2019高中数学第一章解三角形单元测试（一）新人教A版必修5解析版

第一章 解三角形
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．在中，若，，，则等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．在中，，，，则·等于（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，已知，，A＝30°，则c等于（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ）
A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解
B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解
C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解
D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解
5．△ABC的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为，则其外接圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中， (a、b、c分别为角A、B、C的对边)，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．等腰直角三角形 D．正三角形
7．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c．若，且A＝75°，则b等于（ ）
A．2 B． C． D．
8．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，，，则△ABC的面积S为（ ）
A． B． C． D．
9．在△ABC中，AB＝7，AC＝6，M是BC的中点，AM＝4，则BC等于（ ）
A． B． C． D．
10．若，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．有一内角是30°的直角三角形
C．等腰直角三角形 D．有一内角是30°的等腰三角形
11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角B的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
12．△ABC中，，BC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．在△ABC中，________．
14．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，
则角B的值为________．
15．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边．若a＝1，，
A＋C＝2B，则sin C＝________．
16．钝角三角形的三边为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的取值范围是________．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(10分)如图所示，我艇在A处发现一走私船在方位角45°且距离为12海里的B处正以每小时10海里的速度向方位角105°的方向逃窜，我艇立即以14海里/小时的速度追击，求我艇追上走私船所需要的时间．
18．(12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别是a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若b＝2，△ABC的面积S＝3，求a．
19．(12分)如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2．
（1）求cos∠CBE的值；
（2）求AE．
20．(12分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝2，．
（1）若b＝4，求sin A的值；
（2）若△ABC的面积S△ABC＝4，求b，c的值．
21．(12分)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C．
（1）求A的大小；
（2）若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
22．(12分)已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，
，．
（1）若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
（2）若m⊥p，边长c＝2，角，求△ABC的面积．
2018-2019学年必修五第一章训练卷
解三角形（一）答 案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．【答案】C
【解析】，，，．
故选C．
2．【答案】A
【解析】由余弦定理得．
∴．∴．故选A．
3．【答案】C
【解析】∵a2＝b2＋c2－2bccos A，∴．
化简得：，即，∴或．
故选C．
4．【答案】D
【解析】A中，因，所以，∴，即只有一解；
B中，，且，∴，故有两解；
C中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴，即有解，
故A、B、C都不正确．故选D．
5．【答案】C
【解析】设另一条边为x，则，∴，∴．
设，则．∴，．故选C．
6．【答案】A
【解析】由，又，
∴b2＋c2－a2＝2b2?a2＋b2＝c2，故选A．
7．【答案】A
【解析】，
由a＝c知，C＝75°，B＝30°．．
由正弦定理：．∴b＝4sin B＝2．故选A．
8．【答案】A
【解析】由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0．
∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccos A，
即．∴c＝2，从而b＝4．
∴．故选A．
9．【答案】B
【解析】设BC＝a，则．
在△ABM中，AB2＝BM 2＋AM 2－2BM·AM·cos∠AMB，
即 ①
在△ACM中，AC2＝AM 2＋CM 2－2AM·CM·cos∠AMC
即 ②
①＋②得：，∴．故选B．
10．【答案】C
【解析】∵，∴acos B＝bsin A，
∴2Rsin Acos B＝2Rsin Bsin A,2Rsin A≠0．
∴cos B＝sin B，∴B＝45°．同理C＝45°，故A＝90°．故C选项正确．
11．【答案】D
【解析】∵，∴，
即．∵012．【答案】D
【解析】，BC＝3，设周长为x，由正弦定理知，
由合分比定理知，
即，∴，
即
．故选D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】0
14．【答案】
【解析】∵，∴，∴．
15．【答案】1
【解析】在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋C＝2B．∴．
由正弦定理知，．又a16．【答案】
【解析】由，解得．
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【答案】2小时．
【解析】设我艇追上走私船所需时间为t小时，
则BC＝10t，AC＝14t，在△ABC中，
由∠ABC＝180°＋45°－105°＝120°，
根据余弦定理知：(14t)2＝(10t)2＋122－2·12·10tcos 120°，∴．
答：我艇追上走私船所需的时间为2小时．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）．
（2）∵，∴．由，得，解得c＝5．
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，可得，∴．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，
∴∠CBE＝15°．∴．
（2）在△ABE中，AB＝2，由正弦定理得，
即，故．
20．【答案】（1）；（2），．
【解析】（1）∵，且0由正弦定理得，．
（2）∵，∴，∴．
由余弦定理得，∴．
21．【答案】（1）；（2）△ABC为等腰钝角三角形．
【解析】（1）由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，
即a2＝b2＋c2＋bc．
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，故，．
（2）方法一 由（1）得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C，
又A＝120°，∴，
∵sin B＋sin C＝1，∴sin C＝1－sin B．
∴，
即．解得．故．∴B＝C＝30°．
所以，△ABC是等腰的钝角三角形．
方法二 由（1）A＝120°，∴B＋C＝60°，则C＝60°－B，
∴sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)
＝sin(B＋60°)＝1，
∴B＝30°，C＝30°．∴△ABC是等腰的钝角三角形．
22．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明 ∵m∥n，∴asin A＝bsin B，即，
其中R是△ABC外接圆半径，∴a＝b．∴△ABC为等腰三角形．
（2）解 由题意知m·p＝0，
即a(b－2)＋b(a－2)＝0．∴a＋b＝ab．
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0．∴ab＝4(舍去ab＝－1)，
∴．