本章中考演练
一、选择题
1．2018·临沂 一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为( )
A.＝1 B.＝1
C.＝ D.＝
2．2018·铜仁 关于x的一元二次方程x2－4x＋3＝0的解为( )
A．x1＝－1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝－3
C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3
3．2018·青海 关于一元二次方程x2－2x－1＝0的根的情况，下列说法正确的是( )
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
4．2018·安徽 若关于x的一元二次方程x(x＋1)＋ax＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )
A．－1 B．1
C．－2或2 D．－3或1
5．2018·泰州 已知x1，x2是关于x的方程x2－ax－2＝0的两个根，下列结论一定正确的是( )
A．x1≠x2 B．x1＋x2>0
C．x1·x2>0 D．x1<0，x2<0
6．2017·安徽 一种药品的原价为每盒25元，经过两次降价后为每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足( )
A．16(1＋2x)＝25 B．25(1－2x)＝16
C．16(1＋x)2＝25 D．25(1－x)2＝16
7．2018·龙东 某中学组织初三学生进行篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排15场比赛，则共有________个班级参赛( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8．2018·凉山州若n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的一个根，则m＋n的值是( )
A．1 B．2 C．－1 D．－2
9．2018·安顺 一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是( )
A．12 B．9
C．13 D．12或9
二、填空题
10．2018·柳州 一元二次方程x2－9＝0的解是________．
11．2018·台州 已知关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝________．
12．2018·长沙 已知关于x的方程x2－3x＋a＝0有一个根为1，则方程的另一个根为________．
13．2018·益阳 规定ab＝(a＋b)b，如：23＝(2＋3)×3＝15.若2x＝3，则x＝________．
14．2018·烟台 已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m－1＝0的实数根x1，x2满足3x1x2－x1－x2>2，则m的取值范围是________．
15．2018·日照 为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的长方形绿地，并且长比宽多40米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为____________．
三、解答题
16．解方程：
(1)2018·绍兴 x2－2x－1＝0；
(2)2018·兰州 3x2－2x－2＝0.
17．2018·北京 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.
(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求此时方程的根．
18．2018·随州 已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋3)x＋k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)若＋＝－1，求k的值．
19．2018·盐城 一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现每件商品每降价1元，平均每天可多售出2件．
(1)若每件商品降价3元，则平均每天的销售量为________件；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1200元？
20．2018·安顺 某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
(2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
详解详析
本章中考演练
1．[解析] B 由y2－y－＝0，得y2－y＝，配方，得y2－y＋＝＋，∴(y－)2＝1，故选B.
2．[解析] C 方程x2－4x＋3＝0左边可因式分解为(x－1)(x－3)＝0，∴x－1＝0或x－3＝0，∴x1＝1，x2＝3.故选C.
3．[解析] C 因为Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8>0，所以原方程有两个不相等的实数根，故选C.
4．[解析] A 将原方程变为一般形式，根据根的判别式Δ＝0即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．具体的解答过程如下：
原方程可变形为x2＋(a＋1)x＝0.
∵该方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝(a＋1)2－4×1×0＝0，
解得a1＝a2＝－1.
故选A.
5．[解析] A ∵Δ＝a2＋8>0，∴无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根，根据“根与系数的关系”得x1·x2＝－2，∴x1，x2异号，故选A.
6．[答案] D 一种药品的原价为每盒25元，两次降价的百分率都为x，所以第一次降价后的价格用代数式表示为25(1－x)元，第二次降价后的价格用代数式表示为25(1－x)(1－x)＝25(1－x)2元，根据题意可列方程25(1－x)2＝16.故选D.
7．[解析] C 设有x个班级参赛，依题意列方程得x(x－1)＝15，解得x1＝－5(舍去)，x2＝6，∴有6个班级参赛．
8．[解析] D ∵n(n≠0)是关于x的方程x2＋mx＋2n＝0的一个根，∴n2＋mn＋2n＝0，
∴n(m＋n＋2)＝0.
∵n≠0，∴m＋n＋2＝0，∴m＋n＝－2.故选D.
9．[解析] A 解方程x2－7x＋10＝0，
得x1＝2，x2＝5，
①等腰三角形的三边长是2，2，5.
∵2＋2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边长是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2＋5＋5＝12，
即等腰三角形的周长是12.
故选A.
10．[答案] x1＝3，x2＝－3
11．[答案]
[解析] 因为关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＝0有两个相等的实数根，所以Δ＝b2－4ac＝32－4×1×m＝9－4m＝0，解得m＝.
12．[答案] 2
[解析] 该方程中，a＝1，b＝－3，设两根为x1，x2，其中x1＝1，由一元二次方程根与系数的关系可知，x1＋x2＝－＝3，所以x2＝2.
13．[答案] －3或1
[解析] ∵2x＝3，∴(2＋x)x＝3，x2＋2x－3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.
14．[答案] 3＜m≤5
[解析] ∵x1，x2是x2－4x＋m－1＝0的两根，∴x1＋x2＝4，x1·x2＝m－1.又∵3x1x2－x1－x2>2，∴3(m－1)－4>2，∴m－1>2，∴m>3.又∵b2－4ac＝(－4)2－4(m－1)≥0，∴m≤5，∴3＜m≤5.
15．[答案] x(x＋40)＝1200
[解析] 设绿地的宽为x米，则绿地的长为(x＋40)米．根据长方形的面积公式，可列方程为x(x＋40)＝1200.
16．解：(1)∵a＝1，b＝－2，c＝－1，
b2－4ac＝4＋4＝8>0，
∴x＝，
∴x1＝1＋，x2＝1－.
(2)∵a＝3，b＝－2，c＝－2，b2－4ac＝(－2)2－4×3×(－2)＝4＋24＝28>0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
17．解：(1)由题意，得a≠0，Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4a＋4－4a＝a2＋4.
∵a2＞0，∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4a＝0，
若b＝2，a＝1，则方程变为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1(答案不唯一)．
18．解：(1)由题意得Δ＝(2k＋3)2－4k2＞0，
解得k＞－.
(2)∵x1＋x2＝－(2k＋3)，x1x2＝k2，
∴＋＝＝＝－1.
∴k2－2k－3＝0，解得k1＝3，k2＝－1.
经检验，k1＝3，k2＝－1都是分式方程的根．
由(1)得k＞－，
∴k＝3.
19．解：(1)若每件商品降价3元，则平均每天的销售量为20＋2×3＝26(件)．
故答案为26.
(2)设每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1200元．
根据题意，得(40－x)(20＋2x)＝1200，
整理，得x2－30x＋200＝0，
解得x1＝10，x2＝20.
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20不合题意，应舍去，
∴x＝10.
答：当每件商品降价10元时，该商店每天的销售利润为1200元．
20．解：(1)设从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为x.
根据题意，得1280(1＋x)2＝1280＋1600，
解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(舍去)．
答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.
(2)设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励．
∵8×1000×400＝3200000＜5000000，
∴a＞1000.
根据题意，得1000×8×400＋(a－1000)×5×400≥5000000，
解得a≥1900.
