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导数的运算法则
考纲解读
考 点 考纲要求 要求 题型
利用导数的运算法则求导 .能利用导数的四则运算法则求解导函数. II 选择，填空，解答题
复合函数的导数 .能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导. II 选择，填空，解答题
知识梳理
一、导数的运算法则
设两个函数分别为f(x)和g(x)
两个函数的和的导数 [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
两个函数的差的导数 [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
两个函数的积的导数 [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的商的导数 ′＝
二、复合函数
复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))
复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
典例解析
考向一 利用导数的运算法则求导
[典例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝cos x＋x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝；
(4)y＝4＋4；
(5)y＝；
(6)y＝xln.
[解析] (1)y′＝′＝－sin x＋xln＝－sin x－xln 2.
(2)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′
＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.
(3)∵y＝＝＝1－，
∴y′＝′＝′
＝－＝.
(4)y＝2－2sin2cos2
＝1－sin2＝1－·＝＋cos x，
∴y′＝′＝－sin x.
(5)y＝
＝＝cos x－sin x，
∴y′＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x.
(6)y＝xln＝xln x，
∴y′＝(x)′·ln x＋x·(ln x)′＝ln x＋.
1．运用可导函数求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数y＝f(x)的结构和特征，若直接求导很烦琐，一定要先进行合理的化简变形，再选择恰当的求导法则和导数公式求导．
2．若要求导的函数解析式与三角函数有关，往往需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简、整理，然后再套用公式求导．
1．求下列函数的导数：
(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sincos；
(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝.
解析：(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.
(2)∵y＝x－sin x，
∴y′＝x′－(sin x)′＝1－cos x.
(3)y′＝(x2＋log3x)′
＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.
(4)y′＝
＝＝.
考向二 复合函数的导数
[典例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝(－2x＋1)2；(2)y＝ex－1；
(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝2sin；
(5)y＝.
[解析] (1)设y＝u2，u＝－2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.
(2)设y＝eu，u＝x－1，则y′x＝y′u·u′x＝eu·1＝ex－1.
(3)设y＝log2u，u＝2x＋1，则y′x＝y′u·u′x＝＝.
(4)设y＝2sin u，u＝3x－，则y′x＝y′u·u′x＝2cos u×3＝6cos.
(5)设y＝u，u＝1－2x，则y′x＝(u)′·(1－2x)′＝－u×(－2)＝(1－2x) .
1．求复合函数的导数的步骤：
2．求复合函数的导数的注意点：
(1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．
2．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝esin x；
(3)y＝sin2x；(4)y＝5log2(2x＋1)．
解析：(1)设y＝u，u＝1－2x2，
则y′x＝yu′·ux′＝(u)′(1－2x2)′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)u))·(－4x)＝－(1－2x2)·(－4x)＝2x(1－2x2) .
(2)设y＝eu，u＝sin x，
则yx′＝yu′·ux′＝eu·cos x＝esin x·cos x.
(3)设y＝u2，u＝sin x，
yx′＝yu′·ux′＝2u·cos x＝2sin x·cos x＝sin 2x.
(4)设y＝5log2u，u＝2x＋1，
则y′＝5(log2u)′(2x＋1)′＝＝.
考向三 求导公式及导数运算法则的综合应用
[典例3] (1)求曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程；
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，求点P的坐标．
[解析] (1)∵y′＝ex＋xex＋2，
∴曲线在点(0,1)处的切线斜率为k＝e0＋0＋2＝3，
∴所求切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1.
(2)设点P的坐标为(x0，y0)，
∵y′＝3x2－10，∴3x－10＝2，解得x0＝±2.
又点P在第二象限内，∴x0＝－2.
又点P在曲线C上，
∴y0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，
∴点P的坐标为(－2,15)．
求解与切线有关的综合问题：
(1)在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程．在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，点P不一定是切点；
(2)求过点P的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为(x0，y0)，然后写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，最后代入点P的坐标，求出(x0，y0)．切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
3．(1)函数y＝2cos2x在x＝处的切线斜率为________．
(2)曲线y＝＋ln在点P处的切线方程为________．
解析：(1)由函数y＝2cos2x＝1＋cos 2x，
得y′＝(1＋cos 2x)′＝－2sin 2x，所以函数在x＝处的切线斜率为－2sin(2×)＝－1.
