【鲁教版八下精美学案】7.1 二次根式（知识构建+考点归纳+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】7.1 二次根式（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-07 15:02:48 | ||
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文档简介
第七章 二次根式
第一节 二次根式
知 识 梳 理
知识点1 二次根式的概念
一般地，形如____________的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数。形如（a≥0）的式子也是二次根式，表示b与的乘积，如3表示3×。
注意 （1）二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零，这是因为表示a的算术平方根，只有正数和零才有算术平方根，负数没有算术平方根，因此中的a必须是非负数。（2）判断一个式子是否为二次根式，要看它是否具备两个特征：一是根指数为2，二是被开方数为非负数，判断一个式子是不是二次根式，不能将其“化简”，如 = 2，但是二次根式。
知识点2 二次根式的性质
1.≥0（a≥0）:
当a≥0时，表示a的算术平方根，所以是非负数。即对于式子来说，不仅a≥0，且≥0，可以说具有双重非负性。
注意 （1）我们已经学习过三类具有非负性的代数式:①≥0；②a2≥0；③≥0（a≥0）。
（2）（a≥0）的最小值为0。
2.（）2＝a（a≥0）:
()2＝a（a≥0），表明一个非负数的算术平方根的平方还是这个数。反过来a＝()2（a≥0），表明一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式.
利用它可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如:3＝()2，等。
考 点 突 破
考点1: 二次根式的概念
【典例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）(x<)。
思路导析:判断一个式子是不是二次根式，首先看它是否含有根号；其次看根指数是不是2；最后看被开方数是不是非负数.若三个答案都是肯定的，那么这个式子是二次根式不满足三个条件中的任何一个，就不是二次根式。
解:（1）；（3）；（6）；符合二次根式的定义，属于二次根式；（2）；，无意义，不是二次根式；（4）属于三次根式；（5）=，被开方数是正数，属于二次根式；（7）的被开方数是负数，它无意义，不是二次根式；（8）(x<)的被开方数是负数无意义，不是二次根式。
友情提示 本题考查了二次根式的定义，满足二次根式的条件有三个:①含有根号；②根指数是2；③被开方数是非负数，三个条件缺一不可，注意:类似，，满足以上三个条件，所以都是二次根式，只不过它们都能化简。
变式1下列是二次根式的是__________________。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（x≤3）；
（6）（-1＜x＜1）.
变式2 下列各式是否为二次根式？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
考点2: 确定二次根式中字母的取值范围
【典例2】当a为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
思路导析:由二次根式的意义可知:当a≥0时，有意义，是二次根式；当a＜0时，没有意义，不是二次根式，确定被开方数所含字母的取值范围，可根据形如的式子有意义的条件列出不等式，然后解不等式即可。
解:（1）由5-a≥0，得a≤5.
当a≤5时，式子在实数范围内有意义。
（2）由a-1≥0，得a≥1；由2-a≠0，得a≠2.当a≥1且a≠2时，式子在实数范围内有意义。
（3）由a-4≥0，得a≥4；由4-a≥0，得a≤4。当a＝4时，式子在实数范围内有意义。
（4）由于无论a为何值＞0，所以当a为任意实数时，有意义。
（5）∵＞0，由于同号为正。而-2＜0，
∴3a-1＜0，即a＜。∴当a＜时，有意义。
变式3 当x是怎样的实数时，下列二次根式在实数范围内有意义？
（1）；（2）；（3）；（4）。
变式4 求下列式子有意义的x的取值范围。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
考点3: 二次根式非负性的应用
【典例3】求值：
（1）已知a，b满足＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a-1.
（2）已知x，y都是实数，且y＝＋＋4，求yx的平方根。
思路导析:（1）根据被开方数和绝对值的非负性分别求得a，b的值，代入解方程即可。（2）由被开方数的非负性可知x＝3，得y＝4，代入求解即可。
解:（1）根据题意得 解得
则（a＋2）x＋b2＝a-1即-2x＋3＝-5，解得x＝4；
（2）根据题意得 解得x＝3，则y＝4，
故原式＝43＝64，∴yx的平方根为±8.
