第1章 二次根式单元检测卷B（含解析）
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文档简介
2018-2019沪科版八年级下第1章二次根式单元检测卷B
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
计算的值为 （ ）
A．169 B．-13 C．±13 D．13
下列根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
·等于( )
A．a B．12a2b C．a2 D．2a
如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
下列式子：中，一定是二次根式的是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
数轴上表示6-的点A的位置应在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
使式子＝3－x成立的x的取值范围是 （ ）
A．x≥23 B．x≤3 C．x=3 D．任意实数
若长方形的面积，长为cm，宽为（ ）cm
A．2 B．2 C.4 D.8
最简二次根式与可以合并，则
A．2 B．1 C．-1 D．3
若y=+﹣2，则﹣xy的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
有理数x、y满足=x+，则x+y的值为（ ） A． B． C．3 D．无法确定
、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
计算______．
把 分母中的根号去掉，得到的最简结果是________（结果保留根号）.
我们赋予“※”一个实际含义，规定a※b＝·＋，计算3※5＝___．
已知正数a和b，有下列命题：
（1）若a+b=2，则≤1；（2）若a+b=3，则≤；（3）若a+b=6，则≤3．
根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a+b=9，则≤ ．
观察下列运算过程：
……
请运用上面的运算方法计算：
=_____．
用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为 ．
、解答题（本大题共8小题，共6分）
已知 是一个整数，试求出自然数 的值．
化简求值：已知：x＝，y＝，求的值．
已知非零实数a，b满足+|b-3|++4=a，求ab-1的值.
求值：
（1）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．
（2）已知实数a、b满足（a﹣2）2+=0，求b﹣a的算术平方根
（3）已知y=，求的值
已知，、满足，求的值．
计算
（1）（+）÷
（2）（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣
（3）根式与是可以合并的最简二次根式，则b﹣a的值为多少？
已知数轴上A．B、C三个互不重合的点，若A点对应的数为a，B点对应的数为b，C点对应的数为c．
(1)若a是最大的负整数，B点在A点的左边，且距离A点2个单位长度，把B点向右移动3+个单位长度可与C点重合，请在数轴上标出A，B，C点所对应的数．
(2)在(1)的条件下，化简﹣﹣|a﹣b|+|c﹣a|．
阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，则三角形的面积S=．
我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=．
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，求这个三角形的面积．
（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．
答案解析
、选择题
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据二次根式的性质得出即可．
解：=13，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，灵活运用性质是解题的关键．
【考点】同类二次根式
【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果．
解：A．，本选项不合题意；
B、，本选项不合题意；
C、，本选项合题意；
D、，本选项不合题意；
故选C．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
【考点】二次根式的乘除
【分析】原式利用二次根式乘法法则计算即可得到结果．
解:原式==2a，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键．
【考点】二次根式的概念，一元一次不等式的解
【分析】根据式子有意义和二次根式的概念，得到2x+6≥0，解不等式求出解集，根据数轴上表示不等式解集的要求选出正确选项即可．
解：由题意得，2x+6≥0，
解得，x≥﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查度数二次根式的概念、一元一次不等式的解法以及解集在数轴上的表示方法，正确列出不等式是解题的关键，注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【考点】二次根式的定义
【分析】解题需要分别考虑是否满足二次根式需要同时满足的两个条件：一是含有根号，二是被开方数是非负数.
解：根据二次根式的定义可得是二次根式，
故选B.
【点睛】本题考查的是二次根式的定义，熟练掌握这一点是解题的关键.
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
【考点】二次根式的定义
【分析】3=＜＜=4.
解：由＜＜可得，＜6-＜6-，整理得2＜6-＜3，
故选择B.
【点睛】本题考查了二次根式的概念.
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据 得到＝，则有=3-x，根据绝对值的意义即可得到x的取值范围．
解：∵＝，
∴|x-3|=3-x，
∴x-3≤0，即x≤3,
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,掌握是解题的关键．
【考点】二次根式的乘除
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可.
