【走进重高汇编】八下数学第十七章培优提高 勾股定理 第一节训练卷
文档属性
| 名称 | 【走进重高汇编】八下数学第十七章培优提高 勾股定理 第一节训练卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-04 08:57:23 | ||
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文档简介
八下数学第十七章培优提高 勾股定理 第一节
一．选择题（共10小题）
1．在直角三角形中，两直角边分别为5，12，则第三边为（ ）
A．11 B．14 C．13 D．15
2．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+AC2+BC2等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，则AC等于（ ）
/
A．6 B．/ C．/ D．4
4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
/
A．5 B．6 C．7 D．25
5．将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（ ）
/
A．16 B．32 C．8π D．64
6．如图所示，∠A＝∠D＝90°，AC与BD交于O，AB＝CD＝4，AO＝3，则BD的长为（ ）
/
A．6 B．7 C．8 D．10
7．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
/
A．450a元 B．300a元 C．225a元 D．150a元
8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
9．如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝/，BC＝1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（ ）
/
A．1 B．/ C．/ D．/
二．填空题（共10小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝ ．
/
12．等边三角形的边长为6cm，则它的高为 cm．
13．直角三角形的两条边长分别为3、4，则它的另一边长为 ．
14．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是 ．
/
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，将△ABC沿直线BD翻折，使点C落在AC边上的点C′处，若AC′＝2，则折痕BD的长 ．
/
16．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距 海里．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为 ．
/
18．如图，正方形ODBC中，OB＝/，OA＝OB，则数轴上点A表示的数是 ．
/
19．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B＝90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于 ．
20．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是 ．
/
三．解答题（共7小题）
21．设a＝/，b＝2，c＝/．
（1）当a有意义时，求x的取值范围．
（2）若a、b、c为Rt△ABC三边长，求x的值．
22．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn（n为正整数），那么第8个正方形的面积S8＝ ，第n个正方形的面积Sn＝ ．
/
23．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝4，求AB的长．
/
24．一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），求光线从A点到B点经过的路线长．
/
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，在Rt∠ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．
（要求：在两个备用图中，分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长）
/
26．在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直按跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？
/
27．学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2+b2＝c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!
（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a＝ mm；b＝ mm；较长的一条边长c＝ mm．比较＝a2+b2 c2（填写“＞”，“＜”，或“＝”）；
（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a＝ mm；b＝ mm；较长的一条边长c＝ mm．比较a2+b2 c2（填写“＞”，“＜”，或“＝”）；
（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是： ，类比勾股定理的验证方法，相信你能说明其能否成立的理由．
八下数学第十七章培优提高 勾股定理 第一节
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在直角三角形中，两直角边分别为5，12，则第三边为（ ）
A．11 B．14 C．13 D．15
【解答】解：在直角三角形中，
已知两直角边为5、12，
则根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方．
因此，斜边长为/＝13．
故选：C．