(2)设y＝＋ln v，u＝2x，v＝2x2＋，
∵y′x＝()′u′＋(ln v)′v′
＝＋＝＋，
∴k＝y′|＝1＋＝3.
∴切线方程为y－1＝3，
即6x－2y－1＝0.
答案：(1)－1 (2)6x－2y－1＝0
过关检测
1．设函数y＝excos x，则y′等于( )
A．excos x B．－exsin x
C．excos x＋exsin x D．excos x－exsin x
解析：y′＝(ex)′cos x＋ex(cos x)′＝excos x－exsin x.
答案：D
2．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
解析：∵f′(x)＝x2－2x，∴f′(1)＝1－2＝－1，
∴在x＝1处的切线的倾斜角为.
答案：B
3．曲线y＝ex在(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.e2 B．2e2
C．e2 D.
解析：y′＝ex，∴y′|x＝2＝e2，
∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.
当x＝0时，y＝－e2；当y＝0时，x＝1.
∴三角形的面积S＝×1×|－e2|＝，故选D.
答案：D
4．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，
即a－1＝2，所以a＝3.
答案：D
5．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是( )
A. B.
C. D.
解析：∵f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，∴m＝2，a＝1，∴f(x)＝x2＋x，即f(n)＝n2＋n＝n(n＋1)，∴数列{}(n∈N*)的前n项和为：
Sn＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.
答案：A
6．已知f(x)＝x2＋cos x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
解析：函数f(x)＝x2＋cos x，f′(x)＝－sin x，
f′(－x)＝－sin(－x)＝－＝－f′(x)，
故f′(x)为奇函数，故函数图象关于原点对称，排除B，D，
f′＝·－sin＝－<0.故C不对，答案为A.
答案：A
7．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
解析：设过点(1,0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，直线方程为y＝0.
由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－.
当x0＝时，直线方程为y＝x－.
由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.
答案：A
8．函数y＝x＋在点(1,2)处的切线斜率等于________．
解析：y′＝(x＋)′＝1－，
∴k＝y′|x＝1＝1－＝0.
答案：0
9．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
解析：f′(x)＝－sin(x＋φ)，
f(x)＋f′(x)＝cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin.
若f(x)＋f′(x)为奇函数，则f(0)＋f′(0)＝0，即0＝2sin，∴φ＋＝kπ(k∈Z)．
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝.
答案：
10.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．
解析：f′(x0)＝3x＝3，x0＝±1.
答案：±1
11．函数f(x)＝的导数为________．
解析：设u＝2x＋x2，
故f(x)＝就由f(u)＝，u＝2x＋x2复合而成，
∴f′(x)＝fu′·ux′＝u·(2＋2x)＝u (1＋x)＝ .
答案：
12．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
解析： f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.
答案：－2
13．(1)设函数f(x)＝(3x2＋x＋1)(2x＋3)，求f′(x)，f′(－1)；
(2)设函数f(x)＝x3－2x2＋x＋5，若f′(x0)＝0，求x0的值．
解析：(1)f(x)＝6x3＋11x2＋5x＋3，
∴f′(x)＝18x2＋22x＋5，
∴f′(－1)＝18－22＋5＝1.
(2)∵f(x)＝x3－2x2＋x＋5，
∴f′(x)＝3x2－4x＋1，
由f′(x0)＝0，得3x－4x0＋1＝0，
解得x0＝1或x0＝.
14．曲线y＝e2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
解析：y′＝(e2xcos 3x)′＝(e2x)′cos 3x＋e2x(cos 3x)′
＝2e2xcos 3x＋e2x(－3sin 3x)
＝e2x(2cos 3x－3sin 3x)
y′|x＝0＝2.
则切线方程为y－1＝2(x－0)，
即2x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行可设直线l方程为2x－y＋c＝0，
两平行线间距离d＝＝?c＝6或c＝－4.
故直线l方程为2x－y＋6＝0或2x－y－4＝0.