解:长方形的面积S=6?,长为3?,所以宽=2?.
故答案选B?.
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的乘除法，解题的关键是熟练的掌握二次根式的乘除法.
【考点】同类二次根式
【分析】由题意可知，与同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解．
解:根据题意3m+n=4m?2，
即?m+n=?2，
所以m?n=2.
故选：A．
【点睛】此题考查同类二次根式和最简二次根式的定义，熟练掌握定义是解此题的关键.
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】先根据二次根式的基本性质：有意义，则a≥0求出x的值，进一步得到y的值，再代入计算即可求解．
解：∵y=+﹣2，
∴x﹣1=0，
解得x=1，
∴y=﹣2，
∴﹣xy=﹣1×（﹣2）=2．
故选：B．
【点评】考查了二次根式有意义的条件，解决此题的关键：掌握二次根式的基本性质：有意义，则a≥0．
【考点】二次根式的化简求值
【分析】先化简原式得=2x+2，由21-12是完全平方式，从而得出x，y的值，代入求解即可． 解：∵=x+， ∴=2x+2， ∴=2x+2， ∵x，y为有理数， ∴2x=-3，2=2， ∴x=-，y=3， ∴x+y=-+3=． 故选A．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值。利用恒等求出x和y是解题的关键。
、填空题
【考点】二次根式的加减
【分析】先把各根式化简，然后进行合并即可得到结果．
解：原式=
=
【点睛】本题主要考查二次根式的加减，比较简单．
【考点】分母有理化
【分析】原式分子分母乘以有理化因式，化简即可得到结果．
解：原式==，
故答案为：.
【点睛】本题考查的知识点是分母有理化，解题关键是找出原式分母的有理化因式．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据新定义运算a※b＝·＋,可得: 3※5=·＋,然后根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可求解.
解：因为a※b＝·＋,
所以3※5=·＋,
·＋,
=,
=,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查新定义运算和二次根式的乘法和除法法则,解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的乘法和除法法则.
【考点】二次根式的化简求值, 实数大小比较
【分析】先看不等号，都是≤，那么要求的不等号也是≤．再看结果，都是前面那个等式的结果的一半，所以要求的结果也应是9的一半，由此即可求解．
解：由图中规律可知，a+b≥，
因为a+b=9，
所以≤．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值, 实数大小比较．找到解题规律是答题的关键
【考点】二次根式的混合运算
【分析】先分母有理化，然后合并即可．
解：原式=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣），
=（﹣1+﹣+…+﹣），
=．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质.
【考点】二元一次方程组的应用，二次根式的化简
【分析】图①中阴影部分的边长为=2，图②中，阴影部分的边长为=2；设小矩形的长为a，宽为b，依据等量关系即可得到方程组，进而得出a，b的值，即可得到图③中，阴影部分的面积．
解：由图可得，图①中阴影部分的边长为=2，图②中，阴影部分的边长为=2；
设小矩形的长为a，宽为b，依题意得
，
解得，
∴图③中，阴影部分的面积为（a﹣3b）2=（4﹣2﹣6）2=44﹣16，
故答案为：44﹣16．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二次根式的化简，当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
、解答题
【考点】二次根式的定义
【分析】直接利用整数以及自然数的定义结合二次根式的性质得出答案．
解：由题意可知 且 ，即 ．
．又 是一个整数，
是一个完全平方数．
只能是 ，，，，．
当 时，（不合题意，舍去）；
当 时，；
当 时，（不合题意，舍去）；
当 时，；
当 时，（不合题意，舍去）．
综上所述，自然数 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
【考点】分母有理化
【分析】将x和y的值分母有理化，再代入到原式xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9计算可得．
解:当x＝＝＝，y＝＝＝时，
原式＝xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9
＝×+3×（+）+9
＝+3×+9
＝+3+9
＝+3．
【点睛】此题考查了二次根式的化简求值与分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式及二次根式的混合运算顺序与运算法则是解答问题的关键．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】先根据二次根式的意义确定：（a-5）（b2+1）≥0，a≥5，再化简，由绝对值和二次根式的非负性列等式可得结论．
解：由题意得(a-5)(b2+1)≥0，
∴a≥5，
因为+|b-3|++4=a.
