专题训练(二) 勾股定理及其逆定理的应用
? 类型一 与折叠有关的问题
图2－ZT－1
1．如图2－ZT－1，有一张直角三角形纸片，直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________cm.
2．如图2－ZT－2，在长方形ABCD中，沿EF将长方形折叠，使点A，C重合，展开、铺平，设AC与EF交于点H.若AB＝6，BC＝8，求△ABE的面积．
图2－ZT－2
? 类型二 与图形面积有关的问题
3．已知：如图2－ZT－3，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．
图2－ZT－3
? 类型三 与轴对称有关的最短路程问题
4．如图2－ZT－4，一个牧童在距离小河南岸400米的A处牧马，而他的家正位于牧马处A的南700米(AC＝700米)，东800米(BC＝800米)处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
图2－ZT－4
5．如图2－ZT－5，A，B两个小镇在河流l的同侧，它们到河流l的距离分别为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现要在河流边修建一自来水厂分别向两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元．
(1)请在河流边上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最少；
(2)铺设水管的最低费用为多少？
图2－ZT－5
? 类型四 与立体图形有关的最短路程问题
图2－ZT－6
6．如图2－ZT－6是一个三级台阶示意图，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm.A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为________dm.
详解详析
专题训练(二) 勾股定理及其逆定理的应用
1．[答案]
[解析] 由题意得DB＝AD.
设CD＝x cm，则AD＝DB＝(8－x)cm.
∵∠C＝90°，∴在Rt△ACD中，
根据勾股定理得AD2－CD2＝AC2，
即(8－x)2－x2＝36，
解得x＝，即CD＝ cm.
2．解：根据折叠的性质可得AE＝EC.
设BE＝x，则AE＝EC＝8－x.
在Rt△ABE中，根据勾股定理可得62＋x2＝(8－x)2，解得x＝，
则S△ABE＝AB·BE＝×6×＝.
3．解：如图，连接AC.
∵AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，
∴AC＝＝.
在△ACD中，∵AC 2＋CD2＝5＋4＝9＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝AB·BC＋AC·CD
＝×1×2＋××2
＝1＋.
故四边形ABCD的面积为1＋.
4．解：如图，作点A关于小河南岸的对称点A′，连接BA′交河岸于点P，则PB＋PA＝PB＋PA′＝BA′最短．在△A′BC中，∠C＝90°，BC＝800米，A′C＝AA′＋AC＝400×2＋700＝1500(米)，
∴A′B＝＝1700(米)．
故他要完成这件事情所走的最短路程是1700米．
5．解：(1)作点A关于河流l的对称点E，连接BE交l于点M，则M即为水厂的位置，如图①.
(2)如图②，过点E作EF⊥BD交BD的延长线于点F.
在Rt△BEF中，EF＝CD＝30千米，BF＝BD＋DF＝BD＋CE＝30＋10＝40(千米)，
∴BE2＝EF2＋BF2＝302＋402＝2500，
∴BE＝50千米，
∴铺设水管长度的最小值为50千米，
∴铺设水管所需费用的最小值为50×3＝150(万元)．
答：铺设水管的最低费用为150万元．
6．[答案] 25
[解析] 三级台阶平面展开图为长方形，如图，
长为20 dm，宽为(2＋3)×3＝15(dm)，
则蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到点B的最短路程为x dm.
由勾股定理，得x2＝202＋152＝252，
解得x＝25.故答案为25.
1
课时作业(十六)
[18.1 第1课时 勾股定理]
一、选择题
1．若一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边长为 ( )
A．2 B．10
C．100 D．10或2
2．如图K－16－1，字母A所代表的正方形的面积为(正方形中的数字表示该正方形的面积)( )
A．13 B.