答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
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Sc 课时作业(七)
[17.1 一元二次方程]
一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是( )
A．xy＋2＝1 B．x2＋－9＝0
C．x2＝0 D．ax2＋bx＋c＝0
2．关于x的方程(a－1)x2＋3x－2＝0是一元二次方程的条件是( )
A．a≠0 B．a＝1
C．a≠1 D．a为任意实数
3．方程2x2＝3(x－2)化为一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A．2，3，－6 B．2，－3，－6
C．2，－3，6 D．2，3，6
4．2018·盐城 已知一元二次方程x2＋kx－3＝0有一个根为1，则k的值为( )
A．－2 B．2 C．－4 D．4
5．如果a＋b＋c＝0，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一根是( )
A．1 B．－1 C．±1 D．0
二、填空题
6．一元二次方程(1＋3x)(x－3)＝2x2＋1化为一般形式为________________.
7．若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋m2－1＝0的常数项为0，则m的值是________．
8．已知一个一元二次方程有一个根是3，那么这个方程可以是____________．(填上一个符合条件的方程即可)
9．2018·苏州 若关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0有一个根是2，则m＋n＝________．
10．若方程(m＋3)x|m|－1＋3mx＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为________．
图K－7－1
11．如图K－7－1，在一块长22米、宽17米的长方形地面上，要修建两条宽度相同且互相垂直的道路(两条道路分别与长方形的长和宽平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路的宽为x米，则根据题意可列方程为________________．(将方程整理成一般形式)
三、解答题
12．将下列方程化为一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)x(x－2)＝4x2－3x；
(2)(x＋8)2＝4x＋(2x－1)2；
(3)(2x－1)(3x＋2)＝3.
13．列方程解决问题：餐桌桌面是长120 cm、宽80 cm的长方形，妈妈准备买一块桌布，使四周垂下的边等宽，且桌布的面积是桌面面积的2倍，设四周垂下的边的宽度为x cm，请你列出方程，并将其化为标准形式.
探究题 已知关于x的方程(2a－4)x2－2bx＋a＝0.
(1)当a，b满足什么条件时，该方程为一元二次方程？
(2)当a，b满足什么条件时，该方程为一元一次方程？
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] C 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，是一元二次方程．A中含有两个未知数；B不是整式方程；C符合一元二次方程的定义；当a＝0时，D不是一元二次方程．故选C.
2．[解析] C ∵关于x的方程(a－1)x2＋3x－2＝0为一元二次方程，∴a－1≠0，即a≠1.
3．[解析] C 方程2x2＝3(x－2)化为一般形式为2x2－3x＋6＝0，所以它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是2，－3，6.
4．[解析] B 把x＝1代入一元二次方程，得12＋k－3＝0，解得k＝2.故选B.
5．[答案] A
6．[答案] x2－8x－4＝0
[解析] 展开，得x－3＋3x2－9x＝2x2＋1.移项、合并同类项，得x2－8x－4＝0.
7．[答案] －1
[解析] 根据题意，得m2－1＝0，解得m＝±1.∵方程(m－1)x2＋2x＋m2－1＝0是关于x的一元二次方程，∴m－1≠0，解得m≠1，∴m＝－1.
8．[答案] 答案不唯一，如x2－3x＝0
[解析] 答案不唯一，只要方程化为一般形式后，左边含有因式(x－3)即可．
9．[答案] －2
[解析] 把x＝2代入方程，得4＋2m＋2n＝0，∴m＋n＝－2.
10．[答案] 3
[解析] 由题意知解得m＝3.
11．[答案] x2－39x＋74＝0
[解析] 由题意可知，草坪的总长为(22－x)米、宽为(17－x)米，则草坪的面积为(22－x)(17－x)平方米，故可列方程为(22－x)(17－x)＝300，整理成一般形式为x2－39x＋74＝0.
12．[解析] 有括号的先去括号，再整理，并按未知数的降幂排列．
解：(1)去括号，得x2－2x＝4x2－3x.
移项、合并同类项，得方程的一般形式：3x2－x＝0.
它的二次项系数为3，一次项系数为－1，常数项为0.
(2)去括号，得x2＋16x＋64 ＝4x＋4x2－4x＋1.
移项、合并同类项，得方程的一般形式：3x2－16x－63＝0.
它的二次项系数为3，一次项系数为－16，常数项为－63.
(3)去括号，得6x2＋4x－3x－2＝3.
移项、合并同类项，得方程的一般形式：6x2＋x－5＝0.
它的二次项系数为6，一次项系数为1，常数项为－5.
13．解：根据题意，得(120＋2x)(80＋2x)＝120×80×2，
整理，得x2＋100x－2400＝0.
[素养提升]
解：(1)若该方程为一元二次方程，则2a－4≠0，b为任意实数．即当a≠2，b为任意实数时方程为一元二次方程．
(2)若该方程为一元一次方程，则x的最高次数为1，即二次项系数为0，一次项系数不为0，所以可得当a＝2，b≠0时方程为一元一次方程．
1
课时作业(八)
[17.2 第1课时 直接开平方法]
一、选择题
1．一元二次方程x2＝64的根为( )
A．x＝8 B．x＝－8
C．x＝±4 D．x＝±8
2．一元二次方程x2－4＝0的解是( )
A．x＝－2 B．x1＝2，x2＝－2
C．x＝2 D．x1＝2，x2＝0
3．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝－4 B. x－6＝4
C. x＋6＝4 D. x＋6＝－4
4．用直接开平方法解方程(x＋2)2＝4，得方程的根是 ( )
A．x1＝4，x2＝－4 B．x1＝0，x2＝2
C．x1＝4，x2＝0 D．x1＝－4，x2＝0
5．若方程x2＝m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的( )
A．1 B．4 C. D.
二、填空题
6．一元二次方程2x2－6＝0的解为____________．
7．方程(x＋5)(x－5)＝25的解为_____________________________________________．
8．若关于x的一元二次方程x2＋k＝0有实数根，则k________.
9．一个正方形的面积为144 cm2，那么它的周长为__________cm.
10．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为a☆b＝a2－b2，则方程7☆x＝13的解为x＝__________.
11．若一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则＝________．
三、解答题
12．用直接开平方法解方程：
(1)9x2－25＝0； (2)(2x＋3)2＝5；
(3)4(2x－1)2－36＝0；
(4)(2－)x2－2＋＝0.
13．解方程：(2x－2018)2＝(x－2019)2.
探究题 若关于x的方程a(x＋m)2＝b的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，试求方程a(x＋m＋2)2＝b的解．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] D
2．[答案] B
3．[解析] D (x＋6)2＝(±4)2，所以x＋6＝±4，所以另一个方程是x＋6＝－4.
4．[解析] D 直接开平方，得x＋2＝±2，所以x1＝－4，x2＝0.
5．[解析] D 当m＝1，4，时，方程x2＝m的解分别为x＝±1，x＝±2，x＝±，都是有理数．只有当m＝时，x2＝，解为x＝±，不是有理数．故选D.
6．[答案] x1＝，x2＝－
[解析] 原方程可化为x2＝3.直接开平方得x＝±.
