18.1 平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边、角的性质
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
理解平行四边形和两条平行线之间的距离的概念，掌握平行四边形的边、角的性质．
【过程与方法】
通过生活实例引出平行四边形的概念，经历探究活动掌握平行四边形边、角的性质．
【情感态度与价值观】
经历“实验—猜想—验证—证明”的过程，发展学生的思维．
二、重难点目标
【教学重点】
理解平行四边形和两条平行线之间的距离的概念，掌握平行四边形的边、角的性质．
【教学难点】
利用平行四边形边、角的性质解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P41～P43的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
(2)平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等．
2．如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
3．证明平行四边形的对边相等，对角相等．
解：已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．
求证：AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D，∠A＝∠C.
证明：连结AC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.
在△ABC和△CDA中，
∴△ABC≌△CDA(ASA)，
∴AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D.
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3，
即∠BAD＝∠DCB.
教师点拨：解决平行四边形问题可以连结对角线．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生对学)
(一)平行四边形的边、角性质
【例1】如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG＝DC，CE＝CF，点P是射线GC上一点，连结FP、EP.求证：FP＝EP.
【互动探索】(引发学生思考)要证明线段相等可以考虑证明它们所在的两个三角形全等，已知条件中有一组边相等，并且有一组公共边，只需找它们的夹角相等．
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DGC＝∠GCB.
∵DG＝DC，
∴∠DGC＝∠DCG，
∴∠DCG＝∠GCB.
∵∠DCG＋∠ECP＝180°，∠GCB＋∠FCP＝180°，
∴∠ECP＝∠FCP.
∵在△PCF和△PCE中，
∴△PCF≌△PCE(SAS)，
∴PF＝PE.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题的综合性比较强，利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质获得三角形全等的条件，从而应用全等三角形的性质得到线段相等．
(二)平行线间的距离
【例2】如图，已知l1∥l2，点E、F在l1上，点G、H在l2上，试说明△EGO与△FHO的面积相等．
【互动探索】(引发学生思考)结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．
【证明】∵l1∥l2，
∴点E、F到l2之间的距离相等．
设点E、F到l2的距离相等为h，
则S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h，
∴S△EGH＝S△FGH，
∴S△EGH－S△G OH＝S△FGH－S△G OH，
∴S△EGO＝S△FHO.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解题的关键是明确三角形的中线把三角形的面积等分成了相等的两部分，同底等高的两个三角形的面积相等．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．已知平行四边形ABCD中，∠A＝110°，则∠B的度数为( D )
A．110° B．100°
C．80° D．70°
2．如图所示，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH相交于点O，图中共有平行四边形的个数为9.
3．已知平行四边形相邻两个内角相差40°，则该平行四边形中较小内角的度数是70°.
4．如图所示，已知直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．
(1)请写出图中面积相等的三角形：△ABC和△ABP；△ACP和△BCP；△AOC和△BOP.
(2)如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么无论P点移动到任何位置，总有△ABP与△ABC的面积相等，理由是同底等高的三角形面积相等．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，M为AB的中点，连结DM、MC，试问直线DM和MC有何位置关系？请证明．
【互动探索】由AB＝2AD，M是AB的中点，可得出DM、CM分别是∠ADC与∠BCD的平分线，又由平行线的性质可得∠ADC＋∠BCD＝180°，进而可得出DM与MC的位置关系．
【解答】DM与MC互相垂直．证明如下：
∵M是AB的中点，
∴AB＝2AM.
又∵AB＝2AD，
∴AM＝AD，
∴∠ADM＝∠AMD.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AMD＝∠MDC，
∴∠ADM＝∠MDC，
即∠MDC＝∠ADC.