C．8 D．以上都不对
图K－16－1
图K－16－2
3．如图K－16－2，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格三角形ABC中，边长是无理数的边数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
图K－16－3
4．我国古代数学家赵爽的《勾股方圆图》是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图K－16－3)．如果大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，直角三角形较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么(a＋b)2的值为( )
A．16 B．29 C．19 D．48
5．若一直角三角形的两边长分别为12和5，则第三边长为 ( )
A．13 B．13或
C．13或15 D．15
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＋b＝14 cm，c＝10 cm，则Rt△ABC的面积为( )
A．24 cm2 B．36 cm2 C．48 cm2 D．60 cm2
二、填空题
7．直角三角形的斜边长是5，一直角边的长是3，则此直角三角形的面积为________．
8．等腰三角形的腰长为5 cm，底边长为8 cm，则底边上的高为________．
9．如图K－16－4，O为数轴原点，A，B两点分别对应－3，3，作腰长为4的等腰三角形ABC，连接OC，以点O为圆心，OC长为半径向右侧画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为________．
图K－16－4
图K－16－5
10．如图K－16－5所示，一张三角形纸片ABC，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm，现将纸片折叠，使点A与点B重合，那么折痕的长为________cm.
11．在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高AD为12 cm，则△ABC的面积为________cm2.
三、解答题
12．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
(1)a＝7，b＝24，求c；
(2)a＝4，c＝7，求b.
13．如图K－16－6所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝50 cm，BC＝30 cm，CD⊥AB于点D，求CD的长．
图K－16－6
14．在直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的位置如图K－16－7所示．
(1)求边AB，BC，CD，AD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
图K－16－7
15．在两千多年前，我国古算书上记载“勾三股四弦五”，它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3个单位长度和4个单位长度，那么它的斜边的长一定是5个单位长度．而且3，4，5这三个数有这样的关系：32＋42＝52.
(1)请你验证这个事实；
(2)请你观察图K－16－8，Rt△ABC的两条直角边的长分别为AC＝7，BC＝4，请你探究这个直角三角形的斜边AB的平方是否等于42＋72.
图K－16－8
16．如图K－16－9是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形(两直角边长分别为a，b，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，并利用此图形证明勾股定理.
图K－16－9
新定义题型 阅读下面的情景对话，然后解答问题．
(1)根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形．”是真命题还是假命题(直接给出结论，不必证明)；
(2)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c的值．
图K－16－10
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B ∵直角三角形的两直角边长分别为6和8，∴由勾股定理，得斜边的长＝＝10.
2．[答案] A
3．[解析] C 观察图形，由勾股定理，得AB＝＝，BC＝＝，AC＝＝5，∴△ABC中有两条边的长是无理数，故选C.
4．[解析] B ∵大正方形的面积是16，小正方形的面积是3，
∴四个直角三角形的面积和为16－3＝13，即4×ab＝13，∴2ab＝13，a2＋b2＝16，
∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝16＋13＝29.故选B.
5．[解析] B 当12是斜边长时，第三边长是＝；当12是直角边长时，第三边长是＝13.
6．[解析] A 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得a2＋b2＝100.由a＋b＝14，得(a＋b)2＝196，即a2＋2ab＋b2＝196，所以ab＝48，ab＝24，即Rt△ABC的面积为24 cm2.
7．[答案] 6
8．[答案] 3 cm
[解析] 如图所示，在△ACB中，AB＝AC＝5 cm，BC＝8 cm，AD⊥BC.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，BD＝CD＝BC＝4 cm.
由勾股定理得AD＝＝＝3(cm)，故答案为3 cm.
9．[答案]
[解析] ∵△ABC为等腰三角形，OA＝OB＝3，∴OC⊥AB.在Rt△OBC中，OC＝＝＝.∵以点O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，∴OM＝OC＝，∴点M对应的实数为.
10．[答案]
[解析] 如图，在Rt△ABC中，由AC＝8 cm，BC＝6 cm，根据勾股定理，得AB＝10 cm.设CE＝x cm，由折叠的性质，得BD＝AD＝5 cm，BE＝AE＝(8－x)cm，∠BDE＝∠ADE＝90°.在Rt△BCE中，根据勾股定理可知BC2＋CE2＝BE2，即62＋x2＝(8－x)2，解方程得x＝，∴BE＝8－＝(cm)．在Rt△BDE中，由勾股定理，得BD2＋DE2＝BE2，即52＋DE2＝，∴DE＝(cm)．故答案为.