2．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+AC2+BC2等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：根据勾股定理，得：
AC2+BC2＝AB2＝4，
故AB2+AC2+BC2＝4+4＝8，
故选：C．
3．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，则AC等于（ ）
/
A．6 B．/ C．/ D．4
【解答】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝∠ADB＝90°
∵AB＝3，BD＝2，
∴AD＝/＝/
∵DC＝1
∴AC＝/＝/．
故选：B．
4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
/
A．5 B．6 C．7 D．25
【解答】解：如图所示：
/
AB＝/＝5．
故选：A．
5．将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（ ）
/
A．16 B．32 C．8π D．64
【解答】解：已知半圆的面积为8π，
所以半圆的直径为：2?/＝8，
即如图直角三角形的斜边为：8，
设两个正方形的边长分别为：x，y，
则根据勾股定理得：x2+y2＝82＝64，
即两个正方形面积的和为64．
故选：D．
6．如图所示，∠A＝∠D＝90°，AC与BD交于O，AB＝CD＝4，AO＝3，则BD的长为（ ）
/
A．6 B．7 C．8 D．10
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
/，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB＝OC，OA＝OD＝3，
在Rt△AOB中，AB＝CD＝4，AO＝3，
根据勾股定理得：OB＝/＝5，
则BD＝BO+OD＝5+3＝8．
故选：C．
7．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
/
A．450a元 B．300a元 C．225a元 D．150a元
【解答】解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，
∵∠BAC＝150°，
∴∠DAC＝30°，
∵CD⊥BD，AC＝30m，
∴CD＝15m，
∵AB＝20m，
∴S△ABC＝/AB×CD＝/×20×15＝150m2，
∵每平方米售价a元，
∴购买这种草皮的价格为150a元．
故选：D．
/
8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【解答】解：∵a+b＝14
∴（a+b）2＝196
∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96
∴/ab＝24．
故选：A．
9．如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
【解答】解：在直角△ABC中，根据勾股定理得到：AC＝5，则AE＝2.5
在△ANE和△ACB中：∵∠CAB＝∠NAE，∠AEN＝∠ABC＝90°
∴△ANE∽△ACB
∴/
解得：AN＝/，∴BN＝4﹣/＝/
在直角△BCN中，CN＝/＝/．
故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝/，BC＝1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（ ）
/
A．1 B．/ C．/ D．/
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝/，BC＝1，
∴AB＝/＝2，
∴∠BAC＝30°，
∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，
∴BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，
∵AD⊥ED，
∴BC∥DE，
∴∠CBF＝∠BED＝30°，
在Rt△BCF中，CF＝/＝/，BF＝2CF＝/，
∴EF＝2﹣/，
在Rt△DEF中，FD＝/EF＝1﹣/，ED＝/FD＝/﹣1，
∴S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE
＝2S△ABD+S△ADE
＝2×/BC?AD+/AD?ED
＝2×/×1×（/﹣1）+/×（/﹣1）（/﹣1）
＝1．
故选：A．
二．填空题（共10小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝ 2 ．
/
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝/＝/＝5，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC，
∴AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
12．等边三角形的边长为6cm，则它的高为 3/ cm．
【解答】解：底边的一半是3．再根据勾股定理，得它的高为/＝3/cm．
13．直角三角形的两条边长分别为3、4，则它的另一边长为 5或/ ．
【解答】解：4是直角边时，则第三边＝/＝5；
4是斜边时，则第三边＝/＝/．
则第三边是5或/．
14．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是 76 ．
/
【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，
∴由勾股定理得：AB＝/＝10，
∴正方形的面积是10×10＝100，
∵△AEB的面积是/AE×BE＝/×6×8＝24，
∴阴影部分的面积是100﹣24＝76，
故答案是：76．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，将△ABC沿直线BD翻折，使点C落在AC边上的点C′处，若AC′＝2，则折痕BD的长 8 ．
/
【解答】解：∵AC＝10，AC′＝2，
∴CC′＝AC﹣AC′＝8，
由折叠的性质可知∠BC′C＝∠C，∠BDC＝90°，
∴∠BC′C＝∠ABC，
∴△ABC∽△BC′C，
∴/，
即BC2＝CC′×AC＝8×10＝80，
解得：BC＝4/，
∵CD＝/CC'＝4，∠BDC＝90°，
