第2章 一元二次方程单元检测卷B（含解析）

2018-2019沪科版八年级下第2章一元二次方程单元检测卷B
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列说法正确的是（ ）
A．一元二次方程的一般形式是
B．方程的解是
C．一元二次方程的一般形式是?的根是
D．方程的实数根有三个
一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
下列关于x的方程有实数根的是( )
A．x2﹣x+1=0 B．x2+x+1=0 C．（x﹣1）2+1=0 D．x2﹣4x+4=0
一元二次方程式x2﹣8x=48可表示成（x﹣a）2=48+b的形式，其中a、b为整数，求a+b之值为何（　　）
A．20 B．12 C．﹣12 D．﹣20
某市为改善城市的空气质量，提倡“绿色呼吸”，计划用两年的时间，增加城市绿地面积44%，若这两年平均每年绿地面积的增长率为x,有（ ）
A．2x=44% B．1+2x=44% C．(1+x)2=144% D．1+x2=144%
用配方法解方程2x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程为（　　）
A．（x﹣2）2=3 B．2（x﹣2）2=3 C．2（x﹣1）2=1 D．
宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时，宾馆会住满；当每间房每天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每间房每天支出 20元的费用.当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价比定价 180元增加 x元，则有（ ）
A．（x﹣20）（50﹣）＝10890 B．x（50﹣）﹣50×20＝10890
C．（180+x﹣20）（50﹣）＝10890 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20＝10890
若是关于的一元二次方程的一根，则值为（ ）
A．1 B．0 C．1或2 D．2
已知是关于的一元二次方程的一个根，则关于的方程的根为（ ）
A．或或
方程的解是（ ）
A．或或或 D．无实数根
如图，将边长为12 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为32 cm2，则它移动的距离AA′等于( )
A．4 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm或8 cm
关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②(m-1)2+(n-1)2≥2；③-1≤2m-2n≤1．其中正确结论的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
把一元二次方程x（x-3）=5化成一般形式是??? ?．
用配方法将变形为，则m=_________．
某种品牌的笔记本电脑原价为5000元，如果连续两次降价的百分率都为10%，那么两次降价后的价格为_____元．
已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为　 　．
如图，在长为，宽为的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为，则道路的宽应为__．
设x1、x2是方程x2+x﹣4=0两个实数根，则+=　　．
、解答题（本大题共8小题，共66分）
用适当的方法解下列方程：
；
；
；
．
有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数．
先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题．
求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4∵（y+2）2≥0，
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+1的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值．
已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2=0．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且（x1﹣x2）2+m2=21，求m的值．
在目前万物互联的时代，人工智能正掀起一场影响深刻的技术革命.谷歌、苹果、BAT、华为……巨头们纷纷布局人工智能。有人猜测，互联网过后，我们可能会迎来机器人。教育从幼儿抓起，近年来我国国内幼儿教育机器人发展趋势迅猛，市场上出现了满足各类要求的幼教机器人产品.“双十一”当天，某品牌幼教机器人专卖店抓住机遇，对最畅销的款幼教机器人进行促销，一台款幼教机器人的成本价为850元，标价为1300元．
（1）一台款幼教机器人的价格最多降价多少元，才能使利润率不低于30%；
（2）该专卖店以前每周共售出款幼教机器人100个，“双十一”狂购夜中每台款幼教机器人在标价的基础上降价元，结果这天晚上卖出的款幼教机器人的数量比原来一周卖出的款幼教机器人的数量增加了，同时这天晚上的利润比原来一周的利润增加了，求的值．
如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积同时平分，那么就把这条直线称作这个封闭图形的二分线．
（1）请在图1的三个图形中，分别作一条二分线．
（2）请你在图2中用尺规作图法作一条直线 l，使得它既是矩形的二分线，又是圆的二分线．（保留作图痕迹，不写画法）．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，是否存在过AB边上的点P的二分线？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
已知：如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．
（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？
（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？
（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.
（1）当t为何值时，DF=DA？
（2）当t为何值时，△ADE为直角三角形？请说明理由．
（3）是否存在某一时刻t，使点F在线段AC的中垂线上，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由.
（4）请用含有t式子表示△DEF的面积，并判断是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由.
