1（n＞1），则ABC是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共9小题）
11．如图，三个正方形的面积分别是2，5，7，则由这三个正方形的边构成的△ABC的面积为 cm2．
12．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为 ．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若BD＝5，BC＝4，则点D到边AB的距离为 ．
14．命题：“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是 ．
15．在△ABC中，如果其三条边的长度分别为9、12、15，那么用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是 ．
17．已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是 时，这三条线段构成直角三角形
18．如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为 ．
19．如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2＝DE2，则∠A的度数为 °．
三．解答题（共7小题）
20．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，写出第五组勾股数 ．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形：
（1）如图①，已知格点△ABC，分别求三边的长，并判断这个三角形是否直角三角形；
（2）画格点△DEF，使其为钝角三角形，且面积为4（在图②中画一个即可）．
22．一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．
23．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
24．如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AB上的一点，且BF＝AB．求证：EF⊥DE．
25．周老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否是直角三角形？证明你的猜想．
（3）显然，满足这样关系的整数a、b、c我们把它叫做 数，请再写一组这样的数 ．（不同于表格中已出现的数组）
26．教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2，称为勾股定理．
（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a＝3，b＝4时梯形ABCD的周长．
（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．
八下数学第十七章培优提高 勾股定理 第二节
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
【解答】解：A、42+52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；
B、1.52+22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；
C、22+32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；
D、12+（）2＝3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．
故选：B．
2．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）
A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理
【解答】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理．
故选：C．
3．已知三角形的三边长分别为5，13，12，则三角形的面积为（ ）
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，13，12，
而52+122＝132，
∴此三角形为直角三角形，
三角形的面积为×5×12＝30．
故选：A．
4．如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1）点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．45°
【解答】解：根据图形可得：
∵AB＝AC＝＝，BC＝＝，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
故选：D．
5．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
【解答】解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
B、绝对值相等的两个数相等，错误；
C、同位角相等，两条直线平行，正确；
D、相等的两个角都是45°，错误．
故选：C．
6．如图，在4×5的方格中，A、B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C个数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图，根据勾股定理知AB2＝12+32＝10．
∵12+32＝10，+＝10，+＝10，
∴符合条件的点C有6个．
故选：D．
7．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、72+242＝252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；
B、72+242＝252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+242＝252，152+202＝252，故C正确；
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．
故选：C．
8．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…，根据以上规律的第⑦组勾股数是（ ）
A．14、48、49 B．16、12、20 C．16、63、65 D．16、30、34
【解答】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1，
故可得第⑦组勾股数是16，63，65．
故选：C．
9．如果△ABC的三边a、b、c满足ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解答】解：∵ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），
∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a＝b或a2+b2＝c2，
即该三角形是等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
10．下列说法中正确的有（ ）
（1）如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形；
（2）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；
（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；
（4）如果三边长分别是n2﹣1，2n，n2+1（n＞1），则ABC是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1）不正确，因为根据三角形的内角和得不到90°的角；
（2）正确，由三角形内角和定理可求出∠C为90度；
（3）正确，设三边分别为6x，8x，10x，则有6x2+8x2＝10x2；