∴BD＝/＝/＝8；
故答案为：8．
16．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距 30 海里．
【解答】解：如图，由已知得，OB＝16×1.5＝24海里，OA＝12×1.5＝18海里，
在△OAB中
∵∠AOB＝90°，
由勾股定理得OB2+OA2＝AB2，
即242+182＝AB2，
AB＝/＝30（海里）．
故答案为：30．
/
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为 5 ．
/
【解答】解：在Rt△ACD中，AD＝13，AC＝12，由勾股定理得：CD＝5，
/
过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝5，
即点D到AB的距离为5，
故答案为：5．
18．如图，正方形ODBC中，OB＝/，OA＝OB，则数轴上点A表示的数是 ﹣/ ．
/
【解答】解：∵OB＝/＝/，
∴OA＝OB＝/，
∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是﹣/，
故答案为：﹣/．
19．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B＝90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于 / ．
【解答】解：“有趣中线”有三种情况：
若“有趣中线”为斜边AC上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题意；
若“有趣中线”为AB边上的中线，则“有趣中线”为1，不符合题意；
若“有趣中线”为另一直角边BC上的中线，如图所示，AB＝1，
设AD＝2x，则BD＝x，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD2＝AB2+BD2，即（2x）2＝12+x2，
解得：x＝/，
则这个三角形“有趣中线”长等于/．
故答案为：/．
/
20．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是 13cm ．
/
【解答】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24cm，
则AD＝24×/＝12cm．
又因为CD＝5cm，
所以AC＝/＝13cm．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．
/
三．解答题（共7小题）
21．设a＝/，b＝2，c＝/．
（1）当a有意义时，求x的取值范围．
（2）若a、b、c为Rt△ABC三边长，求x的值．
【解答】解：（1）∵a有意义，
∴8﹣x≥0，
∴x≤8；
（2）方法一：分三种情况：
①当a2+b2＝c2，即8﹣x+4＝6，得x＝6，
②当a2+c2＝b2，即8﹣x+6＝4，得x＝10，
③当b2+c2＝a2，即4+6＝8﹣x，得x＝﹣2，
又∵x≤8，
∴x＝6或﹣2；
方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c＞b
∴存在两种情况，
①当a2+b2＝c2，即8﹣x+4＝6，得x＝6，
②当b2+c2＝a2，即4+6＝8﹣x，得x＝﹣2，
∴x＝6或﹣2．
22．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn（n为正整数），那么第8个正方形的面积S8＝ 27 ，第n个正方形的面积Sn＝ 2n﹣1 ．
/
【解答】解：第一个正方形的面积为1＝，故其边长为1＝20；
第二个正方形的边长为/，其面积为2＝21；
第三个正方形的边长为2，其面积为4＝22；
第四个正方形的边长为2/，其面积为8＝23；
…
第n个正方形的边长为（/）n﹣1，其面积为2n﹣1．
当n＝8时，
S8＝28﹣1，
＝27．
故答案为：27，2n﹣1．
23．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝4，求AB的长．
/
【解答】解：延长AD，BC，交于点E，
在Rt△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，
∴∠E＝30°，
在Rt△CDE中，CD＝4，
∴CE＝2CD＝8，BE＝BC+CE＝6+8＝14，
设AB＝x，则有AE＝2x，
根据勾股定理得：x2+142＝（2x）2，
解得：x＝/，
则AB＝/．
/
24．一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），求光线从A点到B点经过的路线长．
/
【解答】解：/
过B作BM⊥x轴于M，
∵一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），
∴OA＝1，BM＝3，OM＝3，∠AOC＝∠BMC＝90°，∠ACO＝∠BCM，
∴△ACO∽△BCM，
∴/＝/，
∴/＝/，
∴OC＝/，CM＝3﹣/＝/，
由勾股定理得：AC＝/＝/＝/，
BC＝/＝/＝/，
∴AC+BC＝/+/＝5，
即光线从A点到B点经过的路线长是5．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，在Rt∠ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．
（要求：在两个备用图中，分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长）
/
【解答】解：如图所示：
/．
26．在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直按跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？
/
【解答】解：
设树高为xm，则BD＝x﹣10，
则题意可知CD+AC＝10+20＝30，
∴AB＝30﹣BD＝30﹣（x﹣10）＝40﹣x，
∵△ABC为直角三角形，
∴AB2＝AC2+BC2，即（40﹣x）2＝202+x2，
解得x＝15，即树高为15m，
27．学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2+b2＝c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!
