课时作业(二十八)
[19.3 3. 正方形]
一、选择题
1．正方形具有而矩形不具有的性质是( )
A．对角线互相平分
B．每条对角线平分一组对角
C．对角线相等
D．对边相等
2．下列说法不正确的是( )
A．一组邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形
D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
3．如图K－28－1，从正方形纸片的顶点沿虚线剪开，则∠1的度数可能是( )
A．44° B．45° C．46° D．47°
图K－28－1
图K－28－2
4．?ABCD与正方形CEFG如图K－28－2所示摆放，其中点E在AD上．若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B的度数为( )
A．50° B．55° C．70° D．75°
5．2018·定安县期末 如图K－28－3所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠EBC的度数是( )
A．45° B．30° C．22.5° D．20°
图K－28－3
图K－28－4
6．2017·黔西南州 如图K－28－4，在正方形ABCD中，AB＝9，点E在CD边上，且DE＝2CE，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PD的最小值是( )
A．3 B．10 C．9 D．9
图K－28－5
7．如图K－28－5，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是( )
A. B.
C. D.－1
二、填空题
8．?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得?ABCD为正方形.
9．如图K－28－6，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE＝2，EC＝1，则AE的长为________．
图K－28－6
图K－28－7
10．如图K－28－7，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为(1，)，则点C的坐标为________．
11．如图K－28－8，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC.若AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为________．
图K－28－8
图K－28－9
12．如图K－28－9，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE＝3，Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为________．
三、解答题
13．如图K－28－10，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE，DF.求证：CE＝DF.
图K－28－10
14．如图K－28－11，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，过点E作EF⊥AD于点F.
求证：四边形ABEF是正方形．
图K－28－11
15．如图K－28－12，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
图K－28－12
16．2018·盐城在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E，F满足BE＝DF，连接AE，AF，CE，CF，如图K－28－13所示．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
图K－28－13
探究题 猜想与证明：
图K－28－14
按图K－28－14所示方式摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上，连接AF.若M为AF的中点，连接DM，ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为______________；
(2)按图K－28－15所示方式摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．
图K－28－15
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[解析] D 根据正方形的定义，已知四边形是矩形，需一组邻边相等，A项正确；菱形的对角线互相垂直平分，若对角线相等，则它是正方形，B项正确；同理，对角线互相垂直的矩形是正方形，C项正确；D项，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
3．[解析] A 如图所示，∵四边形为正方形，∴∠2＝45°.∵∠1＜∠2，∴∠1＜45°.故选A.
4．[解析] C ∵四边形CEFG是正方形，∴∠CEF＝90°.又∵∠AEF＝15°，∴∠CED＝180°－∠AEF－∠CEF＝180°－15°－90°＝75°，∴∠D＝180°－∠CED－∠ECD＝180°－75°－35°＝70°.∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D＝70°(平行四边形的对角相等)．故选C.
5．[解析] C 在正方形ABCD中，∠BAC＝45°.∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝67.5°.∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∴∠EBC＝22.5°，故选C.
6．[解析] A 连接PB，BE，由正方形的对称性，得PD＝PB.又∵AB＝BC＝9，DE＝2CE，∴CE＝3，∴PE＋PD＝PE＋PB≥BE＝＝3 ，故选A.
7．[解析] D ∵正方形ABCD的边长为1，
∴∠DCA＝45°，AC＝.
又∵正方形AB1C1D1是由正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°而得到的，
∴点B1在线段AC上，
∴∠OB1C＝90°，B1C＝－1，
∴OB1＝B1C＝－1，
∴四边形AB1OD的面积＝S△ADC－S△B1OC＝×1×1－×(－1)2＝－＝－1.
故选D.
8．[答案] 答案不唯一，如∠BAD＝90°
[解析] ∵?ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴?ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，菱形ABCD为正方形．
9．[答案]
[解析] ∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠D＝90°.
∵DE＝2，EC＝1，∴AD＝CD＝3.
在Rt△ADE中，∵∠D＝90°，AD＝3，DE＝2，
∴AE＝＝＝.
10．[答案] (－，1)
[解析] 过点C作横轴的垂线，垂足为D，则OD＝，CD＝1，所以点C的坐标为(－，1)．
11．[答案] 5
[解析] 由四边形ABCD是正方形，EF⊥AC，可证△AEF是等腰直角三角形，所以EF＝AF＝3.在Rt△EFC中，因为△EFC的周长为12，设EC＝x，则FC＝9－x.根据勾股定理可得x2＝32＋(9－x)2，解得x＝5.
12．[答案] 6
13．证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°.
又∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE＝CF.
在△CEB和△DFC中，
∴△CEB≌△DFC，∴CE＝DF.
14．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠FAB＝∠ABE＝90°，AF∥BE.
∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°，
∴四边形ABEF是矩形．
∵AE平分∠BAD，AF∥BE，
∴∠FAE＝∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，∴四边形ABEF是正方形．
15．证明：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
又∵AB＝CB，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，
∴∠ADB＝∠CDB.
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD＝∠PND＝90°.
又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN，∴矩形MPND是正方形．
16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABE＝∠ADF.
在△ABE与△ADF中，
∴△ABE≌△ADF(SAS)．
(2)
四边形AECF是菱形．
理由：如图，连接AC.∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥EF，∴OB＋BE＝OD＋DF，即OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．
[素养提升]
解：猜想与证明：
图①
猜想DM与ME的数量关系是DM＝ME.
证明：如图①，延长EM交AD于点H.
∵四边形ABCD、四边形ECGF都是矩形，
∴AD∥BG，EF∥BG，∠HDE＝90°，
∴AD∥EF，∴∠AHM＝∠FEM.
∵M为AF的中点，∴AM＝FM.
又∵∠AMH＝∠FME，
∴△AMH≌△FME，∴MH＝ME.
又∵∠HDE＝90°，∴DM＝ME.
图②
拓展与延伸：
(1)DM＝ME，DM⊥ME.
(2)证明：如图②，连接AC.
∵四边形ABCD、四边形ECGF都是正方形，
∴∠DCA＝∠FCE＝45°.
又∵点F在边CD上，
∴点E在AC上，
∴∠AEF＝∠FEC＝90°.
又∵M是AF的中点，∴ME＝AF.
∵∠ADC＝90°，M是AF的中点，
∴DM＝AF，∴DM＝ME.
∵ME＝AF＝FM，DM＝AF＝FM，
∴∠DFM＝(180°－∠DMF)，∠MFE＝(180°－∠FME)，
∴∠DFM＋∠MFE＝(180°－∠DMF)＋(180°－∠FME)＝180°－(∠DMF＋∠FME)＝180°－∠DME.
∵∠DFM＋∠MFE＝180°－∠CFE＝180°－45°＝135°，
∴180°－∠DME＝135°，
∴∠DME＝90°，∴DM⊥ME.
故(1)中的结论仍然成立．
1
课时作业(十九)
[19.1 多边形内角和]
一、选择题
1．八边形的内角和为( )
A．180° B．360° C．1080° D．1440°
2．正十边形的每个外角都等于( )
A．18° B．36° C．45° D．60°
3．2018·乌鲁木齐 一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是 ( )
A．4 B．5 C．6 D．7
4．从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点．若把这个n边形分割成6个三角形，则n的值是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
5．设四边形的内角和等于a，五边形的外角和等于b，则a与b的关系是( )
A．a>b B．a＝b
C．a6．若一个多边形有9条对角线，则这个多边形的边数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
7．2018·济宁 如图K－19－1，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数为( )
A．50° B．55° C．60° D．65°
图K－19－1
图K－19－2
8．如图K－19－2所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°……照这样走下去，她第一次回到出发地A点时，一共走的路程是( )
A．140米 B．150米
C．160米 D．240米
9．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为( )
A．7 B．7或8
C．8或9 D．7或8或9
二、填空题
10．五边形的内角和是________．
11．2018·怀化 一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是________．
12．学校门口的电动伸缩门能伸缩的几何原理是四边形具有________．
13．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是________．
14．若n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引出对角线的条数是________．
15．如图K－19－3，∠1是五边形ABCDE的一个外角．若∠1＝60°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D的度数为________．
图K－19－3
图K－19－4
16．如图K－19－4，在四边形ABCD中，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折，得△FMN.若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝________°.