（4）正确，因为（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2．所以正确的有三个，
故选：C．
二．填空题（共9小题）
11．如图，三个正方形的面积分别是2，5，7，则由这三个正方形的边构成的△ABC的面积为 cm2．
【解答】解：∵三个正方形的面积分别是2，5，7，
∴AC2＝5，BC2＝2，AB2＝7，
∴AC＝，CB＝，
∵5+2＝7，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积为：AC?BC＝××＝，
故答案为：．
12．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为 4.8km ．
【解答】解：过B作BD⊥AC，垂足为D，
∵62+82＝102，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
S△ACB＝AB?CB＝AC?BD，
×6×8＝×10×DB，
解得：BD＝4.8，
∴学校B到公路的最短距离为4.8km，
故答案为：4.8km．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若BD＝5，BC＝4，则点D到边AB的距离为 3 ．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，BD＝5，BC＝4，
∴CD＝＝3，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝DC＝3，
故答案为：3．
14．命题：“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是 直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° ．
【解答】解：因为原命题的题设是“在直角三角形中，一个锐角等于30度”，结论是“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，
所以“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是“直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°”．
故答案为：直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．
15．在△ABC中，如果其三条边的长度分别为9、12、15，那么用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是 108 ．
【解答】解：∵在△ABC中，三条边的长度分别为9、12、15，92+122＝152，
∴△ABC是直角三角形，
∴用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是2××9×12＝108；
故答案为：108．
16．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是 15 ．
【解答】解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，
∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，
∴CE2+AE2＝AC2，
∴∠E＝90°，
∴∠BAD＝90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积＝AD?AB＝15，
故答案为：15．
17．已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是 4或cm 时，这三条线段构成直角三角形
【解答】解：当第三条线段为直角边时，5cm为斜边，根据勾股定理得，第三条线段长为＝4cm；
当第三条线段为斜边时，根据勾股定理得，第三条线段长为＝cm．
故答案为4或cm．
18．如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为 24 ．
【解答】解：作辅助线：连接AB，
因为△ABD是直角三角形，所以AB＝＝＝5，
因为52+122＝132，所以△ABC是直角三角形，
则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，
即×12×5﹣×3×4＝30﹣6＝24．
19．如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2＝DE2，则∠A的度数为 135 °．
【解答】解：连接DA、EA，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵BD2+CE2＝DE2，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°，
∴2∠B+2∠C+90°＝180°，
∴∠B+∠C＝45°，
∴∠BAC＝135°．
故答案为：135．
三．解答题（共7小题）
20．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ n2﹣1 ，b＝ 2n ，c＝ n2+1 ．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，写出第五组勾股数 112+602＝612 ．
【解答】解：（1）由图表可以得出：
∵n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1，
n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1，
n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1，
…
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．
（2）a、b、c为边的三角形时：
∵a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1，
c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）由分析得出：第5组的式子为：112+602＝612．
故答案为：112+602＝612．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形：
（1）如图①，已知格点△ABC，分别求三边的长，并判断这个三角形是否直角三角形；
（2）画格点△DEF，使其为钝角三角形，且面积为4（在图②中画一个即可）．
【解答】解：（1）∵AB＝（1分），BC＝（2分）
AC＝，（3分），
∵AB2+BC2≠AC2（4分），
∴这个三角形不是直角三角形；（5分）
（2）如图所示．
22．一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．
【解答】解：如图，根据题意，得
OA＝30×1.5＝45（千米），OB＝40×1.5＝60（千米），AB＝75千米．
∵452+602＝752，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，即第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成90°，
∴第二艘船的航行方向为东北或西南方向．
23．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
【解答】解：连接AC．
设DA＝k，则AB＝2k，BC＝2k，CD＝3k．
∵∠B＝90°，AB：BC＝2：2，
∴∠BAC＝45°，AC2＝AB2+BC2＝4k2+4k2＝8k2，
∵（3k）2﹣k2＝8k2，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°．
24．如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AB上的一点，且BF＝AB．求证：EF⊥DE．
【解答】证明：∵正方形ABCD，E为CB中点，
∴CE＝EB＝BC．
∵BF＝AB，
∴FB＝EC，BE＝CD．
∴＝，