同理，∠MCD＝∠BCD.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCD＋∠ADC＝180°，
∴∠MDC＋∠MCD＝∠BCD＋∠ADC＝90°，
∴∠DMC＝90°，
∴DM与MC互相垂直．
【互动总结】(学生总结，老师点评)判断两直线的位置关系一般是证明两直线平行或垂直，平行就找角相等或互补，垂直就找角互余．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2．平行四边形的边和角的性质
平行四边形的对边相等，平行四边形的对角相等．
3．平行线之间的距离
(1)如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．
(2)两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 平行四边形的对角线的性质
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
掌握平行四边形对角线互相平分的性质．
【过程与方法】
通过探究、猜想、证明平行四边形的对角线的性质的过程，培养学生合作学习的能力．
【情感态度与价值观】
培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力，增强学好数学的信心．
二、重难点目标
【教学重点】
掌握平行四边形的对角线的性质．
【教学难点】
利用平行四边形对角线互相平分解决有关问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P43～P44的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．平行四边形的对角线互相平分．
2．完成教材P44的问题：证明平行四边形对角线互相平分．
已知：如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA＝OC，OB＝OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∴△AOD≌△COB(ASA)，∴OA＝OC，OB＝OD.
3．如图，若平行四边形的两条对角线长分别为6 cm和16 cm，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是( B )
A．5 cm B．8 cm
C．12 cm D．16 cm
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在□ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC.求BC、CD、AC、OA的长以及□ABCD的面积．
【互动探索】(引发学生思考)根据平行四边形边、对角线的长度求所求线段的长，根据S□ABCD＝BC·AC求解．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10.
又∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，
∴AC＝＝＝6.
又∵OA＝OC，∴OA＝AC＝3，
∴S□ABCD＝BC·AC＝8×6＝48.
【互动总结】(学生总结，老师点评)平行四边形的面积＝底×高．利用平行四边形边、对角线的性质是求对应线长度的常用方法．
【例2】如图，□ABCD的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，求这个平行四边形各边的长．
【互动探索】(引发学生思考)平行四边形周长为60 cm，即相邻两边之和为30 cm.△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，而AO为公共边，OB＝OD，因而由题可知AB比AD长5 cm，进一步解答即可．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，
∴AB－AD＝5 cm.
又∵□ABCD的周长为60 cm，
∴AB＋AD＝30 cm，
则AB＝CD＝ cm，AD＝BC＝ cm.
【互动总结】(学生总结，老师点评)平行四边形被两条对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．平行四边形具有的特征是( C )
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．四边相等
2．如图，如果□ABCD的周长为40 cm，△ABC的周长为25 cm，则对角线AC的长是( A )
A．5 cm B．15 cm
C．6 cm D．16 cm
3．在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC垂直于BC，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，则OC＝3cm.
4．如图，□ABCD中，O为对角线AC和BD的交点，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：OE＝OF.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD.
又∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠OEB＝∠OFD.
又∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF.
∴OE＝OF.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E，若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
【互动探索】由平行四边形的性质得出AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，再根据线段垂直平分线的性质得出BE＝DE，由△CDE的周长得出BC＋CD＝10，即可求出平行四边形ABCD的周长．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD.
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE.
∵△CDE的周长为10，
∴DE＋CE＋CD＝BE＋CE＋CD＝BC＋CD＝10，
∴平行四边形ABCD的周长＝2(BC＋CD)＝20.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形、平行四边形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平行四边形的性质
练习设计
请完成本课时对应练习！
18.1 平行四边形
18.1.2 平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
理解平行四边形的判定定理，会证明这些判定定理．
【过程与方法】
经历平行四边形的判定定理的探索过程，在探究活动中发展学生的合情推理意识．
【情感态度与价值观】
在运用平行四边形的判定定理解决问题的过程中，进一步培养和发展学生的逻辑思维能力和推理论证的几何表达能力．
二、重难点目标
【教学重点】
平行四边形的判定定理．
【教学难点】
利用平行四边形的判定定理解决相关问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P45～P47的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．平行四边形的判定定理：
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(3)对角线相互平分的四边形是平行四边形．
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2．如图，在下列四个选项中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是( D )
A．AB＝CD，AD∥BC B．AB∥DC，∠A＝∠B
C．AB∥DC，AD＝BC D．AB∥DC，AB＝DC
3．如图，已知AB∥CD，添加一个条件AB＝CD(答案不唯一)，使得四边形ABCD为平行四边形．
4．已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE＝CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∴∠EAD＝∠FCB，
在△AED和△CFB中， ，
∴△AED≌△CFB(SAS)，
∴DE＝BF.