三、解答题
17．在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的度数．
18．如果一个正多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个正多边形的内角和及对角线的总条数.
19．若一个多边形的外角和与内角和之比为2∶9，求这个多边形的边数及内角和.
20．如图K－19－5，五边形ABCDE的内角都相等，DF⊥AB于点F，求∠CDF的度数．
图K－19－5
21．已知n边形的内角和θ＝(n－2)·180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
请仔细观察下列各辅助线的作法，从图K－19－6中任选一个，证明多边形内角和定理：n边形的内角和等于(n－2)·180°(n为不小于3的整数)．下面已给出已知、求证，请把你选择的方法及证明多边形内角和定理的过程写出来．
图K－19－6
方法一：如图①，在n边形A1A2A3A4A5…An内任取一点O，连接O与各个顶点；
方法二：如图②，作过顶点A1的所有对角线；
方法三：如图③，在n边形的边A1A2上任取一点P(点P与点A1，A2不重合)，连接P与各顶点．
已知：n边形A1A2A3A4A5…An.
求证：n边形A1A2A3A4A5…An的内角和等于(n－2)·180°(n为不小于3的整数)．
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] C 根据多边形的内角和公式(n－2)·180°，将n＝8代入公式，可知C选项正确．
2．[解析] B 360°÷10＝36°，所以正十边形的每个外角都等于36°.故选B.
3．[答案] C
4．[解析] C 由题意，得n－2＝6，解得n＝8.故选C.
5．[解析] B ∵四边形的内角和等于a，∴a＝(4－2)·180°＝360°.∵五边形的外角和等于b，∴b＝360°，∴a＝b.故选B.
6．[解析] A 设这个多边形有n条边，则＝9，解得n1＝6，n2＝－3(舍去)，故这个多边形的边数为6.故选A.
7．[解析] C ∵在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，∴∠EDC＋∠BCD＝240°.
又∵DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，
∴∠PDC＋∠PCD＝120°，
∴在△CDP中，∠P＝180°－(∠PDC＋∠PCD)＝180°－120°＝60°.
故选C.
8．[解析] B ∵多边形的外角和为360°，而每一个外角均为24°，∴多边形的边数为360°÷24°＝15，∴小华一共走了15×10＝150(米)．故选B.
9．[解析] D 设切去一个角后的多边形为n边形，根据题意，有(n－2)·180°＝1080°，解得n＝8.而一个多边形切去一个角后形成的多边形边数有三种可能(如图)：比原多边形边数多1、与原多边形边数相等、比原多边形边数少1，故原多边形的边数可能为8－1＝7，8，8＋1＝9.故选D.
10．[答案] 540°
[解析] 五边形的内角和是(5－2)·180°＝540°.
11．[答案] 10
[解析] ∵一个多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10.
12．[答案] 不稳定性
13．[答案] 8
[解析] 设这个多边形的边数是n，则(n－2)·180°＝3×360°，解得n＝8.
14．[答案] 6
[解析] 由多边形内角和公式知(n－2)·180°＝1260°，解得n＝9.所以从一个顶点出发引出的对角线条数是n－3＝6.
15．[答案] 420°
[解析] ∵∠1＝60°，
∴∠AED＝120°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝540°－∠AED＝420°.
16．[答案] 95
[解析] ∵MF∥AD，FN∥DC，
∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°.
∵△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠BMN＝∠BMF＝×100°＝50°，∠BNM＝∠BNF＝×70°＝35°.
在△BMN中，∠B＝180°－(∠BMN＋∠BNM)＝180°－(50°＋35°)＝180°－85°＝95°.故答案为95.
17．解： 设∠A＝x，则∠B＝x＋20°，∠C＝2x.
由四边形的内角和为360°，得x＋(x＋20°)＋2x＋60°＝360°，解得x＝70°.
∴∠A＝70°，∠B＝90°，∠C＝140°.
18．解：设这个正多边形每个外角的度数为x°，根据题意，得x°＋4x°＋30°＝180°，解得x＝30.360°÷30°＝12，
∴这个正多边形的边数为12.
则这个正多边形的内角和为(12－2)×180°＝1800°，对角线的总条数为＝54.
答：这个正多边形的内角和为1800°，对角线的总条数为54.
19．解：∵任何一个多边形的外角和都等于360°，
这个多边形外角和与内角和的比为2∶9，
∴这个多边形的内角和等于360°÷2×9＝1620°.
设这个多边形的边数是n，
则(n－2)×180°＝1620°，
∴n＝11.
故这个多边形的边数为11，内角和为1620°.
20．解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠C＝∠B＝180°×(5－2)÷5＝108°.
∵DF⊥AB，
∴∠DFB＝90°，
∴∠CDF＝360°－90°－108°－108°＝54°.
21．解：(1)甲的说法对，乙的说法不对．∵θ＝360°，∴(n－2)·180°＝360°，解得n＝4.即内角和为360°的多边形的边数为4.
∵θ＝630°，∴(n－2)·180°＝630°，解得n＝.∵n为整数，∴θ不能取630°.
(2)依题意，得(n－2)·180°＋360°＝(n＋x－2)·180°，解得x＝2.
[素养提升]
证明：答案不唯一．(1)选择图①所示的方法一．在n边形内任取一点O，连接O与各个顶点的线段把n边形分成n个三角形．因为n个三角形的内角和等于n·180°，以点O为公共顶点的n个角的和为360°，所以n边形的内角和为n·180°－360°＝(n－2)·180°(n为不小于3的整数)．
(2)选择图②所示的方法二．作过顶点A1的所有对角线．因为过n边形A1A2A3A4A5…An的顶点A1的所有对角线把n边形分成了(n－2)个三角形，且三角形的内角和为180°，所以n边形A1A2A3A4A5…An的内角和为(n－2)·180°(n为不小于3的整数)．
(3)选择图③所示的方法三．在A1A2上任取一点P(点P与点A1，A2不重合)，连接P与各顶点的所有线段把n边形分成(n－1)个三角形，所以这(n－1)个三角形的内角和为(n－1)·180°.又因为点P在A1A2上，以点P为顶点的所有角的和为180°，所以n边形的内角和为(n－1)·180°－180°＝(n－2)·180°(n为不小于3的整数)．
1
课时作业(二十)
[19.2 第1课时 平行四边形的边、角的性质]
一、选择题
1．已知?ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为( )
A．4 B．12 C．24 D．28
2．如图K－20－1，在?ABCD中，M是BC延长线上的一点．若∠A＝135°，则∠MCD的度数是( )
A．45° B．55° C．65° D．75°
图K－20－1
图K－20－2
3．如图K－20－2，在?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BED＝150°，则∠A的大小为( )
A．150° B．130° C．120° D．100°
4．如图K－20－3，在?ABCD中，AC＝7 cm，△ABC的周长为22 cm，则?ABCD的周长为( )
A．18 cm B．20 cm C．24 cm D．30 cm
图K－20－3
图K－20－4
5．如图K－20－4，在?ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则BC的长是( )
A. B．2 C．2 D．4
图K－20－5
6．如图K－20－5所示，E，F是?ABCD的对角线BD上的两点，且BE＝DF，连接AE，CF，则图中全等三角形的对数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．2018·余姚市模拟如图K－20－6，在?ABCD中，E是DC边上一点，连接AE，BE.若AE，BE分别平分∠DAB，∠CBA，且AB＝4，则?ABCD的周长为( )
A．10 B．8 C．5 D．12
图K－20－6
图K－20－7
8．如图K－20－7，过?ABCD的对角线BD上一点M分别作?ABCD的两边的平行线EF与GH，那么图中的四边形AEMG的面积S1与四边形HCFM的面积S2的大小关系是( )
A．S1>S2 B．S1C．S1＝S2 D．2S1＝S2
二、填空题
9．已知?ABCD的面积是32 cm2，AB＝8 cm，则AB与CD之间的距离是______ cm.
10．在?ABCD中，∠B＋∠D＝200°，则∠A＝________°.
11．如图K－20－8所示，在?ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为________．
图K－20－8
图K－20－9
12．如图K－20－9，四边形ABCD与四边形DCFE均为平行四边形，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠ADE的度数为__________．
13．如图K－20－10，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠EAF＝56°，则∠B＝________°.
