2018-2019学年人教A版高中数学选修2-1模块综合检测解析版

模块综合检测[学生用书P153(单独成册)]
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A．不存在x0∈R，x－x＋1≤0
B．存在x0∈R，x－x＋1≤0
C．存在x0∈R，x－x＋1>0
D．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
解析：选C.先变换量词，再否定结论，即“存在x0∈R，x－x＋1>0”．
2．已知向量a＝(－1，x，3)，b＝(2，－4，y)且a∥b，则x＋y的值为(　　)
A．－4　　　　　　　　　　 B．－2
C．2 D.4
解析：选A.依题意得＝＝，解得x＝2，y＝－6，因此，x＋y＝－4.故选A.
3．已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设G是CD的中点，则＋(＋)等于(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.如图所示．因为G是CD中点，所以(＋)＝，所以＋(＋)＝.
4．与双曲线－x2＝1共焦点，且过点(1，2)的椭圆的标准方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：选C.由题知，焦点在y轴上，排除A，B，将(1，2)代入C，D可得C正确，故选C.
5．已知条件p：x2＋2x－3>0，条件q：5x－6>x2，则?p是?q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：选A.设满足条件?p的集合为P，满足条件?q的集合为Q，则P＝{x|－3≤x≤1}，Q＝{x|x≥3或x≤2}，所以P?Q，故?p是?q的充分不必要条件．
6．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1与B1D1交于点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中，与相等的是(　　)
A．a＋b＋c B．a＋b－c
C．a－b＋c D.a－b－c
解析：选C.依题意得＝－＝＋－＝＋(＋)－＝－＋＝a－b＋c，故选C.
7．若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±4x D.y＝±x
解析：选A.由椭圆的离心率e＝＝，可知＝＝，所以＝，故双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x.
8．已知命题p：若方程ax2＋x－1＝0有实数解，则a≥－且a≠0；命题q：函数y＝x2－2x在[0，3]上的最大值与最小值之和为2.则下列为真命题的是(　　)
A．p且q B．p且?q
C．p或?q D.p或q
解析：选D.由于a＝0时，方程ax2＋x－1＝0有实数解x＝1，故p是假命题；函数y＝x2－2x在[0，3]上的最小值为－1，最大值为3，最大值与最小值之和为2，故q是真命题，在四个选项中，只有p或q是真命题．
9．若命题“?x0∈R，使x＋(a－1)x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．－3≤a≤3 D.－1≤a≤1
解析：选B.根据题意可得?x∈R，都有x2＋(a－1)x＋1≥0，
所以Δ＝(a－1)2－4≤0，
所以－1≤a≤3.
10．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D.y2＝8x
解析：选B.由已知可得，抛物线的焦点坐标为.又直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2，则|OA|＝，故S△OAF＝··＝4，解得a＝±8，故抛物线的方程为y2＝±8x.
11．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D.45°
解析：选B.由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝　2＝1，由cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°，故直线a，b所成的角为60°.
12．P是长轴在x轴上的椭圆＋＝1上的点，F1，F2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是(　　)
A．1 B．a2
C．b2 D.c2
解析：选D.由椭圆的几何性质得a－c≤|PF1|≤a＋c，|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF1|·|PF2|≤＝a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．
|PF1|·|PF2|＝|PF1|·(2a－|PF1|)＝－|PF1|2＋2a|PF1|＝－(|PF1|－a)2＋a2≥－c2＋a2＝b2，所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为a2－b2＝c2.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．经过点A(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为________．
解析：设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，把点A(3，1)代入－＝1，得a2＝8；把点A(3，1)代入－＝－1，得－＝－1，无解．故所求方程为－＝1.
答案：－＝1
14．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________(填序号)．
解析：因为·＝－2－2＋4＝0，所以⊥，即AP⊥AB，①正确；因为·＝－4＋4＝0，所以⊥，即AP⊥AD，②正确；由①②可得是平面ABCD的法向量，③正确；由③可得⊥，④错误．
答案：①②③
15．已知下列命题：
①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；
②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充要条件；
③sin α＝sin β是α＝β的充要条件；
④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．
其中为真命题的是________(填序号)．
解析：x＝2是x2－4x＋4＝0的充要条件，①为假命题；易知②为真命题；③sin α＝sin β是α＝β的必要不充分条件，③为假命题；ab≠0?a≠0，但a≠0?/ ab≠0，则④为真命题．故填②④.