（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a＝ 6 mm；b＝ 8 mm；较长的一条边长c＝ 9 mm．比较＝a2+b2 ＞ c2（填写“＞”，“＜”，或“＝”）；
（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a＝ 6 mm；b＝ 8 mm；较长的一条边长c＝ 11 mm．比较a2+b2 ＜ c2（填写“＞”，“＜”，或“＝”）；
（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是： 若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2 ，类比勾股定理的验证方法，相信你能说明其能否成立的理由．
【解答】解：（1）较短的两条边长分别是a＝6mm；b＝8mm；较长的一条边长c＝9mm．比较＝a2+b2＞c2；
（2）较短的两条边长分别是a＝6mm；b＝8mm；较长的一条边长c＝11mm．比较a2+b2＜c2；
（3）若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2；
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．
当△ABC是锐角三角形时，
理由：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，
/
则有BD＝a﹣x．
根据勾股定理，得b2﹣x2＝AD2＝c2﹣（a﹣x）2，
即b2﹣x2＝c2﹣a2+2ax﹣x2．
∴a2+b2＝c2+2ax．
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0；
∴a2+b2＞c2．
当△ABC是钝角三角形时，
理由：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．
设CD为x，则有BD2＝a2﹣x2，
根据勾股定理，得（b+x）2+a2﹣x2＝c2，即a2+b2+2bx＝c2．
∵b＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a2+b2＜c2．
/
/
一．选择题（共10小题）
1．在直角三角形中，两直角边分别为5，12，则第三边为（ ）
A．11 B．14 C．13 D．15
2．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+AC2+BC2等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
3．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，则AC等于（ ）
/
A．6 B．/ C．/ D．4
4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
/
A．5 B．6 C．7 D．25
5．将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（ ）
/
A．16 B．32 C．8π D．64
6．如图所示，∠A＝∠D＝90°，AC与BD交于O，AB＝CD＝4，AO＝3，则BD的长为（ ）
/
A．6 B．7 C．8 D．10
7．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
/
A．450a元 B．300a元 C．225a元 D．150a元
8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
9．如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝/，BC＝1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（ ）
/
A．1 B．/ C．/ D．/
二．填空题（共10小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝ ．
/
12．等边三角形的边长为6cm，则它的高为 cm．
13．直角三角形的两条边长分别为3、4，则它的另一边长为 ．
14．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是 ．
/
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，将△ABC沿直线BD翻折，使点C落在AC边上的点C′处，若AC′＝2，则折痕BD的长 ．
/
16．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距 海里．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为 ．
/
18．如图，正方形ODBC中，OB＝/，OA＝OB，则数轴上点A表示的数是 ．
/
19．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B＝90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于 ．
20．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是 ．
/
三．解答题（共7小题）
21．设a＝/，b＝2，c＝/．
（1）当a有意义时，求x的取值范围．
（2）若a、b、c为Rt△ABC三边长，求x的值．
22．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn（n为正整数），那么第8个正方形的面积S8＝ ，第n个正方形的面积Sn＝ ．
/
23．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝4，求AB的长．
/
24．一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），求光线从A点到B点经过的路线长．
/
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，在Rt∠ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．
（要求：在两个备用图中，分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长）
/
26．在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直按跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？
/
27．学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2+b2＝c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!