即+|b-3|++4=a，
a-4+|b-3|++4=a，
∴|b-3|+=0，
又因为|b-3|≥0，≥0，
故|b-3|==0，
则b=3，a=5，
故ab-1=52=25.
【点睛】考查了二次根式的性质和化简及非负数的性质，解题的关键是将所给的式子化为非负数的和为0的等式，然后利用非负性求出a、b的值，本题属于中等题型．
【考点】二次根式的化简求值
【分析】利用平方根，立方根的概念分别列出关于x和y的方程,从而求出x和y的值，代入求值.
先根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，代入求b-a的算术平方根即可.
先根据二次根式有意义的条件求出x的值,再求出y的值，代入代数式进行计算即可.
解：（1）由x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，得
x﹣2=4，2x+y+7=27，
解得x=6，y=8．
x2+y2的平方根是6=±10，
（2）由（a﹣2）2+=0，得
，
解得，
b﹣a的算术平方根是=；
（3）由题意，得
，
解得x=1，
当x=1时，y=4．
==2．
【点睛】本题主要考查平方根，立方根的概念，非负数的性质，二次根式有意义的条件，灵活运用是关键.
【考点】二次根式的化简求值
【分析】根据两个相反数在二次根式内得到y与x之间的关系，进而得到x与y的值，代入所给代数式求值即可．
解：∵且，
∴，
∴，；
)
=
=]
=
=．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值问题；得到未知数的值是解决本题的关键；用到的知识点为：互为相反数的两个数在二次根式内，被开方数为0．
【分析】（1）首先化简二次根式进而利用二次根式混合运算法则求出答案；
（2）直接利用乘法公式以及零指数幂的性质和立方根的性质化简求出答案；
（3）直接利用同类二次根式的性质得出关于a，b的等式求出答案．
解：（1）（+）÷
=（4+2）÷
=6÷
=6；
（2）（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣
=3﹣1+1﹣3
=0；
（3）∵根式与是可以合并的最简二次根式，
∴，
解得：，
则b﹣a=1﹣3=﹣2．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】（1）根据题意得出方程﹣1﹣b＝2，c﹣（3）＝﹣3，求出数，在数轴上标出即可；
（2）根据和绝对值的意义化简后，再代入数值即可．
解：（1）∵a是最大的负整数，∴a＝﹣1．
∵B点在A点的左边，且距离A点2个单位长度，∴﹣1﹣b＝2，∴b＝﹣3．
∵把B点向右移动3个单位长度可与C点重合，∴c﹣（3）＝﹣3，∴c．
A，B，C点在数轴上所对应的数如图：
（2）|a﹣b|+|c﹣a|
＝﹣a+（a+b）﹣（a﹣b）+（c﹣a）
＝﹣a+a+b﹣a+b+c﹣a
＝﹣2a+2b+c
当a=﹣1，b=﹣3，c=时，原式＝﹣2×（﹣1）+2×（﹣3）＝﹣4．
【点睛】
本题考查了数轴上的点与实数的关系，二次根式的化简，能够把数轴上的点与实数结合起来﹣﹣数形结合是解题的关键．
【考点】二次根式的应用
【分析】（1）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解；
（2）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解．
解：（1）
.
答：这个三角形的面积等于
（2）
答：这个三角形的面积是
【点睛】本题属于材料阅读题，创新题型，主要考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
计算的值为 （ ）
A．169 B．-13 C．±13 D．13
下列根式中，不能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
·等于( )
A．a B．12a2b C．a2 D．2a
如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
下列式子：中，一定是二次根式的是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
使二次根式有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x≤1 D．x≥1
数轴上表示6-的点A的位置应在（ ）
A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间
使式子＝3－x成立的x的取值范围是 （ ）
A．x≥23 B．x≤3 C．x=3 D．任意实数
若长方形的面积，长为cm，宽为（ ）cm
A．2 B．2 C.4 D.8
最简二次根式与可以合并，则
A．2 B．1 C．-1 D．3
若y=+﹣2，则﹣xy的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
有理数x、y满足=x+，则x+y的值为（ ） A． B． C．3 D．无法确定
、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
计算______．
把 分母中的根号去掉，得到的最简结果是________（结果保留根号）.
