二次根式
本章中考演练
一、选择题
1．2018·杭州临安区期末 化简的结果是( )
A．－2 B．±2 C．2 D．4
2．2018·泰州下列运算正确的是( )
A.＋＝ B.＝2
C.×＝ D.÷＝2
3．2018·曲靖 下列二次根式中能与2 合并的是( )
A. B.
C. D.
4．2018·绵阳 使等式＝成立的x的取值范围在数轴上可表示为( )
图16－Y－1
二、填空题
5．2018·湖州 二次根式中字母x的取值范围是________．
6．2018·哈尔滨 计算6 －10 的结果是________．
7．2018·武汉 计算(＋)－的结果是________．
8．2018·山西 计算：(3 ＋1)(3 －1)＝________．
9．2018·烟台 若与最简二次根式5 是同类二次根式，则a＝________．
10．2018·广州 如图16－Y－2，数轴上点A表示的数为a，化简：a＋＝________．
图16－Y－2
11．2018·滨州 观察下列各式：
＝1＋，
＝1＋，
＝1＋，
……
请利用你所发现的规律，计算＋＋＋…＋，其结果为________．
12．2018·枣庄 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝.现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为________．
三、解答题
13．2018·温州 计算：(－2)2－＋(－1)0.
14．2017·大连 计算：(＋1)2－＋(－2)2.
详解详析
本章中考演练
1．[答案] C
2．[解析] D A项，与不能合并，所以A选项错误；B项，原式＝3 ，所以B选项错误；C项，原式＝＝，所以C选项错误；D项，原式＝＝2，所以D选项正确．故选D.
3．[答案] B
4．[解析] B 由题意可知解得x≥3.故选B.
5．[答案] x≥3
[解析] 由题意，得x－3≥0，解得x≥3.
6．[答案] 4
7．[答案]
[解析] 原式＝＋－＝.
8．[答案] 17
[解析] 原式＝(3 )2－12＝18－1＝17.
9．[答案] 2
[解析] ∵＝2 与最简二次根式5 是同类二次根式，∴a＋1＝3，∴a＝2.
10．[答案] 2
[解析] 由数轴可得0＜a＜2，则a＋＝a＋＝a＋(2－a)＝2.
11．[答案] 9
[解析] 由题意可得
＋＋＋…＋
＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋
＝9＋(1－＋－＋－＋…＋－)
＝9＋
＝9.
12．[答案] 1
13．解：(－2)2－＋(－1)0＝4－3 ＋1＝5－3 .
14．解： 原式＝[()2＋2××1＋12]－2 ＋4＝2＋2 ＋1－2 ＋4＝7.
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课时作业(一)
[16.1 第1课时 二次根式的概念]
1．下列各式：①；②；③；④；⑤.其中二次根式有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．要使二次根式有意义，x必须满足( )
A．x≤4 B．x≥4 C．x＜4 D．x＞4
3．使代数式有意义的x的取值范围是( )
A．x≥0 B．x≠
C．x为一切实数 D．x≥0且x≠
4．下列代数式能作为二次根式被开方数的是( )
A．3－π B．a
C．a2＋1 D．2x＋4
5．下列四个式子中，x的取值范围为x≥2的是( )
A. B.
C. D.
6．估计＋1的值在( )
A．2和3之间 B．3和4之间
C．4和5之间 D．5和6之间
7．已知实数a满足|2018－a|＋＝a，那么a－20182的值是 ( )
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
二、填空题
8．2018·白银 使得代数式有意义的x的取值范围是________.
9．若是正整数，则实数n的最大值为________．
10．物体自由下落的高度h(米)与下落时间t(秒)之间的函数表达式为h＝gt2(g是常数)，则一物体从3s米的高处自由下落到地面所用的时间是________秒．
11．使代数式有意义的x的最小整数值是________．
12．若y＝＋＋2，则xy＝________．
三、解答题
13．下列各式：，，，，，，(m≥－1)，其中哪些是二次根式？哪些不是？
14．x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
(1)； (2)； (3)；
(4).