图K－20－10
图K－20－11
14．如图K－20－11，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数为________．
三、解答题
15．2018·无锡 如图K－20－12，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点．
求证：∠ABF＝∠CDE.
图K－20－12
16．如图K－20－13，在?ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF，CE.
求证：AF∥CE.
图K－20－13
17．如图K－20－14，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC交CD于点F.
(1)求证：DE＝BF；
(2)连接EF，写出图中所有的全等三角形(不要求证明)．
图K－20－14
探究题 张村有一个呈四边形形状的池塘(示意图如图K－20－15)，在它的四个角A，B，C，D处各栽有一棵大树．该村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保留四棵大树，并要求扩建后的池塘呈平行四边形形状．该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由．
图K－20－15
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[答案] A
3．[解析] C ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE.∵∠BED＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，∴∠A＝180°－∠ABE－∠AEB＝120°.故选C.
4．[答案] D
5．[解析] C ∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，∴∠CAD＝∠ACB.又∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴AC＝AB＝2，∠BAC＝90°，由勾股定理，得BC＝＝＝2 ，故选C.
6．[解析] C △ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF，共3对，故选C.
7．[解析] D ∵AE平分∠DAB，BE平分∠CBA，
∴∠DAE＝∠EAB，∠CBE＝∠ABE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，∠CEB＝∠ABE，
∴∠DAE＝∠DEA，∠CEB＝∠CBE，
∴AD＝DE，BC＝EC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，
∴?ABCD的周长＝AD＋DC＋BC＋AB＝2AB＋AB＝12.
故选D.
8．[答案] C
9．[答案] 4
10．[答案] 80
11．[答案] 50°
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C＝40°.∵AD⊥DE，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°－∠A＝90°－40°＝50°，
∴∠BEF＝∠AED＝50°.
12．[答案] 130°
[解析] ∵四边形ABCD与四边形DCFE均为平行四边形，
∴AB∥CD，∠CDE＝∠F，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∵∠BAD＝60°，∠F＝110°，
∴∠ADC＝120°，∠CDE＝110°，
∴∠ADE＝360°－120°－110°＝130°.
13．[答案] 56
[解析] ∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
在四边形AECF中，∠C＝360°－∠EAF－∠AEC－∠AFC＝360°－56°－90°－90°＝124°.
在?ABCD中，∠B＝180°－∠C＝180°－124°＝56°.
14．[答案] 105°
[解析] ∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBG.
由折叠的性质可得∠ADB＝∠BDG，
∴∠DBG＝∠BDG.
∵∠1＝∠BDG＋∠DBG＝50°，
∴∠ADB＝∠BDG＝25°.
∵∠2＝50°，∴在△ABD中，∠A＝105°，
∴∠A′＝∠A＝105°.
故答案为105°.
15．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC.
∵E，F分别是边BC，AD的中点，
∴AF＝AD，CE＝BC，
∴AF＝CE.
在△ABF和△CDE中，∵
∴△ABF≌△CDE(SAS)，
∴∠ABF＝∠CDE.
16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AD＝CB，
∴∠ADB＝∠CBD.
∵BF＝DE，∴BF＋BD＝DE＋BD，
即DF＝BE.
在△ADF和△CBE中，∵
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴∠AFD＝∠CEB，∴AF∥CE.
17．[解析] 要证明DE＝BF，只需证明△ADE≌△CBF.由平行四边形的性质可得AD＝CB，∠A＝∠C，∠ADC＝∠ABC.又因为∠ADE＝∠ADC，∠CBF＝∠ABC，所以∠ADE＝∠CBF，用ASA判定两个三角形全等．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，∠A＝∠C，∠ADC＝∠ABC.
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠ADE＝∠ADC，∠CBF＝∠ABC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴DE＝BF.
(2)△ADE≌△CBF，△DEF≌△BFE.
[素养提升]
解：能．如图，连接AC，BD，过点A，C分别作BD的平行线，过点B，D分别作AC的平行线，画出的四条直线所围成的图形就是符合要求的池塘．(答案不唯一，合理即可)
[点评] 由于四边形ABCD是不规则图形，要求将它的面积扩大一倍，并使扩建后的池塘呈平行四边形形状，利用转化思想，通过添加辅助线，将四边形分成4个三角形，利用平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个面积相等的三角形作出图形．
1
课时作业(二十一)
[19.2 第2课时 平行四边形的对角线的性质]
一、选择题
1．平行四边形的对角线一定具有的性质是( )
A．相等 B．互相平分
C．互相垂直 D．互相垂直且相等
2．如图K－21－1，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知AD＝8，BD＝12，AC＝6，则△OBC的周长为( )
A．13 B．17 C．20 D．26
图K－21－1
图K－21－2
3．如图K－21－2所示，在?ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是( )
A．OA＝OC B．AB＝CD
C．AC＝BD D．∠ABC＝∠ADC
4．在?ABCD中，对角线AC，BD的长度分别为10和6，则AB长度的最大整数值是( )
A．8 B．7 C．6 D．5
5．?ABCD的两条对角线相交于点O，已知AB＝8 cm，BC＝6 cm，△AOB的周长是18 cm，那么△AOD的周长是( )
A．15 cm B．16 cm
C．17 cm D．18 cm
图K－21－3
6．如图K－21－3，在?ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
二、填空题
7．如图K－21－4，在?ABCD中，AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范围是________．
图K－21－4
图K－21－5
8．如图K－21－5，在?ABCD中，AE⊥BD于点E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于________．
图K－21－6
9．如图K－21－6，在?ABCD中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AC⊥BC，则△DBC的周长比△ABC的周长长________cm.
10．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2 ，则它的面积为________．
11．如图K－21－7，?ABCD的两条对角线相交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则?ABCD的两条对角线长的和是________．
图K－21－7
图K－21－8
12．如图K－21－8，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，则下列结论：①∠CAD＝30°；②?ABCD的面积＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝BC.其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)
三、解答题
13．在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AO比AB短3 cm，BO比AB长2 cm，BO是AO的2倍，求AC，BD的长．
14．如图K－21－9，在?ABCD中，已知对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长为25，AB＝12，求对角线AC与BD的和．
图K－21－9
15．2018·淮安 已知：如图K－21－10，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别交于点E，F.求证：AE＝CF.
图K－21－10
16．如图K－21－11，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点，连接BE，DF.
(1)根据题意，补全图形；
(2)求证：BE＝DF.
图K－21－11
17．如图K－21－12，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O且与BC，AD分别交于点E，F，连接AE，CF.试猜想线段AE，CF的关系，并说明理由．
图K－21－12
动手操作题 在一次数学探究活动中，小强用两条直线把某个平行四边形分割成四部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．
(1)根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有________组；
(2)请你在如图K－21－13所示的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；
图K－21－13
(3)由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B 一般平行四边形的对角线只具有互相平分的性质．故选B.
2．[解析] B ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝3，OB＝OD＝6，BC＝AD＝8，∴△OBC的周长＝OB＋OC＋BC＝6＋3＋8＝17.故选B.
3．[解析] C ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB＝CD，∠ABC＝∠ADC.
故选C.
4．[解析] B 设对角线AC，BD的交点为O，结合画图，由平行四边形的性质3，得AO＝AC＝5，BO＝BD＝3.
∵AB＜AO＋BO＝8，
∴AB长度的最大整数值为7.故选B.
5．[解析] B 画出草图，计算可得△AOD的周长是16 cm.
6．[解析] C ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝6.
∵AC的垂直平分线交AD于点E，
∴AE＝CE，
∴△CDE的周长＝DE＋CE＋DC＝DE＋AE＋DC＝AD＋DC＝6＋4＝10.故选C.
7．[答案] 1＜a＜7
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝AC＝4，OD＝BD＝3.在△AOD中，由三角形的三边关系，得4－3＜AD＜4＋3，即1＜a＜7.
8．[答案] 4
[解析] 因为AE⊥BD于点E，∠EAC＝30°，设OE＝x，则OA＝2x.
在Rt△OAE中，根据勾股定理，得OA2＝OE2＋AE2，
即(2x)2＝x2＋32，解得x＝(负值已舍去)，
所以OA＝2 ，所以AC＝2OA＝4 .