我们赋予“※”一个实际含义，规定a※b＝·＋，计算3※5＝___．
已知正数a和b，有下列命题：
（1）若a+b=2，则≤1；（2）若a+b=3，则≤；（3）若a+b=6，则≤3．
根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a+b=9，则≤ ．
观察下列运算过程：
……
请运用上面的运算方法计算：
=_____．
用若干个形状、大小完全相同的矩形纸片围成正方形，4个矩形纸片围成如图①所示的正方形，其阴影部分的面积为12；8个矩形纸片围成如图②所示的正方形，其阴影部分的面积为8；12个矩形纸片围成如图③所示的正方形，其阴影部分的面积为 ．
、解答题（本大题共8小题，共6分）
已知 是一个整数，试求出自然数 的值．
化简求值：已知：x＝，y＝，求的值．
已知非零实数a，b满足+|b-3|++4=a，求ab-1的值.
求值：
（1）已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根．
（2）已知实数a、b满足（a﹣2）2+=0，求b﹣a的算术平方根
（3）已知y=，求的值
已知，、满足，求的值．
计算
（1）（+）÷
（2）（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣
（3）根式与是可以合并的最简二次根式，则b﹣a的值为多少？
已知数轴上A．B、C三个互不重合的点，若A点对应的数为a，B点对应的数为b，C点对应的数为c．
(1)若a是最大的负整数，B点在A点的左边，且距离A点2个单位长度，把B点向右移动3+个单位长度可与C点重合，请在数轴上标出A，B，C点所对应的数．
(2)在(1)的条件下，化简﹣﹣|a﹣b|+|c﹣a|．
阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务．
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p=，则三角形的面积S=．
我国南宋著名的数学家秦九韶，曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，则三角形的面积S=．
（1）若一个三角形的三边长分别是5，6，7，求这个三角形的面积．
（2）若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积．
答案解析
、选择题
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据二次根式的性质得出即可．
解：=13，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，灵活运用性质是解题的关键．
【考点】同类二次根式
【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果．
解：A．，本选项不合题意；
B、，本选项不合题意；
C、，本选项合题意；
D、，本选项不合题意；
故选C．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
【考点】二次根式的乘除
【分析】原式利用二次根式乘法法则计算即可得到结果．
解:原式==2a，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键．
【考点】二次根式的概念，一元一次不等式的解
【分析】根据式子有意义和二次根式的概念，得到2x+6≥0，解不等式求出解集，根据数轴上表示不等式解集的要求选出正确选项即可．
解：由题意得，2x+6≥0，
解得，x≥﹣3，
故选：C．
【点评】本题考查度数二次根式的概念、一元一次不等式的解法以及解集在数轴上的表示方法，正确列出不等式是解题的关键，注意在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
【考点】二次根式的定义
【分析】解题需要分别考虑是否满足二次根式需要同时满足的两个条件：一是含有根号，二是被开方数是非负数.
解：根据二次根式的定义可得是二次根式，
故选B.
【点睛】本题考查的是二次根式的定义，熟练掌握这一点是解题的关键.
【考点】二次根式有意义的条件
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可．
解：由题意得，x﹣1≥0，
解得x≥1，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
【考点】二次根式的定义
【分析】3=＜＜=4.
解：由＜＜可得，＜6-＜6-，整理得2＜6-＜3，
故选择B.
【点睛】本题考查了二次根式的概念.
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据 得到＝，则有=3-x，根据绝对值的意义即可得到x的取值范围．
解：∵＝，
∴|x-3|=3-x，
∴x-3≤0，即x≤3,
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,掌握是解题的关键．
【考点】二次根式的乘除
【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可.