答案：②④
16．已知椭圆C：＋y2＝1的焦点为F(1，0)，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||＝________．
解析：设A(2，t)，B(x，y)，又F(1，0)．
所以＝(1，t)，＝(x－1，y)，
由＝3得1＝3(x－1)，解得x＝，
又B在椭圆C上，
所以＋y2＝1，即y2＝1－＝.
又t＝3y，所以t2＝9y2＝1，
故||＝||＝＝.
答案：
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0.
解：(1)由双曲线的离心率为，可知双曲线为等轴双曲线，设双曲线的方程为x2－y2＝λ，又双曲线过点(4，－)，代入解得λ＝6，故双曲线的方程为x2－y2＝6.
(2)证明：由双曲线的方程为x2－y2＝6，可得a＝b＝，c＝2，所以F1(－2，0)，F2(2，0)．由点M(3，m)，得＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)，又点M(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，解得m2＝3，所以·＝m2－3＝0.
18．(本小题满分12分)已知命题p：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线－＝1的离心率e∈，若命题p，q中有且只有一个真命题，求实数m的取值范围．
解：若p为真，则有9－m>2m>0，
即0若q为真，则有m>0，
且e2＝1＋＝1＋∈，即若p，q中有且只有一个真命题．
则p，q一真一假．
①若p真，q假．
则0即0②若p假，q真，
则m≥3或m≤0，且即3≤m<5.
故所求m的取值范围为019.(本小题满分12分)如图，四面体P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝2，PC＝4，E是AB的中点，F是CE的中点．
(1)建立适当的直角坐标系，写出点B，C，E，F的坐标；
(2)求BF与平面ABP所成的角的余弦值．
解：(1)以PA所在直线为x轴，PB所在直线为y轴，PC所在直线为z轴，P为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则B点坐标为(0，2，0)，C点坐标为(0，0，4)，A点坐标为(2，0，0)．
因为E为AB的中点，所以E(1，1，0)．
因为F为CE的中点，所以F.
(2)连接PE，设G为PE的中点，连接FG，BG，则G.
因为PA，PB，PC两两互相垂直，所以PC⊥平面ABP.
因为F，G分别为CE，PE的中点，
所以FG∥PC，所以FG⊥平面ABP.
故∠FBG为BF与平面ABP所成的角．
又因为cos∠FBG＝cos〈，〉，
＝，＝.
所以cos〈，〉＝＝＝，
即BF与平面ABP所成的角的余弦值为.
20．(本小题满分12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝4，求平面PBC与平面PDC所成角的余弦值．
解：(1)证明：因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC.
又PA⊥平面ABCD，
所以BD⊥PA.又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.
(2)
以BD与AC的交点O为坐标原点，OB，OC所在直线为x轴，y轴，过点O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知可得，AO＝OC＝，OD＝OB＝1，所以P(0，－，4)，B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)，＝(0，2，－4)，＝(－1，，0)，＝(－1，－，0)．
设平面PBC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，
由可得令x1＝，可得n1＝.同理，由可得n2＝，
所以cos〈n1，n2〉＝＝－，所以平面PBC与平面PDC所成角的余弦值为.
21．(本小题满分12分)
如图，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)两点，T为抛物线的准线与x轴的交点．
(1)若·＝1，求直线l的斜率；
(2)求∠ATF的最大值．
解：(1)由题意得F(1，0)，T(－1，0)，当直线l与x轴垂直时，A(1，2)，B(1，－2)，
此时·＝(2，2)·(2，－2)＝0，这与·＝1矛盾．
故直线l与x轴不垂直．
设直线l的方程为y＝k(x－1)．①
将①代入y2＝4x整理得
k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝1.
所以y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－4，
所以·＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)
＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2
＝1＋＋1－4＝＝1.
解得k＝±2.
(2)因为y1>0，
所以tan∠ATF＝＝
＝≤1.
当且仅当y1＝，即y1＝2时取等号．
故∠ATF的最大值为.
22．(本小题满分12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)过点(0，1)，且离心率为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，求证|BN|为定值．
解：(1)由题意，可知椭圆的焦点在x轴上，且b＝1，
由椭圆的离心率e＝＝＝，得a＝2，
所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：设A(x1，y1)，C(x2，y2)，线段AC的中点为M，
由，整理得x2＋2mx＋2m2－2＝0，
由Δ＝(2m)2－4(2m2－2)＝8－4m2>0，解得－则x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2，y1＋y2＝(x1＋x2)＋2m＝m，则M.|AC|＝·|x1－x2|＝·＝·＝.
由l与x轴的交点N(－2m，0)，得|MN|＝＝.
所以|BN|2＝|BM|2＋|MN|2＝|AC|2＋|MN|2＝，所以|BN|为定值．