7．[答案] x1＝5 ，x2＝－5
[解析] 原方程可化为x2－25＝25，移项，得x2＝50，直接开平方，得x＝±5 .
8．[答案] ≤0
[解析] 方程可化为x2＝－k，因此当－k≥0时，方程有实数根，所以k≤0.
9．[答案] 48
10．[答案] ±6
[解析] ∵a☆b＝a2－b2，
∴7☆x＝13可化为49－x2＝13，
∴x2＝36，∴x＝±6.
11．[答案] 4
[解析] ∵ax2＝b(ab＞0)，∴x2＝.又∵一元二次方程ax2＝b(ab>0)的两个根分别是m＋1与2m－4，∴m＋1和2m－4互为相反数，
∴m＋1＋2m－4＝0，解得m＝1.
∴m＋1＝2，∴＝(m＋1)2＝4.
12．解：(1)9x2＝25，x2＝，
∴x＝±，即x1＝，x2＝－.
(2)2x＋3＝±，2x＝±－3，∴x＝，
即x1＝，x2＝－.
(3)4(2x－1)2＝36，
(2x－1)2＝9，
∴2x－1＝±3，
∴2x－1＝3或2x－1＝－3，
即x1＝2，x2＝－1.
(4)(2－)x2＝2－，
x2＝1，x＝±1，
即x1＝1，x2＝－1.
13．解：直接开平方，得2x－2018＝x－2019或2x－2018＝－(x－2019)，
∴x1＝－1，x2＝.
[素养提升]
解：方法一：对于方程a(x＋m)2＝b，直接开平方，得x＝±－m.
由题意，不妨设
x1＝－m＝－2，x2＝－－m＝1.
对于方程a(x＋m＋2)2＝b，直接开平方，得x＝±－m－2，
所以x1＝－m－2＝－4，
x2＝－－m－2＝－1.
方法二：也可用整体思想，设所求方程的解为x1′，x2′，则x1＝x1′＋2，x2＝x2′＋2，
所以x1′＝－2－2＝－4，x2′＝1－2＝－1.
1
课时作业(九)
[17.2 第2课时 配方法]
一、选择题
1．用配方法解方程x2＋4x－1＝0时，配方结果正确的是 ( )
A．(x＋4)2＝5 B．(x＋2)2＝5
C．(x＋4)2＝3 D．(x＋2)2＝3
2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )
A．x2－2x－98＝0，化为(x－1)2＝99
B．x2－6x＋4＝0，化为(x－3)2＝5
C．4x2＋6x＋1＝0，化为(x＋)2＝
D．3x2－4x－2＝0，化为(x－)2＝
3．若x2＋6x＋a2是一个完全平方式，则a的值是( )
A．3 B．－3 C．±3 D．±
4．把一元二次方程x2－6x＋4＝0化成(x＋n)2＝m的形式，则m＋n的值为( )
A．8 B．6 C．3 D．2
5．一元二次方程x2＋2 x－6＝0的根是( )
A．x1＝x2＝ B．x1＝0，x2＝－2
C．x1＝，x2＝－3 D．x1＝－，x2＝3
6．对于二次三项式－x2＋4x－5的值，下列叙述正确的是 ( )
A．一定为正数 B．一定为负数
C．正、负都有可能 D．一定小于－1
二、填空题
7．x2－x＋________＝(x－________)2.
8．用配方法解一元二次方程x2＋8x＝1时，应该在等式两边都加上________．
9．已知方程x2－6x＋q＝0可转化为x－3＝±，则q＝________．
三、解答题
10．用配方法解下列方程：
(1)y2－6y＋6＝0；
(2)x2＋12x＝－9.
11．对于二次三项式2x2－5x＋3，学完配方法后，小李同学得到如下结论：无论x取何值，它的值都大于－1.他的结论正确吗？请你用配方法加以说明.
阅读理解 选取二次三项式ax2＋bx＋c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如对二次三项式x2－4x＋2进行配方如下：
①选取二次项和一次项配方：
x2－4x＋2＝(x－2)2－2；
②选取二次项和常数项配方：
x2－4x＋2＝(x－)2＋(2 －4)x，
或x2－4x＋2＝(x＋)2－(4＋2 )x；
③选取一次项和常数项配方：
x2－4x＋2＝(x－)2－x2.
根据上述材料，解决下列问题：
(1)写出x2－8x＋4的两种不同形式的配方；
(2)已知x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，求xy的值．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[解析] D 用配方法解方程时，先把二次项系数化为1，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．对于D选项，3x2－4x－2＝0两边同除以3，得x2－x－＝0，移项，得x2－x＝，配方，得x2－x＋(－)2＝＋(－)2，即(x－)2＝.故D错．
3．[答案] C
4．[解析] D 方程x2－6x＋4＝0配方为(x－3)2＝5，所以n＝－3，m＝5，所以m＋n＝2.故选D.
5．[答案] C
6．[解析] B ∵－x2＋4x－5＝－(x2－4x＋4)－1＝－(x－2)2－1＜0，
∴原式的值一定为负数．故选B.
7．[答案]
8．[答案] 16
[解析] 用配方法解一元二次方程x2＋8x＝1时，应该在等式两边都加上42，即16.
9．[答案] 2
[解析] 由x－3＝±，得(x－3)2＝7，
∴x2－6x＋9＝7，
∴x2－6x＋2＝0，
∴q＝2.
10．[答案] (1)y1＝3＋，y2＝3－
(2)x1＝－6＋3 ，x2＝－6－3
11．[解析] 先将二次三项式配方，再根据平方的非负性加以说明．
解：正确．因为2x2－5x＋3
＝2(x2－x)＋3
＝2[x2－2·x＋(－)2－(－)2]＋3
＝2[x2－2·x＋(－)2]－＋3
＝2(x－)2－≥－，
所以2x2－5x＋3＞－1.
[素养提升]
解： (1)答案不唯一，如：
x2－8x＋4
＝x2－8x＋16－16＋4
＝(x－4)2－12；
x2－8x＋4
＝(x－2)2＋4x－8x
＝(x－2)2－4x.
(2)∵x2＋y2＋xy－3y＋3＝0，
∴＋(y－2)2＝0，
∴x＋y＝0，y－2＝0，
∴x＝－1，y＝2，则xy＝(－1)2＝1.
1
课时作业(十)
[17.2 第3课时 公式法]
一、选择题
1．用公式法解方程2x2－6x＝－7，先求出a，b，c的值，则a，b，c的值依次是( )
A．－2，6，7 B．2，－6，－7
C．－2，－6，－7 D．2，－6，7
2．用公式法解方程x2－4x－2＝0，其中b2－4ac的值是( )
A．16 B．24 C．8 D．4
3．利用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( )
A．x＝
B．x＝
C．x＝
D．x＝
4．方程(x－1)(x－2)＝1的根是( )
A．x1＝1，x2＝2 B. x1＝－1，x2＝－2
C. x1＝0，x2＝3 D. 以上都不对
5．现定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是( )
A．－4或－1 B．4或－1
C．4或－2 D．－4或2
6．一元二次方程2x2－2x－1＝0的较大实数根在下列哪两个相邻的整数之间( )
A．3，4 B．2，3
C．1，2 D．0，1
二、填空题
7．用求根公式解方程x2＋3x＝－1，先求得b2－4ac＝________，则x1＝________，x2＝________．
8．若一元二次方程3x2＋(m－1)x－4＝0中的b2－4ac＝73，则m的值为________．
9．若一个长方形的长和宽分别是方程2x2－3x＋1＝0的两个根，则该长方形的周长和面积分别是________．
三、解答题
10．用公式法解下列方程：
(1)x2－6x－4＝0； (2)4x2－8x＋3＝0；
(3)x2－x＋＝0； (4)x2＝6x＋6.