故答案为4 .
9．[答案] 4
[解析] 设AC，BD相交于点O.在?ABCD中，AB＝CD＝2 cm，AD＝BC＝4 cm，AO＝CO，BO＝DO.∵AC⊥BC，∴AC＝＝6 cm，∴CO＝AC＝3 cm，∴BO＝＝5 cm，∴BD＝10 cm，∴△DBC的周长－△ABC的周长＝BC＋CD＋BD－(AB＋BC＋AC)＝BD－AC＝10－6＝4(cm)．
10．[答案] 4
11．[答案] 36
12．[答案] ①②④
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠EAD＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝∠BAE＝60°.又∵AB＝BC，∴AE＝BC＝EC，∴∠EAC＝∠ECA.又∵∠AEB＝∠EAC＋∠ECA，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝90°，∠CAD＝30°，故①正确；∵AC⊥AB，∴?ABCD的面积＝AB·AC，故②正确；∵AC⊥AB，∴OB＞AB，故③错误；∵AE＝EC，AO＝CO，∴EO⊥AC.又∵∠ECA＝30°，∴OE＝EC＝BC，故④正确．故填①②④.
13．[解析] 欲求AC和BD的长，只需求出AO和BO的长即可．利用题中的相等关系构造方程即可解决．
解： 设AB＝x cm，
则AO＝(x－3)cm，BO＝(x＋2)cm.
又∵BO是AO的2倍，
∴x＋2＝2(x－3)，解得x＝8.
∴AO＝8－3＝5(cm)，BO＝8＋2＝10(cm)．
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC＝2AO＝10 cm，BD＝2BO＝20 cm.
14．解：∵△AOB的周长为25，
∴OA＋OB＋AB＝25.
∵AB＝12，∴OA＋OB＝25－12＝13.
∵平行四边形的对角线互相平分，
∴AC＋BD＝2OA＋2OB＝2(OA＋OB)＝2×
13＝26.
15．证明：∵?ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴AO＝CO，AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，∵
∴△AOE≌△COF(ASA)，∴AE＝CF.
16．解：(1)如图所示．
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，∴OB＝OD，OA＝OC.
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC，∴OE＝OF.
在△BEO与△DFO中，∵
∴△BEO≌△DFO，∴BE＝DF.
17．解：AE＝CF，AE∥CF.
理由：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠AFO＝∠CEO.
在△AOF和△COE中，∵
∴△AOF≌△COE，∴OF＝OE.
在△AOE和△COF中，∵
∴△AOE≌△COF，
∴AE＝CF，∠OAE＝∠OCF，
∴AE∥CF.
[素养提升]
解：(1)无数
(2)答案不唯一，如图所示(O为平行四边形对角线的交点)．
(3)这两条直线均过平行四边形的对角线的交点．
1
课时作业(二十二)
[19.2 第3课时 平行四边形的判定]
一、选择题
1．如图K－22－1，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是( )
A．AB＝CD B．BC＝AD
C．∠A＝∠C D．BC∥AD
图K－22－1
图K－22－2
2．如图K－22－2，若∠1＝∠2，AD＝BC，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．长方形
C．正方形 D．以上说法都不对
3．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图K－22－3的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是( )
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
图K－22－3
图K－22－4
4．如图K－22－4，在?ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，若要使四边形AFCE为平行四边形，则需要添加一个条件，这个条件不可以是( )
A．AF＝CE B．AE＝CF
C．∠BAE＝∠FCD D．∠BEA＝∠FCE
5．如图K－22－5所示，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形共有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
图K－22－5
图K－22－6
6．如图K－22－6，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD＝90°，BC＝4，BE＝ED＝3，AC＝10，则四边形ABCD的面积为( )
A．6 B．12 C．20 D．24
二、填空题
7．已知四边形的四个内角度数之比依次为3∶2∶3∶2，则这个四边形是____________．
8．在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列某一个条件：①BC＝AD；②∠BAD＝∠BCD；③AC＝BD；④AB＝CD.其中一定能使四边形ABCD为平行四边形的是________(填序号)．
9．如图K－22－7，木匠通常取两条木棒的中点进行加固，则得到的虚线四边形是____________，理由是_________________________________________________________．
图K－22－7
图K－22－8
10．2017·抚顺 如图K－22－8，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成了一个四边形ABCD，当线段AD＝3时，线段BC的长为________．
三、解答题
11．2018·岳阳 如图K－22－9，在平行四边形ABCD中，AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
图K－22－9
12．已知：如图K－22－10，在?ABCD中，点E，F都在AC上，且AE＝CF.
求证：四边形BEDF是平行四边形．
图K－22－10
13．如图K－22－11所示，在?ABCD中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH.求证：EF与GH互相平分．
图K－22－11
14．如图K－22－12，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠EAC＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明四边形ABCD是平行四边形．
(尺规作图，要求保留作图痕迹，不写作法)
图K－22－12
15．如图K－22－13，在?ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
(1)求证：四边形FBED是平行四边形；
(2)对角线AC分别与DE，BF交于点M，N，
求证：△ABN≌△CDM.
图K－22－13
探究题 如图K－22－14所示，在?ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB.
(1)求证：四边形AFCE是平行四边形．
(2)若去掉已知条件中的“∠DAB＝60°”，(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
图K－22－14
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B 添加A，具备了“一组对边平行且相等”的条件，能判定四边形ABCD为平行四边形，故A正确；添加B，具备“一组对边平行，另一组对边相等”的条件，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故B错误；添加C，可得四边形ABCD的两组对边分别平行，能判定四边形ABCD为平行四边形，故C正确；添加D，具备了“两组对边分别平行”的条件，能判定四边形ABCD为平行四边形，故D正确．故选B.
2．[答案] A
3．[答案] D
4．[解析] B ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD∥BC.当AF＝CE时，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以判定四边形AFCE为平行四边形；当AE＝CF时，由于不能判定△ABE与△CDF是否全等，所以不能证明AE∥CF，故不能判定四边形AFCE为平行四边形；当∠BAE＝∠FCD或∠BEA＝∠FCE时，均可证明AE∥CF，根据平行四边形的定义可以判定四边形AFCE为平行四边形．故选B.
5．[答案] C
6．[解析] D ∵∠CBD＝90°，
∴CE＝＝＝5.
又∵AC＝10，∴AE＝CE＝5，
∴AC与BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴S?ABCD＝BC·BD＝4×6＝24.故选D.
7．[答案] 平行四边形
[解析] 由对角相等可知这个四边形是平行四边形．
8．[答案] ②④
[解析] 如果添加条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD也可能是等腰梯形，故①错误；由AB∥CD可得∠CBA＋∠BCD＝180°，再由“∠BAD＝∠BCD”，可得∠CBA＋∠BAD＝180°，所以AD∥BC，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得四边形ABCD一定为平行四边形，故②正确；如果添加条件“AC＝BD”，那么四边形ABCD也可能是等腰梯形，故③错误；如果添加条件“AB＝CD”，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可证出四边形ABCD一定为平行四边形，故④正确．
9．[答案] 平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形
10．[答案] 3
[解析] 由条件可知AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝3.
11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD.
又∵AE＝CF，
∴BE＝DF，
∴BE∥DF且BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
12．证明：如图，连接BD，与AC相交于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
13．[解析] 欲证EF与GH互相平分，可证四边形EGFH为平行四边形．
证明： 如图，连接HE，EG，GF，FH.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝CB，
∠A＝∠C，∠B＝∠D.
又∵AE＝CF，BG＝DH，
∴AH＝CG，DF＝BE.
在△AEH和△CFG中，
∵
∴△AEH≌△CFG，
∴HE＝GF.
同理：△DHF≌△BGE，
∴HF＝GE，∴四边形EGFH为平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
14．解：如图．
证明：因为∠EAC＝∠ACB，所以AE∥BC.又因为AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形．
15．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴BE＝AB，DF＝CD，∴BE∥DF，
∴四边形FBED是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠CAB＝∠ACD.
又∵四边形FBED为平行四边形，∴∠ABN＝∠CDM，∴△ABN≌△CDM(ASA)．
[素养提升]
解：(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°，
∴∠ADE＝∠CBF＝60°.
