2018-2019学年江苏省南通市海门市高二（上）期末数学试卷（文科）解析版

2018-2019学年江苏省南通市海门市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上
1．（5分）已知复数z1＝1﹣i，z2＝a+2i（i为虚数单位），且z1﹣z2为纯虚数，则实数a的值为　 　．
2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上点M到焦点的距离为8，则点M到y轴的距离为　 　．
3．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2+4i（i为虚数单位），则复数z的模|z|＝　 　．
4．（5分）已知命题p：?x∈（0，+∞），4x＞3x，q：?θ∈R，cosθ﹣sinθ＝，则在命题①p∨q；②p∧q；③（￢p）∨q；④p∧（￢q）中，真命题的个数为　 　．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（2，0）到其渐近线的距离为1，则该双曲线的标准方程是　 　．
6．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD中，底面边长为2，高为，则此正四棱锥P﹣ABCD的侧面积为　 　．
7．（5分）已知函数f（x）＝（x2+ax+1）ex（其中a∈R，e为自然对数的底数），若函数f（x）在x＝2处取得极值，则实数a的值为　 　．
8．（5分）若函数f（x）＝为奇函数，则f（log23）的值为　 　．
9．（5分）下列结论：
①“直线l与平面α平行”是“直线l在平面α外”的充分不必要条件；
②若p：?x＞0，x2﹣x+2＜0，则￢p：?x≤0，x2﹣2x+2≥0；
③命题“设a，b∈R，若a+b≠2，则a≠1或b≠1”为真命题；
④“a＜3”是“函数f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上单调递增”的充要条件．
其中所有正确结论的序号为　 　．
10．（5分）设球O与圆锥SO1的体积分别为V1，V2．若圆锥SO1的母线长是其底面半径的2倍，且球O的表面积与圆锥SO1的侧面积相等，则的值是　 　．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线x﹣2y+m＝0（m＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则正数m的值为　 　．
12．（5分）已知函数f （x）＝ln|x|﹣，则关于a的不等式f（2a﹣1）﹣f（a）＜0的解集为　 　．
13．（5分）如图，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的顶点分别为A1，A2，B1，B2，记四边形A1B1A2B2的面积为S1，四边形A1B1A2B2的内切圆面积为S2，若≥，则椭圆C的离心率的最大值为　 　．
14．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣ax2有五个零点，则实数a的取值范围是　 　．
二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（14分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC，D是BC的中点．
（1）求证：A1C∥平面ADB1；
（2）求证：平面ADB1⊥平面BCC1B1．
16．（14分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别是A1，A2，右焦点为F，直线l：bx﹣ay+ab＝0与以线段A1A2为直径的圆相切．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设点P（，y0）（y0＞0）在椭圆C上，且PF＝1，求y0的值．
17．（14分）如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50km，B，C间的距离为100km．从海岛A到C，先乘船至海岸公路BC上的登陆点D，船速为25km/h，再乘汽车至C，车速为50km/h，设∠BAD＝θ．
（1）用θ表示从海岛A到C所用时间t（θ），并确定θ的取值范围；
（2）求当θ为何值时，能使从海岛A到C所用时间最少．
18．（16分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，已知AB⊥平面PAD，PA⊥AD，CD⊥PD，E为棱PC上的一点，经过A，B，E三点的平面与棱PD相交于点F．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求证：CD∥EF；