探究题 已知等腰三角形的三边长a，b，c满足＋＋c＝6，求此三角形的三边长．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[答案] B
3．[解析] D 根据题意，得x≥0且3x－1≠0，所以x≥0且x≠.故选D.
4．[答案] C
5．[解析] C 选项A和B首先满足x－2≥0，因为分母不能为零，所以x＞2.选项C满足x－2≥0，即x≥2.选项D满足2－x≥0，即x≤2.因此选C.
[点评] 只考虑到被开方数的取值范围而忽视分母不能为零是解答此类题目常犯的错误．
6．[解析] C ∵3＜＜4，∴4＜＋1＜5.故选C.
7．[解析] D ∵a－2019≥0，∴a≥2019，
∴原方程可化为a－2018＋＝a，
∴＝2018，
∴a－2019＝20182，∴a－20182＝2019.
8．[答案] x>3
[解析] ∵代数式有意义，
∴x－3＞0，∴x＞3，∴x的取值范围是x＞3.
9．[答案] 11
10．[答案]
11．[答案] 1
[解析] 要使有意义，必须使2x＋1≥0且x≠0，解得x≥－且x≠0.所以使代数式有意义的x的最小整数值是1.
12．[答案] 9
[解析] 由题意得x－3≥0，3－x≥0，所以x＝3，故y＝2，所以xy＝9.
13．解：，，(m≥－1)是二次根式，，，，不是二次根式．
14．(1)x≥－1 (2)x≥ (3)x>－
(4)x≥1
[素养提升]
[解析] 根据二次根式有意义的条件，可以得出a与b的和，从而求出c的值，然后分情况讨论．
解： 由得a＋b＝14，
所以c＝6.
因为此三角形为等腰三角形，
若a＝b，则a＝b＝7，c＝6，满足三角形的三边关系，三角形成立；
若a≠b，则b＝c＝6，a＝8或a＝c＝6，b＝8，满足三角形的三边关系，三角形成立．
即此三角形的三边长为a＝7，b＝7，c＝6或a＝8，b＝6，c＝6或a＝6，b＝8，c＝6.
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课时作业(二)
[16.1 第2课时 二次根式的性质]
一、选择题
1．2018·宽城区期末 计算()2的结果是( )
A．－2 B．2 C．±2 D．4
2．已知实数a在数轴上对应的点的位置如图K－2－1所示，则化简的结果为( )
图K－2－1
A．1 B．－1 C．a D．－a
3．计算()2－的结果是( )
A.＋ B．－2
C. 8 D．2
4．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图K－2－2所示，则化简|a|＋的结果是( )
图K－2－2
A．－2a＋b B．2a－b
C．－b D．b
5．若＝－a，则( )
A．a是整数 B．a是正数
C．a是负数 D．a是负数或零
6．()2＝成立的条件是( )
A．x为一切实数 B．x为正实数
C．x为非负实数 D．x为零
二、填空题
7．计算：＝__________．
8．计算：＝________．
9．若＝2－3x成立，则x需满足的条件是________．
10．计算：(1)()2－＝________；
(2)×＝________．
图K－2－3
11．一次函数y＝(3－a)x＋b－2的图象如图K－2－3所示，化简－的结果是__________．
三、解答题
12．求下列各式的值：
(1)()2； (2).
13．化简：
(1)；
(2)－(－1
14．已知＝2，求x的值．
探究题 阅读下面解题过程，并回答问题．
化简：()2－.
解：由隐含条件1－3x≥0，得x≤.
∴1－x＞0，∴原式＝(1－3x)－(1－x)＝1－3x－1＋x＝－2x.
按照上面的解法，试化简：
－()2＋.
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B ()2＝2，故选B.
2．[答案] C
3．[解析] B 原式＝3－5＝－2.
4．[解析] A 由数轴，得a<0，a－b<0，∴|a|＋＝|a|＋|a－b|＝－a＋b－a＝－2a＋b.故选A.
5．[解析] D ∵＝－a，∴－a≥0，即a≤0，故选D.