解:长方形的面积S=6?,长为3?,所以宽=2?.
故答案选B?.
【点睛】本题考查的知识点是二次根式的乘除法，解题的关键是熟练的掌握二次根式的乘除法.
【考点】同类二次根式
【分析】由题意可知，与同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解．
解:根据题意3m+n=4m?2，
即?m+n=?2，
所以m?n=2.
故选：A．
【点睛】此题考查同类二次根式和最简二次根式的定义，熟练掌握定义是解此题的关键.
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】先根据二次根式的基本性质：有意义，则a≥0求出x的值，进一步得到y的值，再代入计算即可求解．
解：∵y=+﹣2，
∴x﹣1=0，
解得x=1，
∴y=﹣2，
∴﹣xy=﹣1×（﹣2）=2．
故选：B．
【点评】考查了二次根式有意义的条件，解决此题的关键：掌握二次根式的基本性质：有意义，则a≥0．
【考点】二次根式的化简求值
【分析】先化简原式得=2x+2，由21-12是完全平方式，从而得出x，y的值，代入求解即可． 解：∵=x+， ∴=2x+2， ∴=2x+2， ∵x，y为有理数， ∴2x=-3，2=2， ∴x=-，y=3， ∴x+y=-+3=． 故选A．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值。利用恒等求出x和y是解题的关键。
、填空题
【考点】二次根式的加减
【分析】先把各根式化简，然后进行合并即可得到结果．
解：原式=
=
【点睛】本题主要考查二次根式的加减，比较简单．
【考点】分母有理化
【分析】原式分子分母乘以有理化因式，化简即可得到结果．
解：原式==，
故答案为：.
【点睛】本题考查的知识点是分母有理化，解题关键是找出原式分母的有理化因式．
【考点】二次根式的混合运算
【分析】根据新定义运算a※b＝·＋,可得: 3※5=·＋,然后根据二次根式的乘法和除法法则进行计算即可求解.
解：因为a※b＝·＋,
所以3※5=·＋,
·＋,
=,
=,
故答案为:.
【点睛】本题主要考查新定义运算和二次根式的乘法和除法法则,解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的乘法和除法法则.
【考点】二次根式的化简求值, 实数大小比较
【分析】先看不等号，都是≤，那么要求的不等号也是≤．再看结果，都是前面那个等式的结果的一半，所以要求的结果也应是9的一半，由此即可求解．
解：由图中规律可知，a+b≥，
因为a+b=9，
所以≤．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值, 实数大小比较．找到解题规律是答题的关键
【考点】二次根式的混合运算
【分析】先分母有理化，然后合并即可．
解：原式=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣），
=（﹣1+﹣+…+﹣），
=．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质.
【考点】二元一次方程组的应用，二次根式的化简
【分析】图①中阴影部分的边长为=2，图②中，阴影部分的边长为=2；设小矩形的长为a，宽为b，依据等量关系即可得到方程组，进而得出a，b的值，即可得到图③中，阴影部分的面积．
解：由图可得，图①中阴影部分的边长为=2，图②中，阴影部分的边长为=2；
设小矩形的长为a，宽为b，依题意得
，
解得，
∴图③中，阴影部分的面积为（a﹣3b）2=（4﹣2﹣6）2=44﹣16，
故答案为：44﹣16．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及二次根式的化简，当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．
、解答题
【考点】二次根式的定义
【分析】直接利用整数以及自然数的定义结合二次根式的性质得出答案．
解：由题意可知 且 ，即 ．
．又 是一个整数，
是一个完全平方数．
只能是 ，，，，．
当 时，（不合题意，舍去）；
当 时，；
当 时，（不合题意，舍去）；
当 时，；
当 时，（不合题意，舍去）．
综上所述，自然数 的值为 或 ．
【点睛】本题考查了二次根式的定义，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
【考点】分母有理化
【分析】将x和y的值分母有理化，再代入到原式xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9计算可得．
解:当x＝＝＝，y＝＝＝时，
原式＝xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9
＝×+3×（+）+9
＝+3×+9
＝+3+9
＝+3．
【点睛】此题考查了二次根式的化简求值与分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式及二次根式的混合运算顺序与运算法则是解答问题的关键．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】先根据二次根式的意义确定：（a-5）（b2+1）≥0，a≥5，再化简，由绝对值和二次根式的非负性列等式可得结论．
解：由题意得(a-5)(b2+1)≥0，
∴a≥5，
因为+|b-3|++4=a.