（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a＝ mm；b＝ mm；较长的一条边长c＝ mm．比较＝a2+b2 c2（填写“＞”，“＜”，或“＝”）；
（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a＝ mm；b＝ mm；较长的一条边长c＝ mm．比较a2+b2 c2（填写“＞”，“＜”，或“＝”）；
（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是： ，类比勾股定理的验证方法，相信你能说明其能否成立的理由．
八下数学第十七章培优提高 勾股定理 第一节
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．在直角三角形中，两直角边分别为5，12，则第三边为（ ）
A．11 B．14 C．13 D．15
【解答】解：在直角三角形中，
已知两直角边为5、12，
则根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方．
因此，斜边长为/＝13．
故选：C．
2．在Rt△ABC中，斜边AB＝2，则AB2+AC2+BC2等于（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解答】解：根据勾股定理，得：
AC2+BC2＝AB2＝4，
故AB2+AC2+BC2＝4+4＝8，
故选：C．
3．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，则AC等于（ ）
/
A．6 B．/ C．/ D．4
【解答】解：∵AD⊥BC
∴∠ADC＝∠ADB＝90°
∵AB＝3，BD＝2，
∴AD＝/＝/
∵DC＝1
∴AC＝/＝/．
故选：B．
4．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
/
A．5 B．6 C．7 D．25
【解答】解：如图所示：
/
AB＝/＝5．
故选：A．
5．将面积为8π的半圆与两个正方形拼接如图所示，这两个正方形面积的和为（ ）
/
A．16 B．32 C．8π D．64
【解答】解：已知半圆的面积为8π，
所以半圆的直径为：2?/＝8，
即如图直角三角形的斜边为：8，
设两个正方形的边长分别为：x，y，
则根据勾股定理得：x2+y2＝82＝64，
即两个正方形面积的和为64．
故选：D．
6．如图所示，∠A＝∠D＝90°，AC与BD交于O，AB＝CD＝4，AO＝3，则BD的长为（ ）
/
A．6 B．7 C．8 D．10
【解答】解：在△AOB和△DOC中，
/，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB＝OC，OA＝OD＝3，
在Rt△AOB中，AB＝CD＝4，AO＝3，
根据勾股定理得：OB＝/＝5，
则BD＝BO+OD＝5+3＝8．
故选：C．
7．某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
/
A．450a元 B．300a元 C．225a元 D．150a元
【解答】解：如图，作BA边的高CD，设与BA的延长线交于点D，
∵∠BAC＝150°，
∴∠DAC＝30°，
∵CD⊥BD，AC＝30m，
∴CD＝15m，
∵AB＝20m，
∴S△ABC＝/AB×CD＝/×20×15＝150m2，
∵每平方米售价a元，
∴购买这种草皮的价格为150a元．
故选：D．
/
8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．60cm2
【解答】解：∵a+b＝14
∴（a+b）2＝196
∴2ab＝196﹣（a2+b2）＝96
∴/ab＝24．
故选：A．
9．如图，长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，则CN的长为（ ）
/
A．/ B．/ C．/ D．/
【解答】解：在直角△ABC中，根据勾股定理得到：AC＝5，则AE＝2.5
在△ANE和△ACB中：∵∠CAB＝∠NAE，∠AEN＝∠ABC＝90°
∴△ANE∽△ACB
∴/
解得：AN＝/，∴BN＝4﹣/＝/
在直角△BCN中，CN＝/＝/．
故选：B．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝/，BC＝1，D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么△ABE的面积是（ ）
/
A．1 B．/ C．/ D．/
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝/，BC＝1，
∴AB＝/＝2，
∴∠BAC＝30°，
∵△ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，
∴BE＝BA＝2，∠BED＝∠BAD＝30°，DA＝DE，
∵AD⊥ED，
∴BC∥DE，
∴∠CBF＝∠BED＝30°，
在Rt△BCF中，CF＝/＝/，BF＝2CF＝/，
∴EF＝2﹣/，
在Rt△DEF中，FD＝/EF＝1﹣/，ED＝/FD＝/﹣1，
∴S△ABE＝S△ABD+S△BED+S△ADE
＝2S△ABD+S△ADE
＝2×/BC?AD+/AD?ED
＝2×/×1×（/﹣1）+/×（/﹣1）（/﹣1）