∵∠C＝∠B＝90°，
∴△FBE∽△ECD．
∴∠FEB＝∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠DEC+∠FEB＝90°，
∴EF⊥DE．
25．周老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ n2﹣1 ；b＝ 2n ；c＝ n2+1 ；
（2）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否是直角三角形？证明你的猜想．
（3）显然，满足这样关系的整数a、b、c我们把它叫做 勾股 数，请再写一组这样的数 a＝35，b＝12，c＝37 ．（不同于表格中已出现的数组）
【解答】解：（1）由图表可以得出：
∵n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1，
n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1，
n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1，
…
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．
故答案为n2﹣1，2n，n2+1；
（2）以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．理由如下：
∵a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1，
c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形；
（3）满足这样关系的整数a、b、c我们把它叫做勾股数，
再写一组这样的数可以为：a＝35，b＝12，c＝37．
故答案为勾股，a＝35，b＝12，c＝37．
26．教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2，称为勾股定理．
（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a＝3，b＝4时梯形ABCD的周长．
（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．
【解答】（1）证明：由图得，×ab×4+c2＝（a+b）×（a+b），
整理得，2ab+c2＝a2+b2+2ab，
即a2+b2＝c2；
（2）解：∵a＝3，b＝4，
∴c＝＝5，
梯形ABCD的周长为：a+c+3a+c═4a+2c＝4×3+2×5＝22；
（3）解：如图4，BD是△ABC的高．
∵S△ABC＝AC?BD＝AB×3，AC＝＝5，
∴BD＝＝＝．
一．选择题（共10小题）
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
2．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）
A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理
3．已知三角形的三边长分别为5，13，12，则三角形的面积为（ ）
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
4．如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1）点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．45°
5．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等 B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
6．如图，在4×5的方格中，A、B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…，根据以上规律的第⑦组勾股数是（ ）
A．14、48、49 B．16、12、20 C．16、63、65 D．16、30、34
9．如果△ABC的三边a、b、c满足ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
10．下列说法中正确的有（ ）
（1）如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形；
（2）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；
（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；
（4）如果三边长分别是n2﹣1，2n，n2+1（n＞1），则ABC是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共9小题）
11．如图，三个正方形的面积分别是2，5，7，则由这三个正方形的边构成的△ABC的面积为 cm2．
12．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为 ．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若BD＝5，BC＝4，则点D到边AB的距离为 ．
14．命题：“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是 ．
15．在△ABC中，如果其三条边的长度分别为9、12、15，那么用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是 ．
17．已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是 时，这三条线段构成直角三角形
18．如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为 ．
19．如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2＝DE2，则∠A的度数为 °．
三．解答题（共7小题）
20．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，写出第五组勾股数 ．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形：
（1）如图①，已知格点△ABC，分别求三边的长，并判断这个三角形是否直角三角形；
（2）画格点△DEF，使其为钝角三角形，且面积为4（在图②中画一个即可）．
22．一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．
23．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
24．如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AB上的一点，且BF＝AB．求证：EF⊥DE．
25．周老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ ；b＝ ；c＝ ；
（2）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否是直角三角形？证明你的猜想．
（3）显然，满足这样关系的整数a、b、c我们把它叫做 数，请再写一组这样的数 ．（不同于表格中已出现的数组）
26．教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2，称为勾股定理．
（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a＝3，b＝4时梯形ABCD的周长．
（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．
八下数学第十七章培优提高 勾股定理 第二节
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3
【解答】解：A、42+52＝41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；