即+|b-3|++4=a，
a-4+|b-3|++4=a，
∴|b-3|+=0，
又因为|b-3|≥0，≥0，
故|b-3|==0，
则b=3，a=5，
故ab-1=52=25.
【点睛】考查了二次根式的性质和化简及非负数的性质，解题的关键是将所给的式子化为非负数的和为0的等式，然后利用非负性求出a、b的值，本题属于中等题型．
【考点】二次根式的化简求值
【分析】利用平方根，立方根的概念分别列出关于x和y的方程,从而求出x和y的值，代入求值.
先根据非负数的性质列出方程，求出a、b的值，代入求b-a的算术平方根即可.
先根据二次根式有意义的条件求出x的值,再求出y的值，代入代数式进行计算即可.
解：（1）由x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，得
x﹣2=4，2x+y+7=27，
解得x=6，y=8．
x2+y2的平方根是6=±10，
（2）由（a﹣2）2+=0，得
，
解得，
b﹣a的算术平方根是=；
（3）由题意，得
，
解得x=1，
当x=1时，y=4．
==2．
【点睛】本题主要考查平方根，立方根的概念，非负数的性质，二次根式有意义的条件，灵活运用是关键.
【考点】二次根式的化简求值
【分析】根据两个相反数在二次根式内得到y与x之间的关系，进而得到x与y的值，代入所给代数式求值即可．
解：∵且，
∴，
∴，；
)
=
=]
=
=．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值问题；得到未知数的值是解决本题的关键；用到的知识点为：互为相反数的两个数在二次根式内，被开方数为0．
【分析】（1）首先化简二次根式进而利用二次根式混合运算法则求出答案；
（2）直接利用乘法公式以及零指数幂的性质和立方根的性质化简求出答案；
（3）直接利用同类二次根式的性质得出关于a，b的等式求出答案．
解：（1）（+）÷
=（4+2）÷
=6÷
=6；
（2）（+1）（﹣1）+（﹣2）0﹣
=3﹣1+1﹣3
=0；
（3）∵根式与是可以合并的最简二次根式，
∴，
解得：，
则b﹣a=1﹣3=﹣2．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】（1）根据题意得出方程﹣1﹣b＝2，c﹣（3）＝﹣3，求出数，在数轴上标出即可；
（2）根据和绝对值的意义化简后，再代入数值即可．
解：（1）∵a是最大的负整数，∴a＝﹣1．
∵B点在A点的左边，且距离A点2个单位长度，∴﹣1﹣b＝2，∴b＝﹣3．
∵把B点向右移动3个单位长度可与C点重合，∴c﹣（3）＝﹣3，∴c．
A，B，C点在数轴上所对应的数如图：
（2）|a﹣b|+|c﹣a|
＝﹣a+（a+b）﹣（a﹣b）+（c﹣a）
＝﹣a+a+b﹣a+b+c﹣a
＝﹣2a+2b+c
当a=﹣1，b=﹣3，c=时，原式＝﹣2×（﹣1）+2×（﹣3）＝﹣4．
【点睛】
本题考查了数轴上的点与实数的关系，二次根式的化简，能够把数轴上的点与实数结合起来﹣﹣数形结合是解题的关键．
【考点】二次根式的应用
【分析】（1）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解；
（2）把a、b、c的长代入求出S2，再开方计算即可得解．
解：（1）
.
答：这个三角形的面积等于
（2）
答：这个三角形的面积是
【点睛】本题属于材料阅读题，创新题型，主要考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计算．