同理可证，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生对学)
【例1】如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)证明△AFD≌△CEB→AD＝CB，∠DAF＝∠BCE→AD∥CB，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出结论．
【解答】四边形ABCD是平行四边形．理由如下：
∵DF∥BE，∴∠AFD＝∠CEB.
又∵AF＝CE，DF＝BE，
∴△AFD≌△CEB(SAS)，
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出△AFD≌△CEB.
【例2】如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD中点．求证：
(1)△AOC≌△BOD；
(2)四边形AFBE是平行四边形．
【互动探索】(引发学生思考)(1)利用已知条件和全等三角形的判定方法即可证明△AOC≌△BOD；(2)此题已知AO＝BO，要证四边形AFBE是平行四边形，利用全等三角形的性质，只需证OE＝OF.
【证明】(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
在△AOC和△BOD中，∵
∴△AOC≌△BOD(AAS)．
(2)∵△AOC≌△BOD，
∴CO＝DO.
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴OE＝OC，OF＝OD，
∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．熟练掌握平行四边形的判定定理是解决问题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，点E、F是□ABCD对角线上两点，在条件：①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE; ④∠AEB＝∠CFD中，要使四边形DEBF是平行四边形，可添加的条件是( D )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
2．如图，AO＝OC，BD＝16 cm，则当OB＝ 8cm时，四边形ABCD是平行四边形．
3．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥CB，且AD＞BC，BC＝6 cm，动点P、Q分别从A、C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C向B运动，则2秒后，四边形ABQP为平行四边形．
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°.
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBF.
在Rt△AED和Rt△CFB中，
∵
∴Rt△AED≌Rt△CFB，
∴AD＝BC.
∵又AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连结DE、FG.
(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；
(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求四边形AGCD的面积．
【互动探索】(1)证明四边形AGCD是平行四边形，推出CD＝AG，推出EG＝DF，EG∥DF，根据平行四边形的判定推出即可；(2)由点G是BC的中点，得到BG＝CG＝BC，根据四边形AGCD是平行四边形可知AG＝DC，根据勾股定理求出AB的长，进而求出四边形AGCD的面积．
【解答】(1)证明：∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，∴AG＝DC.
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴EG＝AG，DF＝DC，
∴EG＝DF.
又∵EG∥DF，
∴四边形DEGF是平行四边形．
(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，
∴BG＝CG＝BC＝6.
∵四边形AGCD是平行四边形，DC＝10，
∴AG＝DC＝10.
在Rt△ABG中，根据勾股定理，得AB＝8，
∴四边形AGCD的面积为6×8＝48.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，掌握定理是解题的关键．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
平行四边形的判定定理：
(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(3)对角线相互平分的四边形是平行四边形．
(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 三角形的中位线
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解并掌握三角形的中位线的定义及其性质定理．
2．能够利用三角形的中位线定理解决有关的问题．
【过程与方法】
经历探索三角形中位线性质定理的证明过程，体会转化的思想方法，进一步发展学生操作、观察、归纳、推理的能力．
【情感态度与价值观】
培养合情推理能力，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等思想方法，激发学习热情．
二、重难点目标
【教学重点】
三角形中位线的性质定理．
【教学难点】
利用三角形中位线的性质定理解决相关问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P47～P49的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
3．如图，点D、E分别为△ABC边AB、AC的中点，求证：DE∥BC且DE＝BC.
证明：如图，延长DE到F，使EF＝DE，连结CF.由题易知，△ADE≌△CFE，∴AD∥FC，且AD＝FC，∴BD∥FC.又∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∴BD＝FC，∴四边形BCFD是平行四边形．∴DF∥BC，DF＝BC.又∵DE＝EF，∴DE∥BC且DE＝BC.