友情提示 初中阶段我们已经学习了三个非负的符号，分别是平方、绝对值、二次根式（算术平方根），即a2≥0，≥0，≥0（c≥0），有类似的结论（1）若a2＝0，需a＝0；（2）若｜b｜＝0，需b＝0；（3）若＝0，需c＝0.（4）若a2＋｜b｜＋＝0，则需a＝b＝c＝0.即:若几个非负数的和为0，那么这几个非负数同时为0，即当时，必有a＝0，b＝0，c＝0，根据条件可列方程组求字母的值。
变式5 已知y＝＋4，求的值。
变式6 已知a2＋＝4a-4，求的值考点。
考点4: 利用公式 ()2＝a（a≥0）计算
【典例4】计算:（1）；（2）；（3）；（4）。
思路导析:本题利用 ()2＝a（a≥0）解题，类似于(b)2的二次根式的计算应化为b2×()2后进行。
解:（1）=；（2）＝3x＋2；（3）＝（-2）2×（）2＝4×3＝12；（4）＝。
友情提示 在进行二次根式的运算时，要熟练地运用 ()2＝a（a≥0），并能结合整式乘除法的其他公式，如，进行综合运算。
变式7 （1）若＝，则x＝____________。
（2）若实数a满足＝2，则a的值为_____________。
变式8 计算:
（1）；（2）；（3）；（4）。
考点5: 逆用（）2＝a（a≥0）分解因式
【典例5】 在实数范围内分解因式:
（1）x2-4；（2）x2＋2x-4；（3）x2（x-）-2（x-）。
思路导析:对于一个非负数，可写成一个数的平方的形式，逆用（）2＝a（a≥0）进行因式分解。
解:（1）x2-4＝（x＋2）（x-2）；
（2）x2＋2x-1＝（x2＋2x＋1）-2＝（x＋1）2 -（）2＝（x＋1＋）（x＋1-）；
（3）x2（x-）-2（x-）＝（x2-2）（x-）＝［x2-（）2］（x-）
＝（x＋）（x-）（x-）＝（x＋）（x-）2
友情提示 因式分解时要弄清题目要求在“实数范围内”还是“有理数范围内”分解，在“实数范围”内分解因式时，某些数字可写成带根号的“无理数的平方”的形式继续分解，使分解更彻底。
变式9在实数范围内分解因式
（1）x2-9； （2）a2-2a＋3； （3）2x-x3，
变式10 在实数范围内分解因式：
（1）x3-5x； （2）x4-4x2＋4 （3）x2-2x＋3
巩 固 提 高
1.已知式子:①；②；③；④；⑤；⑥.其中一定是二次根式的有
（ ）
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
2.要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）
A.m＞-1 B.m≥-1 C.m＞-1且m≠1 D.m≥-1且m≠1
3.如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.以下各式中计算正确的是（ ）
A.＝12 B.＝-3 C.＝4 D.
5.如果实数x，y满足＝0，那么以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为___________。6.若二次根式的值为5，则x＝_______________。
7.当x取何值时，下列各式为二次根式。
（1）； （2）；（3）；（4）。
8.计算:（1）； （2）
9.已知＝b＋8
（1）求a的值；
（2）求a2－b2的平方根。
10.当a取什么值时，代数式＋1取值最小？并求出这个最小值。
11.若实数a，b，c满足。
（1）求a，b，c；
（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长。
12.（1）已知是整数，求自然数n所有可能的值；
（2）已知函数y＝＋5，当自变量x取何值时，函数y有最小值？并求出最小值。
真 题 训 练
1.（2018·达州）二次根式中的x的取值范围是（ ）
A.x＜-2 B.x≤-2 C.x＞-2 D.x≥-2
2.（2018·苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
3.（凉山中考）式子有意义的条件是__________________。
4.（盘锦中考）若式子有意义，则x的取值范围是______________。
5.（2017·广安）已知x，y是实数，且y＝，求5x＋6y的值。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1: （a≥0）
考点突破
1.（1）（4）（5）
2.解:（1）（2）是二次根式，（3）（4）（5）不是二次根式.
