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1．3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数(解析版）
考纲解读
考 点 考纲要求 要求 题型
判断(或证明)函数的单调性 结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. III 解答题
求函数的单调区间 .会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). III 解答题
知识梳理
一、导数与函数的单调性
在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
导数 函数的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
f′(x)＝0 常数函数
二、函数单调性与导数值大小的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．
三、用导数研究函数单调性的一般步骤
1．确定函数f(x)的定义域．
2．求f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出它在定义域内的一切实根．
3．把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间．
4．确定f′(x)在各小开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在各个相应小开区间内的增减性．
典例讲解
考向一 判断(或证明)函数的单调性
[典例1] (1)判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性；
(2)证明函数f(x)＝在(，π)上单调递减．
[解析] (1)∵y′＝3ax2，又x2≥0.
∴当a>0时，y′≥0，函数在R上单调递增；
当a<0时，y′≤0，函数在R上单调递减；
当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性．
(2)证明：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝，
由于x∈(，π)，
所以cos x<0，sin x>0，xcos x－sin x<0.
故f′(x)<0，所以f(x)在(，π)上单调递减．
利用导数判断或证明函数的单调性的方法：
利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：①求导数f′(x)；②判断f′(x)的符号；③给出单调性结论．
1．证明函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．
证明：∵f(x)＝，
∴f′(x)＝＝
＝，
又∵x∈(0,2)．∴ln x
故f′(x)＝>0.
即函数在区间(0,2)上是单调递增函数．
考向二 求函数的单调区间
[典例2] 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x2－ln x；
(2)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．
[解析] (1)函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝6x－＝，
令f′(x)>0，即>0.
∵x>0，∴6x2－1>0，∴x>.
令f′(x)<0，即<0.
∵x>0，∴6x2－1<0，∴0∴f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.
(2)∵f′(x)＝－ax2＋2x.
①当a＝0时，f(x)＝x2＋1，其单调递减区间为
(－∞，0)，
单调递增区间为(0，＋∞)．
②当a<0时，令f′(x)>0，得(－ax＋2)x>0，即x>0，
得x>0或x<；
令f′(x)<0，得(－ax＋2)x<0，即x<0，得故f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，
单调递减区间为.
综上所述，当a＝0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，
单调递减区间为(－∞，0)；当a<0时，f(x)的单调递增区间为和(0，＋∞)，单调递减区间为
求函数的单调区间的步骤：
(1)确定函数y＝f(x)的定义域．
(2)求导数y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间．
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．
2．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－x；
(2)f(x)＝x2＋aln x(a∈R，a≠0).
解析：(1)函数的定义域为R，
f′(x)＝3x2－1＝(x＋1)(x－1)，
令f′(x)>0得到x>或x<－，
令f′(x)<0得－因此函数的单调递增区间为(－∞，－)和( ，＋∞)，
单调递减区间为(－，)．
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x＋，当a>0时，f′(x)>0，函数f(x)只有单调递增区间为(0，＋∞)．
当a<0时，由f′(x)＝x＋>0，得x>；
由f′(x)＝x＋<0，得0所以当a<0时，函数f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)．
考向三 已知函数的单调性求参数的取值范围
[典例3] (1)已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1)，a>0，若f(x)在(0,1)上是增函数，则a的取值范围是________；
(2)已知函数f(x)＝ax－ln x在(0,2)上不单调，则a的取值范围是________．
[解析] (1)解法一：∵f′(x)＝2a－3x2，令f′(x)>0，由a>0，x>0可解得0∴f(x)的递增区间是.
又∵f(x)在(0,1)上是增函数，
∴(0,1)?.
∴ ≥1，即a≥.
∴a的取值范围为.
解法二：∵f′(x)＝2a－3x2，f(x)在(0,1)上是增函数，
∴f′(x)≥0，在(0,1)上恒成立，
∴2a－3x2≥0，即a≥x2.
又∵x∈(0,1)，∴x2∈，即a≥.
检验a＝时，符合题意．
∴a的取值范围为.
解法三：∵f′(x)＝2a－3x2，f(x)在(0,1)上是增函数，
∴f′(x)≥0在(0,1)上恒成立．
又∵f′(x)为二次函数，且开口向下，
∴解得a≥.
∴a的取值范围是.
(2)f′(x)＝a－＝，①当a≤0时，f′(x)<0，即f(x)在(0,2)上单调递减，不合题意．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝.
∵f(x)在(0,2)上不单调，∴0<<2，得a>.