11．[答案] 126或66
[解析] 分两种情况讨论：(1)当高AD在△ABC内部时，如图①，在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD＝＝＝5(cm)．
在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD＝＝＝16(cm)，∴BC＝CD＋BD＝21(cm)，∴△ABC的面积为×21×12＝126(cm2)．
(2)当高AD在△ABC外部时，如图②，同(1)，在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD＝5 cm，在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD＝16 cm，∴BC＝CD－BD＝16－5＝11(cm)，∴△ABC的面积为BC·AD＝×11×12＝66(cm2)．
综上，△ABC的面积为126 cm2或66 cm2.
12．解： (1)∵c是斜边，∴c＝＝＝25.
(2)∵b是直角边，∴b＝＝＝.
13．解：∵∠ACB＝90°，AB＝50 cm，BC＝30 cm，
∴AC＝＝40(cm)．
又∵S△ABC＝AC·BC＝AB·CD，
∴AB·CD＝AC·BC，
∴CD＝＝＝24(cm)．
即CD的长是24 cm.
14．解：(1)由勾股定理可得
AB＝＝，BC＝＝，CD＝＝，AD＝＝2 .
(2)由图形可得四边形ABCD的面积＝5×6－×3×1－×5×2－×2×3－×4×2＝16.5.
15．解：(1)边长的平方可表示以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积法验证．分别以这个直角三角形的三边为边向外作正方形，如图，其中AC＝4，BC＝3，则S正方形ABED＝S正方形FCGH－4SRt△ABC＝(3＋4)2－4××3×4＝ 72－24＝25，即AB2＝25，AB＝5.又因为AC＝4，BC＝3，AC2＋BC2 ＝42＋32＝25，所以AB2 ＝AC2＋BC2.
(2)AB2＝S正方形ABED＝S正方形KLCJ－4SRt△ABC＝(4＋7)2 －4××4×7＝121－56＝65＝42＋72.
16．解：方法一：拼成的图形如图①所示．
证明：大正方形的面积既可以表示为(a＋b)2，又可以表示为c2＋4×ab，∴(a＋b)2＝c2＋4×ab，a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，即a2＋b2＝c2.
图①
图②
大正方形的面积既可以表示为c2，又可以表示为ab×4＋(b－a)2，
∴c2＝ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2，即c2＝a2＋b2.
[素养提升]
解：(1)设等边三角形的边长为a，则a2＋a2＝2a2，符合奇异三角形的定义，∴“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题．
(2)∵∠ACB＝90°，∴a2＋b2＝c2.
∵Rt△ABC是奇异三角形，且b＞a，
∴a2＋c2＝2b2，
∴b＝a，c＝a，∴a∶b∶c＝1∶∶.
1
课时作业(十七)
[18.1 第2课时 勾股定理的应用]
一、选择题
1．如图K－17－1，做一个长80厘米、宽60厘米的长方形木框，需在相对角的顶点加一根加固木条，则木条的长至少为( )
A．90厘米 B．100厘米
C．105厘米 D．110厘米
图K－17－1
图K－17－2
2．如图K－17－2，为了测量湖两岸点A和点B之间的距离，一个观测者在点C设桩，使∠ABC＝90°，并测得AC的长为20米，BC的长为16米，则点A和点B之间的距离为( )
A．25米 B．12米 C．13米 D．4 米
3．如图K－17－3所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为( )
A.米 B.米
C．(＋1)米 D．3米
图K－17－3
图K－17－4
4．如图K－17－4，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P相距30海里的A处，轮船沿正南方向航行60海里后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为( )
A．60海里 B．45海里
C．20 海里 D．30 海里
二、填空题
5．如图K－17－5，学校有一块长方形花圃，有少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路(假设2步为1 m)，却踩伤了花草.
图K－17－5
图K－17－6
6．如图K－17－6是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸(单位： mm)，计算两圆孔中心A和B的距离为________ mm.