6．[答案] C
7．[答案] 2019
8．[答案] π－3
[解析] 因为3－π＜0，所以＝|3－π|＝π－3.
9．[答案] x≤
10．[答案] (1)6 (2)1
[解析] 根据二次根式的两个性质求解，当运用＝|a|计算时，注意a的符号．
11．[答案] a＋b－5
[解析] 根据图象可知直线y＝(3－a)x＋b－2经过第二、三、四象限，所以3－a＜0，b－2＜0，
所以a－3＞0，2－b＞0，所以原式＝(a－3)－(2－b)＝a－3－2＋b＝a＋b－5.
12．(1)9 (2)－
13．解：(1)∵x2＋1>0，
∴＝.
(2)∵－10，x－8<0.
则原式＝－＝－
14．[解析] 根据公式＝|a|解题，进行绝对值化简的关键是判断出绝对值符号内数或式子的正负，这就需要先确定x的取值范围．
解：∵＝2，∴|x－3|＝2，
∴x－3＝±2，∴x＝5或x＝1.
[素养提升]
解：由x－6≥0，得x≥6，
∴2－x＜0，4－x＜0，
∴原式＝－(2－x)－(x－6)－(4－x)＝x.
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课时作业(三)
[16.2 1. 第1课时 二次根式的乘法]
一、选择题
1．2018·隆尧县期末 计算×的结果为 ( )
A．2 B. C．±2 D．±
2．化简的结果是 ( )
A．10 B．2 C．4 D．20
3．下列各式计算正确的是( )
A.×＝ B．2 ×3 ＝6
C．5 ×4 ＝20 D．4 ×3 ＝7
4．化简的结果是( )
A．22 B．±22 C．308 D．±308
5．计算的结果等于( )
A.－ B.
C．1 D．5
6．设＝a，＝b，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是( )
A．0.3ab B．3ab C．0.1ab2 D．0.1a2b
二、填空题
7．计算：×＝________.
8．化简：＝__________．
9．如果·＝，那么x的取值范围是________．
10．计算：×＝________．
11．某长方形的长为2 cm，宽为2 cm，则这个长方形的面积为__________．
三、解答题
12．计算：
(1)5 ×； (2)－6 ×(－4 )；
(3)－××(－3 ).
13．化简：
(1)； (2)；
(3).
14．已知刹车距离的计算公式v＝16 ，其中v表示车速(单位：km/h)，d表示刹车距离(单位：m)，f表示摩擦系数．在一次交通事故中，测得d＝16 m，f＝1.69，而发生交通事故的路段限速为80 km/h，肇事汽车是否违规行驶？说明理由．
探究题 2 ＝，3 ＝，
4 ＝.
(1)请你猜想：5 ＝________；
(2)针对上述各式反映的规律，写出用n(n为自然数，且n≥2)表示的等式，并证明它成立．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] A 原式＝＝＝2，故选A.
2．[答案] B
3．[答案] C
4．[解析] C ＝××＝4×7×11＝308.故选C.
5．[答案] D
6．[解析] A 因为＝＝＝0.3××，故选A.
7．[答案]
8．[答案] 4a
[解析] ＝＝4a.
9．[答案] x≥3
[解析] 由题意得x≥0且x－3≥0，故x≥3.
10．[答案] 2.6×106
[解析] ×
＝
＝
＝2.6×106.
11．[答案] 180 cm2
[解析] S＝2 ×2 ＝4 ＝4 ＝4 ＝180 (cm2)．
12．解： (1)5 ×
＝5
＝30 .
(2)－6 ×(－4 )
＝24
＝288 .
(3)原式＝3＝3×42＝126.
13．解：(1)原式＝×＝4×9＝36.
(2)原式＝＝×＝20 .
(3)原式＝＝＝×＝9×5＝45.
14．[解析] 将测得的数据代入公式v＝16，计算出行驶速度v，若该速度大于80 km/h，则违规；否则不违规．
解：肇事汽车违规行驶．理由：当d＝16 m，f＝1.69时，v＝16＝16×＝16×4×1.3＝83.2(km/h)．
因为83.2>80，所以肇事汽车违规行驶．
[素养提升]
解：(1)
(2)n＝.