[答案] (1) (2)
怎样根据已知函数的单调性求参数的取值范围
(1)函数在区间[a，b]上单调递增(减)；
(2)f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立；
(3)利用分离参数法或函数性质求解恒成立问题；
(4)对等号单独验证．
3．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
若函数f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
解析：f′(x)＝2x－＝.
要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，
只要f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．
∵x2>0，∴2x3－a≥0，即a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)min.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，
∴a的取值范围是(－∞，16]．
过关检测
1．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则( )
A．b≤2 B．b<2
C．b≥2 D．b>2
解析：y′＝2x－2b，由题意知y′≥0在(2,8)内恒成立，即b≤x在(2,8)内恒成立，
∴b≤2.故选A.
答案：A
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．
解析：因为f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′
＝(x－2)ex，
令f′(x)>0，解得x>2，所以单调递增区间是(2，
＋∞)．
答案：(2，＋∞)
3．函数f(x)＝的递减区间为( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，2)和(2,3) D．(2,3)和(3，＋∞)
解析：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝＝.
因为x∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以ex>0，(x－2)2>0.
由f′(x)<0得x<3.
又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．
答案：C
4．若f(x)＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a＝3
C．a≤3 D．0解析：f′(x)＝3x2－2ax，
∵f′(x)在(0,2)内单调递减，
∴，∴，
∴a≥3.
答案：A
5．y＝xln x在(0,5)上是( )
A．单调递增函数
B．单调递减函数
C．在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增
D．在(0，)上单调递增，在(，5)上单调递减
解析：∵y′＝x·＋ln x＝1＋ln x，
令y′>0，得x>，
令y′<0，得0答案：C
6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
解析：由(x－1)f′(x)≥0得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减或f(x)恒为常数，故f(0)＋f(2)≥2f(1)．
答案：C
7.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )
解析：由已知图象可知，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，0)上递增；当x∈(0,2)时，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,2)上递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)在(2，＋∞)上递增．
答案：C
8．若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[－1，＋∞)
C．[0,3] D．[3，＋∞)
解析：∵f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数．
∴f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，
即a≥－2x.
∵函数y＝x－2与函数y＝－2x在上为减函数，
∴a≥4－2×＝3.
答案：D
9．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析：设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则m′(x)＝f′(x)－2＞0，
∴m(x)在R上是增函数．
∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，
∴m(x)＞0的解集为，
即f(x)＞2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案：B
10．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
解析：显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝.
由f′(x)>0，得函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；由f′(x)<0，得函数f(x)的单调递减区间为(0，)．
由于函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，
所以，解得1≤k<.
答案：1≤k<
10..若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)在R上是增函数，则a，b，c的关系式为________．
解析：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≥0恒成立，
则，得a＞0，且b2≤3ac.
答案：a＞0且b2≤3ac
11．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．
解析：函数y＝ln(x2－x－2)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，－1)，
令f(x)＝x2－x－2，f′(x)＝2x－1＜0，得x＜，
∴函数y＝ln(x2－x－2)的单调减区间为(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
12．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析：f′(x)＝－x＋，
∵f′(x)≤0在(－1，＋∞)上恒成立，
∴b≤x(x＋2)在x∈(－1，＋∞)上恒成立．
又x∈(－1，＋∞)时，x(x＋2)>－1，
∴b≤－1.
答案：(－∞，－1]
13．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
解析：(1)由函数f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0，知f′(－1)＝－，
且－1＋2f(－1)＋5＝0，
即f(－1)＝－2，＝－2，①
又f′(x)＝，
所以＝－.②
由①②得a＝2，b＝3.
(∵b＋1≠0，∴b＝－1舍去)
所以所求函数的解析式是f(x)＝.
(2)f′(x)＝，
令－2x2＋12x＋6＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋
2，则当x<3－2或x>3＋2时，f′(x)<0；当3－20.
∴f(x)＝的单调递增区间是(3－2，3＋2)；单调递减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞)．
14．设函数f(x)＝ax3＋(2a－1)x2－6x(a∈R)，若函数f(x)在区间(－∞，－3)上是增函数，求实数a的取值范围．
解析：f′(x)＝3ax2＋3(2a－1)x－6＝3(ax－1)(x＋2)．
(1)若a＝0，则f′(x)＝－3(x＋2)>0?x<－2，此函数在(－∞，－2)上单调递增，从而在(－∞，－3)上单调递增，满足条件．
(2)若a≠0，则令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝，
因为f(x)在(－∞，－3)上是增函数，即x<－3时
f′(x)>0恒成立，a>0时，则－2>－3恒成立，即a>0.
a<0时，不合题意．
综上所述，实数a的取值范围是[0，＋∞)．
15．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
解析：因为函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，
所以a<0，b<0.