11．已知m2－m－12＝0，解关于x的一元二次方程m(x＋3)2－144＝0.
整体思想 解方程(x＋1)2－3(x＋1)＋2＝0时，我们可以将x＋1看成一个整体，设x＋1＝y，则原方程可化为y2－3y＋2＝0，∴y＝＝，解得y1＝1，y2＝2.当y＝1时，x＋1＝1，解得x＝0；当y＝2时，x＋1＝2，解得x＝1，所以原方程的解为x1＝0，x2＝1.
请利用这种方法解方程：(2x＋3)2－6(2x＋3)－7＝0.
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] D 原方程移项得一般形式为2x2－6x＋7＝0，因此a＝2，b＝－6，c＝7，故选D.
2．[解析] B ∵a＝1，b＝－4，c＝－2，
∴b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－2)＝16＋8＝24，
故选B.
3．[解析] D 先将方程化为一般形式，再按求根公式代入，正确的是D.
4．[解析] D 方程整理得x2－3x＋1＝0，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求解．
5．[解析] B 根据定义，由x★2＝6，得x2－3x＋2＝6.化为一般形式，得x2－3x－4＝0.其中a＝1，b＝－3，c＝－4，b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－4)＝25>0.代入公式，得x＝＝，所以x1＝4，x2＝－1.
6．[解析] C 解方程2x2－2x－1＝0，得x＝.
设a是方程2x2－2x－1＝0较大的根，
∴a＝.
∵1＜＜2，∴2＜1＋＜3，则1＜a＜.
故选C.
7．5
[解析] x2＋3x＝－1整理为一般形式，得x2＋3x＋1＝0，
∵a＝1，b＝3，c＝1，
∴b2－4ac＝32－4＝5＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝.
8．[答案] 6或－4
[解析] 由题意，得(m－1)2－4×3×(－4)＝73.整理，得(m－1)2＝25，所以m－1＝±5，解得m1＝6，m2＝－4.
9．[答案] 3，
[解析] 解方程2x2－3x＋1＝0，得x＝＝，所以x1＝1，x2＝.所以该长方形的周长是2×(1＋)＝3，面积是1×＝.
10．解：(1)a＝1，b＝－6，c＝－4，
b2－4ac＝(－6)2－4×1×(－4)＝52＞0.
代入求根公式，得x＝＝3±.
∴x1＝3＋，x2＝3－.
(2)a＝4，b＝－8，c＝3，
b2－4ac＝(－8)2－4×4×3＝16>0.
代入求根公式，得x＝＝.
∴x1＝，x2＝.
(3)a＝1，b＝－，c＝，
b2－4ac＝(－)2－4×1×＝1>0.
代入求根公式，得x＝＝.
∴x1＝，x2＝.
(4)方程化为x2－6x－6＝0.
a＝1，b＝－6，c＝－6，
b2－4ac＝(－6)2－4×1×(－6)＝60>0.
代入求根公式，得x＝＝3±.
∴x1＝3＋，x2＝3－.
11．解：一元二次方程m2－m－12＝0中，a＝1，b＝－1，c＝－12，
b2－4ac＝(－1)2－4×1×(－12)＝49>0.
代入求根公式，得m＝.
∴m1＝4，m2＝－3.
当m＝4时，方程m(x＋3)2－144＝0为4(x＋3)2－144＝0，(x＋3)2＝36，x＋3＝±6，
∴x1＝3，x2＝－9；
当m＝－3时，方程为－3(x＋3)2－144＝0，即(x＋3)2＝－，此方程无解．
综上所述，所求方程的解为x1＝3，x2＝－9.
[素养提升]
解：设2x＋3＝y，
则原方程可化为y2－6y－7＝0，
∴y＝＝3±4，
解得y1＝－1，y2＝7，
当y＝－1时，2x＋3＝－1，解得x＝－2；
当y＝7时，2x＋3＝7，解得x＝2，
∴原方程的解为x1＝－2，x2＝2.
1
课时作业(十一)
[17.2 第4课时 因式分解法]
一、选择题
1．我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
2．一元二次方程x2－2x＝0的根是( )
A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2
C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2
3．解方程2(x－1)2＝3(1－x)最合适的方法是( )
A．配方法 B．公式法
C．因式分解法 D．直接开平方法
4．一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( )
A．x＝－1 B．x＝2
C．x1＝1，x2＝2 D．x1＝－1，x2＝2
二、填空题
5．解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程：__________.
6．若一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别是1和－2，则将x2＋px＋q分解因式的结果为________．
7．下列一元二次方程的解法中，不正确的有________．(填序号)
①x2＝x两边同时除以x，得x＝1；②(x＋6)2＝9，开平方得x＋6＝3，解得x＝－3；③(x－3)(x－5)＝9×2，∴x－3＝9，x－5＝2，∴x1＝12，x2＝7；④(2－5x)＋(5x－2)2＝0，∴(5x－2)(5x－3)＝0，∴x1＝，x2＝.
三、解答题
8．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－2x－3＝0； (2)x2＋6x＝－9；
(3)(t－1)2＋t－1＝0；
(4)2018·齐齐哈尔 2(x－3)＝3x(x－3)．
9．用适当的方法解方程：
(1)(2x－1)2＝9； (2)x2＋3x－4＝0；
(3)(x－3)(x－1)＝3；
(4)(y－3)2＋3(y－3)＋2＝0.
分类讨论思想 阅读下面的例题：
解方程：x2－|x|－2＝0.
解：(1)当x≥0时，原方程可化为x2－x－2＝0，
解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)；
(2)当x＜0时，原方程可化为x2＋x－2＝0，
解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2.
∴原方程的解是x＝2或x＝－2.
请参照例题解方程：x2－|x－1|－1＝0.
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] A
2．[解析] C 将方程左边分解因式，得x(x－2)＝0.
因此有x＝0或x－2＝0，解得x1＝0，x2＝2.
故选C.
3．[答案] C
4．[解析] D 先移项，得x(x－2)＋(x－2)＝0，再分解因式，得(x＋1)(x－2)＝0.最后转化为两个一元一次方程求解即可．
5．[答案] 答案不唯一，如x＋3＝0(或x－1＝0)
6．[答案] (x－1)(x＋2)
7．[答案] ①②③
8．解：(1)∵x2－2x－3＝0，
∴(x＋1)(x－3)＝0，
∴x＋1＝0或x－3＝0，
∴x1＝－1，x2＝3.