（3）若平面ABE⊥平面PCD，求证：AF⊥PD．
19．（16分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，经过点（﹣3，1）．过点M（0，1）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且与椭圆C的左准线交于点N．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当AB＝MN时，求直线l的方程；
（3）设P（0，﹣2），求△PAB面积的最大值．
20．（16分）记f″（x）＝（f′（x））′，其中f′（x）为函数f（x）的导数．若对于?x∈D，f″（x）＞0，则称函数y＝f（x）为D上的凸函数．
（1）求证：函数g（x）＝ex﹣x3+2x﹣1是定义域上的凸函数；
（2）已知函数h（x）＝ax3﹣x2+xlnx，a∈R为（0，+∞）上的凸函数．
①求实数a的取值范围；
②求函数H（x）＝|﹣2lnx|，x≥1的最小值．

2018-2019学年江苏省南通市海门市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上
1．（5分）已知复数z1＝1﹣i，z2＝a+2i（i为虚数单位），且z1﹣z2为纯虚数，则实数a的值为　1　．
【解答】解：∵z1＝1﹣i，z2＝a+2i，
∴z1﹣z2＝（1﹣i）﹣（a+2i）＝（1﹣a）﹣3i，
由z1﹣z2为纯虚数，得a＝1．
故答案为：1．
2．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝4x上点M到焦点的距离为8，则点M到y轴的距离为　7　．
【解答】解：抛物线y2＝4x，可得p＝2，
因为抛物线上的点与焦点的距离等于到准线的距离，
抛物线y2＝4x上的点到焦点距离为8，那么该点到y轴的距离为：8﹣＝7．
故答案为：7．
3．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝2+4i（i为虚数单位），则复数z的模|z|＝　　．
【解答】解：由（1﹣i）z＝2+4i，得z＝，
∴|z|＝||＝．
故答案为：．
4．（5分）已知命题p：?x∈（0，+∞），4x＞3x，q：?θ∈R，cosθ﹣sinθ＝，则在命题①p∨q；②p∧q；③（￢p）∨q；④p∧（￢q）中，真命题的个数为　2　．
【解答】解：当x＞0时，＝（）x＞1，∴?x∈（0，+∞），4x＞3x，成立，即命题p是真命题，
∵cosθ﹣sinθ＝cos（θ+）∈[﹣，]，
∴?θ∈R，cosθ﹣sinθ＝，是假命题，即q是假命题，
则①p∨q是真命题；②p∧q是假命题；③（￢p）∨q是假命题；④p∧（￢q）是真命题，
则真命题的个数是2个，
故答案为：2．
5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（2，0）到其渐近线的距离为1，则该双曲线的标准方程是　＝1　．
【解答】解：设右焦点为F（ 2，0 ），一条渐近线为bx﹣ay＝0，
根据点到直线的距离公式＝1，可得b＝1，c＝2，a＝＝，
所以双曲线的方程为＝1，
故答案为：＝1．
6．（5分）已知正四棱锥P﹣ABCD中，底面边长为2，高为，则此正四棱锥P﹣ABCD的侧面积为　4　．
【解答】解：正四棱锥底面边长为2，高为1，
则侧面的高为h＝＝2，
正四棱锥的侧面积为S＝4××2×2＝4．
故答案为：4．
7．（5分）已知函数f（x）＝（x2+ax+1）ex（其中a∈R，e为自然对数的底数），若函数f（x）在x＝2处取得极值，则实数a的值为　﹣3　．
【解答】解：f′（x）＝（x2+（a+2）x+a+1）ex，
若f（x）在x＝2处取得极值，
则f′（2）＝（3a+9）e2＝0，
解得：a＝﹣3，
经检验，符合题意，
故答案为：﹣3．
8．（5分）若函数f（x）＝为奇函数，则f（log23）的值为　　．
【解答】解：∵f（x）＝为奇函数，
∴f（0）＝0，∴a＝1，
∴f（x）＝，
∵2＝3，4＝2＝2＝9，
∴f（log23）＝＝．
故答案为：．
9．（5分）下列结论：
①“直线l与平面α平行”是“直线l在平面α外”的充分不必要条件；
②若p：?x＞0，x2﹣x+2＜0，则￢p：?x≤0，x2﹣2x+2≥0；
③命题“设a，b∈R，若a+b≠2，则a≠1或b≠1”为真命题；
④“a＜3”是“函数f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上单调递增”的充要条件．