又∵AE＝AD，CF＝CB，
∴△AED，△CFB均为等边三角形．
在?ABCD中，AD＝CB，DC＝AB，
∴ED＝BF，∴ED＋DC＝BF＋AB，即EC＝AF.又∵AE＝AD＝CB＝CF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)(1)中的结论还成立．
证明如下：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB，AD＝CB，DC＝AB，
∴∠ADE＝∠DAB，∠CBF＝∠DCB，
∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴∠AED＝∠CFB.
又∵AD＝CB，∴△ADE≌△CBF，
∴ED＝FB.又∵DC＝AB，∴ED＋DC＝FB＋AB，即EC＝FA.又∵AE＝AD＝CB＝CF，∴四边形AFCE是平行四边形．
1
课时作业(二十三)
[19.2 第4课时 三角形的中位线]
一、选择题
1．2017·宜昌 如图K－23－1，要测定被池塘隔开的A，B两点间的距离，可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE.现测得AC＝30 m，BC＝40 m，DE＝24 m，则A，B两点间的距离为( )
A．50 m B．48 m C．45 m D．35 m
图K－23－1
图K－23－2
2．如图K－23－2，在等边三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则∠DEC的度数为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．如图K－23－3，在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长是( )
A．10 B．20 C．30 D．40
图K－23－3
图K－23－4
4．如图K－23－4，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC＋BD＝24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF的长为( )
A．3厘米 B．4厘米 C．5厘米 D．6厘米
图K－23－5
5．如图K－23－5，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在BC上，ED是∠AEF的平分线，若∠C＝80°，则∠EFB的度数是( )
A．100° B．110°
C．115° D．120°
图K－23－6
6．如图K－23－6，在四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E，F分别是PA，PQ的中点．点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度( )
A．先变大，后变小 B．保持不变
C．先变小，后变大 D．无法确定
二、填空题
7．2018·梧州 如图K－23－7，已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BC＝6 cm，则DE的长度是________cm.
图K－23－7
图K－23－8
8．如图K－23－8，在△ABC中，C1，C2，C3四等分AC，B1，B2，B3四等分AB，BC＝12，则B2C2＝________，B1C1＝________．
9．如图K－23－9，?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，△BCD的周长为18 cm，则△DEO的周长为________ cm.
图K－23－9
图K－23－10
10．如图K－23－10所示，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数为________．
11．如图K－23－11，在图①中，A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，在图②中，A2，B2，C2分别是△A1B1C1的边B1C1，C1A1，A1B1的中点……按此规律，在图中平行四边形共有________个．
图K－23－11
三、解答题
12．如图K－23－12，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点．
求证：四边形DECF是平行四边形．
图K－23－12
13．如图K－23－13，在?ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝BC.求证：四边形OCFE是平行四边形．
图K－23－13
14．如图K－23－14，E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．
图K－23－14
15．如图K－23－15，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE的延长线与AC的交点．求证：AF＝CF.
图K－23－15
探究题 如图K－23－16，已知等边三角形ABC中，D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形(点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动)．
(1)如图①，当点M在点B左侧时，请你判断NE与MF有怎样的数量关系，点F是否在直线NE上，请直接写出结论．
(2)如图②，当点M在线段BC上时，其他条件不变，(1)的结论中NE与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图②证明；若不成立，请说明理由．
(3)当点M在点C右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论中NE与MF的数量关系是否仍然成立(请直接写出结论，不必证明或说明理由)．
图K－23－16
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] B ∵D是AC的中点，E是BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB.
∵DE＝24 m，∴AB＝2DE＝48 m．故选B.
2．[解析] C 因为D，E分别为边AB，AC的中点，所以DE∥BC，所以∠DEC＋∠C＝180°.因为在等边三角形ABC中，∠C＝60°，所以∠DEC＝180°－∠C＝180°－60°＝120°.
3．[答案] A
4．[答案] A
5．[解析] A ∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，
∴∠AED＝∠C＝80°.
又ED是∠AEF的平分线，
∴∠DEF＝∠AED＝80°，
∴∠EFB＝180°－∠DEF＝100°.故选A.
6．[解析] B 连接AQ.∵E，F分别是PA，PQ的中点，∴EF是△PAQ的中位线，∴EF＝AQ.∵Q是CD上的一定点，∴AQ的长度保持不变，∴线段EF的长度保持不变．
7．[答案] 3
[解析] ∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3 cm.
8．[答案] 6 3
[解析] 由题意可知B2C2是△ABC的中位线，B1C1是△AB2C2的中位线．
9．[答案] 9
[解析] ∵E是AD的中点，四边形ABCD是平行四边形，∴DE＝AD＝BC，OD＝BD，AO＝CO，∴OE＝CD.∵△BCD的周长为18 cm，∴BD＋CD＋BC＝18 cm，∴△DEO的周长＝DE＋OE＋OD＝(BC＋CD＋BD)＝×18＝9(cm)．
10．[答案] 18°
11．[答案] 3n
[解析] 在图①中，A1，B1，C1分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，
∴A1C1∥AB1，A1B1∥BC1，A1C1∥B1C，A1C1＝AB1，A1B1＝BC1，A1C1＝B1C，
∴四边形A1B1AC1，A1B1C1B，A1C1B1C是平行四边形，共有3个．
在图②中，A2，B2，C2分别是△A1B1C1的边B1C1，C1A1，A1B1的中点，
同理可证：四边形A1B1AC1，A1B1C1B，A1C1B1C，A2B2C2B1，A2B2A1C2，A2C2B2C1是平行四边形，共有6个．
…
按此规律，可知在图中平行四边形共有3n个．
12．证明：∵D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC，CF＝AC，
∴DE∥CF，DE＝CF，
∴四边形DECF是平行四边形．
13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC，BD的交点，
∴O是BD的中点．
又∵E是CD的中点，
∴OE∥BC，OE＝BC.
又∵点F在BC的延长线上，CF＝BC，
∴OE∥CF，OE＝CF，
∴四边形OCFE是平行四边形．
14．解：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC，如图．
∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥AC且EF＝AC.
同理：GH∥AC且GH＝AC，
∴EF∥GH且EF＝GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
15．[解析] 过点D作DG∥AC，交BF于点G，可证明△AEF≌△DEG，可得AF＝DG.由三角形中位线定理可得DG＝CF，可证得结论．
证明：如图，过点D作DG∥AC，交BF于点G，则∠EAF＝∠EDG.
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC的中点，
∴G为BF的中点，
∴DG＝CF.
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEG中，
∴△AEF≌△DEG(ASA)，
∴AF＝DG，
∴AF＝CF.
[素养提升]
解：(1)NE＝MF，点F在直线NE上．
(2)仍然成立．
证明：连接DE，DF.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC.
∵△DMN为等边三角形，
∴∠MDN＝60°，DM＝DN，
∴∠MDF＋∠FDN＝60°.
又∵D，E，F是△ABC三边的中点，
∴DE，DF为△ABC的中位线，
∴DE＝DF，易得∠FDE＝60°.
∴∠NDE＋∠FDN＝60°，
∴∠MDF＝∠NDE.
在△DMF和△DNE中，∵DF＝DE，
∠MDF＝∠NDE，DM＝DN，
∴△DMF≌△DNE，∴MF＝NE.
(3)图略．NE＝MF仍然成立．
1
课时作业(二十四)
[19.3 1. 第1课时 矩形的性质]
一、选择题
1．如图K－24－1，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OB
图K－24－1
图K－24－2
2．如图K－24－2，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开．若测得AM的长为1.2 km，则M，C两点间的距离为( )
A．0.5 km B．0.6 km
C．0.9 km D．1.2 km
3．如图K－24－3，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
图K－24－3
图K－24－4
4．如图K－24－4，矩形ABCD的顶点A，C分别在直线a，b上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2的度数为( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．2017·西宁如图K－24－5，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M.若OM＝3，BC＝10，则OB的长为( )
A．5 B．4 C. D.
图K－24－5
图K－24－6
6．2017·衢州 如图K－24－6，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于( )
A. B. C. D.
图K－24－7
7．如图K－24－7，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为( )
A．3.5 B．3 C．2.8 D．2.5
二、填空题
8．如图K－24－8，已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，则BD＝________．
图K－24－8
9．如图K－24－9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10 cm，D为AB的中点，则CD＝________ cm.