(2)方程变形为x2＋6x＋9＝0，
(x＋3)2＝0，
∴x1＝x2＝－3.
(3)(t－1)(t－1＋1)＝0，
∴t(t－1)＝0，
∴t＝0或t－1＝0，
∴t1＝1，t2＝0.
(4)2(x－3)＝3x(x－3)，
移项，得2(x－3)－3x(x－3)＝0，
整理，得(x－3)(2－3x)＝0，
∴x－3＝0或2－3x＝0，
解得x1＝3，x2＝.
9．解：(1)(直接开平方法)两边开平方，
得2x－1＝±3，
所以x1＝2，x2＝－1.
(2)(因式分解法)把方程左边分解因式，
得(x＋4)(x－1)＝0，
所以x＋4＝0或x－1＝0，
解得x1＝－4，x2＝1.
(3)(因式分解法)原方程可化为x2－4x＝0，
即x(x－4)＝0，所以x＝0或x－4＝0，
解得x1＝0，x2＝4.
(4)(因式分解法)把方程左边分解因式，
得[(y－3)＋2][(y－3)＋1]＝0，
即(y－1)(y－2)＝0，
所以y－1＝0或y－2＝0，
解得y1＝1，y2＝2.
[素养提升]
解：(1)当x－1≥0，即x≥1时，
原方程可化为x2－(x－1)－1＝0，
即x2－x＝0，
解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1；
(2)当x－1＜0，即x＜1时，
原方程可化为x2＋(x－1)－1＝0，
即x2＋x－2＝0，
解得x1＝－2，x2＝1(不合题意，舍去)．
∴原方程的解是x＝1或x＝－2.
1
课时作业(十二)
[17.3 一元二次方程根的判别式]
一、选择题
1．一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为( )
A．4 B．2 C．0 D．－4
2．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－1，那么下列结论一定成立的是( )
A．b2－4ac>0 B．b2－4ac＝0
C．b2－4ac<0 D．b2－4ac≤0
3．一元二次方程4x2－2x＋＝0的根的情况是 ( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法判断
4．下列关于x的方程有实数根的是( )
A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋1＝0
5．2018·湘潭 若一元二次方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ( )
A．m≥1 B．m≤1
C．m＞1 D．m＜1
6．2018·娄底 关于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．无实数根
D．不能确定
7．已知关于x的一元二次方程mx2＋2mx＋2－m＝0有两个相等的实数根，则m的值是( )
A．－2 B．1
C．1或0 D．1或－2
8．若a，b，c为常数，且(a－c)2＞a2＋c2，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．有一个根为0
9．下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2－4x＋c＝0一定有实数根的是( )
A．a＞0 B．a＝0
C．c＞0 D．c＝0
二、填空题
10．如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是________．
11．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个相等的实数根，请写出一组满足条件的实数a，b的值：a＝________，b＝________．
12．2018·威海 若关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，则m的最大整数值是________．
三、解答题
13．不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)4x2－x＋3＝7x；
(2)3(x2＋2)＝4x.
14．2018·成都 若关于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围.
15．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.
(1)不解方程，判断方程根的情况；
(2)若方程有一个根为3，求m的值．
16．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.
17．如果关于x的方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，试判断关于x的方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0的根的情况．
探究题 已知a，b，c是△ABC的三边长，关于x的一元二次方程x2＋2 x＋2c－a＝0有两个相等的实数根，关于x的方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0.
(1)试判断△ABC的形状；
(2)若a，b是关于x的一元二次方程x2＋mx－3m＝0的两根，求m的值．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] A 在这个方程中，a＝1，b＝－2，c＝0，所以根的判别式Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×0＝4.
2．[解析] A 因为关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1＝1，x2＝－1，所以一元二次方程有两个不相等的实数根，所以b2－4ac>0.因此选A.
3．[解析] B 在方程4x2－2x＋＝0中，Δ＝(－2)2－4×4×＝0，∴一元二次方程4x2－2x＋＝0有两个相等的实数根．故选B.
4．[答案] C
5．[解析] D ∵方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4m＞0，解得m＜1.故选D.
6．[解析] A 因为Δ＝[－(k＋3)]2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0，所以原方程有两个不相等的实数根，故选A.
7．[解析] B ∵已知关于x的方程mx2＋2mx＋2－m＝0是一元二次方程，∴m≠0.∵方程mx2＋2mx＋2－m＝0有两个相等的实数根，∴(2m)2－4m·(2－m)＝0.整理，得m2－m＝0，解得m1＝0，m2＝1，∴m＝1.故选B.
8．[解析] B 由(a－c)2>a2＋c2，得a2－2ac＋c2>a2＋c2，∴ac<0，a≠0，∴关于x的方程ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，且b2－4ac>0.因此关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根．
9．[解析] D ∵一元二次方程有实数根，∴a≠0且Δ＝(－4)2－4ac＝16－4ac≥0，∴ac≤4且a≠0.若a＞0，如当a＝1，c＝5时，ac＝5＞4，故A错误；若a＝0，不符合一元二次方程的定义，故B错误；若c＞0，如当a＝1，c＝5时，ac＝5＞4，故C错误；若c＝0，则ac＝0<4，故D正确．故选D.
10．[答案] m<－4
11．[答案] 答案不唯一，满足b2－4a＝0(a≠0)即可，如a＝1，b＝2
12．[答案] 4
[解析] ∵关于x的一元二次方程(m－5)x2＋2x＋2＝0有实数根，∴Δ＝4－8(m－5)≥0，且m－5≠0，
解得m≤5.5且m≠5，
则m的最大整数值是4.
13．解： (1)原方程可化为4x2－8x＋3＝0，
∵Δ＝64－4×4×3＝64－48＝16>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
(2)原方程可化为3x2－4x＋6＝0，
∵Δ＝16－4×3×6＝－56<0，
∴原方程没有实数根．
14．解：由题意可知，Δ＝[－(2a＋1)]2－4×1×a2＝(2a＋1)2－4a2＝4a＋1.
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即4a＋1＞0，解得a＞－.
15．解：(1)∵Δ＝4m2－4(m2－1)＝4>0，∴方程有两个不相等的实数根．
(2)把x＝3代入方程，得m2＋6m＋8＝0，解得m1＝－2，m2＝－4.
16．解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m2＋4m＋1－4m2＋4＝4m＋5>0，解得m>－.
(2)答案不唯一，如取m＝1，则方程为x2＋3x＝0，即x(x＋3)＝0，解得x1＝0，x2＝－3.
17．解：∵方程mx2－2(m＋2)x＋m＋5＝0没有实数根，∴Δ＝[－2(m＋2)]2－4m(m＋5)＝4(m2＋4m＋4－m2－5m)＝4(4－m)<0，∴m>4.对于方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0，当m＝5时，此方程为一元一次方程－8x＋5＝0，方程有一个实数根为x＝.当m≠5时，Δ′＝4(m－1)2－4m(m－5)＝4(3m＋1)．∵m>4，∴3m＋1>13，∴Δ′＝4(3m＋1)>0，∴方程有两个不相等的实数根．
综上，当m＝5时，方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0有一个实数根；当m>4且m≠5时，方程(m－5)x2－2(m－1)x＋m＝0有两个不相等的实数根．
[素养提升]
解：(1)∵关于x的一元二次方程x2＋2 x＋2c－a＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝(2 )2－4×1×(2c－a)＝0，
∴a＋b＝2c.