教师点拨：此方法是证明三角形中位线定理的另一种方法．
环节2 合作探究，解决问题
活动1小组讨论(师生互学)
【例1】如图，为测量池塘边上两点A、B之间的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，取OA、OB的中点D、E，测出DE＝12米，那么A、B两点之间的距离是 ____米．
【互动探索】(引发学生思考)先判断出三角形的中位线，再利用三角形中位线定理可得到AB＝2DE，即可求得答案．
【分析】∵D、E分别为OA、OB的中点，
∴DE为△OAB的中位线，
∴AB＝2DE＝24米．
即A、B两点之间的距离是24米．
【答案】24
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题主要考查三角形中位线定理，掌握三角形中位线平行第三边且等于第三边的一半是解题的关键．
【例2】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长．
【互动探索】(引发学生思考)为证MN为△BCD的中位线，应根据三线合一，得到DM＝MC，即可解决问题．
【解答】∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，
∴AD＝AC＝3，DM＝CM.
∵AB＝5，∴BD＝AB－AD＝2.
∵N为BC的中点，
∴BN＝CN，
∴MN为△BCD的中位线，
∴MN＝BD＝×2＝1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．如已知一个三角形一边上的高又是这边所对角的平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为( C )
A． B．3
C．6 D．9
2．如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为( A )
A．80° B．90°
C．100° D．110°
3．如图所示，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是线段AO、BO的中点，若AC＋BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF＝3厘米．
4．如图所示，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长为11.
5．如图所示，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连结EF.求证：EF∥BC.
证明：∵CF平分∠ACB，DC＝AC，∴CF是△ACD的中线，∴点F是AD的中点．∵点E是AB的中点，∴EF∥BD，即EF∥BC.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连结AE，分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
【互动探索】本题可先证明△ABF≌△ECF，从而得出BF＝CF，这样就得出了OF是△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系．
【解答】AB＝2OF，且AB∥OF.证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，OA＝OC，
∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.
∵CE＝DC, CD＝AB，∴AB＝CE.
∵在△ABF和△ECF中，
∴△ABF≌△ECF(ASA)，
∴BF＝CF.
∵OA＝OC，
∴OF是△ABC的中位线，
∴AB＝2OF，AB∥OF.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．三角形的中位线
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
2．三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
练习设计
请完成本课时对应练习！
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩 形
第1课时 矩形的性质
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．
2．理解并掌握直角三角形斜边上的中线的性质．
【过程与方法】
经过探索矩形的性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．
【情感态度与价值观】
经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握矩形的性质定理．
【教学难点】
会用矩形的性质定理解决相关问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P52～P53的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形．
2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
4．请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“?”，错误打“?”．
(1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．(? )
(2)平行四边形就是矩形．(? )
(3)平行四边形具有的性质，矩形也具有．(?)
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】求证：矩形的对角线相等．
【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知求证→根据矩形的性质定理1证明三角形全等→得出结论．
【解答】已知：如图，四边形ABCD是矩形，AC与BD是对角线．
求证：AC＝BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°.
又∵BC＝CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴AC＝BD，
即矩形的对角线相等．
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明两个三角形全等是证明角相等的常用方法．
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于点D，交BA延长线于点E，若∠E＝35°，求∠BDA的度数．
【互动探索】(引发学生思考)根据直角三角形的性质得到DA＝DB，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】∵∠E＝35°，ED⊥BC，
∴∠B＝55°.
∵∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴DA＝DB，
∴∠B＝∠DAB＝55°，
∴∠BDA＝180°－55°－55°＝70°.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
【例3】如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5 cm，求矩形对角线的长．
【互动探索】(引发学生思考)矩形中含有直角三角形→判断AB与BD的数量关系→需确定∠ODA的度数．
【证明】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD(矩形的对角线相等)，
OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，
∴OA＝OD.
∵∠AOD＝120°，
∴∠ODA＝∠OAD＝×(180°－120°)＝30°.
又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，
∴BD＝2AB＝2×2.5＝5(cm)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决这类问题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( B )
A．对边相互平行 B．对角线相等
C．对角线相互平分 D．对角相等
2．如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为( B )
A．3∶2 B．2∶1
C．1.5∶1 D．1∶1
3．如图，△ABC中，若∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是AB的中点，则∠ACD＝ 35°.