图K－24－9
图K－24－10
10．如图K－24－10，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE.若∠ADB＝30°，则∠E＝________°.
11．如图K－24－11，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为________．
图K－24－11
图K－24－12
12．如图K－24－12，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为________．
三、解答题
13．如图K－24－13，在矩形ABCD中，BF＝CE.求证：AE＝DF.
图K－24－13
14．如图K－24－14，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，BC上，且DE＝CF，连接OE，OF.
求证：OE＝OF.
图K－24－14
15．如图K－24－15所示，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BE⊥AC于点E，CF⊥BD于点F.
求证：BE＝CF.
图K－24－15
16．2018·连云港 如图K－24－16，矩形ABCD中，E是AD的中点，延长CE，BA交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)当CF平分∠BCD时，写出BC与CD的数量关系，并说明理由．
图K－24－16
如图K－24－17，在矩形ABCD中，AB＝8 cm，BC＝20 cm，E是AD的中点．动点P从点A出发，沿折线ABC以1 cm/s的速度运动，运动的时间为t s．将△APE以EP为折痕进行折叠，点A的对应点记为M.
(1)如图①，当点P在边AB上，且点M在边BC上时，求运动时间t的值；
(2)如图②，当点P在边BC上，且点M也在边BC上时，求运动时间t的值．
图K－24－17
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] C ∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，AC＝BD，OA＝OB，不能推出AC⊥BD，
∴选项A，B，D正确，选项C错误．
故选C.
2．[解析] D ∵公路AC，BC互相垂直，∴△ABC是直角三角形．∵M是AB的中点，∴MC＝AM＝1.2 km.故选D.
3．[答案] B
4．[解析] C 过点D作DE∥a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠3＝90°－∠1＝90°－60°＝30°.
∵a∥b，∴DE∥a∥b，
∴∠4＝∠3＝30°，∠2＝∠5，
∴∠2＝90°－30°＝60°.故选C.
5．[解析] D ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝∠D＝90°，AD＝BC.∵OM∥AB，∴OM∥CD.又∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴OM是△ADC的中位线．∵OM＝3，∴CD＝6.∵BC＝10，∴AD＝10，∴AC＝＝＝2 .∵OB为Rt△ABC斜边上的中线，∴OB＝AC＝.
6．[解析] B 因为四边形ABCD是矩形，所以∠D＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，CD＝AB＝4，所以∠CAD＝∠ACB.由折叠知，∠ACF＝∠ACB，所以∠CAD＝∠ACF，所以CF＝AF.设DF＝x，则CF＝AF＝6－x，由勾股定理，得x2＋42＝(6－x)2，解得x＝.
7．[解析] D ∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，CD＝AB＝2，AD＝BC＝4.∵EO是AC的垂直平分线，∴AE＝CE.设CE＝x，则ED＝AD－AE＝4－x.在Rt△CDE中，由勾股定理，得CE2＝CD2＋ED2，即x2＝22＋(4－x)2，解得x＝2.5，即CE的长为2.5.故选D.
8．[答案] 2
[解析] ∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AC＝2AO.∵AO＝1，∴AC＝2×1＝2，∴BD＝2.
9．[答案] 5
10.
[答案] 15
[解析] 连接AC，如图．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝CE，∠ACB＝∠CBD＝∠ADB＝30°，∴△ACE是等腰三角形，∴∠E＝∠CAE＝∠ACB＝15°.
11．[答案] 3
[解析] ∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB.∵AE垂直平分OB，∴AB＝OA，∴OA＝AB＝OB＝3，∴BD＝2OB＝6，∴AD＝＝＝3 .
12．[答案] 12
[解析] ∵E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点，∴HE＝AC＝4，HE∥AC，GF∥AC，∴HE∥GF.同理HG∥EF，HG＝BD＝3，
∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AC⊥BD，∴HE⊥HG，
即∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH的面积＝HE·HG＝4×3＝12.
13．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°.
∵BF＝CE，∴BC－CE＝BC－BF，
即BE＝CF，
∴△ABE≌△DCF(SAS)，
∴AE＝DF.
14．[解析] 先由矩形的性质证得OD＝OC，可得∠ODC＝∠OCD，结合∠ADC＝∠BCD及题中条件可证得△ODE≌△OCF，进而可得结论．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC＝∠BCD＝90°，AC＝BD，OD＝BD，AC＝OC，∴OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ADC－∠ODC＝∠BCD－∠OCD，
即∠EDO＝∠FCO.
又∵DE＝CF，∴△ODE≌△OCF，∴OE＝OF.
15．[解析] 欲证BE＝CF，需证△BOE≌△COF.利用矩形的性质证明BO＝CO即可．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴BO＝BD＝AC＝CO.
∵BE⊥AC，CF⊥BD，
∴∠BEO＝∠CFO＝90°.
又∵∠EOB＝∠FOC，
∴△BOE≌△COF，∴BE＝CF.
16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∴∠FAE＝∠CDE.
∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△FAE≌△CDE，∴FA＝CD.
又∵FA∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形．
(2)BC＝2CD.
证明：∵CF平分∠BCD，∴∠DCE＝45°.
∵∠CDE＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，
∴CD＝DE.
∵E是AD的中点，∴AD＝2CD.
又∵AD＝BC，∴BC＝2CD.
[素养提升]
解：(1)如图，过点E作EG⊥BC于点G.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，BC∥AD，BC＝AD，
∴∠B＋∠EGB＝180°，∴AB∥EG，
∴四边形ABGE是平行四边形．
又∵∠B＝90°，∴?ABGE是矩形，
∴BG＝AE＝AD＝BC＝10 cm，EG＝AB＝8 cm.
在Rt△EGM中，由勾股定理，得MG＝6 cm，
∴BM＝4 cm.
由折叠的性质，得PM＝PA＝t cm，
∴BP＝(8－t)cm.
在Rt△BPM中，由勾股定理得42＋(8－t)2＝t2，解得t＝5.
(2)由折叠及平行线的性质，得∠APE＝∠MPE＝∠AEP，AP＝PM，
∴AP＝AE＝PM＝10 cm.
在Rt△BPA中可求得BP＝6 cm，∴t＝14.
1
课时作业(二十五)
[19.3 1. 第2课时 矩形的判定]
一、选择题
1．在?ABCD中，AC，BD是对角线，如果添加一个条件，即可推出?ABCD是矩形，那么这个条件是( )
A．AB＝BC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB⊥BD
2．2017·上海 已知?ABCD中，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
3．在数学活动课上，同学们在判断一个四边形门框是不是矩形．下面是某学习小组4名同学拟订的方案，其中正确的是( )
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
4．?ABCD的两条对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AB＝BC；④AC平分∠BAD；⑤AO＝DO.其中能使?ABCD为矩形的条件的序号是( )
A．①② B．②⑤
C．②③④ D．①⑤
5．如图K－25－1，在△ABC中，AC的垂直平分线与AC，AB分别交于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )
A．2 B．3 C．4 D．4
图K－25－1
图K－25－2
二、填空题
6．如图K－25－2，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之改变，两条对角线的长度也在发生改变．当∠α是________度时，两条对角线的长度相等．
7．命题“对角线相等的四边形是矩形”是________命题．(填“真”或“假”)
8．如图K－25－3，在?ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB.请你添加一个条件：________，使四边形DBCE是矩形．
图K－25－3
9．2018·灌云县月考 对于四边形ABCD，下面给出对角线的三种特征：①AC，BD互相平分；②AC⊥BD；③AC＝BD.当具备上述特征中的________，就能得到“四边形ABCD是矩形”．(填序号)
图K－25－4
10．如图K－25－4，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，E，F分别是边BC，AD上的点．将矩形ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为________ cm.
三、解答题
11．已如：如图K－25－5，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
求证：四边形ADCE为矩形．
图K－25－5
12．如图K－25－6，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
(1)求证：四边形ADBE是矩形；
(2)求矩形ADBE的面积．
图K－25－6
13．如图K－25－7，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF∥BE.
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.