又∵关于x的方程3cx＋2b＝2a的根为x＝0，
∴a＝b，∴a＝b＝c，即△ABC是等边三角形．
(2)∵a，b是关于x的一元二次方程x2＋mx－3m＝0的两根，
又由(1)知a＝b，
∴方程x2＋mx－3m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝m2＋4×3m＝0，
解得m＝0或m＝－12.
当m＝0时，方程x2＋mx－3m＝0可化为x2＝0，
解得x1＝x2＝0.
又由a，b，c是△ABC的三边长，得a>0，b>0，c>0，故m＝0不符合题意；
当m＝－12时，方程x2＋mx－3m＝0可化为
x2－12x＋36＝0，解得x1＝x2＝6，
可知m＝－12符合题意．
故m的值为－12.
1
课时作业(十三)
[ *17.4 一元二次方程的根与系数的关系]
一、选择题
1．2018·宜宾 一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为( )
A．－2 B．1 C．2 D．0
2．若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2的值为 ( )
A．－4 B．3 C．－ D.
3．已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根为x1，x2，则下列结论正确的是( )
A．x1＋x2＝－ B．x1x2＝1
C．x1，x2都是有理数 D．x1，x2都是正数
4．如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根分别为x1＝2，x2＝1，那么p，q的值分别是( )
A．－3，2 B．3，－2
C．2，－3 D．2，3
5．2018·遵义 已知x1，x2是关于x的方程x2＋bx－3＝0的两根，且满足x1＋x2－3x1x2＝5，那么b的值为( )
A．4 B．－4 C．3 D．－3
6．李老师出示了如下题目：“已知方程x2－3x＋k＋1＝0，试添加一个条件，使它的两根相等．”后，小敏回答：“方程的根为x1＝x2＝.”小聪回答：“k的值为.”则你认为( )
A．只有小敏的回答正确
B．只有小聪的回答正确
C．小敏、小聪的回答都正确
D．小敏、小聪的回答都不正确
二、填空题
7．设x1，x2是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且x1＋x2－x1x2＝1，则x1＋x2＝________，m＝________.
8．已知实数m，n满足3m2＋6m－5＝0，3n2＋6n－5＝0，且m≠n，则＋＝________．
9．在解关于x的方程x2＋bx＋c＝0时，甲看错了一次项系数，解得两根为－1和6，乙看错了常数项，解得两根为－3和4，那么正确的方程是______________．
三、解答题
10．2018·遂宁 已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2＋x1＋x2＞0，求a的取值范围.
11．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个实数根x1，x2.
(1)求m的取值范围；
(2)当x12＋x22＝6x1x2时，求m的值．
设m是不小于－1的实数，且使得关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0有两个不相等的实数根x1，x2，＋＝1，求的值．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] D 根据根与系数的关系可知x1x2＝＝0，故选D.
2．[答案] D
3．[解析] D 根据根与系数的关系，得x1＋x2＝＞0，x1x2＝＞0，∴x1，x2都是正数．故选D.
4．[答案] A
5．[解析] A 由一元二次方程根与系数的关系可知，x1＋x2＝－b，x1x2＝－3，又因为x1＋x2－3x1x2＝5，代入可得－b－3×(－3)＝5，解得b＝4，故选A.
6．[解析] A 当添加条件方程的根为x1＝x2＝时，－3×＋k＋1＝0，解得k＝.此时原方程为x2－3x＋＝0，Δ＝b2－4ac＝9－9＝0，∴方程有两个相等的实数根．当添加条件k的值为时，方程为x2－3x＋＝0，Δ＝b2－4ac＝9－7＝2>0，方程有两个不相等的实数根．故选A.
7．[答案] 4 3
[解析] 由一元二次方程根与系数的关系，
得x1＋x2＝4，x1x2＝m.
∵x1＋x2－x1x2＝1，∴4－m＝1，解得m＝3.
8．[答案] －
[解析] ∵m≠n，∴m，n是方程3x2＋6x－5＝0的两个不相等的实数根，∴m＋n＝－2，mn＝－，∴＋＝＝＝＝－.
9．[答案] x2－x－6＝0
[解析] 设原来方程的两个根是x1，x2，则根据题意，得x1·x2＝c＝－1×6＝－6，x1＋x2＝－b＝－3＋4＝1，∴b＝－1，∴正确的方程是x2－x－6＝0.
10．解：∵该一元二次方程有两个实数根，
∴Δ＝(－2)2－4×1×a＝4－4a≥0，
解得a≤1.
由韦达定理可得x1x2＝a，x1＋x2＝2.
∵x1x2＋x1＋x2＞0，
∴a＋2＞0，解得a＞－2，
∴－2＜a≤1.
11．解：(1)∵原方程有两个实数根，
∴Δ＝(－2)2－4(m－1)≥0，4－4m＋4≥0，
解得m≤2.
(2)根据根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝m－1.
又∵x12＋x22＝6x1x2，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝6x1x2，
(x1＋x2)2－8x1x2＝0，
∴22－8(m－1)＝0，解得m＝.
∵m＝<2，符合条件，故m的值为.
[素养提升]
解：∵关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝[2(m－2)]2－4(m2－3m＋3)
＝4(m2－4m＋4)－4(m2－3m＋3)
＝4(m2－4m＋4－m2＋3m－3)
＝4(－m＋1)＞0，
解得m<1.
又m≥－1，∴－1≤m<1.
∵原方程有两个实数根为x1，x2，
∴x1＋x2＝－2(m－2)，x1x2＝m2－3m＋3.
∵＋＝＝1，∴x1＋x2＝x1x2，
即－2(m－2)＝m2－3m＋3，解得m＝.
∵－1≤m<1，∴m＝，
∴2m＝1－，
∴＝＝＝－2.
1
课时作业(十四)
[17.5 第1课时 一元二次方程的应用(数字、几何)]
一、选择题
1．用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形．设长方形的长为x cm，则可列方程为 ( )
A．x(20＋x)＝64 B．x(20－x)＝64
C．x(40＋x)＝64 D．x(40－x)＝64
2．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( )
A.x(x－1)＝45 B.x(x＋1)＝45
C．x(x－1)＝45 D．x(x＋1)＝45
3．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4.若设个位上的数字为x，则根据题意可列方程 ( )
A．x2＋(x－4)2＝10(x－4)＋x－4
B．x2＋(x＋4)2＝10x＋(x－4)－4
C．x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4
D．x2＋(x－4)2＝10x＋(x－4)－4
4．如图K－14－1所示，将一条长为64 cm的铁丝剪成两段，每段均折成正方形，若两个正方形的面积和为160 cm2，则这两个正方形的边长分别为( )
图K－14－1
A．8 cm，8 cm B．10 cm，6 cm
C．12 cm，4 cm D．14 cm，2 cm
图K－14－2
5．如图K－14－2，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的长方形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )
A．(32－2x)(20－x)＝570
B．32x＋2×20x＝32×20－570
C．(32－x)(20－x)＝32×20－570
D．32x＋2×20x－2x2＝570
6．将一块正方形铁皮的四角各减去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm2，则正方形铁皮的边长为( )
A．10 cm B．13 cm C．14 cm D．16 cm
二、填空题
图K－14－3
7．如图K－14－3所示，长方形ABCD的面积是15，边AB的长比AD的长大2，则AD的长是________．
8．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1190张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为______________．
9．如果两个连续偶数的积是288，那么这两个数是________________．
图K－14－4
10．如图K－14－4，某小区有一块长为30 m，宽为24 m的长方形空地，计划在其中修建两块相同的长方形绿地，它们的面积之和为480 m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m.