4．如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD和BC上的点，AE＝CF，求证：BE＝DF.
证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即ED＝BF.又∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形，∴BE＝DF(平行四边形对边相等)．
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，CD＝BC＝2，求点D到AC的距离．
解：如图，过D作DE⊥AC于点E.∵△ABC 为直角三角形，且D为AB的中点，∴CD＝DB＝DA＝2.又∵CD＝BC，∴△DBC为等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴DE＝AD＝1，即点D到AC的距离为1.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例4】如图，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至E，使CE＝BD，连结AE，若AB＝1，∠AEB＝15°，求AD的长．
【互动探索】在Rt△ABD中，已知AB＝1，要求AD的长，需先求出BD的长，由矩形的性质及∠AEB＝15°，即可求得BD的长．
【解答】连结AC，交BD于点O.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ACB＝90°，DC＝AB＝1，AC＝BD.
∵CE＝BD，∴CE＝AC.
∵∠AEB＝15°，
∴∠ACB＝2∠AEB＝30°.
∴∠DCO＝60°.
又∵DO＝CO，
∴△DCO是等边三角形．
∴DO＝DC＝1，
∴BD＝2DO＝2.
又∵∠BAD＝90°，
∴AD＝＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是应用转化思想，将CE＝BD转化为AC＝CE，再结合三角形的外角性质，将∠AEB＝15°转化为∠ACB＝30°.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 矩形的判定
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
理解并掌握矩形的判定方法．
【过程与方法】
经历探究矩形的判定方法的过程，使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．
【情感态度与价值观】
鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．
二、重难点目标
【教学重点】
矩形的判定方法．
【教学难点】
利用矩形的判定方法解决有关问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P53～P55的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
2．对角线相等的平行四边形是矩形．
3．有三个角是直角的四边形是矩形．
4．能够判断一个四边形是矩形的条件是( C )
A．对角线相等
B．对角线垂直
C．对角线互相平分且相等
D．对角线垂直且相等
5．如图，直线EF∥MN，PQ交EF、MN于A、C两点，AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、∠MCA、∠NCA、∠FAC的平分线．
(1)判断：AB∥CD、BC∥AD.
(2)四边形ABCD是( C )
A．菱形 B．平行四边形
C．矩形 D．不能确定
(3)AC和BD有怎样的大小关系？为什么？
解：相等．因为矩形的对角线相等．
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】求证：有三个角是直角的四边形是矩形．
【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知求证→判定两对直线平行→判定四边形是平行四边形→根据矩形的定义得证．
【解答】已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，
∴AD∥BC，AB∥DC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明四边形是矩形可以先证四边形为平行四边形．
【例2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB∥CD且AB＝CD，∠BAC＝∠BDC，求证：四边形ABCD是矩形．
【互动探索】(引发学生思考)由AB∥CD且AB＝CD→四边形ABCD是平行四边形．结合∠BAC＝∠BDC，可用对角线相等的平行四边形是矩形解决问题．
【解答】∵AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠BDC，
∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC，
∴OA＝OB，∴AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)矩形的判定方法有多种，先证明四边形是平行四边形，再证明平行四边形是矩形是一种常用的判定方法．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列说法错误的是( D )
A．有一个内角是直角的平行四边形是矩形
B．矩形的四个角都是直角，并且对角线相等
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．有两个角是直角的四边形是矩形
2．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝DC.在不添加任何辅助线的前提下，要想使该四边形成为矩形，只需再加上一个条件是∠A＝90°(答案不唯一)．(填上你认为正确的一个答案即可)
3．如图，在□ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E、F.求证：四边形BFDE为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE＋∠DEB＝180°.∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠CDE＝90°.∵BF⊥CD，∴∠BFD＝90°，∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°.∴四边形BFDE为矩形．
4．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，对角线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE.求AE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝BO＝DO＝BD，∠BAD＝90°.∵ED＝3BE，∴BE＝OE.又∵AE⊥BD，∴AB＝AO.∴AB＝AO＝BO，即△ABO是等边三角形，∴∠ABO＝60°，∴∠ADB＝90°－∠ABO＝30°.在Rt△AED中，∵∠ADB＝30°，∴AE＝AD＝×6＝3.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4.求□ABCD的面积．
【互动探索】△ABO是等边三角形及已知条件→四边形ABCD是矩形→求出BC的长，再由矩形的面积公式即可求解．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵△ABO是等边三角形，
∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝4，
∴AC＝BD＝2OA＝8，
∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)，
∴∠ABC＝90°(矩形的四个角都是直角)，
∴由勾股定理，得BC＝＝4，
∴□ABCD的面积是BC·AB＝4×4＝16.
