人教版数学八年级下册17.1勾股定理课件(两课时,共50张PPT)

4
4
8
SA+SB=SC
C
图甲
1.观察图甲，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
　面积各为多少？
⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？
图甲 图乙
A的面积
B的面积
C的面积
C
图乙
2.观察图乙，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
　面积各为多少？
9
16
25
SA+SB=SC
⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？
4
4
8
SA+SB=SC
图甲
图甲 图乙
A的面积
B的面积
C的面积
图乙
2.观察图乙，小方格
的边长为1.
9
16
25
SA+SB=SC
⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？
4
4
8
SA+SB=SC
图甲
a
b
c
a
b
c
图甲 图乙
A的面积
B的面积
C的面积
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
勾股定理(毕达哥拉斯定理)
（gou－gu theorem）
如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么
a
c
勾
弦
b
股
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.
用拼图法证明
用拼图法证明
∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab
S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形
=4· ab+c2
=c2+2ab
∴a2+b2+2ab=c2+2ab
∴a2 +b2 =c2
a2+b2+2ab
c2+2ab
∵ c2= 4?ab/2 +(b-a)2
=2ab+b2-2ab+a2
=a2+b2
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
c2
4?ab/2+(b- a)2
勾股定理的验证
赵爽弦图
美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，
就把这一证法称为“总统”证法。
有趣的总统证法
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；

c2=a2 + b2
勾股定理的应用
例：求出下列直角三角形中未知边的长度
解：由勾股定理得：
x2 =36+64
x2 =100
x2=62+82
∴ x=10
∵ x2+52=132
∴ x2=132-52
x2 =169-25
x2 =144
∴ x=12
∵ x > 0
∵ x > 0
3.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
①
81
144
x
y
z
②
③
例.在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=6，ｂ=8，求c；　
(2) 已知：a=40，c=41，求b；
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
(4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.
例题分析
(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;
(2)可用勾股定理建立方程.
方法小结
１、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( )
A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米
C
３
４
２、隔湖有两点A、Ｂ，从与ＢA方向成直角 的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12米,则AB为 ( )
A.5米 B.12米 C.10米 D.13米
13
12
?
A
３、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为 ( )
A 2、4、6
Ｃ 4、6、8
B
Ｂ 6、8、10
Ｄ 8、10、12
5 或
４、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的长为 .
课堂练习： 一判断题. 1.?ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2.? ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在? ABC中, ∠C=90°,AC=6,CB=8,则
?ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
?
?
24
4.8
A
B
C
D
二填空题 1.在? ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.
(2)若a=9,b=40,则c=______. 2.在? ABC中, C=90°,若AC=6,CB=8,则?ABC面积为_____,斜边为上的高为______.
6
8
41
24
4.8
1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？
应用知识回归生活
2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离
40
应用知识回归生活
例２．已知:如图,等边△ABC的边长是 6 .
(1)求高AD的长;
(2)求S△ABC .
例题分析
3
6
?
已知:如图,等边△ABC的高AD是 .
(1)求边长;
(2)求S△ABC .
练一练
10
4
6
8
10
x
E
F
D
C
B
A
8-x
8-x
D
A
蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
G
F
E
提示
构造直角三角形
勾股小常识：勾股数
1、 a?+b? =c?，满足(a,b,c)=1,a,b,c为基本勾股数.如：3、4、5 ; 5、12、 13;6、8、10；7、24、25……
2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、15……
3、一组勾股数中必有一个数是5倍数。

试一试：
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
2m
D
C
A
B
连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,


因此,AC= ≈2.236

因为AC______木板的宽,

所以木板____ 从门框内通过.
大于
能
A
C
O
B
D
一个3m长的梯子AB,斜
靠在一竖直的墙AO上,
这时AO的距离为2.5m,
如果梯子的顶端A沿墙
下滑0.5m,那么梯子底
端B也外移0.5m吗?
A
C
O
B
D
分析:DB=OD-OB,求BD,可以 先求OB,OD.
在Rt△AOB中,
梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_______.
在Rt△AOB中，
在Rt△COD中，
OD－OB = 2.236 －1.658 ≈0.58
0.58 m
如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CD
证明：
过A作AE⊥BC于E
E
∵AB=AC，∴BE=CE
在Rt △ADE中，
AD2=AE2+DE2
在Rt △ABE中，
AB2=AE2+BE2
∴ AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)
= DE2- BE2
= (DE+BE)·( DE- BE)
= (DE+CE)·( DE- BE)
=BD·CD
观察下列表格：
……
请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.
即b= ，c=
84
85

列举 猜想
3、4、5 32=4+5
5、12、13 52=12+13
7、24、25 72=24+25
……
13、b、c 132=b+c
如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
B
A
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
A
B
分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.
三、长方体中的最值问题
如图，小颍同学折叠一个直角三角形
的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
C
如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。
如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ）
A.7m B.8m C.9m D.10m
8m
8m
2m
在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ，BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高。
A
B
C
D
13
13
10
H
提示：利用面积相等的关系
练习
如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB，∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。
解：
∵∠ABD=90°，∠DAB=30°
在Rt△ABD中
,根据勾股定理
在Rt△ABC中，
又AD=8
聪明的葛藤
葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上。如图(1)所示。
葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径——螺旋线前进的。若将树干的侧面展开成一个平面，如图（2），可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的。
（1）
（2）
数学奇闻
有 一棵树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）
A
B
C
20尺
3×7=21（尺）
聪明的葛藤
小结：
1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积）
A的面积+B的面积=C的面积
a2+b2=c2
实际问题
直角三角
形的问题
数学问题
利用勾
股定理
抽象
归类
解决
证法五：（欧几里得证法公元前3世纪）
“新娘的轿椅”或“修士的头巾”
如图，Rt△ ABC中，∠ACB=90°，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CN⊥DE，连接BK、CD。
同理：S 正方形BCGF = S 四边形BENM
再 见