7．2018·湘潭 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．”翻译成数学问题是：如图K－17－7所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为______________．
图K－17－7
图K－17－8
8．如图K－17－8，一根长为18 cm的筷子置于底面直径为5 cm，高为12 cm的圆柱形水杯中，它露在水杯外面的长度为h cm，则h的取值范围是________．
9．如图K－17－9，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米，一架梯子斜靠在左墙上时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙上时，梯子顶端距离地面________米．
图K－17－9
图K－17－10
10．如图K－17－10，为测量河宽AB(假设河的两岸平行)，在点C处测得∠ACB＝30°，在点D处测得∠ADB＝60°.若CD＝60 m，则河宽AB为________m．(结果保留根号)
三、解答题
11．在如图K－17－11所示的正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点画一个三角形，使三角形的三边长分别为3，2 ，.
图K－17－11
12．2018·南通 如图K－17－12，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520 m，∠D＝30°.那么另一边开挖点E离点D多远，正好使A，C，E三点在一条直线上？
图K－17－12
13．从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触到地面，此时发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是怎样算出来的吗？
14．在海上观察所A处，我边防海警发现正南方向60海里的B处有一可疑船只正以每小时20海里的速度向正东方向C处驶去，我边防海警即刻从A处派快艇去拦截．若快艇的速度是每小时海里，则快艇最快几小时可拦截住可疑船只？
方程思想 已知：如图K－17－13所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．当其中一点到达终点时，另一点也停止移动．
(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?
(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长等于5 cm?
(3)在(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．
图K－17－13
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[答案] B
3．[答案] C
4．[解析] D 由题意，得∠APB＝90°.∵AB＝60海里，AP＝30海里，∴此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为BP＝＝30 海里．故选D.
5．[答案] 4
[解析] 依题意，得AC＝3 m，BC＝4 m，∠ACB＝90°，∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB＝＝＝5(m)，∴AC＋BC－AB＝3＋4－5＝2(m)．∵2步为1 m，∴2 m＝4步，∴他们少走了4步．
6．[答案] 5
[解析] 由图可得，∠ACB＝90°，AC＝5－2＝3(mm)，BC＝6－2＝4(mm)，根据勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，所以AB＝＝＝5(mm)．
7．[答案] x2＋32＝(10－x)2
[解析] ∵AC＋AB＝10，∴AB＝10－x.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2＋BC2＝AB2，即x2＋32＝(10－x)2.
8．[答案] 5≤h≤6
[解析] 设筷子在杯子中的长为x cm，则当杯子中筷子最短时，杯子中筷子的长等于杯子的高，即x＝12；当杯子中筷子最长时，杯子中筷子的长等于以杯子的高、底面直径为直角边的直角三角形的斜边长，即x＝＝13，∴h的取值范围是18－13≤h≤18－12，即5≤h≤6.
9．[答案] 2
[解析] 如图．
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB＝＝2.5(米)．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′B＝AB＝2.5米，BD＝2.2－0.7＝1.5(米)，
∴A′D2＋1.52＝2.52，∴A′D＝＝2(米)．
10．[答案] 30
[解析] ∵∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，∴∠CAD＝30°，∴AD＝CD＝60 m．∵∠ABC＝90°，∠ADB＝60°，∴∠DAB＝30°，∴BD＝AD＝30 m，∴在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB＝＝＝30 (m)．
11．[解析] 由于＝，则1×2的网格组成的长方形的对角线的长为，
而2 ＝，则2×2的网格组成的正方形的对角线的长为2 ，注意在画图中选择出所画的线段，使其恰好是一个三角形的三边即可．
解：所画三角形的形状大小相同，只是位置不同，如图，AB＝，BC＝2 ，AC＝3.
12．解：若A，C，E三点在一条直线上，∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，
∴∠AED＝120°－30°＝90°.
在Rt△BDE中，BD＝520 m，∠D＝30°，
∴BE＝260 m，
∴DE＝＝260 (m)．
答：另一边开挖点E离点D 260 m，正好使A，C，E三点在一条直线上．
13．解：如图，设旗杆的高度为AC＝h米，则绳子长为AB＝(h＋2)米，BC＝8米．在Rt△ABC中，根据勾股定理，得h2＋82＝(h＋2)2，解得h＝15.所以旗杆的高度是15米．
14．解：设快艇x小时后在D处拦截住可疑船只，则BD＝20x海里，AD＝x海里．由勾股定理，得AD2＝AB2＋BD2，∴＝602＋(20x)2，
解得 x＝(负值已舍去)．
答：快艇最快小时可拦截住可疑船只．
[素养提升]
解：设点P与点Q的运动时间为t s，则AP＝t cm，BP＝(5－t)cm，BQ＝2t cm.