由y＝ax3＋bx2＋5得y′＝3ax2＋2bx.
令y′>0，得3ax2＋2bx>0，
所以－所以当x∈(－，0)时，函数为增函数．令y′<0，即3ax2＋2bx<0，
所以x<－，或x>0.
所以在(－∞，－)，(0，＋∞)上函数为减函数．
16．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e－x(x∈R，e为自然对数的底数)
(1)若函数f(x)在(－1,1)内单调递减，求a的取值范围．
(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．
解析：(1)因为f(x)＝(－x2＋ax)e－x，所以f′(x)＝[x2－(a＋2)x＋a]e－x，
要使f(x)在(－1,1)上单调递减，则f′(x)≤0对一切x∈(－1,1)都成立，
即x2－(a＋2)x＋a≤0对x∈(－1,1)都成立，
令g(x)＝x2－(a＋2)x＋a，则?解得a≤－.
所以a的取值范围是.
(2)①若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对
x∈R都成立，
即[x2－(a＋2)x＋a]e－x≤0对x∈R都成立，从而x2－(a＋2)x＋a≤0对x∈R都成立，
令g(x)＝x2－(a＋2)x＋a，抛物线y＝g(x)开口向上，不可能对x∈R，g(x)≤0都成立．
②若函数f(x)在R上单调递增，
则f′(x)≥0对x∈R都成立，
从而x2－(a＋2)x＋a≥0对x∈R都成立，
由于Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
故f′(x)≥0不能对一切x∈R都成立，
综上可知，函数f(x)不可能是R上的单调函数.
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1．3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数(解析版）
考纲解读
考 点 考纲要求 要求 题型
判断(或证明)函数的单调性 结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性. III 解答题
求函数的单调区间 .会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). III 解答题
知识梳理
一、导数与函数的单调性
在某个区间(a，b)内，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：
导数 函数的单调性
f′(x)>0 单调递增
f′(x)<0 单调递减
f′(x)＝0 常数函数
二、函数单调性与导数值大小的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就“平缓”一些．
三、用导数研究函数单调性的一般步骤
1．确定函数f(x)的定义域．
2．求f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出它在定义域内的一切实根．
3．把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间．
4．确定f′(x)在各小开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在各个相应小开区间内的增减性．
典例讲解
考向一 判断(或证明)函数的单调性
[典例1] (1)判断y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的单调性；
(2)证明函数f(x)＝在(，π)上单调递减．
1．证明函数f(x)＝在区间(0,2)上是单调递增函数．
考向二 求函数的单调区间
[典例2] 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝3x2－ln x；
(2)f(x)＝－ax3＋x2＋1(a≤0)．
2．求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－x；
(2)f(x)＝x2＋aln x(a∈R，a≠0).
考向三 已知函数的单调性求参数的取值范围
[典例3] (1)已知函数f(x)＝2ax－x3，x∈(0,1)，a>0，若f(x)在(0,1)上是增函数，则a的取值范围是________；
(2)已知函数f(x)＝ax－ln x在(0,2)上不单调，则a的取值范围是________．
3．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．
若函数f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．
过关检测
1．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则( )
A．b≤2 B．b<2
C．b≥2 D．b>2
2．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．
3．函数f(x)＝的递减区间为( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，2)
C．(－∞，2)和(2,3) D．(2,3)和(3，＋∞)
4．若f(x)＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．a≥3 B．a＝3
C．a≤3 D．05．y＝xln x在(0,5)上是( )
A．单调递增函数
B．单调递减函数
C．在(0，)上单调递减，在(，5)上单调递增
D．在(0，)上单调递增，在(，5)上单调递减
6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有( )
A．f(0)＋f(2)<2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1)
C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)>2f(1)
7.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )
8．若函数f(x)＝x2＋ax＋在上是增函数，则a的取值范围是( )
A．[－1,0] B．[－1，＋∞)
C．[0,3] D．[3，＋∞)
9．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
10．如果函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
10..若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)在R上是增函数，则a，b，c的关系式为________．
11．函数y＝ln(x2－x－2)的单调递减区间为________．
12．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
13．已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0.
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间．
14．设函数f(x)＝ax3＋(2a－1)x2－6x(a∈R)，若函数f(x)在区间(－∞，－3)上是增函数，求实数a的取值范围．
15．已知函数y＝ax与y＝－在(0，＋∞)上都是减函数，试确定函数y＝ax3＋bx2＋5的单调区间．
16．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)e－x(x∈R，e为自然对数的底数)
(1)若函数f(x)在(－1,1)内单调递减，求a的取值范围．
(2)函数f(x)是否为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，请说明理由．
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