＝1．
故选：A．
二．填空题（共10小题）
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝ 2 ．
/
【解答】解：∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝/＝/＝5，
∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，
∴AD＝AC，
∴AD＝3，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
12．等边三角形的边长为6cm，则它的高为 3/ cm．
【解答】解：底边的一半是3．再根据勾股定理，得它的高为/＝3/cm．
13．直角三角形的两条边长分别为3、4，则它的另一边长为 5或/ ．
【解答】解：4是直角边时，则第三边＝/＝5；
4是斜边时，则第三边＝/＝/．
则第三边是5或/．
14．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是 76 ．
/
【解答】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，
∴由勾股定理得：AB＝/＝10，
∴正方形的面积是10×10＝100，
∵△AEB的面积是/AE×BE＝/×6×8＝24，
∴阴影部分的面积是100﹣24＝76，
故答案是：76．
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，将△ABC沿直线BD翻折，使点C落在AC边上的点C′处，若AC′＝2，则折痕BD的长 8 ．
/
【解答】解：∵AC＝10，AC′＝2，
∴CC′＝AC﹣AC′＝8，
由折叠的性质可知∠BC′C＝∠C，∠BDC＝90°，
∴∠BC′C＝∠ABC，
∴△ABC∽△BC′C，
∴/，
即BC2＝CC′×AC＝8×10＝80，
解得：BC＝4/，
∵CD＝/CC'＝4，∠BDC＝90°，
∴BD＝/＝/＝8；
故答案为：8．
16．一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距 30 海里．
【解答】解：如图，由已知得，OB＝16×1.5＝24海里，OA＝12×1.5＝18海里，
在△OAB中
∵∠AOB＝90°，
由勾股定理得OB2+OA2＝AB2，
即242+182＝AB2，
AB＝/＝30（海里）．
故答案为：30．
/
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD＝13，AC＝12，则点D到AB的距离为 5 ．
/
【解答】解：在Rt△ACD中，AD＝13，AC＝12，由勾股定理得：CD＝5，
/
过D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD＝5，
即点D到AB的距离为5，
故答案为：5．
18．如图，正方形ODBC中，OB＝/，OA＝OB，则数轴上点A表示的数是 ﹣/ ．
/
【解答】解：∵OB＝/＝/，
∴OA＝OB＝/，
∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是﹣/，
故答案为：﹣/．
19．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”．已知Rt△ABC中，∠B＝90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt△ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于 / ．
【解答】解：“有趣中线”有三种情况：
若“有趣中线”为斜边AC上的中线，直角三角形的斜边的中点到三顶点距离相等，不合题意；
若“有趣中线”为AB边上的中线，则“有趣中线”为1，不符合题意；
若“有趣中线”为另一直角边BC上的中线，如图所示，AB＝1，
设AD＝2x，则BD＝x，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AD2＝AB2+BD2，即（2x）2＝12+x2，
解得：x＝/，
则这个三角形“有趣中线”长等于/．
故答案为：/．
/
20．如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AB为5cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是 13cm ．
/
【解答】解：如图所示：
由于圆柱体的底面周长为24cm，
则AD＝24×/＝12cm．
又因为CD＝5cm，
所以AC＝/＝13cm．
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是13cm．
/
三．解答题（共7小题）
21．设a＝/，b＝2，c＝/．
（1）当a有意义时，求x的取值范围．
（2）若a、b、c为Rt△ABC三边长，求x的值．
【解答】解：（1）∵a有意义，
∴8﹣x≥0，
∴x≤8；
（2）方法一：分三种情况：
①当a2+b2＝c2，即8﹣x+4＝6，得x＝6，
②当a2+c2＝b2，即8﹣x+6＝4，得x＝10，
③当b2+c2＝a2，即4+6＝8﹣x，得x＝﹣2，
又∵x≤8，
∴x＝6或﹣2；
方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c＞b