证明：n＝＝＝＝.
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课时作业(四)
[16.2 1. 第2课时 二次根式的除法]
一、选择题
1．下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2．化简÷的结果是( )
A．9 B．3 C．3 D．2
3．能使等式＝成立的x的取值范围是( )
A．x≠2 B．x≥0
C．x>2 D．x≥2
4．化简的结果是 ( )
A．2 B．6 C. D.
5．计算÷÷的结果是( )
A. B. C. D.
二、填空题
6．计算：÷＝________．
7．若x＝－，则x＝________．
8．一个长方形的宽为，面积为2 ，则这个长方形的长为________．(结果保留根号)
9．若和都是最简二次根式，则m＝________，n＝________．
10．计算：×÷＝________．
11．比较大小：2 ________3 .
12．计算：÷(3 ×2 )＝________．
三、解答题
13．计算：(1)÷； (2)÷；
(3)÷×.
14．把下列各式的分母有理化：
(1)； (2).
15．比较－3 与－2 的大小．
综合应用 一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的底面是边长为 cm的正方形，现将塑料容器中的一部分水倒入一个高为 cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了 cm(π取3)．
(1)求从塑料容器中倒出的水的体积；
(2)求圆柱形玻璃容器的底面半径．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] A
2．[解析] B ÷＝3 ÷＝3.故选B.
3．[解析] C 由题意知x≥0且x－2＞0，求得解集为x＞2.
4．[答案] C 5.[答案] A
6．[答案]
[解析] ÷＝＝.
7．[答案] －
[解析] x＝－＝－＝－.
8．[答案] 2
[解析] 由题意得，长为2 ÷＝2 .
9．[答案] 1 2
[解析] 由题意可得解得
10．[答案] 12
[解析] 原式＝＝＝3×4＝12.
11．[答案] ＜
[解析] ∵2 ＝×＝，3 ＝×＝，∴2 ＜3 .
12．[答案]
[解析] 原式＝÷12＝＝.
13．解：(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＝＝.
(3)÷×＝＝＝＝＝.
14．解：(1)＝＝＝2 .
(2)＝＝＝－＝－.
15．解：－3 ＝－＝－，－2 ＝－＝－，由＞，知－＜－，即－3 ＜－2 .
[素养提升]
解：(1)由题意可得××＝448 (cm3)．
答：从塑料容器中倒出的水的体积为448 cm3.
(2)设圆柱形玻璃容器的底面半径为r cm.
根据题意可得πr2·＝448 ，
解得r＝.
答：圆柱形玻璃容器的底面半径为 cm.
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课时作业(五)
[16.2 2. 第1课时 二次根式的加减]
一、选择题
1．下列根式中，不能与合并的是( )
A. B. C. D.
2．与－是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
3．计算4 －的结果是( )
A. B．2 C．3 D．6
4．化简＋(－1)的结果是( )
A．2 －1 B．2－
C．1－ D．2＋
5．计算－9 的结果是( )
A．－ B. C．－ D.
6．计算7 －(－)的结果为( )
A．5 B．3 C．3 D．9
7．两个正方形的面积分别为2 cm2，8 cm2，则这两个正方形边长的和为( )
A．3 cm B．3 cm C．10 cm D. cm
二、填空题
8．下列二次根式中：①；②；③，与能合并的是________．(填序号)
9．化简：－＝________．
10．计算：3 －(－)＝________．
三、解答题
11．计算：
(1)－； (2)－3 ＋；
(3)－2 ＋ ；
(4)－(3 ＋11 )．
12．△ABC的三边长分别为a，b，c，周长为l，若a＝7 ，b＝4 ，c＝2 .求△ABC的周长l.
方程思想 已知12 －2 －＝6，求x的值．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] C A选项可化为，B选项可化为，D选项可化为3 ，均能与合并；而C选项可化为，不能与合并．故选C.
2．[解析] C ∵＝＝2 ，∴与－是同类二次根式，故选C.