11．读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英才两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．哪位学子算得快，多少年华属周瑜．周瑜去世时的年龄为________岁．
三、解答题
12．如图K－14－5，利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的长方形场地，求长方形场地的长和宽．
图K－14－5
13．如图K－14－6所示，某工人师傅要在一个面积为15 m2的长方形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形钢板的边长比小正方形钢板的边长大1 m．求大正方形钢板的边长.
图K－14－6
14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人；
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
15．一个两位数，个位上的数比十位上的数大3，且个位上的数的平方等于这个两位数，求这个两位数.
16．某单位准备将院内一块长30 m、宽20 m的长方形空地建成一个长方形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图K－14－7所示，要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)
图K－14－7
动态探究 如图K－14－8，点O在AB上，AO＝OB＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由点A以2 cm/s速度向点B爬行，同时另一只蚂蚁由点O以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，几秒钟后，两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450 cm2?
图K－14－8
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B 因为这个长方形的周长为40 cm，所以长＋宽＝20 cm，根据题意，长方形的长为x cm，则它的宽为(20－x)cm，由长方形的面积＝长×宽，得x(20－x)＝64.
2．[答案] A
3．[答案] C
4．[解析] C 设大正方形的边长为a cm，则小正方形的边长为(16－a)cm.
依题意，得a2＋(16－a)2＝160，
解得a1＝12，a2＝4(不合题意，舍去)．
16－a＝16－12＝4.
故选C.
5．[解析] A 设道路的宽为x m，则草坪相当于长为(32－2x)m，宽为(20－x)m的一个长方形，其面积为(32－2x)(20－x)m2.根据题意，得(32－2x)(20－x)＝570.故选A.
6．[解析] D 设正方形铁皮的边长是x cm，则没有盖的长方体盒子的长、宽均为(x－3×2)cm，高为3 cm，根据题意，得(x－3×2)2×3＝300，解得x1＝16，x2＝－4(不合题意，舍去)．所以正方形铁皮的边长是16 cm.故选D.
7．[答案] 3
[解析] 设AD＝x，则AB＝x＋2，则x(x＋2)＝15.整理，得x2＋2x－15＝0，解得x1＝3，x2＝－5(不合题意，舍去)，故AD＝3.
8．[答案] x(x－1)＝1190
[解析] ∵全班有x名同学，∴每名同学要送出(x－1)张照片．又∵全班是互送照片，∴总共送的张数应该是x(x－1)张．根据全班共送1190张照片，可得x(x－1)＝1190.
9．[答案] 16，18或－18，－16
10．[答案] 2
[解析] 设人行通道的宽度为x m，根据题意，得(30－3x)(24－2x)＝480，解得x1＝20(不合题意，舍去)，x2＝2.
即人行通道的宽度是2 m.
11．[答案] 36
[解析] 设周瑜去世时年龄的十位数字为x，个位数字为x＋3，则周瑜去世时的年龄为[10x＋(x＋3)]岁．依据题意，得(x＋3)2＝10x＋(x＋3)，解得x1＝2，x2＝3.当x＝2时，10x＋(x＋3)＝25.当x＝3时，10x＋(x＋3)＝36.因为周瑜而立之年督东吴，所以x＝2不合题意，所以周瑜去世时的年龄为36岁．
12．解：设垂直于墙的一边长为x m.
根据题意，得
x(58－2x)＝200，
解得x1＝25，x2＝4.
∴另一边长为8 m或50 m.
答：长方形场地的长为25 m，宽为8 m或长为50 m，宽为4 m.
13．解：设大正方形钢板的边长为x m，则小正方形钢板的边长为(x－1)m.
根据题意，得x(2x－1)＝15，
解得x1＝3，x2＝－(不合题意，舍去)．
答：大正方形钢板的边长为3 m.
14．解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
根据题意，得1＋x＋x(x＋1)＝64，
解得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．
答：每轮传染中平均一个人传染了7个人．
(2)64×7＝448(人)．
答：如果不及时控制，第三轮将又有448人被传染．
15．解：设个位数字为x，则十位数字是x－3，这个两位数是10(x－3)＋x.
依题意得x2＝10(x－3)＋x.
整理，得x2－11x＋30＝0.
解得x1＝5，x2＝6.
当x＝5时，x－3＝2；
当x＝6时，x－3＝3.
所以这个两位数是25或36.
16．解：设小道进出口的宽度为x m.
依题意得(30－2x)(20－x)＝532.
整理，得x2－35x＋34＝0.
解得x1＝1，x2＝34.
∵34＞30，不合题意，应舍去，∴x＝1.
答：小道进出口的宽度应为1 m.
[素养提升]
解：有两种情况：
(1)如图①，当蚂蚁在AO上运动时，设x s后两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450 cm2.
由题意，得·3x·(50－2x)＝450，
整理，得x2－25x＋150＝0，
解得x1＝15，x2＝10.
(2)如图②，当蚂蚁在OB上运动时，设y s后，两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450 cm2.
由题意，得×3y(2y－50)＝450，
整理，得y2－25y－150＝0，
解得y1＝30，y2＝－5(不合题意，舍去)．
答：15 s或10 s或30 s后，两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450 cm2.
1
课时作业(十五)
[17.5 第2课时 一元二次方程的应用(增长率、市场营销)]
一、选择题
1．某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是 ( )
A．20% B．25% C．50% D．62.5%
2．制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在每件该产品的成本是81元，则平均每次降低的百分率是( )
A．8.5% B．9% C．9.5% D．10%
3．股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是( )
A．(1＋x)2＝ B．(1＋x)2＝
C．1＋2x＝ D．1＋2x＝
4．2018·岱岳区期末 光彩市场某个体商户购进某种电子产品的进价是每个50元，根据市场调研发现售价是每个80元时，每周可卖出160个，若这种电子产品每个每降低2元，则每周可多卖出20个；若商户计划下周利润达到5200元，则此种电子产品的售价为每个多少元？设此种电子产品每个降低x元，则所列方程为( )
A．(80－x)(160＋20x)＝5200
B．(30－x)(160＋20x)＝5200
C．(30－x)(160＋10x)＝5200
D．(50－x)(160＋10x)＝5200
5．水果店花1500元购进一批水果，按50%的利润率定价，无人购买，决定打折出售，仍无人购买，结果又一次打折才售完．经计算，这批水果共盈利500元，若两次所打折扣相同，则每次打(精确到0.1折)( )
A．9.1折 B．9.2折 C．9.3折 D．9.4折
6．王洪存入银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入．若每年的年利率不变，到期后共取出2750元，则年利率为( )
A．5% B．10% C．15% D．20%
二、填空题
7．合肥大建设再创高潮，继“高架时代”后合肥即将迈入“地铁时代”.2015年合肥市投入200亿元用于地下轨道交通建设，并计划2016年、2017年两年累计再投入528亿元用于地下轨道交通建设．若设这两年中投入资金的年平均增长率为x，则可列方程为____________________．
8．2017年某省全年旅游总收入大约为1000亿元，如果到2019年该省全年旅游总收入要达到1440亿元，那么年平均增长率应为________．
9．某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接六一儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件童装每降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，则可列方程为__________________.
