18.2.1 矩形(2)课件
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人教版数学八年级下册
18.2.1矩形（2）
想一想：矩形的定义？矩形具有哪些性质？填表回顾一下。
对边平行
对边相等
对边平行
对边相等
对角相等
四个角都直角
互相平分
互相平分且相等
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
测量…？
木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？
矩形的判定方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言：
例1 已知如图四边形ABCD中，AB⊥BC， AD∥BC，AD=BC。试说明四边形ABCD是矩形。
证明：∵ AD=CB AD∥CB
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB⊥BC
∴∠B=90°
∴ □ ABCD是矩形
练习：如图，平行四边形ABCD中，AB= 6，BC= 8，AC= 10 。求证 : 四边形ABCD是矩形。
证明：
∵AB=6,BC=8,AC=10
∴AB2+BC2=62+82=100=102=AC2
∴ ∠B=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ □ ABCD是矩形
你还有其它的判定方法吗？
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。
求证：四边形ABCD是矩形。
证明：∵ ∠A=∠B=90°
∴ ∠A+∠B=180°
∴AD∥BC
同理可证：AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵ ∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
符号表达式：
例2 已知:如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD。E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点。求证：四边形EFGH是矩形
情境：如果工人师傅已经量得窗框的两组对边相等，接着量一量这个窗框的两条对角线长度，如果对角线长相等，窗框是矩形吗？为什么？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？
∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AB=DC且AB∥CD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∵ AB//CD
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ □ ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠DCB
已知：在□ ABCD，AC=BD.求证：□ ABCD是矩形.
证明:
又∵BC=CB, 且AC=DB
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90°
对角线相等的平行四边形是矩形 。
矩形的判定方法3:
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
且AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
（或OA=OC=OB=OD）
∴∠OAB=∠BAD-∠OAD=40°
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AC=2OA,BD=2OD
∵OA=OD
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=90°
∵∠OAD=50°
练习：如图，四边形ABCD中AO=BO=CO=DO，
试说明四边形ABCD是矩形。
证明：
∵ AO=BO=CO=DO
∴AO=CO，BO=DO
∴四边形EFGH是平行四边形
即AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
又∵AO+CO=BO+DO
不一定，如等腰梯形
例4 已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、CB和AD、CD分别相交于点B、D．
（1）猜想AC和BD间的数量关系是 ；
（2）试用理由说明你的猜想．
1
2
AC=BD
矩形
例5 已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。
求证：四边形EFGH是矩形。
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴ AO=BO=CO=DO
又∵ AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠DAB+∠ABC=180 °
证明：
同理：∠EFG=90°，∠FGH=90°
∴四边形EFGH是矩形
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC ∴∠EAB+∠EBA=90 °
即∠AEB=90° ∴∠HEF=90°
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法1：
方法2：
方法3：
测量…？
1、下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形。
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
X
X
X
X
X
2、如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC。求证：四边形ABCD是矩形。
M
要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。
3、已知：平行四边形ABCD的AC、BD对角线相交于O，三角形AOB是等边三角形，AB=4cm。求这个平行四边形的面积。
5、如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形．
6、在平行四边形ABCD中,对角线AC BD相交于O,EF过O,且AF⊥BC, 求证:四边形AFCE是矩形。
7、平行四边形ABCD,E是CD的中点, △ABE是等边三角形。求证:四边形ABCD是矩形。
8、BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD。求证：四边形AEBD是矩形。
9、平行四边形ABCD，AF、BH、 CH、DF分别是?BAD、?ABC、?BCD、?CDA的平分线。求证：EF=GH .
10、如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)当O运动到何处时, 四边形AECF为矩形?