(1)S△PBQ＝BP·BQ，即4＝(5－t)·2t，
解得t＝1或t＝4(不合题意，舍去)．
故1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2.
(2)因为PQ2＝BP2＋BQ2，PQ＝5 cm，所以25＝(5－t)2＋(2t)2，解得t＝0(舍去)或t＝2.
故2 s后，PQ的长等于5 cm.
(3)不能．理由：令S△PBQ＝7 cm2，则BP·BQ＝7，即(5－t)·2t＝7，整理，得t2－5t＋7＝0.
因为b2－4ac＝25－28＝－3＜0，所以该方程没有实数根，
所以在(1)中，△PBQ的面积不能等于7 cm2.
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课时作业(十八)
[18.2 勾股定理的逆定理]
一、选择题
1．2018·南通 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( )
A．3，4，5 B．2，3，4
C．4，6，7 D．5，11，12
2．下列各组数是勾股数的是( )
A．2，3，4 B．4，5，6
C．3.6，4.8，6 D．9，40，41
3．若三角形的三边长分别为6，8，10，则最短边上的高为( )
A．8 B．6 C．5 D．10
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )
A．∠A＋∠B＝∠C
B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3
C．a2＝c2－b2
D．a∶b∶c＝3∶4∶6
5．三角形的三边长分别为a，b，c，且满足关系式(a＋b)2＝c2＋2ab，则此三角形为( )
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
6．一位工人师傅测量了一个等腰三角形工件的腰、底和底边上的高，并按顺序记录了数据，量完后，他不小心把这组数据与其他记录的数据弄混了，请你帮助这位师傅从下列数据中找出等腰三角形工件的数据( )
A．13，10，10 B．13，10，12
C．13，12，12 D．13，10，11
图K－18－1
7．如图K－18－1，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
二、填空题
8．在△ABC中，已知BC＝41，AC＝40，AB＝9，则△ABC为__________三角形，__________是最大的角．
9．有一个三角形的两边长是6和10，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为________．
10．如图K－18－2，供电所李师傅要安装电线杆，按要求，电线杆要与地面垂直，因此，从离地面6 m的C处向地面拉一条长6.5 m的钢绳，现测得地面钢绳固定点A到电线杆底部B的距离为2.5 m，则张师傅的安装方法________要求．(填“符合”或“不符合”)
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系＋＝0，则△ABC的形状为______________．
图K－18－2
图K－18－3
12．如图K－18－3，在学校院内有一块四边形的空地，经测量，AB＝6米，BC＝8米，CD＝24米，DA＝26米，且∠ABC＝90°，如果进行绿化，每平方米需要a元，那么共需花费________元．
三、解答题
13．判断下列由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形：
(1)a＝9，b＝5，c＝12；
(2)a＝12，b＝35，c＝37.
14．如图K－18－4，在△ABC中，AB＝17 cm，BC＝16 cm，BC边上的中线AD＝15 cm，△ABC是等腰三角形吗？为什么？
图K－18－4
15．如图K－18－5，某工厂前面有一条笔直的公路，原先有两条路AB和AC可以从工厂A到达公路．经测量AB＝8千米，AC＝6千米，BC＝10千米，需要再修建一条路，使从工厂A沿这条路到公路的路程最短，请你帮助工厂A设计修路方案，并求出这个最短路程．
图K－18－5
16．如图K－18－6，A，B，C，D是四个小城镇，除B，C外，它们之间都有笔直的公路连接，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A—B：10元；A—C：12.5元；A—D：8元；B—D：6元；C—D：4.5元．为了方便B，C之间的交通，欲在B，C之间建一条笔直的公路，请你按上述标准计算出B，C之间公共汽车的票价为多少元．
图K－18－6
探究题 (1)小明在做拼图游戏时，把三个正方形拼成一定的形状，如图K－18－7①，若正方形P的面积为9，Q的面积为15，M的面积为24，则此图中的△DEF为__________三角形；
(2)如图②，若半圆S1的面积为36，半圆S2的面积为64，半圆S3的面积为100，则△DEF为__________三角形；
(3)如图③，如果直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？
图K－18－7
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] A
2．[解析] D A选项，42≠22＋32，故2，3，4不是勾股数；B选项，62≠42＋52，故4，5，6不是勾股数；C选项，3.6，4.8不是正整数，故不是勾股数；D选项，三数均为正整数，且412＝92＋402，故9，40，41是勾股数．故选D.
