2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷

2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共12小题每小题4分，共48分）
1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，4}，B＝{2，4}，则A∩（?UB）＝（　　）
A．{2} B．{4} C．{1} D．{1，2，4}
2．（4分）若幂函数f（x）的图象经过点（3，），则f（4）＝（　　）
A．16 B．﹣2 C．±2 D．2
3．（4分）函数f（x）＝lg（x+1）+的定义域为（　　）
A．（﹣∞，3] B．（﹣1，3] C．[0，3] D．（﹣1，3）
4．（4分）已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为，则这条弧所在的扇形面积为（　　）cm2．
A．π B．4π C．2π D．
5．（4分）已知向量＝（4，2），＝（3，﹣1），则向量与的夹角为（　　）
A． B． C．或 D．
6．（4分）如图是函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象，则其解析式是（　　）

A．f（x）＝3sin（x+） B．f（x）＝3sin（2x+）
C．f（x）＝3sin（2x﹣） D．f（x）＝3sin（2x+）
7．（4分）若tanθ＝2，则2sin2θ﹣3sinθcosθ＝（　　）
A．10 B．± C．2 D．
8．（4分）已知向量，满足||＝||＝||＝2，则|2+|＝（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
9．（4分）已知函数f（x）＝，则y＝f[f（x）]﹣3的零点为（　　）
A．0和3 B．2 C．﹣3 D．﹣1
10．（4分）在平面直角坐标系xOy中，点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，横坐标是，将点A绕原点O顺时针旋转到B点，则点B的横坐标为（　　）
A． B． C． D．
11．（4分）已知函数f（x）＝ex﹣e﹣x，则不等式f（2x2﹣1）+f（x）≤0的解集为（　　）
A．（0，1] B．[﹣] C．[﹣1，﹣] D．[﹣1，]
12．（4分）已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）＝，若f（x）+f（﹣x）＝0在定义域上有两个不同的解，则a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣） B．（）
C．（﹣∞，﹣）∪（） D．（﹣）
二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分）
13．（5分）计算：（）﹣lg﹣lg＝　 　．
14．（5分）已知sin（α+）＝，则sin（2α﹣）＝　 　．
15．（5分）三角形ABC中，已知AC＝4，AB＝2，＝3，，＝4，则＝　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝x+，其中a∈R，若关于x的方程f（|2x﹣1|）＝2a+有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共82分）
17．（10分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1＜x﹣m＜5}，B＝{x|＜2x＜4}．
（1）当m＝1时，求A∩（?UB）；
（2）若A∩B＝?，求实数m的取值范围．
18．（12分）已知，，α，β均为锐角．
（1）求sin2α的值；
（2）求sinβ的值．
19．（14分）已知向量＝（+sinx，4sinx），＝（cosx+sinx，﹣cosx），设 f（x）＝．
（1）将f（x）的图象向右平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到g{x）的图象，求g（x）的单调增区间；
（2）若x∈[0，]时，mf（x）+m≥f（x）+2恒成立，求实数m的取值范围．
20．（14分）在三角形ABC中，AB＝2，AC＝1，∠ACB＝，D是线段BC上一点，且＝，F为线段AB上一点．
（1）设＝，＝，设＝x+y，求x﹣y；
（2）求?的取值范围；
（3）若F为线段AB的中点，直线CF与AD相交于点M，求?．

21．（16分）如图，某城市拟在矩形区域ABCD内修建儿童乐园，已知AB＝2百米，BC＝4百米，点E，N分别在AD，BC上，梯形DENC为水上乐园；将梯形EABN分成三个活动区域，M在AB上，且点B，E关于MN对称，现需要修建两道栅栏ME，MN将三个活动区域隔开．设∠BNM＝θ，两道栅栏的总长度L （θ）＝ME+MN．
（1）求L （θ）的函数表达式，并求出函数的定义域；
（2）求L（θ）的最小值及此时θ的值．

22．（16分）若函数f（x）＝x|x﹣m|+m2，m∈R．
（1）若函数f（x）为奇函数，求m的值；
（2）若函数f（x）在x∈[1，2]上是增函数，求实数m的取值范围；
（3）若函数f（x）在x∈[1，2]上的最小值为7，求实数m的值．