答案解析
、选择题
【考点】一元二次方程的定义，解一元二次方程-因式分解法
【分析】根据一元二次方程的定义，因式分解法解方程，求根公式进行判断．
解：A．当ax2+bx+c=0中的a=0时，该方程不是一元二次方程．故本选项错误；
B、方程x2=x的解是x=1或x=0．故本选项错误；
C、一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，且a≠0．故本选项错误；
D、方程x（x+2）（x-3）=0的实数根是x=0或x=-2或x=3，共3个．故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，一元二次方程的一般形式．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
【考点】根的判别式．
【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
解：∵△=（﹣7）2﹣4×（﹣2）=57＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【考点】根的判别式．
【分析】分别找出a、b、c代入△=b2﹣4ac计算，再根据计算的结果进行判断．
解：A．∵a=1，b=﹣1，c=1，∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，所以原方程没有实数根．
B、∵a=1，b=1，c=1，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×1×1=﹣3＜0，所以原方程没有实数根．
C、整理得x2﹣2x+2，∵a=1，b=﹣2，c=2，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，所以原方程没有实数根．
D、∵a=1，b=﹣4，c=4，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×4=0，所以原方程有两个相等的实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】将一元二次方程式x2﹣8x=48配方，可求a、b，再代入代数式即可求解．
解：x2﹣8x=48，
x2﹣8x+16=48+16，
（x﹣4）2=48+16，
a=4，b=16，
a+b=20．
故选：A．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】若这两年平均每年绿地面积的增长率为x，则第一年变为1-x，第二年变为（1-x）2，根据题意列方程解答即可．
解：由题意得
(1+x)2=144%.
故选C.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a(1+x)n?=b，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】利用配方法得到（x﹣1）2=，然后对各选项进行判断．
解：x2﹣2x=﹣，
x2﹣2x+1=﹣+1，
所以（x﹣1）2=．
故选C．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
【考点】一元二次方程的应用-销售问题
【分析】设房价比定价180元增加x元，根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得．
解：设房价比定价180元增加x元，
根据题意，得（180+x-20）（50-）=10890．
故选C．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系．
【考点】解一元二次方程-因式分解法
【分析】把方程的解代入方程可以求出字母系数m的值，因为是一元二次方程，所以m≠1，由此即可得答案.
解：把0代入方程有：
m2-3m+2=0
（m-1）（m-2）=0，
∴m1=1，m2=2，
∵m-1≠0，
∴m=1（舍去），
∴m=2，
故选D.
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解的定义以及一元二次方程的定义是解题的关键.
【考点】一元二次方程的解
【分析】根据一元二次方程的根的定义、一元二次方程的定义，把x=2代入即可求得m的值，也就可以求得方程，即可求得方程的解
解：把x=2代入,得：
4(m?1)+2?m2?1=0,整理得m2?4m+3=0，
解得m1=3，m2=1.
(1)将m=3代入x2=m,得x2=3,解得x=
(2)当m=1时，原方程中二次项系数m?1=1?1=0，不合题意，故将m=1舍去。
故本题选B
【点睛】本题考查了一元二次方程的解, 解一元二次方程-直接开平方法, 解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是要注意原方程中二次项系数不能为0
【考点】解一元二次方程-因式分解法
解：（1）当x＞0时，原方程可变形为，
即，
解得或；
（2）当x＜0时，原方程可变形为，
即，
解得或，
则方程的解是或.
故选A．
【点睛】解本题的关键在于对方程去绝对值，再通过因式分解法来解方程即可.
【考点】一元二次方程的应用，平行四边形的判定
解：设AA′=xcm，则A′D=（12－x）cm，
∵正方形ABCD，
∴∠D=90°，AD=CD,
∴∠DAC=45°，
同理可证∠B′A′C′=45°，
∵△A′B′C′由△ABC沿着AD方向平移得到，
∴A′B′⊥AD，∴∠A′EA=45°，
∴∠B′A′C′=∠A′EA，
∴A′F∥EC，
∵A′E∥CF，
∴四边形A′ECF为平行四边形，
所以SA′ECF= A′E×A′D=x（12－x）=32，解得x=4或8.
故选D.