其中所有正确结论的序号为　①③　．
【解答】解：①“直线l与平面α平行”可推得“直线l在平面α外”，反之，不成立，直线l可能与平面α相交，
故“直线l与平面α平行”是“直线l在平面α外”的充分不必要条件，故①正确；
②若p：?x＞0，x2﹣x+2＜0，则￢p：?x＞0，x2﹣2x+2≥0，故②错误；
③命题“设a，b∈R，若a+b≠2，则a≠1或b≠1”的逆否命题为
“设a，b∈R，若a＝1且b＝1，则a+b＝2”，即为真命题，故③正确；
④函数f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上单调递增，可得f′（x）＝3x2﹣a≥0在[1，+∞）恒成立，
即有a≤3x2的最小值，可得a≤3，
“a＜3”是“函数f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上单调递增”的充分不必要条件，故④错误．
故答案为：①③．
10．（5分）设球O与圆锥SO1的体积分别为V1，V2．若圆锥SO1的母线长是其底面半径的2倍，且球O的表面积与圆锥SO1的侧面积相等，则的值是　　．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则该圆锥的母线长为2r，高为，所以，圆锥的体积为，圆锥的侧面积为πr?2r＝2πr2．
设球O的半径为R，由题意可得4πR2＝2πr2，得，
所以，．
因此，＝．
故答案为：．
11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线x﹣2y+m＝0（m＞0）与圆x2+y2＝4交于不同的两点A，B，若圆上存在点C，使得△ABC为等边三角形，则正数m的值为　　．
【解答】解：根据题意画出图形，连接OA，OB，作OD垂直于AB于D点，
∵△ABC为等边三角形，∴∠AOB＝120°，
由余弦定理知：AB＝2，
故BD＝，∴OD＝1，
∴O（0，0）到直线x﹣2y+m＝0的距离，解得m＝±，
又m＞0，∴m＝．
故答案为：．
12．（5分）已知函数f （x）＝ln|x|﹣，则关于a的不等式f（2a﹣1）﹣f（a）＜0的解集为　[，1]　．
【解答】解：函数f （x）＝ln|x|﹣是偶函数，当x＞0时，函数是增函数，
关于a的不等式f（2a﹣1）﹣f（a）＜0
可得：f（2a﹣1）＜f（a）
所以|2a﹣1|＜|a|，
可得：3a2﹣4a+1＜0，
解得：[，1]．
故答案为：[，1]．
13．（5分）如图，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的顶点分别为A1，A2，B1，B2，记四边形A1B1A2B2的面积为S1，四边形A1B1A2B2的内切圆面积为S2，若≥，则椭圆C的离心率的最大值为　　．
【解答】解：四边形A1B1A2B2的面积为2ab，四边形A1B1A2B2内切圆半径r为圆心（0，0）到直线A2B2：bx+ay﹣ab＝0的距离，
则四边形A1B1A2B2的内切圆面积为S2＝，
由≥，可得，（a＞b）
∴，
e＝．
∴椭圆C的离心率的最大值为．
故答案为：．
14．（5分）已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣ax2有五个零点，则实数a的取值范围是　（2，e）　．
【解答】解：（1）当x≤0时，解x3+ax2+x＝0得：x（x2+ax+1）＝0，
此方程有三个不等实数解等价于x2+ax+1＝0有两不等负根，
即，即a＞2，①
（2）当x＞0时，g（x）＝2e2lnx﹣ax2，
g′（x）＝﹣2ax＝，
当a≤0时，g′（x）＞0，即y＝g（x）为增函数，其
图象与x轴最多有1个交点，显然不符合题意，即a＞0，
由0时，g′（x）＞0，x时，g′（x）＜0，
即y＝g（x）在（0，）为增函数，在（，+∞）为减函数，
由题意有y＝g（x）的图象与x轴有两个交点，
则需g（）＞0，
即2e2ln﹣a×＞0，
解得0＜a＜e，②
综合①②得：
实数a的取值范围是2＜a＜e，
故答案为：（2，e）
二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15．（14分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC，D是BC的中点．
（1）求证：A1C∥平面ADB1；
（2）求证：平面ADB1⊥平面BCC1B1．
【解答】证明：（1）连结A1B，交AB1于点E，连结DE，
在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∵四边形ABB1A1是平行四边形，
∴E是A1B的中点，
∵D是BC中点，∴A1C∥DE，