3．[解析] A ∵62＋82＝102，∴这个三角形是直角三角形，这个三角形的最短边长是6，则最短边上的高为8，故选A.
4．[解析] D ∵∠A＋∠B＝∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝90°，故A项不符合要求；设∠A＝x°，则∠B＝2x°，∠C＝3x°，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴x＋2x＋3x＝180，解得3x＝90，∴∠C＝90°，故B项不符合要求；∵a2＝c2－b2，∴a2＋b2＝c2，∴∠C＝90°，故C项不符合要求．因此选D.
5．[解析] C 因为(a＋b)2＝c2＋2ab，所以a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，即a2＋b2＝c2，所以此三角形是直角三角形．
6．[解析] B 等腰三角形的腰、底边的一半和底边上的高构成直角三角形．
7．[解析] C 连接AC，则AC＝BC＝＝，AB＝＝，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°.故选C.
8．[答案] 直角 ∠A
9．[答案] 8或2
[解析] 分两种情况：(1)当第三边为斜边时，根据勾股定理，得第三边长＝＝2 ；
(2)当斜边长为10时，根据勾股定理，得第三边长＝＝8.
因此，第三边的长为8或2 .
10．[答案] 符合
11．[答案] 等腰直角三角形
[解析] 由＋＝0，得c2－a2－b2＝0，且a－b＝0，即a2＋b2＝c2，且a＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形．
12．[答案] 144a
[解析] 连接AC，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝100.
∵AC2＋CD2＝AD2，∴△CDA为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝24＋120＝144.
故共需花费144a元．
13．解：(1)∵a2＋b2＝92＋52＝106，
c2＝122＝144，∴a2＋b2≠c2，
∴由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形．
(2)∵a2＋b2＝122＋352＝1369，
c2＝372＝1369，∴a2＋b2＝c2，
∴由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形．
14．解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝BC＝8 cm.
∵AD2＋BD2＝152＋82＝289，
AB2＝172＝289，∴AD2＋BD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
即AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，∴AB＝AC，
即△ABC是等腰三角形．
15．解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，AD即为所修公路的路线．
∵AB2＋AC2＝82＋62＝100，BC2＝102＝100，
∴AB2＋AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°，
则S△ABC＝AC·AB＝BC·AD，
即×6×8＝×10·AD，
∴AD＝4.8(千米)．
即所求的最短路程是4.8千米．
16．[解析] 因票价和路程成正比，故可将票价视为路程来处理．在△ABD中，由勾股定理的逆定理知∠ADB＝90°，再在Rt△BDC中，由BD，DC可求BC.
解：因为票价与路程成正比，所以可将票价视为路程．
因为AC＝12.5，AD＝8，CD＝4.5，所以AC＝AD＋CD，即A，D，C三点共线．
因为在△ABD中，AB＝10，AD＝8，BD＝6，
所以AD2＋BD2＝82＋62＝100，AB2＝102＝100，
所以AD2＋BD2＝AB2，所以∠ADB＝90°，
所以∠BDC＝90°.
在Rt△BDC中，
BC＝＝＝7.5，
故B，C之间公共汽车的票价为7.5元．
[素养提升]
解： (1)根据正方形的面积，可得DE2＋EF2＝DF2，
∴△DEF是直角三角形．
(2)设三角形的边从小到大分别是a，b，c.根据两小半圆的面积和等于大半圆的面积，有a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝c2，所以△DEF是直角三角形．
(3)根据(2)中的结论，得阴影部分的面积＝直角三角形的面积＝×3×4＝6.