E
F
（1）证明：∵CF平分∠ACD
∴∠1=∠2
又∵ MN∥BC
∴∠1=∠3
∴ ∠2=∠3
∴OC=OF
同理可证：OC=OE
∴OE=OF
D
（2）当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形。理由：
由（1）知OE=OF
又AO=CO
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EC、FC分别平分∠ACB 、 ∠ACD
∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90°
∴□ AECF是矩形
1、课本P60页第1、2、3、4 题
2、练习册 P 23-25 页
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18.2.1矩形（2）
想一想：矩形的定义？矩形具有哪些性质？填表回顾一下。
对边平行
对边相等
对边平行
对边相等
对角相等
四个角都直角
互相平分
互相平分且相等
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
测量…？
木工朋友在制作窗框后，需要检测所制作的窗框是否是矩形，那么他需要测量哪些数据，其根据又是什么呢？
矩形的判定方法1：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言：
例1 已知如图四边形ABCD中，AB⊥BC， AD∥BC，AD=BC。试说明四边形ABCD是矩形。
证明：∵ AD=CB AD∥CB
∴四边形ABCD是平行四边形
∵AB⊥BC
∴∠B=90°
∴ □ ABCD是矩形
练习：如图，平行四边形ABCD中，AB= 6，BC= 8，AC= 10 。求证 : 四边形ABCD是矩形。
证明：
∵AB=6,BC=8,AC=10
∴AB2+BC2=62+82=100=102=AC2
∴ ∠B=90°
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ □ ABCD是矩形
你还有其它的判定方法吗？
已知：在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。
求证：四边形ABCD是矩形。
证明：∵ ∠A=∠B=90°
∴ ∠A+∠B=180°
∴AD∥BC
同理可证：AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵ ∠A=90°
∴四边形ABCD是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
∵ ∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
符号表达式：
例2 已知:如图,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD。E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点。求证：四边形EFGH是矩形
情境：如果工人师傅已经量得窗框的两组对边相等，接着量一量这个窗框的两条对角线长度，如果对角线长相等，窗框是矩形吗？为什么？
猜想：对角线相等的平行四边形是矩形 。
你能证明上述结论吗？
∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AB=DC且AB∥CD
∴ △ABC≌ △DCB（SSS）
∵ AB//CD
又∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ □ ABCD是矩形
∴ ∠ABC=∠DCB
已知：在□ ABCD，AC=BD.求证：□ ABCD是矩形.
证明:
又∵BC=CB, 且AC=DB
∴ ∠ABC+∠DCB=180°
∴ ∠ABC=∠DCB=90°
对角线相等的平行四边形是矩形 。
矩形的判定方法3:
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
且AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
（或OA=OC=OB=OD）
∴∠OAB=∠BAD-∠OAD=40°
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AC=2OA,BD=2OD
∵OA=OD
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
∴∠BAD=90°
∵∠OAD=50°
练习：如图，四边形ABCD中AO=BO=CO=DO，
试说明四边形ABCD是矩形。
证明：
∵ AO=BO=CO=DO
∴AO=CO，BO=DO
∴四边形EFGH是平行四边形
即AC=BD
∴四边形ABCD是矩形
又∵AO+CO=BO+DO
不一定，如等腰梯形
例4 已知MN∥PQ，同旁内角的平分线AB、CB和AD、CD分别相交于点B、D．
（1）猜想AC和BD间的数量关系是 ；
（2）试用理由说明你的猜想．
1
2
AC=BD
矩形
例5 已知：矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH。
求证：四边形EFGH是矩形。
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴ AO=BO=CO=DO
又∵ AE=BF=CG=DH
∴OE=OF=OG=OH
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵EO+OG=FO+OH
即EG=FH
∴四边形EFGH是矩形
∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠DAB+∠ABC=180 °
证明：
同理：∠EFG=90°，∠FGH=90°
∴四边形EFGH是矩形
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠ABC ∴∠EAB+∠EBA=90 °
即∠AEB=90° ∴∠HEF=90°
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形 。
（对角线互相平分且相等的四边形是矩形。）
有三个角是直角的四边形是矩形 。
方法1：
方法2：
方法3：
测量…？
1、下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形。
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
X
X
X
X
X
2、如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC。求证：四边形ABCD是矩形。
M
要判定一个四边形是矩形，通常先判定它是平行四边形，再根据平行四边形构成矩形的条件，判定有一个角是直角或者对角线相等。
3、已知：平行四边形ABCD的AC、BD对角线相交于O，三角形AOB是等边三角形，AB=4cm。求这个平行四边形的面积。
5、如图，BC是等腰△BED底边ED上的高，四边形ABEC是平行四边形．求证：四边形ABCD是矩形．
6、在平行四边形ABCD中,对角线AC BD相交于O,EF过O,且AF⊥BC, 求证:四边形AFCE是矩形。
7、平行四边形ABCD,E是CD的中点, △ABE是等边三角形。求证:四边形ABCD是矩形。
8、BD、BE分别是∠ABC与它的邻补角的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD。求证：四边形AEBD是矩形。
9、平行四边形ABCD，AF、BH、 CH、DF分别是?BAD、?ABC、?BCD、?CDA的平分线。求证：EF=GH .
10、如图,在△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,若MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)当O运动到何处时, 四边形AECF为矩形?
E
F
（1）证明：∵CF平分∠ACD
∴∠1=∠2
又∵ MN∥BC
∴∠1=∠3
∴ ∠2=∠3
∴OC=OF
同理可证：OC=OE
∴OE=OF
D
（2）当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形。理由：
由（1）知OE=OF
又AO=CO
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EC、FC分别平分∠ACB 、 ∠ACD
∴∠2+∠4=90°即∠ECF=90°
∴□ AECF是矩形
1、课本P60页第1、2、3、4 题
2、练习册 P 23-25 页
谢谢
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