∴存在两种情况，
①当a2+b2＝c2，即8﹣x+4＝6，得x＝6，
②当b2+c2＝a2，即4+6＝8﹣x，得x＝﹣2，
∴x＝6或﹣2．
22．如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，…已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn（n为正整数），那么第8个正方形的面积S8＝ 27 ，第n个正方形的面积Sn＝ 2n﹣1 ．
/
【解答】解：第一个正方形的面积为1＝，故其边长为1＝20；
第二个正方形的边长为/，其面积为2＝21；
第三个正方形的边长为2，其面积为4＝22；
第四个正方形的边长为2/，其面积为8＝23；
…
第n个正方形的边长为（/）n﹣1，其面积为2n﹣1．
当n＝8时，
S8＝28﹣1，
＝27．
故答案为：27，2n﹣1．
23．如图，在四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，BC＝6，CD＝4，求AB的长．
/
【解答】解：延长AD，BC，交于点E，
在Rt△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，
∴∠E＝30°，
在Rt△CDE中，CD＝4，
∴CE＝2CD＝8，BE＝BC+CE＝6+8＝14，
设AB＝x，则有AE＝2x，
根据勾股定理得：x2+142＝（2x）2，
解得：x＝/，
则AB＝/．
/
24．一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），求光线从A点到B点经过的路线长．
/
【解答】解：/
过B作BM⊥x轴于M，
∵一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），
∴OA＝1，BM＝3，OM＝3，∠AOC＝∠BMC＝90°，∠ACO＝∠BCM，
∴△ACO∽△BCM，
∴/＝/，
∴/＝/，
∴OC＝/，CM＝3﹣/＝/，
由勾股定理得：AC＝/＝/＝/，
BC＝/＝/＝/，
∴AC+BC＝/+/＝5，
即光线从A点到B点经过的路线长是5．
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，在Rt∠ABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示．
（要求：在两个备用图中，分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长）
/
【解答】解：如图所示：
/．
26．在一棵树的10米高的B处有两只猴子．一只猴子爬下树走到离树20米的池塘的A处．另一只爬到树顶D后直按跃到A处．距离以直线计算．如果两只猴子所经过的距离相等．则这棵树高多少米？
/
【解答】解：
设树高为xm，则BD＝x﹣10，
则题意可知CD+AC＝10+20＝30，
∴AB＝30﹣BD＝30﹣（x﹣10）＝40﹣x，
∵△ABC为直角三角形，
∴AB2＝AC2+BC2，即（40﹣x）2＝202+x2，
解得x＝15，即树高为15m，
27．学习了勾股定理以后，有同学提出“在直角三角形中，三边满足a2+b2＝c2，或许其他的三角形三边也有这样的关系”．让我们来做一个实验!
（1）画出任意一个锐角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a＝ 6 mm；b＝ 8 mm；较长的一条边长c＝ 9 mm．比较＝a2+b2 ＞ c2（填写“＞”，“＜”，或“＝”）；
（2）画出任意的一个钝角三角形，量出各边的长度（精确到1毫米），较短的两条边长分别是a＝ 6 mm；b＝ 8 mm；较长的一条边长c＝ 11 mm．比较a2+b2 ＜ c2（填写“＞”，“＜”，或“＝”）；
（3）根据以上的操作和结果，对这位同学提出的问题，你猜想的结论是： 若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2 ，类比勾股定理的验证方法，相信你能说明其能否成立的理由．
【解答】解：（1）较短的两条边长分别是a＝6mm；b＝8mm；较长的一条边长c＝9mm．比较＝a2+b2＞c2；
（2）较短的两条边长分别是a＝6mm；b＝8mm；较长的一条边长c＝11mm．比较a2+b2＜c2；
（3）若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2；
若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有a2+b2＜c2．
当△ABC是锐角三角形时，
理由：过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD为x，
/
则有BD＝a﹣x．
根据勾股定理，得b2﹣x2＝AD2＝c2﹣（a﹣x）2，
即b2﹣x2＝c2﹣a2+2ax﹣x2．
∴a2+b2＝c2+2ax．
∵a＞0，x＞0，
∴2ax＞0；
∴a2+b2＞c2．
当△ABC是钝角三角形时，
理由：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．
设CD为x，则有BD2＝a2﹣x2，
根据勾股定理，得（b+x）2+a2﹣x2＝c2，即a2+b2+2bx＝c2．
∵b＞0，x＞0，
∴2bx＞0，
∴a2+b2＜c2．
/
/