2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题每小题4分，共48分）
1．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4}，B＝{2，4}，
∴?UB＝{1，3}，
∵A＝{1，4}，
∴A∩（?UB）＝{1，4}∩{1，3}＝{1}．
故选：C．
2．【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xa，x∈R，
函数图象过点（3，），
则3a＝，a＝，
∴幂函数f（x）＝，
∴f（4）＝＝2．
故选：D．
3．【解答】解：由题意得：
，解得：﹣1＜x≤3，
故函数的定义域是（﹣1，3]，
故选：B．
4．【解答】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为，
∴半径r＝＝4，
∴这条弧所在的扇形面积为S＝＝2πcm2．
故选：C．
5．【解答】解：根据题意得，?＝12﹣2＝10
∴cos，＞＝＝
∴向量与的夹角为．
故选：A．
6．【解答】解：由图象知A＝3，函数的周期T＝﹣（﹣）＝π，
即＝π，即ω＝2，
则f（x）＝3sin（2x+φ），
由五点对应法得2×（﹣）+φ＝0，
即φ＝，
则f（x）＝3sin（2x+），
故选：B．
7．【解答】解：∵sin2θ+cos2θ＝1，
∴2sin2θ﹣3sinθcosθ
＝
＝
＝
＝，
故选：D．
8．【解答】解：∵；
∴＝；
∴；
∴；
∴．
故选：C．
9．【解答】解：设t＝f（x），
解方程f（t）﹣3＝0得：
或，
解得：t＝1，
即f（x）＝1，
即或，
解得：x＝﹣3，
故选：C．
10．【解答】解：点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，设射线OA对应的角为θ，横坐标是cosθ＝，故点A的纵坐标为sinθ＝，
将点A绕原点O顺时针旋转到B点，则OB射线对应的终边对应的角为θ﹣，
则点B的横坐标为cos（θ﹣）＝cosθcos+sinθsin＝cosθ+sinθ＝，
故选：B．
11．【解答】解：∵f（x）＝ex﹣e﹣x，
∴f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），
则函数f（x）是奇函数，
∵y＝ex是增函数，y＝e﹣x，是减函数，则f（x）＝ex﹣e﹣x，是增函数，
则不等式f（2x2﹣1）+f（x）≤0得不等式f（2x2﹣1）≤﹣f（x）＝f（﹣x），
则2x2﹣1≤﹣x，即2x2+x﹣1≤0，得（x+1）（2x﹣1）≤0，
得﹣1≤x≤，
即不等式的解集为[﹣1，]，
故选：D．
12．【解答】解：已知定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）＝，
若f（x）+f（﹣x）＝0在定义域上有两个不同的解，等价于
直线y＝x+1关于原点对称的直线y＝x﹣1与函数f（x）＝x2+2ax（x＞0）的图象有两个交点，
联立，消y得：x2+（2a﹣1）x+1＝0，
由题意有：此方程有两不等正实数根，
即，
解得：a，
故选：A．
二、填空题（本大题共4小题每小题5分，共20分）
13．【解答】解：（）﹣lg﹣lg＝﹣＝＝．
故答案为：．
14．【解答】解：sin（2α﹣）＝sin[2（a+）﹣]
＝﹣cos2（a+）
＝﹣[1﹣2sin2（a+）]
＝﹣（1﹣2×）
＝﹣，
故答案为：﹣
15．【解答】解：∵＝3，，＝4，
∴﹣＝3（﹣）?3＝+2；
﹣＝4（﹣）?4＝+3；
∴12?＝（+2）?（+3）＝22+32+7?）
∴12×4＝2×4+3×16+7?，
∴?＝﹣
故答案为：﹣
16．【解答】解：设t＝g（x）＝|2x﹣1|，
其图象如图所示，
设t1，t2为方程t＝2a的两根
则f（|2x﹣1|）＝2a+有三个不同的实数解等价于：t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2的交点和为3，
由图可知：t1∈（0，1），t2∈[1，+∞），
设h（x）＝t2﹣（2a+）t+a，则此函数有两个零点t1∈（0，1），t2∈[1，+∞），
①当t2＝1时，解得：a＝，
由a＝，解得t1＝，满足题意，
②当t2＞1时，由二次方程区间根问题可得：
，解得：a，
综合①②得：
实数a的取值范围是a，
故答案为：[，+∞）．