3.解:（1）x≤； （2）x＝0； （3）x为任意实数；（4）x＞。
4.解:（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数4-3x≥0，分母4-3x≠0， 解得x＜。
∴x的取值范围是x＜。
（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数3-x≥0，解得x≤3；分母x＋2≠0，解得x≠-2.
∴x的取值范围是x≤3且x≠-2；
（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，被开方数分子-3＜0，必须且只需分母2-x＜0，解得x＞2，∴x的取值范围是x＞2；
（4）根据题意得:-x2≥0，∵x2≥0，∴x2＝0，解得x＝0.
∴x的取值范围是x＝0；
（5）根据题意得:2x2＋1≥0，∵x2≥0，∴2x2＋1＞0，
故x的取值范围是任意实数；
（6）根据题意得:2x-3≥0，解得x≥；2x-3≤0，解得x≤，
综上，可知x＝。∴x的取值范围是x＝。
5.解:∵y＝＋4，∴x＝3，y＝4.
6.解:由题意得a2-4a＋4＋＝0，∴（a-2）2＋＝0.
∵ ∴ ∴ ∴。
7.（1） （2） 5
8.解:（1）45；（2）3x-1；（3）；（4）。
9.解:（1）原式＝； （2）原式＝；（3）原式＝
10.解:（1）； （2）；（3）
巩固提高
1.D 2.D 3.C 4.A 5.20 6.±4
7.解:（1）当x≤0时，是二次根式； （2）当x＞2时，是二次根式；
（3）∵ ∴x≤5且x≠-2；
（4）∵为二次根式，∴x的取值范围是:x-3≠0。∴x≠3.
8.解:（1）1； （2）4a-15.
9.解:（1）根据题意得 解得a＝17；
（2）b＋8＝0，解得b＝-8.
则a2-b2＝172-（-8）2＝225，则平方根是:±15.
10.解:1.
11.解:（1）由题意可得:c-3≥0，3-c≥0，解得c＝3，
∴｜a-｜＋＝0，则a＝，b＝2；
（2）当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和:
＋＝2＜3，舍去；
当c是腰长，a是底边时，等腰三角形的周长为:＋3＋3＝＋6，
综上，这个等腰三角形的周长为＋6。
12.解:（1）∵是整数，18-n≥0，且18-n是完全平方数.
∴①18-n＝1，即n＝17； ②18-n＝4，即n＝14； ③18-n＝9，即n＝9；
④18-n＝16，即n＝2； ⑤18-n＝0，即n＝18；
综上所述，自然数n的值可以是17，14，9，2，18；
（2）∵≥0，∴y＝＋5≥5.∴当＝0时，y有最小值，
即3x＋4＝0，∴x＝，y有最小值5。
真题训练
1.D 2.D 3.x≥2且x≠3 4.1≤x≤2
5.解:由题意得 解得x＝3. ∴
∴5x＋6y＝5×3＋6×＝15 - 2＝13。
第一节 二次根式
知 识 梳 理
知识点1 二次根式的概念
一般地，形如____________的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数。形如（a≥0）的式子也是二次根式，表示b与的乘积，如3表示3×。
注意 （1）二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零，这是因为表示a的算术平方根，只有正数和零才有算术平方根，负数没有算术平方根，因此中的a必须是非负数。（2）判断一个式子是否为二次根式，要看它是否具备两个特征：一是根指数为2，二是被开方数为非负数，判断一个式子是不是二次根式，不能将其“化简”，如 = 2，但是二次根式。
知识点2 二次根式的性质
1.≥0（a≥0）:
当a≥0时，表示a的算术平方根，所以是非负数。即对于式子来说，不仅a≥0，且≥0，可以说具有双重非负性。
注意 （1）我们已经学习过三类具有非负性的代数式:①≥0；②a2≥0；③≥0（a≥0）。
（2）（a≥0）的最小值为0。
2.（）2＝a（a≥0）:
()2＝a（a≥0），表明一个非负数的算术平方根的平方还是这个数。反过来a＝()2（a≥0），表明一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式.