B、1.52+22＝6.25＝2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；
C、22+32＝13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；
D、12+（）2＝3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．
故选：B．
2．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（ ）
A．黄金分割 B．垂径定理 C．勾股定理 D．正弦定理
【解答】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理．
故选：C．
3．已知三角形的三边长分别为5，13，12，则三角形的面积为（ ）
A．30 B．60 C．78 D．不能确定
【解答】解：∵三角形的三边长分别为5，13，12，
而52+122＝132，
∴此三角形为直角三角形，
三角形的面积为×5×12＝30．
故选：A．
4．如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1）点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．30° D．45°
【解答】解：根据图形可得：
∵AB＝AC＝＝，BC＝＝，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝45°，
故选：D．
5．下列各命题的逆命题成立的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等
B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C．两直线平行，同位角相等
D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等
【解答】解：A、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等，错误；
B、绝对值相等的两个数相等，错误；
C、同位角相等，两条直线平行，正确；
D、相等的两个角都是45°，错误．
故选：C．
6．如图，在4×5的方格中，A、B为两个格点，再选一个格点C，使∠ACB为直角，则满足条件的点C个数为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：如图，根据勾股定理知AB2＝12+32＝10．
∵12+32＝10，+＝10，+＝10，
∴符合条件的点C有6个．
故选：D．
7．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、72+242＝252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确；
B、72+242＝252，152+202≠242，故B不正确；
C、72+242＝252，152+202＝252，故C正确；
D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确．
故选：C．
8．观察以下几组勾股数，并寻找规律：①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…，根据以上规律的第⑦组勾股数是（ ）
A．14、48、49 B．16、12、20 C．16、63、65 D．16、30、34
【解答】解：根据题目给出的前几组数的规律可得：这组数中的第一个数是2（n+1），第二个是：n（n+2），第三个数是：（n+1）2+1，
故可得第⑦组勾股数是16，63，65．
故选：C．
9．如果△ABC的三边a、b、c满足ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
【解答】解：∵ac2﹣bc2＝（a﹣b）（a2+b2），
∴（a﹣b）（a2+b2﹣c2）＝0，
∴a＝b或a2+b2＝c2，
即该三角形是等腰三角形或直角三角形．
故选：D．
10．下列说法中正确的有（ ）
（1）如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形；
（2）如果∠A+∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形；
（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC是直角三角形；
（4）如果三边长分别是n2﹣1，2n，n2+1（n＞1），则ABC是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：（1）不正确，因为根据三角形的内角和得不到90°的角；
（2）正确，由三角形内角和定理可求出∠C为90度；
（3）正确，设三边分别为6x，8x，10x，则有6x2+8x2＝10x2；
（4）正确，因为（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2．所以正确的有三个，
故选：C．
二．填空题（共9小题）
11．如图，三个正方形的面积分别是2，5，7，则由这三个正方形的边构成的△ABC的面积为 cm2．
【解答】解：∵三个正方形的面积分别是2，5，7，
∴AC2＝5，BC2＝2，AB2＝7，
∴AC＝，CB＝，
∵5+2＝7，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的面积为：AC?BC＝××＝，
故答案为：．
12．如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB、BC两条路可到达公路，经测量BC＝6km，BA＝8km，AC＝10km，现需修建一条公路从学校B到公路，则学校B到公路的最短距离为 4.8km ．
【解答】解：过B作BD⊥AC，垂足为D，
∵62+82＝102，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
S△ACB＝AB?CB＝AC?BD，
×6×8＝×10×DB，
解得：BD＝4.8，
∴学校B到公路的最短距离为4.8km，
故答案为：4.8km．
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若BD＝5，BC＝4，则点D到边AB的距离为 3 ．
【解答】解：作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，BD＝5，BC＝4，
∴CD＝＝3，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝DC＝3，
故答案为：3．
14．命题：“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是 直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30° ．
【解答】解：因为原命题的题设是“在直角三角形中，一个锐角等于30度”，结论是“30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”，
所以“直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半”的逆命题是“直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°”．
故答案为：直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°．
15．在△ABC中，如果其三条边的长度分别为9、12、15，那么用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是 108 ．
【解答】解：∵在△ABC中，三条边的长度分别为9、12、15，92+122＝152，
∴△ABC是直角三角形，
∴用两个这样的三角形所拼成的长方形的面积是2××9×12＝108；
故答案为：108．
16．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是 15 ．