又A1C?平面ADB1，DE?平面ADB1，
∴A1C∥平面ADB1．
解：（2）由（1）知A1C∥DE，又A1C⊥BC，
∴DE⊥BC，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
又DE⊥BC，AD∩DE＝D，
∴BC⊥平面ADB1，
∵BC?平面BCC1B1，∴平面ADB1⊥平面BCC1B1．
16．（14分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左，右顶点分别是A1，A2，右焦点为F，直线l：bx﹣ay+ab＝0与以线段A1A2为直径的圆相切．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设点P（，y0）（y0＞0）在椭圆C上，且PF＝1，求y0的值．
【解答】解：（1）∵直线l：bx﹣ay+ab＝0与以线段A1A2为直径的圆相切，
∴，即a2＝2b2．
设F（c，0），（c＞0），由于a2＝b2+c2．
∴a2＝2c2，故，
（2）由（1）可知，a＝，b＝c．
∴椭圆方程可为：x2+2y2＝2c2．
∵点P（，y0）（y0＞0）在椭圆C上，
∴，即．
由F（c，0），且PF＝1，可得．（y0＞0）
解得，y0＝1
17．（14分）如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50km，B，C间的距离为100km．从海岛A到C，先乘船至海岸公路BC上的登陆点D，船速为25km/h，再乘汽车至C，车速为50km/h，设∠BAD＝θ．
（1）用θ表示从海岛A到C所用时间t（θ），并确定θ的取值范围；
（2）求当θ为何值时，能使从海岛A到C所用时间最少．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AB＝50，∠BAD＝θ，
∴AD＝，BD＝50tanθ，∴CD＝100﹣50tanθ，
∴t（θ）＝+＝+2﹣tanθ＝+2．
设α＝tan∠BAC，则tanα＝2，则θ的取值范围是[0，α]．
（2）t′（θ）＝＝，
∴当0时，t′（θ）＜0，当＜θ＜α时，t′（θ）＞0，
∴当θ＝时，t（θ）取得最小值，即从海岛A到C所用时间最少．
18．（16分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，已知AB⊥平面PAD，PA⊥AD，CD⊥PD，E为棱PC上的一点，经过A，B，E三点的平面与棱PD相交于点F．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）求证：CD∥EF；
（3）若平面ABE⊥平面PCD，求证：AF⊥PD．
【解答】证明：（1）∵AB⊥平面PAD，PA?平面PAD，
∴AB⊥PA，又PA⊥AD，AB∩AD＝A，
∴PA⊥平面ABCD，
∵CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，
∵CD⊥PD，PA∩PD＝P，∴CD⊥平面PAD．
（2）由（1）知CD⊥平面PAD，
又AB⊥平面PAD，∴CD∥AB，
∵CD?平面ABEF，AB?平面ABEF，
∴CD∥平面ABEF，
∵CD?平面PCD，平面PCD∩平面ABEF＝EF，
∴CD∥EF．
（3）由（2）知CD∥EF，
∵AB⊥平面PAD，∴CD∥AB，
又CD⊥PD，∴PD⊥EF，
∵平面ABE⊥平面PCD，平面ABE∩平面PCD＝EF，
PD?平面PCD，
∴PD⊥平面ABE，
又AF?平面ABE，∴AF⊥PD．
19．（16分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，经过点（﹣3，1）．过点M（0，1）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且与椭圆C的左准线交于点N．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）当AB＝MN时，求直线l的方程；
（3）设P（0，﹣2），求△PAB面积的最大值．
【解答】解：（1）∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，经过点（﹣3，1）．
∴由题意得，解得a＝2，b＝2，c＝2，
∴椭圆C的标准方程为＝1．
（2）设直线l的方程为y＝kx+1，（k存在），A（x1，y1），B（x2，y2），
∵椭圆的左准线方程为x＝﹣3，∴N（﹣3，1﹣3），
又M（0，1），∴MN＝＝3?，
由，得（1+3k2）x2+6kx﹣9＝0，
∴△＝36k2+36（1+3k2）＝36（1+4k2），x1，2＝，
∴AB＝
＝?