三、解答题（本大题共6小题，共82分）
17．【解答】解：A＝{x|m﹣1＜x＜m+5}，B＝{x|﹣1＜x＜2}；
（1）m＝1时，A＝{x|0＜x＜6}，且?UB＝{x|x≤﹣1，或x≥2}；
∴A∩（?UB）＝{x|2≤x＜6}；
（2）∵A∩B＝?；
∴m﹣1≥2，或m+5≤﹣1；
∴m≥3，或m≤﹣6；
∴实数m的取值范围为{m|m≤﹣6，或m≥3}．
18．【解答】解：（1）∵，α为锐角，∴，
∴．
（2）∵α，β均为锐角，，∴α+β∈（0，π），
∴，
∴．
19．【解答】解：（1）由题意得f（x）＝（）2
＝
＝
＝1+1
＝2，
∴g（x）＝2，
由2k，k∈Z，
得2kπ，k∈Z，
即g（x）的增区间为[]，k∈Z．
（2）当x时，
可得f（x）+1∈[1，4]，
∴mf（x）+m≥f（x）+2?m≥＝1+，
易得1+的最大值为2，
∴使原不等式恒成立的m的范围为[2，+∞），
故实数m的取值范围为[2，+∞）．
20．【解答】解：（1）∵＝+＝+＝+（﹣）＝+＝+，
∴x＝，y＝，∴x﹣y＝
（2）设＝λ，（0≤λ≤1）
因为在三角形ABC中，4B＝2，AC＝1，∠ACB＝，∴∠CAB＝30°，
∴?＝（﹣）?（﹣）＝（λ﹣）（﹣λ）＝﹣4λ2+λ?1×2×＝﹣4λ2+λ＝﹣4（λ﹣）2+∈[﹣4+，]
（3）∵A，M，D三点共线，∴可设＝x+（1﹣x）＝x+（1﹣x）?，
∵F为AB的中点，∴＝+，
又C，M，F三点共线，∴存在t∈R使得＝t，
∴x+（1﹣x）＝+，
∴，解得，
?＝（+）?＝（++）?＝?+2＝×1×2×（﹣）+×4＝﹣
21．【解答】解：（1）∵点B，E关于MN对称，
∴Rt△BMN≌RtEMN，∴BM＝EM，∠BMN＝∠EMN＝﹣θ，
∴∠AME＝π﹣2（﹣θ）＝2θ，
设AM＝x，则BM＝EM＝2﹣x，∴cos2θ＝＝，
∴x＝＝＝2﹣，
由sinθ＝＝可得MN＝＝，
∴ME+MN＝+＝＝．
由∠AME＝2θ＜可知0＜θ＜．
∴L （θ）＝（0＜θ＜）．
（2）∵0＜θ＜，∴0＜sinθ＜，
∴sinθ（1﹣sinθ）≤（）2＝，当且仅当sinθ＝1﹣sinθ即sinθ＝时取等号．
∴当θ＝时，L（θ）取得最小值4．
22．【解答】解：（1）函数f（x）为奇函数，
∴f（0）＝m2＝0，解得m＝0；
（2）∵f（x）＝，
∵函数f（x）在x∈[1，2]上是增函数，
当m≤0时，f（x）＝x2﹣mx+m2的对称轴为x＝，
由≤1，即f（x）在[1，2]递增；
当0＜m≤1时，f（x）＝x2﹣mx+m2的对称轴为x＝，
由≤1，即f（x）在[1，2]递增；
当1＜m＜2时，f（x）在（1，m）递减，（m，2）递增；
当m≥2时，f（x）＝﹣x2+mx+m2的对称轴为x＝，
若2≤m＜4，可得f（x）在（1，）递增；在（，2）递减；
若m≥4，可得f（x）在（1，2）递增，
综上可得，m的范围是（﹣∞，1]∪[4，+∞）；
（3）由（2）可得m≤1时，f（x）在[1，2]递增，
可得f（1）＝1﹣m+m2＝7，解得m＝﹣2（3舍去），
当1＜m＜2时，f（x）在（1，m）递减，（m，2）递增，
可得f（m）＝m2＝7，解得m＝，不符合条件，舍去；
当2≤m＜4，可得f（x）在（1，）递增；在（，2）递减，
若f（1）＝m﹣1+m2，f（2）＝2（m﹣2）+m2，f（1）﹣f（2）＝3﹣m，
当2≤m≤3，令f（2）＝7，解得m＝2﹣1，成立；
若3＜m＜4，可令f（1）＝7，解得m＝，不符合条件，舍去；
当m≥4，可得f（x）在（1，2）递增，令f（1）＝7，
即m﹣1+m2＝7，解得m＝，不符合条件，舍去．
综上可得m的值为﹣2或2﹣1．