图K－25－7
14．如图K－25－8，在平面直角坐标系中，点A(2，n)，B(m，n)(m＞2)，D(p，q)(q＜n)，点B，D在直线y＝x＋1上．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，且AB∥CD，CD＝4，BE＝DE，△AEB的面积是2.
求证：四边形ABCD是矩形．
图K－25－8
探究题 如图K－25－9，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.
(1)BD与CD之间有什么数量关系？请说明理由；
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．
图K－25－9
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[答案] B
2．[答案] C
3．[答案] C
4．[答案] D
5．[解析] A 因为DE是AC的垂直平分线，所以D是AC的中点，又因为F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C＝90°，所以四边形BCDE是矩形．由∠A＝30°，∠C＝90°，BC＝2，可求出AB的长，再根据勾股定理求出AC的长，进而求出DC的长，从而求出矩形BCDE的面积．
6．[答案] 90
[解析] 因为平行四边形活动框架的两条对角线长度相等，所以该四边形为矩形．又因为矩形的每个内角等于90°，所以∠α＝90°.
7．[答案] 假
8．[答案] 答案不唯一，如EB＝DC
[解析] ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC，∴DE∥BC.又∵DE＝AD，∴DE＝BC，∴四边形DBCE是平行四边形．又∵EB＝DC，∴四边形DBCE是矩形．
9．[答案] ①③
[解析] 当具备①③两个特征，能得到四边形ABCD是矩形．理由：∵对角线AC，BD互相平分，∴四边形ABCD为平行四边形．又∵AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形．故答案为①③.
10．[答案] 6
[解析] 如图，根据矩形的性质可得CD＝AB＝6 cm，根据折叠的性质可知：C′D′＝CD＝6 cm.可证四边形C′D′FG，四边形ABEG都为矩形，则FG＝C′D′＝6 cm，EG＝AB＝6 cm，利用勾股定理可得EF＝6 cm.故答案为6 .
11．[解析] 根据有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以可证∠DAE＝90°.
证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC.
∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝×180°＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
12．解： (1)证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
又∵四边形ADBE是平行四边形，
∴四边形ADBE是矩形．
(2)∵BC＝6，AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD＝×6＝3.
在Rt△ACD中，
AD＝＝＝4，
∴S矩形ADBE＝BD·AD＝3×4＝12.
13．解：(1)证明：∵O是AC的中点，∴OA＝OC.
又∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，
即OE＝OF.
∵DF∥BE，∴∠OEB＝∠OFD.
又∵∠EOB＝∠FOD，∴△BOE≌△DOF.
(2)四边形ABCD是矩形．
证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.
又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵OD＝AC，OD＝BD，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
14．证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，∠BAC＝∠ACD.
又∵BE＝DE，
∴△ABE≌△CDE，∴AE＝CE，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4.
又∵AB∥x轴，∴m＝6.
∵点B在直线y＝x＋1上，
∴n＝4，∴A(2，4)，B(6，4)，
∴AB∥CD∥x轴．
∵△AEB的面积是2，
∴?ABCD的面积是8.
又∵CD＝4，
∴?ABCD中CD边上的高是2，
∴4－q＝2，解得q＝2.
把D(p，2)代入直线y＝x＋1，得p＝2，
∴D(2，2)，∴C(6，2)，
∴AD∥BC∥y轴，∴AD⊥CD，
∴四边形ABCD是矩形．
[素养提升]
解：(1)BD＝CD.
理由：∵E是AD的中点，∴AE＝DE.
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE，
∴△EAF≌△EDC，∴AF＝CD.
又∵AF＝BD，∴BD＝CD.
(2)(答案不唯一)当AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：∵AF∥BD，AF＝BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∴?AFBD是矩形．
1
课时作业(二十六)
[19.3 2. 第1课时 菱形的性质]
一、选择题
1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
2．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是( )
A．10 B．8 C．6 D．5
3．如图K－26－1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )
A．3.5 B．4 C．7 D．14
图K－26－1
图K－26－2
4．如图K－26－2，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝120°，则对角线BD的长等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
5．2018·吉林一模 如图K－26－3，四边形ABCD是菱形，点A，B，C，D的坐标分别是(m，0)，(0，n)，(1，0)，(0，2)，则mn＝________．
图K－26－3
图K－26－4
6．如图K－26－4所示，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，DE∶AE＝3∶4，则下列结论：①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形ABCD的面积为15 cm2；④BD＝2 cm.其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．如图K－26－5，菱形ABCD的周长是8 cm，则AB的长是________cm.
图K－26－5
图K－26－6
8．如图K－26－6是根据四边形的不稳定性制作的边长为15 cm的可活动的菱形衣架，若墙上两钉子间的距离为AB＝BC＝15 cm，则∠1的度数为________．
9．如图K－26－7所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于点E，∠B＝60°，则菱形ABCD的面积为__________．
图K－26－7
图K－26－8
10．2017·十堰 如图K－26－8，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE.若∠ABC＝140°，则∠OED的度数为________．
图K－26－9
11．如图K－26－9，已知菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM＋PN的最小值为______．
三、解答题
12．已知：如图K－26－10，在菱形ABCD中，E，F分别为边CD，AD的中点，连接AE，CF.求证：△ADE≌△CDF.
图K－26－10
13．2018·柳州 如图K－26－11，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.
(1)求菱形ABCD的周长；
(2)若AC＝2，求BD的长．
图K－26－11
14．如图K－26－12，在菱形ABCD中，AC为对角线，E，F分别是边BC，AD的中点．
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．
图K－26－12
15．如图K－26－13，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点(不与点A，B重合)，连接DP交对角线AC于点E，连接BE.
(1)求证：∠APD＝∠EBC；
(2)若∠DAB＝60°，则当点P运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的？并说明理由．
图K－26－13
已知：如图K－26－14，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.
(1)若CE＝1，求BC的长；
(2)求证：AM＝DF＋ME.
图K－26－14
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] C 对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故A错误；对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质，故B错误；对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有，故C正确；邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有，故D错误．故选C.
2．[答案] D
3．[答案] A
4．[解析] A ∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，AD＝AB，∴∠A＋∠ABC＝180°，∴∠A＝180°－120°＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD＝AB＝2，故选A.
5．[答案] 2
[解析] ∵四边形ABCD是菱形，点A，B，C，D的坐标分别是(m，0)，(0，n)，(1，0)，(0，2)，
∴m＝－1，n＝－2，∴mn＝2.
6．[解析] C 利用菱形的性质和勾股定理计算即可．
7．[答案] 2
[解析] ∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∴4AB＝8 cm，∴AB＝2 cm.
8．[答案] 120°
9．[答案] 8
[解析] 连接AC，则△ABC为等边三角形，所以AE垂直平分BC，BE＝2.由勾股定理得AE＝2 ，则菱形ABCD的面积是8 .
10．[答案] 20°
[解析] 因为四边形ABCD是菱形，所以BD平分∠ABC，OD＝OB，所以∠DBC＝∠ABC＝70°.因为DE⊥BC于点E，O为BD的中点，所以OE＝OB，所以∠OEB＝∠OBE＝70°，所以∠OED＝90°－70°＝20°.
11．[答案] 5
[解析] 作点M关于BD的对称点Q，则Q为AB的中点．连接NQ，交BD于点P，此时PM＋PN的值最小．连接AC交BD于点O，求出OC，OB的长，根据勾股定理求出BC的长，证出PM＋PN的最小值＝QN＝BC，即可得出答案．
12．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.
∵E，F分别为边CD，AD的中点，
∴AD＝2DF，CD＝2DE，∴DE＝DF.
在△ADE和△CDF中，
∴△ADE≌△CDF.
13．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，
∴菱形ABCD的周长＝2×4＝8.
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，AB＝2，
∴AC⊥BD，AO＝1，BD＝2OB，
∴BO＝＝＝，
∴BD＝2 .
14．[解析] (1)首先根据菱形的性质，得到AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，结合E，F分别是边BC，AD的中点，即可证出△ABE≌△CDF；
(2)首先证明△ABC是等边三角形，结合题干，在Rt△AEB中，∠B＝60°，AB＝4，即可求出AE的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D.
∵E，F分别是边BC，AD的中点，
∴BE＝DF.