＝，
∵AB＝MN，∴＝，
解得k＝±1，
∴直线l的方程为y＝±x+1．
（3）设直线l的方程为y＝kx+1，（k存在），
则P（0，﹣2）到直线l的距离d＝，
由（2）知AB＝，
∴△PAB的面积S＝＝，
令t＝，t≥1，则k2＝，
∴S＝＝，
∵S′＝＜0．（t≥1），
∴当t∈[1，+∞）时，S单调递减，
∴当t＝1时，S取得最大值，且最大值为9，
∴△PAB面积的最大值为9．
20．（16分）记f″（x）＝（f′（x））′，其中f′（x）为函数f（x）的导数．若对于?x∈D，f″（x）＞0，则称函数y＝f（x）为D上的凸函数．
（1）求证：函数g（x）＝ex﹣x3+2x﹣1是定义域上的凸函数；
（2）已知函数h（x）＝ax3﹣x2+xlnx，a∈R为（0，+∞）上的凸函数．
①求实数a的取值范围；
②求函数H（x）＝|﹣2lnx|，x≥1的最小值．
【解答】解：（1）由g（x）＝ex﹣x3+2x﹣1，x∈R，
得g′（x）＝ex﹣x2+2，g″（x）＝ex﹣x，
令φ（x）＝ex﹣x，x∈R，则φ′（x）＝ex﹣1，
当x＜0时，φ′（x）＜0，当x＞0时，φ′（x）＞0，
故φ（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，
故φ（x）≥φ（0）＝1＞0，
故对于?x∈R，g′（x）＞0，
函数g（x）是定义域上的凸函数；
（2）①由h（x）＝ax3﹣x2+xlnx，a∈R，
得h′（x）＝ax2﹣2x+lnx+1，h′（x）＝2ax﹣2+，
∵函数h（x）是（0，+∞）上的凸函数，
故h′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
故2a＞﹣＝﹣+1在（0，+∞）上恒成立，
故2a＞1，故a＞，
故实数a的范围是（，+∞），
②令F（x）＝﹣2lnx＝ax2﹣x﹣lnx，x≥1，
则H（x）＝|F（x）|，
F′（x）＝ax﹣1﹣＝，x≥1，a∈R，
（i）当a≤0时，F′（x）＜0在[1，+∞）上恒成立，
故F（x）≤F（1）＝＜0，
故H（x）＝|F（x）|≥，当且仅当x＝1时取等号，
∴H（x）min＝H（1）＝；
（ii）当a≥3时，F′（x）＝≥0在[1，+∞）恒成立，
故F（x）在[1，+∞）递增，
故F（x）≥F（1）＝≥0，
故H（x）min＝H（1）＝；
（iii）当0＜a＜3时，令t（x）＝2ax2﹣3x﹣3，
t（x）存在零点x1，x2，
其中x1＝＜0，x2＝，
∵t（1）＝2（a﹣3）＜0，t（）＝＞0，
故1＜x2＜，
结合t（x）的性质有：x∈（1，x2）时，t（x）＜0，故F′（x）＜0，
x∈（x2，+∞）时，t（x）＞0，故F′（x）＞0，
故F（x）在（1，x2）上递减，在（x2，+∞）递增，
故F（x2）＜F（1）＝＜0，
由（1）知，φ（x）＝ex﹣x＞0，
故φ（lnx）＝x﹣lnx＞0，从而x＞lnx（x＞0），
故F（x）＝﹣ln（）＞0，
又F（x）的图象是一条不间断的曲线，
故F（x）在（x2，）上有零点（＞＞x2），
故H（x）＝|F（x）|的最小值是0，
综上，当a≤0时，H（x）的最小值是，
当0＜a＜3时，H（x）的最小值是0，
当a≥3时，H（x）的最小值是．