15．抛物线C1：y＝x2－2x＋2与抛物线C2：y＝－x2＋ax＋b在它们的一个交点处的切线互相垂直．
(1)求a，b之间的关系；
(2)若a>0，b>0，求ab的最大值．
解析：(1)设两抛物线的交点为M(x0，y0)，
由题意知x－2x0＋2＝－x＋ax0＋b，
整理得2x－(2＋a)x0＋2－b＝0①
由导数可得抛物线C1，C2在交点M处的切线斜率为k1＝2x0－2，k2＝－2x0＋a.因两切线互相垂直，则有k1k2＝－1，即(2x0－2)·(－2x0＋a)＝－1，
整理得2[2x－(2＋a)x0]＋2a－1＝0②
联立①和②，消去x0，得a＋b＝.
(2)由(1)知a＋b＝，又a>0，b>0，
∴ab≤()2＝()2＝.
当且仅当a＝b＝时，取等号，故ab的最大值为.
16．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．
解析：(1)f′(x)＝a－，
于是解得或
因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.
(2)证明：在曲线上任取一点，
由f′(x0)＝1－知，过此点的切线方程为
y－＝(x－x0)．
令x＝1，得y＝，
切线与直线x＝1的交点为；
令y＝x，得y＝2x0－1，
切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围成的三角形的面积为|2x0－1－1|＝|2x0－2|＝2.
所以所围成的三角形的面积为定值2.
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导数的运算法则
考纲解读
考 点 考纲要求 要求 题型
利用导数的运算法则求导 .能利用导数的四则运算法则求解导函数. II 选择，填空，解答题
复合函数的导数 .能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导. II 选择，填空，解答题
知识梳理
一、导数的运算法则
设两个函数分别为f(x)和g(x)
两个函数的和的导数 [f(x)＋g(x)]′＝f′(x)＋g′(x)
两个函数的差的导数 [f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)
两个函数的积的导数 [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的商的导数 ′＝
二、复合函数
复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))
复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
典例解析
考向一 利用导数的运算法则求导
[典例1] 求下列函数的导数：
(1)y＝cos x＋x；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；
(3)y＝；
(4)y＝4＋4；
(5)y＝；
(6)y＝xln.
1．求下列函数的导数：
(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sincos；
(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝.
考向二 复合函数的导数
[典例2] 求下列函数的导数：
(1)y＝(－2x＋1)2；(2)y＝ex－1；
(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝2sin；
(5)y＝.
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．
2．求下列函数的导数：
(1)y＝；(2)y＝esin x；
(3)y＝sin2x；(4)y＝5log2(2x＋1)．
考向三 求导公式及导数运算法则的综合应用
[典例3] (1)求曲线y＝xex＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程；
(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，求点P的坐标．
3．(1)函数y＝2cos2x在x＝处的切线斜率为________．
(2)曲线y＝＋ln在点P处的切线方程为________．
过关检测
1．设函数y＝excos x，则y′等于( )
A．excos x B．－exsin x
C．excos x＋exsin x D．excos x－exsin x
2．曲线f(x)＝x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
3．曲线y＝ex在(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.e2 B．2e2
C．e2 D.
4．设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
5．设函数f(x)＝xm＋ax的导数为f′(x)＝2x＋1，则数列{}(n∈N*)的前n项和是( )
A. B.
C. D.
6．已知f(x)＝x2＋cos x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( )
7．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于( )
A．－1或－ B．－1或
C．－或－ D．－或7
8．函数y＝x＋在点(1,2)处的切线斜率等于________．
9．设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0＜φ＜π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.
10.若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值为________．
11．函数f(x)＝的导数为________．
12．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝________.
13．(1)设函数f(x)＝(3x2＋x＋1)(2x＋3)，求f′(x)，f′(－1)；
(2)设函数f(x)＝x3－2x2＋x＋5，若f′(x0)＝0，求x0的值．
14．曲线y＝e2xcos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
15．抛物线C1：y＝x2－2x＋2与抛物线C2：y＝－x2＋ax＋b在它们的一个交点处的切线互相垂直．
(1)求a，b之间的关系；
(2)若a>0，b>0，求ab的最大值．
16．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求出此定值．
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