【解答】解：延长AD到点E，使DE＝AD＝6，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝5，∠BAD＝∠E，
∵AE＝2AD＝12，CE＝5，AC＝13，
∴CE2+AE2＝AC2，
∴∠E＝90°，
∴∠BAD＝90°，
即△ABD为直角三角形，
∴△ABD的面积＝AD?AB＝15，
故答案为：15．
17．已知两线段的长分别是5cm、3cm，则第三条线段长是 4或cm 时，这三条线段构成直角三角形
【解答】解：当第三条线段为直角边时，5cm为斜边，根据勾股定理得，第三条线段长为＝4cm；
当第三条线段为斜边时，根据勾股定理得，第三条线段长为＝cm．
故答案为4或cm．
18．如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为 24 ．
【解答】解：作辅助线：连接AB，
因为△ABD是直角三角形，所以AB＝＝＝5，
因为52+122＝132，所以△ABC是直角三角形，
则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，
即×12×5﹣×3×4＝30﹣6＝24．
19．如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2＝DE2，则∠A的度数为 135 °．
【解答】解：连接DA、EA，
∵边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∵BD2+CE2＝DE2，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴∠DAE＝90°，
∴2∠B+2∠C+90°＝180°，
∴∠B+∠C＝45°，
∴∠BAC＝135°．
故答案为：135．
三．解答题（共7小题）
20．王老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ n2﹣1 ，b＝ 2n ，c＝ n2+1 ．
（2）猜想：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想？
（3）观察下列勾股数32+42＝52，52+122＝132，72+242＝252，92+402＝412，分析其中的规律，写出第五组勾股数 112+602＝612 ．
【解答】解：（1）由图表可以得出：
∵n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1，
n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1，
n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1，
…
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．
（2）a、b、c为边的三角形时：
∵a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1，
c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形．
（3）由分析得出：第5组的式子为：112+602＝612．
故答案为：112+602＝612．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形：
（1）如图①，已知格点△ABC，分别求三边的长，并判断这个三角形是否直角三角形；
（2）画格点△DEF，使其为钝角三角形，且面积为4（在图②中画一个即可）．
【解答】解：（1）∵AB＝（1分），BC＝（2分）
AC＝，（3分），
∵AB2+BC2≠AC2（4分），
∴这个三角形不是直角三角形；（5分）
（2）如图所示．
22．一艘轮船以30千米/时的速度离开港口，向东南方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以40千米/时的速度航行，它们离开港口一个半小时后相距75千米，求第二艘船的航行方向．
【解答】解：如图，根据题意，得
OA＝30×1.5＝45（千米），OB＝40×1.5＝60（千米），AB＝75千米．
∵452+602＝752，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，即第二艘船的航行方向与第一艘船的航行方向成90°，
∴第二艘船的航行方向为东北或西南方向．
23．如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB：BC：CD：DA＝2：2：3：1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．
【解答】解：连接AC．
设DA＝k，则AB＝2k，BC＝2k，CD＝3k．
∵∠B＝90°，AB：BC＝2：2，
∴∠BAC＝45°，AC2＝AB2+BC2＝4k2+4k2＝8k2，
∵（3k）2﹣k2＝8k2，
∴∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°．
24．如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AB上的一点，且BF＝AB．求证：EF⊥DE．
【解答】证明：∵正方形ABCD，E为CB中点，
∴CE＝EB＝BC．
∵BF＝AB，
∴FB＝EC，BE＝CD．
∴＝，
∵∠C＝∠B＝90°，
∴△FBE∽△ECD．
∴∠FEB＝∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠DEC+∠FEB＝90°，
∴EF⊥DE．
25．周老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n
2
3
4
5
…
a
22﹣1
32﹣1
42﹣1
52﹣1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
（1）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：a＝ n2﹣1 ；b＝ 2n ；c＝ n2+1 ；
（2）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否是直角三角形？证明你的猜想．
（3）显然，满足这样关系的整数a、b、c我们把它叫做 勾股 数，请再写一组这样的数 a＝35，b＝12，c＝37 ．（不同于表格中已出现的数组）
【解答】解：（1）由图表可以得出：
∵n＝2时，a＝22﹣1，b＝4，c＝22+1，
n＝3时，a＝32﹣1，b＝2×3，c＝32+1，
n＝4时，a＝42﹣1，b＝2×4，c＝42+1，
…
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1．
故答案为n2﹣1，2n，n2+1；
（2）以a，b，c为边长的三角形是直角三角形．理由如下：
∵a2+b2＝（n2﹣1）2+4n2＝n4+2n2+1，
c2＝（n2+1）2＝n4+2n2+1，
∴a2+b2＝c2，
∴以a、b、c为边的三角形是直角三角形；
（3）满足这样关系的整数a、b、c我们把它叫做勾股数，
再写一组这样的数可以为：a＝35，b＝12，c＝37．
故答案为勾股，a＝35，b＝12，c＝37．
26．教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2＝c2，称为勾股定理．
（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．
（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a＝3，b＝4时梯形ABCD的周长．
（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．
【解答】（1）证明：由图得，×ab×4+c2＝（a+b）×（a+b），
整理得，2ab+c2＝a2+b2+2ab，
即a2+b2＝c2；
（2）解：∵a＝3，b＝4，
∴c＝＝5，
梯形ABCD的周长为：a+c+3a+c═4a+2c＝4×3+2×5＝22；
（3）解：如图4，BD是△ABC的高．
∵S△ABC＝AC?BD＝AB×3，AC＝＝5，
∴BD＝＝＝．