10．将进货价为35元/个的商品按45元/个出售时，可售出500个，经市场调查发现，该商品每个每涨价1元，其销量就减少10个．为了获得9000元的利润，则售价应定为每个__________．
三、解答题
11．随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．某市2017年销售烟花爆竹20万箱，到2019年烟花爆竹的销售量为9.8万箱．求该市2017年到2019年烟花爆竹年销售量的平均下降率.
12．某楼盘准备以每平方米6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4860元的均价开盘销售．
(1)求平均每次下调的百分率．
(2)王老师准备以开盘价均价购买一套100平方米的住房，开发商给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，一次性送装修费每平方米80元．则王老师选择哪种方案更优惠？
13．商场销售某种商品，今年一月份销售了若干件，共获毛利润3万元(每件商品毛利润＝每件商品的销售价格－每件商品的成本价格)．三月份商场在成本价格不变的情况下，把这种商品每件的销售价格降低了4元，但销售量比一月份增加了500件，从而所获毛利润比一月份增加了2千元．则一月份销售每件商品的毛利润是多少元？
14．2018·遵义 在水果销售旺季，某水果店购进一批优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y(千克)与该天的售价x(元/千克)满足如下表所示的一次函数关系：
销售量y(千克) … 34.8 32 29.6 28 …
售价x(元/千克) … 22.6 24 25.2 26 …
(1)某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；
(2)如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元/千克？
探究题 某汽车销售公司1月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降价0.1万元．月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．
(1)若该公司当月销售出3部汽车，则每部汽车的进价为________万元；
(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车(盈利＝销售利润＋返利)?
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] C 设该店销售额平均每月的增长率是x.∵该店今年1月份的销售额是2万元，∴该店今年2月份的销售额是2(1＋x)万元，该店今年3月份的销售额是2(1＋x)(1＋x)万元，依题意，得2(1＋x)2＝4.5.解方程，得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(不合题意，舍去)．故选C.
2．[解析] D 设平均每次降低的百分率为x，则100(1－x)2＝81，解得x1＝0.1，x2＝1.9(不合题意，舍去)．所以x＝0.1＝10%.故选D.
3．[解析] B 设开始这只股票的股价为1，跌停后，股价为0.9，连续两天按照x的增长率增长后，股价为0.9(1＋x)2.根据题意，得0.9(1＋x)2＝1.故选B.
4．[解析] C 由题意可得(80－x－50)(160＋20×)＝5200，即(30－x)(160＋10x)＝5200.故选C.
5．[解析] D 定价为1500(1＋50%)元，抓住两次所打折扣相同这一条件，设每次打x折，两次打折后的实际售价为1500(1＋50%)·元．由此可建立一元二次方程，解之即可．
6．[解析] B 设定期一年的利率是x，则一年到期时的本息为5000(1＋x)元，取出3000元后剩[5000(1＋x)－3000]元，两年到期时的本息为[5000(1＋x)－3000](1＋x)元．根据题意，得[5000(1＋x)－3000](1＋x)＝2750.解得x1＝10%，x2＝－150%(不符合题意，故舍去)，即年利率是10%.故选B.
7．[答案] 200(1＋x)＋200(1＋x)2＝528
[解析] 因为2015年合肥市投入200亿元用于地下轨道交通建设，年平均增长率为x，所以2016年的投入资金为200(1＋x)亿元，2017年的投入资金为200(1＋x)2亿元，根据题意，得200(1＋x)＋200(1＋x)2＝528.
8．[答案] 20%
[解析] 设年平均增长率为x，则2018年总收入可表示为1000(1＋x)亿元，2019年总收入可表示为1000(1＋x)2亿元，所以1000(1＋x)2＝1440，解这个方程，得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．
9．[答案] (40－x)(20＋2x)＝1200
[解析] 总利润＝单件利润×销售量．设每件童装降价x元，则可得每天的销售量为(20＋2x)件，每件的利润为(40－x)元，因此可列方程为(40－x)(20＋2x)＝1200.
10．[答案] 65元
[解析] 设每个涨价x元，则
(45－35＋x)(500－10x)＝9000，
5000－100x＋500x－10x2＝9000，
x2－40x＋400＝0，(x－20)2＝0，
解得x1＝x2＝20，
所以售价为每个45＋20＝65(元)．
11．解：设该市2017年到2019年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x，由题意得
20(1－x)2＝9.8，
解得x1＝0.3＝30%，x2＝1.7(不合题意，舍去)．
答：该市2017年到2019年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%.
12．解：(1)设平均每次下调的百分率为x，
根据题意，得6000(1－x)2＝4860.
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(舍去)．
答：平均每次下调的百分率为10%.
(2)方案①可优惠：4860×100×(1－0.98)＝9720(元)；
方案②可优惠：100×80＝8000(元)．
∵9720>8000，∴方案①更优惠．
答：王老师选择方案①更优惠．
13．解：设一月份销售每件商品的毛利润是x元．
根据题意可得
(x－4)(＋500)＝30000＋2000，
∴30000＋500x－－2000＝32000，
∴x2－8x－240＝0，
解得x1＝20，x2＝－12.
经检验，x1＝20，x2＝－12均是原分式方程的根，但x2＝－12不合题意，故舍去，
∴一月份销售每件商品的毛利润是20元．
14．解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
将(22.6，34.8)，(24，32)代入y＝kx＋b，
得解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋80(20≤x≤32)．
当x＝23.5时，y＝－2x＋80＝33.
答：当天该水果的销售量为33千克．
(2)根据题意得(x－20)(－2x＋80)＝150，
解得x1＝35，x2＝25.
∵20≤x≤32，
∴x＝25.
答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元/千克．
[素养提升]
解：(1)26.8
(2)设需要售出x部汽车，
①当售出10部以内(含10部)时，根据题意，得[28－27＋0.1(x－1)]x＋0.5x＝12.
可化为x2＋14x－120＝0，
解得x1＝－20(不合题意，舍去)，x2＝6.
故当售出6部汽车时，当月可盈利12万元．
②当售出10部以上时，根据题意，得[28－27＋0.1(x－1)]x＋x＝12.
可化为x2＋19x－120＝0，
解得x1＝5，x2＝－24，均不合题意，应舍去．
答：需要售出6部汽车．
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