【点睛】遇到此类应用题一般要求什么我们就设什么，此题首先分析重叠部分图形是何图形，若是规则图形，则根据公式法用所设未知数表示出重叠部分面积，若为不规则图形，则可根据割补法用所设未知数表示出图形面积，从而列方程求解.
【考点】根与系数的关系，根的判别式
【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出m2-2n≥0以及n2-2m≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解．
解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x1?x2=2n＞0，y1?y2=2m＞0，y1+y2=-2n＜0，x1+x2=-2m＜0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=b2-4ac=4m2-8n≥0，△=b2-4ac=4n2-8m≥0，∵4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，m2-2m+1+n2-2n+1=m2-2n+n2-2m+2≥2，（m-1）2+（n-1）2≥2，②正确；③由根与系数关系可得2m-2n=y1y2+y1+y2=（y1+1）（y2+1）-1，由y1、y2均为负整数，故（y1+1）?（y2+1）≥0，故2m-2n≥-1，同理可得：2n-2m=x1x2+x1+x2=（x1+1）（x2+1）-1，得2n-2m≥-1，即2m-2n≤1，故③正确，故选D
【点评】本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数的关系是难点．
、填空题
【考点】一元二次方程的一般形式
【分析】通过去括号，移项可以把方程化成一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）．解：由原方程，得x2-3x=5，移项，得x2-3x-5=0，故答案是：x2-3x-5=0．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，通过去括号，移项，合并同类项可以得到一元二次方程的一般形式．
【考点】解一元二次方程-配方法
【分析】将方程的常数项移到右边，两边都加上16，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
解：x2-8x-1=0，
移项得：x2-8x=1，
配方得：x2-8x+16=17，即（x-4）2=17．
所以m=17．
故答案为17．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】根据题意可知第一次降价为5000（1-10%）=4500,第二次降价为4500（1-10%）=4050.
解：依题意得：
5000（1-10%）2=4050.
【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉降价率的计算方法是解题关键.
【考点】换元法解一元二次方程；根与系数的关系
【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．
解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，
∴t1+t2=3，
∴x3+x4+2=3
故答案为：1
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设道路的宽为，则剩余部分可合成长为 ，宽为米的长方形， 根据矩形的面积公式结合绿化面积为，即可得出关于x的一元二次方程， 解之取其较小值即可得出结论 ．
解：设道路的宽为，则剩余部分可合成长为，宽为米的长方形，
根据题意得：，
整理得：，．
，
，
．
故答案为:2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题关键 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系确定出x1与x2的两根之积与两根之和的值，再根据=即可解答．
解：∵x1、x2是方程x2+x﹣4=0两个实数根，
∴x1+x2=﹣1，x1x2=﹣4，
∵+=，
∴原式==，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了根与系数关系的知识，此题将所求的代数式变形后，整体代入求值即可，不需要求得x1、x2的值，此题比较简单．
、解答题
【考点】解一元二次方程
【分析】利用直接开方法、求根公式法和因式分解法求解 一元二次方程的解即可.
解：，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，；
，
整理得，，
，
；
，
，，，，
，
，．
【点睛】本题考查解一元二次方程的相关方法.选择合适的方法求解是快速解题的关键.
【考点】一元二次方程的实际应用-数字问题
【分析】设个位数字为x，则十位数字为(x－2)，进而可表示出这个两位数；再根据“这个两位数等于其各位数字之积的3倍”可列出关于x的方程，通过解方程问题就迎刃而解了.
解：设个位数字为x，则十位数字为(x－2)，这个两位数是[10(x－2)＋x].
根据题意，得10(x－2)＋x＝3x(x－2)，
整理，得3x2－17x＋20＝0，5分
解得x1＝4，x2＝ (不合题意，舍去).
当x＝4时，x－2＝2，
∴这个两位数是24.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用---数字问题，解题关键是掌握数字的表示方法，找出题目中的等量关系.
【考点】配方法的应用
【分析】（1）根据题中的解法即可得到答案；
（2）同理（1）.
解：（1）m2+m+1=m2+m++=（m+）2+≥，
则m2+m+1的最小值是；
（2）4﹣x2+2x=﹣x2+2x﹣1+5=﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值是5．
【点睛】本题主要考查了配方法与偶次方的非负性，解此题的关键在于利用配方法得到完全平方式，再利用非负数的性质即可得解.