【互动总结】(学生总结，老师点评)先通过对角线相等证明此平行四边形为矩形，再通过矩形的面积公式求解．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
矩形的判定
练习设计
请完成本课时对应练习！
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2 菱 形
第1课时 菱形的性质
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
了解菱形的有关概念，理解并掌握菱形的有关性质．
【过程与方法】
经过探索菱形的性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．
【情感态度与价值观】
经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识。
二、重难点目标
【教学重点】
理解并掌握菱形的性质．
【教学难点】
用菱形的性质解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P55～P56的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
(一)菱形的性质
1．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
2．因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．
3．菱形的四条边都相等．
4．菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
5．菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．
6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
(1)图中有哪些线段是相等的？哪些角是相等的？
(2)有哪些特殊的三角形？
解：(1)相等的线段：AB＝CD＝AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD.
相等的角：∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠CDA，
∠AOB＝∠DOC＝∠AOD＝∠BOC＝90°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∠5＝∠6＝∠7＝∠8.
(2)等腰三角形：△ABC、△DBC、△ACD、△ABD，
直角三角形：Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA.
(二)菱形的面积
阅读、理解、归纳总结教材P56内容及例3，证明菱形的面积＝对角线的乘积的一半．
已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O.
求证：S菱形ABCD＝BD·AC.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴S△ABD＝BD·AO，S△BCD＝BD·OC，∴S菱形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝BD·AC.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，已知菱形ABCD的周长为12，∠A＝60°，则BD的长为________．
【互动探索】(引发学生思考)由菱形ABCD的周长→得菱形的边长．由菱形的性质及∠A＝60°→BD＝AB.
【分析】∵菱形ABCD的周长为12，
∴菱形ABCD的边长为12÷4＝3.
∵∠A＝60°，AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，∴BD＝3.
【答案】3
【互动总结】(学生总结，老师点评)菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，且四条边都相等是菱形特有的性质，该性质经常用来构造等腰三角形解题．
【例2】如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝8，BD＝6，求菱形的周长．
【互动探索】(引发学生思考)由菱形的性质，AC＝8，BD＝6→得到直角三角形△AOD→菱形的边长→菱形的周长．
【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，AD＝DC＝BC＝AB，
∴∠AOD＝90°.
又∵AC＝8，BD＝6，
∴AO＝OC＝4，BO＝OD＝3.
∴AD＝＝＝5，
∴菱形ABCD的周长为5×4＝20.
【互动总结】(学生总结，老师点评)菱形的对角线互相垂直，且把菱形分成四个全等的直角三角形，所以菱形的有关计算问题常转化到直角三角形中求解．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是( B )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC
2．如图，在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，则菱形的边长为10.
3．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2 cm，则菱形的面积为2cm2.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB的顶点O在原点，点C的坐标为(4,0)，点B的纵坐标是－1，求顶点A的坐标．
【互动探索】观察发现OC为一条对角线，连结AB能得另一条对角线．要确定点A的坐标，需要确定横坐标和纵坐标．
【解答】如图，连结AB交OC于点D.
∵四边形OACB是菱形，
∴AB⊥OC，OD＝CD，AD＝BD.