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)∵∠B＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形．
∵E是边BC的中点，∴AE⊥BC.
在Rt△AEB中，∠B＝60°，AB＝4，
∴BE＝2，由勾股定理得AE＝2 .
15．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，AB＝BC＝DC＝AD，CA平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE.
又∵CE＝CE，∴△BCE≌△DCE，
∴∠EBC＝∠EDC.
又∵AB∥DC，∴∠APD＝∠EDC，
∴∠APD＝∠EBC.
(2)当点P运动到AB边的中点时，S△ADP＝S菱形ABCD.
理由：连接DB.
∵∠DAB＝60°，AD＝AB，
∴△ABD是等边三角形．
∵P是AB边的中点，∴DP⊥AB，
∴S△ADP＝AP·DP，S菱形ABCD＝AB·DP.
∵AP＝AB，
∴S△ADP＝×AB·DP＝S菱形ABCD.
[素养提升]
[解析] (2)延长DF，AB交于点G，可证△CEM≌△CFM，△CDF≌△BGF，通过线段之间的简单运算，即可得证．
解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴CB＝CD，AB∥CD，
∴∠1＝∠ACD.
又∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠ACD，
∴MC＝MD.
∵ME⊥CD，∴CD＝2CE＝2，
∴BC＝CD＝2.
(2)证明：如图，延长DF，AB交于点G.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BCA＝∠DCA.
∵BC＝2CF，CD＝2CE，∴CE＝CF.
又∵CM＝CM，
∴△CEM≌△CFM，∴ME＝MF.
∵AB∥CD，∴∠2＝∠G，∠BCD＝∠GBF.
又∵CF＝BF，∴△CDF≌△BGF，
∴DF＝GF.
∵∠1＝∠2，∠2＝∠G，∴∠1＝∠G，
∴AM＝GM＝GF＋MF＝DF＋ME.
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课时作业(二十七)
[19.3 2. 第2课时 菱形的判定]
一、选择题
1．2017·河南 如图K－27－1，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定?ABCD是菱形的是( )
A．AC⊥BD B．AB＝BC
C．AC＝BD D．∠1＝∠2
图K－27－1
图K－27－2
2．2017·聊城 如图K－27－2，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( )
A．AB＝AC B．AD＝BD
C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
3．2017·临沂 如图K－27－3，在△ABC中，D是边BC上的点(与B，C两点不重合)，过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是( )
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
图K－27－3
图K－27－4
4．如图K－27－4，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
图K－27－5
5．如图K－27－5，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是( )
A．AB＝AD B．AC＝BD
C．AD＝BC D．AB＝CD
6．如图K－27－6①，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：
甲：如图②，连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN, CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：如图③，分别作∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法可判断( )
图K－27－6
A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误
C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误
二、填空题
7．已知?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使?ABCD成为菱形．你添加的条件是________．(填写一个即可)
8．?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝，AO＝1，OB＝2，则AC，BD的位置关系是______________，四边形ABCD是菱形的根据是__________________________．
9．如图K－27－7，在?ABCD中，AB＝5，AC＝6，当BD＝________时，四边形ABCD是菱形．
图K－27－7
图K－27－8
10．如图K－27－8，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.下列三种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形．
其中正确的有________(只填写序号)．
三、解答题
11．2018·遂宁 如图K－27－9，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝BF，AC⊥EF.求证：四边形AECF是菱形.
图K－27－9
12．如图K－27－10，在?ABCD中，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN.过点M作ME∥AD交CD于点E，过点N作NF∥AB交BC于点F，ME与NF相交于点G.求证：四边形CEGF是菱形.
图K－27－10
13．如图K－27－11，在?ABCD中，E为BC边上的一点，连接AE，BD，AE＝AB.
(1)求证：∠ABE＝∠EAD；
(2)若∠AEB＝2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．
图K－27－11
14．2018·南京如图K－27－12，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证：
(1)∠BOD＝∠C；
(2)四边形OBCD是菱形．
图K－27－12
探究题 小宇将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉如图K－27－13①放置，发现重叠部分是一个菱形．
(1)请你帮助小宇证明四边形ABCD是菱形；
(2)小宇又发现：如图②放置时，菱形ABCD的周长最小，等于________；
(3)如图③放置时，菱形ABCD的周长最大，求此时菱形ABCD的周长．
图K－27－13
详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1．[解析] C 选项A，∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴?ABCD是菱形．选项B，∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴?ABCD是菱形．选项C，∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴?ABCD是矩形．选项D，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠1＝∠ACB.∵∠1＝∠2，∴∠ACB＝∠2，∴AB＝BC，∴?ABCD是菱形，故选C.
2．[解析] D 当BE平分∠ABC时，四边形DBFE是菱形．理由：∵DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC.∵∠EBC＝∠EBD，∴∠EBD＝∠DEB，∴BD＝DE.∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形．又∵BD＝DE，∴?DBFE是菱形．其余选项均无法判定四边形DBFE是菱形，故选D.
3．[解析] D 根据DE∥AC，DF∥AB，可证明四边形AEDF是平行四边形，再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断．若AD⊥BC，无法判定四边形AEDF是矩形，所以A错误；若AD垂直平分BC，可以判定四边形AEDF是菱形，所以B错误；若BD＝CD，无法判定四边形AEDF是菱形，所以C错误；若AD平分∠BAC，则∠EAD＝∠FAD＝∠ADF，所以AF＝DF.又因为四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是菱形，故D正确．
4．[解析] C 由条件知四边形CODE是菱形，OC＝2，故其周长是8.
5．[解析] D ∵E，F，G，H分别是AD，BD，BC，AC的中点，∴EF＝GH＝AB，EH＝FG＝CD.∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．故选D.
6．[解析] C 甲的作法：首先证明四边形ANCM是平行四边形，再由AC⊥MN，可根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定四边形ANCM是菱形；乙的作法：可根据角平分线的定义和平行线的定义，证得AB＝AF，AB＝BE，再由AF∥BE可推出四边形ABEF是菱形．
7．[答案] 答案不唯一，如AB＝BC或AC⊥BD等
8．[答案] AC⊥BD 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
9．[答案] 8
10．[答案] ①②③
11．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC.
∵DE＝BF，∴AE＝CF.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
12．[解析] 根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，推出四边形CEGF为平行四边形，求出GE＝DN＝BM＝FG，根据菱形的判定即可得证．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，CD∥AB.
∵ME∥AD，NF∥AB，
∴BC∥ME，CD∥NF，
∴四边形CEGF是平行四边形．
由平行四边形的定义知四边形MBFG，NDEG均为平行四边形，
∴FG＝BM，EG＝DN.
又∵BM＝DN，∴FG＝EG，
∴四边形CEGF是菱形．
13．[解析] (1)根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB＝∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE＝∠AEB，即可得证；
(2)根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠DBE，然后可证∠ABD＝∠ADB，再根据等角对等边可证AB＝AD，然后利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
证明：(1)∵在?ABCD中，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EAD.
∵AE＝AB，∴∠ABE＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠EAD.
(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBE.
∵∠ABE＝∠AEB，∠AEB＝2∠ADB，
∴∠ABE＝2∠ADB，
∴∠ABD＝∠ABE－∠DBE＝2∠ADB－∠ADB＝∠ADB，∴AB＝AD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
14．证明：(1)如图，延长AO到点E.
∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.
又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，
∴∠BOE＝2∠BAO.
同理∠DOE＝2∠DAO，
∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，
即∠BOD＝2∠BAD.
又∵∠C＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠C.
(2)连接OC，
∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，
∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.
∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，
∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD.
又∠BOD＝∠BCD，
∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC.
又∵OB＝OD，BC＝CD，
∴OB＝BC＝CD＝DO，
∴四边形OBCD是菱形．
[素养提升]
解：(1)证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
如图①，过点A分别作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N，则AM＝AN.
又∵S?ABCD＝AM·BC＝AN·CD，
∴BC＝CD，∴?ABCD是菱形．
(2)8
(3)如图②，设AD＝AB＝x，则AE＝8－x.
在Rt△ABE中，AB2＝AE2＋BE2，
即x2＝(8－x)2＋22，
解得4x＝17，即此时菱形ABCD的周长是17.
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