【考点】根的判别式；根与系数的关系
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，再利用（x1﹣x2）2+m2=21得到（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，接着解关于m的方程，然后利用（1）中m的范围确定m的值．
解：（1）根据题意得△=（2m+1）2﹣4（m2﹣2）≥0，
解得m≥﹣，
所以m的最小整数值为﹣2；
（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m+1），x1x2=m2﹣2，
∵（x1﹣x2）2+m2=21，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2+m2=21，
∴（2m+1）2﹣4（m2﹣2）+m2=21，
整理得m2+4m﹣12=0，解得m1=2，m2=﹣6，
∵m≥﹣，
∴m的值为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．
【考点】一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用-销售问题
【分析】（1）设一台款幼教机器人的价格降价元，根据利润率不低于30%列出不等式进行求解即可.
（2）根据题目中的等量关系列出方程进行求解即可.
解：（1）设一台款幼教机器人的价格降价元，
解得：
答:一台款幼教机器人的价格最多降价元。
（2）
解得：
舍去
的值为95
【点睛】考查一元一次不等式以及一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系以及不等关系是解题的关键.注意利润=售价-进价.
【考点】作图—应用与设计作图．
【分析】（1）圆过圆心画直线，平行四边形过对角线画直线，三角形做底边的垂直平分线；
（2）作出圆的圆心，再作出矩形的对角线，过矩形对角线交点和圆心画直线即可；
（3）利用中线的性质分析得出即可．
解：（1）（2）如图所示：
．
（3）存在，
理由：设AP=x，PQ为二分线，则Q在BC边上，CQ=2﹣x，BQ=x+3，BP=3﹣x，
过点Q做QE⊥AB于E，
则QE=，
∵S△PBQ=3，
∴（3﹣x）?=3，
∴x=．
∴AP=．
【点评】此题主要考查了应用设计作图以及中线的性质等知识，根据新定义分别分析得出是解题关键．
【考点】一元二次方程的应用，勾股定理，三角形的面积公式，根的判别式
【分析】（1）设经过x秒钟，△PBQ的面积等于6平方厘米，根据点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．
（2）根据PQ=5，利用勾股定理BP2+BQ2=PQ2，求出即可；
（3）通过判定得到的方程的根的判别式即可判定能否达到8cm2．
解：（1）设 经过x秒以后△PBQ面积为6
×（5﹣x）×2x=6
整理得：x2﹣5x+6=0
解得：x=2或x=3
答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2 ;
（2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，
∴（5﹣t）2+（2t）2=52，
5t2﹣10t=0，
t（5t﹣10）=0，
t1=0（舍去），t2=2，
∴当t=2时，PQ的长度等于5cm．
（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，
×（5﹣x）×2x=8
整理得：x2﹣5x+8=0
△=25﹣32=﹣7＜0
∴△PQB的面积不能等于8cm2．
【点睛】考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于6cm2”，得出等量关系是解决问题的关键．
【考点】一元二次方程的应用，勾股定理，垂直平分线的性质
【分析】(1) 由已知条件可得Rt△CDF中∠C=30°，即可知DF=CD=AE=2t，列方程求解即可；
（2）分两种情况讨论即可求解；
（3）假设存在，再根据垂直平分线的性质求解即可；
（4）利用两个三角形的面积关系求解即可.
解：（1）证明：由题意得：AE=2t，CD=4t，
∵DF⊥BC∴∠CFD=90°，
∵∠C=90°-60°=30°，
∴DF=CD=2t，
同理：AB=AC=30cm
若：DF=DA，则：2t=60-4t，
解得： t=10；
(2) 当∠AED=90°时，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE 即60-4t=4t，
解得：t=
当∠ADE=90°时，
∵∠A=60°， ∴∠DEA=30°，
∴AD=AE
∴60-4t=t 解得t=12．
（3）连接AF,
若存在，则CF=AF，
∴∠C=∠CAF=30°
∴∠AFB=60°
∴∠FAB=30°
RT△DCF中，有勾股定理得：CF=
同理：BC=
∴FB=AF==
解得：t=10．
（4）
∴
∴
若存在，则
解得
【点睛】解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题.