∵点C的坐标是(4,0)，点B的纵坐标是－1，
∴OC＝4，BD＝AD＝1，
∴OD＝CD＝2，
∴点A的坐标为(2,1)．
【互动总结】(学生总结，老师点评)菱形的对角线互相垂直，在平面坐标系问题中，如果其中一条对角线在坐标轴上，作出另一条对角线，那么它与坐标轴垂直，这为我们求点的坐标提供了重要条件．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
菱形的性质
练习设计
请完成本课时对应练习！
第2课时 菱形的判定
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
理解并掌握菱形的判定方法．
【过程与方法】
经历探究菱形的判定方法的过程，使学生能应用菱形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．
【情感态度与价值观】
鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性。
二、重难点目标
【教学重点】
菱形的两个判定方法．
【教学难点】
能用菱形的性质与判定方法解决相关问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P57～P58的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
3．四条边相等的四边形是菱形．
4．判断下列说法是否正确：
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形．(? )
(2)对角线互相垂直平分的四边形是菱形．(? )
(3)对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形．(? )
(4)两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．(?)
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生对学)
【例1】求证：四条边都相等的四边形是菱形．
【互动探索】(引发学生思考)画出图形，写出已知求证→证四边形为平行四边形→根据菱形的定义证明平行四边形为菱形．
【解答】已知：四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA.
求证：四边形ABCD为菱形．
证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵AB＝BC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)证明四边形是菱形，一般可以先证这个四边形是平行四边形．
【例2】下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是( )
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分
B．AB＝BC＝CD＝DA
C．AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD
D．AB＝CD，AD＝BC，AC⊥BD
【互动探索】(引发学生思考)迄今学过的菱形判定方法有哪些？
【分析】
选项 分析
A ∵AC与BD互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故正确，不符合题意
B ∵AB＝BC＝CD＝DA，∴四边形ABCD为菱形，故正确，不符合题意
C AB＝BC，AD＝CD，AC⊥BD，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故错误，符合题意
D ∵AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形．∵AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形，故正确，不符合题意
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评) 菱形的判定方法有多种，可以从边、对角线、对角等多角度进行判断．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．如图，在□ABCD中，添加下列条件不能判定□ABCD是菱形的是( D )
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．BD平分∠ABC D．AC＝BD
2．如图所示，在□□ABCD中，AC⊥BD，E为AB中点，若OE＝3，则□ABCD的周长是24.
3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE＝DF.求证：
(1)△ADE≌△CDF；
(2)四边形ABCD是菱形．
证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED＝∠CFD＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.∵在△AED和△CFD中， ∴△AED≌△CFD(AAS)．
(2)∵△AED≌△CFD，∴AD＝CD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于点E，交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形．
【互动探索】要证明四边形AEDF是菱形，结合已知条件“EF垂直平分AD交AB于点E”，因此需先证明四边形AEDF是平行四边形，从而可证得结论．
【证明】∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°.
∵在△AEO和△AFO中，
∴△AEO≌△AFO(ASA)，
∴EO＝FO.
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又EF⊥AD.
∴平行四边形AEDF为菱形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)在几何题中，如果垂直平分线段恰为四边形的对角线，那么适宜考虑先证这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直得菱形．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
练习设计
请完成本课时对应训练！
18.2 特殊的平行四边形
18.2.3 正方形
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质和判定定理．
【过程与方法】
经历探究正方形的判定方法的过程，使学生能应用正方形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力．
【情感态度与价值观】
鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲，体验数学活动中的探索和创新，感受数学的严谨性．
二、重难点目标
【教学重点】
正方形的性质与判定．
【教学难点】
利用正方形的性质与判定解决有关问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】阅读教材P58～P59的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．正方形的性质：
(1)边：四条边都相等且对边平行．
(2)角：四个角都是直角．
(3)对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角．
(4)正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，正方形有四条对称轴．
2．正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个是直角的菱形是正方形．
3．如图，在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是( C )
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD
B．AD∥BC，∠BAD＝∠BCD
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】如图，在正方形ABCD中，E为CD上一点，F为BC边延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
【互动探索】(引发学生思考)先用观察法，结合图形直观地猜测出BE与DF之间的关系，再利用已知条件，对猜测进行证明．
【解答】BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
如图，延长BE交DF于点M.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°，
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF，
∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF.
∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°，
∴∠CBE＋∠F＝90°，
∴∠BMF＝90°，
∴BE⊥DF.