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本章中考演练
一、选择题
1．2018·滨州 在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．2018·凉山州 如图18－Y－1，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于点A，且AB＝1，以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点C，则OC的长为( )
A．3 B. C. D.
图18－Y－1
图18－Y－2
3．2018·泸州 “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图18－Y－2所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )
A．9 B．6 C．4 D．3
图18－Y－3
4．2018·黄冈 如图18－Y－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．2
5．2018·长沙 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载着这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积有多大．题中的“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为( )
A．7.5平方千米 B．15平方千米
C．75平方千米 D．750平方千米
二、填空题
6．2018·德州 如图18－Y－4，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB于点M，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为________．
图18－Y－4
图18－Y－5
7．2018·吉林 如图18－Y－5，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为________．
图18－Y－6
8．2018·荆州 为了比较＋1与的大小，可以构造如图18－Y－6所示的图形进行推算，其中∠C＝90°，BC＝3，点D在BC上且BD＝AC＝1.通过计算可得＋1________.(填“＞”或“＜”或“＝”)
9．2018·云南 在△ABC中，AB＝，AC＝5.若BC边上的高等于3，则BC边的长为________．
三、解答题
10．2018·庐阳区一模 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”
大意是：已知甲、乙二人同时从同一地点出发(如图18－Y－7)，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多远？
图18－Y－7
详解详析
本章中考演练
1．[解析] A ∵三角形为直角三角形，∴三边满足勾股定理，∴弦为＝5.
2．[解析] D ∵AB⊥OA于点A，∴∠OAB＝90°.在Rt△OAB中，由勾股定理得OB＝＝＝，∴OC＝OB＝.故选D.
3．[解析] D 因为ab＝8，所以三角形的面积为ab＝4，则小正方形的面积为25－4×4＝9，边长为3.
4．[解析] C 在Rt△ABC中，CE为AB边上的中线，所以CE＝AB＝AE.因为CE＝5，AD＝2，所以DE＝3.因为CD为AB边上的高，所以在Rt△CDE中，CD＝＝4，故选C.
5．[解析] A 将里换算为米，则三角形沙田的三边长为2.5千米，6千米，6.5千米．因为2.52＋62＝6.52，所以这个三角形为直角三角形，直角边长为2.5千米和6千米，所以S＝×6×2.5＝7.5(千米2)，故选A.
6．[答案] 3
[解析] 因为CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，所以CM＝3.过点C作CN⊥OA于点N.因为OC为∠AOB的平分线，所以CN＝CM＝3，即点C到射线OA的距离为3.
7．[答案] (－1，0)
[解析] ∵点A，B的坐标分别为(4，0)，(0，3)，
∴OA＝4，OB＝3.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB＝＝5，
∴AC＝AB＝5，
∴OC＝5－4＝1，
∴点C的坐标为(－1，0)．
8．[答案] ＞
[解析] ∵∠C＝90°，BC＝3，BD＝AC＝1，
∴CD＝2，AD＝＝，AB＝＝，
∴AD＋BD＝＋1.
又∵在△ABD中，AD＋BD＞AB，
∴＋1＞，
故答案为＞.
9．[答案] 1或9
[解析] 设BC边上的高为AD.
当BC边上的高AD在△ABC的内部时，如图①所示，在Rt△ABD中，由勾股定理得BD＝＝＝5.在Rt△ACD中，由勾股定理得CD＝＝＝4，所以BC＝5＋4＝9.
当BC边上的高AD在△ABC的外部时，如图②所示，同理BD＝5，CD＝4，所以BC＝5－4＝1.
10．解：设甲、乙二人从开始出发到相遇所经过的时间为x，则乙行驶的路程为AB＝3x，甲行驶的路程为AC＋BC＝7x.
∵AC＝10，
∴BC＝7x－10.
又∵∠A＝90°，
∴BC2＝AC2＋AB2，
即(7x－10)2＝102＋(3x)2，
解得x＝0(舍去)或x＝3.5，
∴AB＝3x＝10.5，
AC＋BC＝7x＝24.5.
答：甲走了24.5步，乙走了10.5步．
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