3．[解析] A 原式＝4 －3 ＝(4－3)＝.
4．[解析] A ＋(－1)＝＋－1＝2 －1.
5．[解析] B －9 ＝4 －9× ＝4 －3 ＝.
6．[答案] A
7．[解析] B 这两个正方形边长的和为＋＝＋2 ＝3 (cm)．
8．[答案] ①②③
[解析] 这三个二次根式化简的结果分别是2 ，，，所以都能与合并．
9．[答案]
[解析] 原式＝3 －2 ＝.故答案为.
10．[答案] 0
[解析] 原式＝－2 ＋＝0.
11．解：(1)－＝2 －4 ＝－2 .
(2)－3 ＋＝5 －6 ＋3 ＝(5－6＋3)＝2 .
(3)－2 ＋ ＝4 －＋＝4 .
(4)－(3 ＋11 )
＝2 －3 －11
＝－－11 .
12．解：l＝7 ＋4 ＋2 ＝35 ＋24 ＋14 ＝73 .
答：△ABC的周长l为73 .
[素养提升]
解：因为12 －2 －＝2 －－＝，
所以＝6，即2x＝36，解得x＝18.
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[16.2 2. 第2课时 二次根式的混合运算]
一、选择题
1．化简－(＋2)得( )
A．－2 B.－2 C．2 D．4 －2
2．若x＝－，y＝＋，则xy的值为( )
A．2 B．2 C．10 D．4
3．计算×的结果是( )
A．6 B．4 C．2 ＋6 D．12
4．下列计算中正确的是( )
A.(＋)＝×＝
B.×－＝－＝
C．(－)×＝×＝3
D.＝2－6＝－4
5．若的整数部分为x，小数部分为y，则x－y的值是( )
A．3 －3 B. C．1 D．3
二、填空题
6．计算：－×＝________．
7．若x＝－1，则x2＋2x＋1＝________．
8．若最简二次根式与是同类二次根式，则a＝________．
9．已知一等腰三角形的底边长和底边上的高均为2 ＋3 ，则此等腰三角形的面积为________．
10．若3 x－＝，则x的值等于________．
三、解答题
11．计算：
(1)÷2 ；
(2)2 ×；
(3)；
(4)(＋2)2019×(－2)2018.
阅读理解题 在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到形如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝＝ ；(一)
＝＝；(二)
＝＝＝－1.(三)
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
＝＝＝＝－1.(四)
(1)请用不同的方法化简：
①参照(三)式得＝________________；
②参照(四)式得＝________________．
(2)计算： ＋＋＋…＋.
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] A －(＋2)＝2 －2－2 ＝－2.
2．[解析] D 原式＝()2－()2＝4.
3．[解析] D 原式＝×(5 ＋－4 )＝2 ×2 ＝12.
4．[解析] C A中括号内的部分不能合并，正确结果为＋2 ；B中－应等于；D中分子中的6没有除以，正确的结果为2－3 .
5．[解析] C 原式＝－(－1)＝－＋1＝1.
6．[答案]
7．[答案] 2
[解析] x2＋2x＋1＝(x＋1)2＝(－1＋1)2＝2.
8．[答案] 4
[解析] ∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a－5＝a＋3，解得a＝4.
9．[答案] 15＋6
[解析] 此等腰三角形的面积为(2 ＋3 )2＝×(12＋12 ＋18)＝15＋6 .
10．[答案]
[解析] 移项，得3 x＝＋，
∴3 x＝2 ＋3 ＝5 ，∴x＝.
11．解：(1)原式＝÷2
＝ ÷2
＝.
(2)原式＝2 －6 ＋
＝12－90＋12
＝－66.
(3)原式＝ －5 － ＋6
＝×2－5×－×2 ＋6
＝－ －3 ＋6
＝－ .
(4)原式＝(＋2)×(＋2)2018×(－2)2018
＝(＋2)[(＋2)(－2)]2018
＝(＋2)×12018
＝＋2.
[素养提升]
解：(1)①＝＝－
②＝＝＝－
(2)原式＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝.
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