【互动总结】(学生总结，老师点评)本题是通过证明△BCE≌△DCF来得到BE与DF之间的关系，证明三角形全等是解决这一类型问题的常用方法．
【例2】如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．
【互动探索】(引发学生思考)由BF∥CE，CF∥BE，可直接得出四边形BECF是平行四边形．再结合矩形ABCD的性质，即可得出四边形BECF是正方形．
【证明】∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴平行四边形BECF是菱形．
在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)掌握平行四边形、矩形、菱形成为正方形所需要的条件是解决这类问题的关键．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．菱形、矩形、正方形都具有的性质是( C )
A．对角线相等且互相平分
B．对角线相等且互相垂直平分
C．对角线互相平分
D．四条边相等，四个角相等
2．正方形的面积为36，则对角线的长为( B )
A．6 B．6
C．9 D．9
3．如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( C )
A．14 B．15
C．16 D．17
4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，求证：四边形BEDF是正方形．
证明：∵∠ABC＝90°，DE⊥BC，DF⊥AB，∴四边形BEDF是矩形．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF.∴四边形BEDF是正方形．
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的点，连结AE、CE.
(1)求证：AE＝CE；
(2)若将△ABE沿AB翻折后得到△ABF，当点E在BD的何处时，四边形AFBE是正方形？请证明你的结论．
【互动探索】(1)结合已知条件和图形，要证AE＝CE，只需证△ABE≌△CBE.(2)由折叠的性质→∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE，由直角三角形斜边上的中线性质→AE＝BD＝BE＝DE→四边形AFBE是菱形，AE⊥BD，即可得出结论．
【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠BAD＝∠ABC＝90°，∠ABE＝∠CBE＝45°.
在△ABE和△CBE中，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE＝CE.
(2)点E在BD的中点时，四边形AFBE是正方形．理由如下：
由折叠的性质，得∠F＝∠AEB，AF＝AE，BF＝BE.
∵∠BAD＝90°，E是BD的中点，
∴AE＝BD＝BE＝DE.
∵AE＝CE，
∴AE＝BE＝CE＝DE＝AF＝BF，
∴四边形AFBE是菱形，E是正方形ABCD对角线的交点，
∴AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，
∴四边形AFBE是正方形．
【互动总结】(学生总结，老师点评)图形翻折前后，对应边相等，对应角相等，结合特殊平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定求解此类题型．
环节3 课堂小结，当堂达标
练习设计
请完成本课时对应练习！
第十八章 平行四边形
教材简析
本章的内容包括：平行四边形、特殊的平行四边形(菱形、矩形、正方形)．
本章将进一步学习平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，并在理解它们之间关系的基础上，利用已有的几何知识和方法，探索并证明它们的性质定理和判定定理；进一步体会研究图形几何性质的思路和方法，即通过观察、类比、特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，再通过逻辑推理证明它们．
平行四边形一章在中考中出题的频率较高，主要考查平行四边形、菱形、矩形、正方形的定义、性质和判定，以及利用性质和判定进行相关计算和证明，各种题型均有涉及．近几年，中考中又出现了以特殊平行四边形为背景的开放题、应用题、阅读理解题、学科间综合题、动点问题、折叠问题等热点题型．
教学指导
【本章重点】
平行四边形、矩形、菱形与正方形的性质与判断，三角形中位线定理．
【本章难点】
特殊平行四边形的性质与判定定理的综合运用．
【本章思想方法】
1．体会和掌握类比的学习方法：类比平行四边形来学习矩形、菱形与正方形，注意平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的关系．
2．掌握方程思想：在一些平行四边形、矩形、菱形与正方形的问题中如果遇到直角三角形并要计算边长，则往往要用到勾股定理，根据勾股定理即可列方程解决问题．
3．体会数形结合的思想方法：处理平行四边形、矩形、菱形与正方形的问题时，往往需要利用平行四边形、矩形、菱形与正方形的性质将边、角及对角线转化为“数”，然后利用代数的方法解决问题．
课时计划
18.1 平行四边形4课时
18.2 特殊的平行四边形5课时