利用它可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如:3＝()2，等。
考 点 突 破
考点1: 二次根式的概念
【典例1】下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；
（7）；（8）(x<)。
思路导析:判断一个式子是不是二次根式，首先看它是否含有根号；其次看根指数是不是2；最后看被开方数是不是非负数.若三个答案都是肯定的，那么这个式子是二次根式不满足三个条件中的任何一个，就不是二次根式。
解:（1）；（3）；（6）；符合二次根式的定义，属于二次根式；（2）；，无意义，不是二次根式；（4）属于三次根式；（5）=，被开方数是正数，属于二次根式；（7）的被开方数是负数，它无意义，不是二次根式；（8）(x<)的被开方数是负数无意义，不是二次根式。
友情提示 本题考查了二次根式的定义，满足二次根式的条件有三个:①含有根号；②根指数是2；③被开方数是非负数，三个条件缺一不可，注意:类似，，满足以上三个条件，所以都是二次根式，只不过它们都能化简。
变式1下列是二次根式的是__________________。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（x≤3）；
（6）（-1＜x＜1）.
变式2 下列各式是否为二次根式？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
考点2: 确定二次根式中字母的取值范围
【典例2】当a为何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
思路导析:由二次根式的意义可知:当a≥0时，有意义，是二次根式；当a＜0时，没有意义，不是二次根式，确定被开方数所含字母的取值范围，可根据形如的式子有意义的条件列出不等式，然后解不等式即可。
解:（1）由5-a≥0，得a≤5.
当a≤5时，式子在实数范围内有意义。
（2）由a-1≥0，得a≥1；由2-a≠0，得a≠2.当a≥1且a≠2时，式子在实数范围内有意义。
（3）由a-4≥0，得a≥4；由4-a≥0，得a≤4。当a＝4时，式子在实数范围内有意义。
（4）由于无论a为何值＞0，所以当a为任意实数时，有意义。
（5）∵＞0，由于同号为正。而-2＜0，
∴3a-1＜0，即a＜。∴当a＜时，有意义。
变式3 当x是怎样的实数时，下列二次根式在实数范围内有意义？
（1）；（2）；（3）；（4）。
变式4 求下列式子有意义的x的取值范围。
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
考点3: 二次根式非负性的应用
【典例3】求值：
（1）已知a，b满足＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a-1.
（2）已知x，y都是实数，且y＝＋＋4，求yx的平方根。
思路导析:（1）根据被开方数和绝对值的非负性分别求得a，b的值，代入解方程即可。（2）由被开方数的非负性可知x＝3，得y＝4，代入求解即可。
解:（1）根据题意得 解得
则（a＋2）x＋b2＝a-1即-2x＋3＝-5，解得x＝4；
（2）根据题意得 解得x＝3，则y＝4，
故原式＝43＝64，∴yx的平方根为±8.
友情提示 初中阶段我们已经学习了三个非负的符号，分别是平方、绝对值、二次根式（算术平方根），即a2≥0，≥0，≥0（c≥0），有类似的结论（1）若a2＝0，需a＝0；（2）若｜b｜＝0，需b＝0；（3）若＝0，需c＝0.（4）若a2＋｜b｜＋＝0，则需a＝b＝c＝0.即:若几个非负数的和为0，那么这几个非负数同时为0，即当时，必有a＝0，b＝0，c＝0，根据条件可列方程组求字母的值。
变式5 已知y＝＋4，求的值。
变式6 已知a2＋＝4a-4，求的值考点。
考点4: 利用公式 ()2＝a（a≥0）计算
【典例4】计算:（1）；（2）；（3）；（4）。
思路导析:本题利用 ()2＝a（a≥0）解题，类似于(b)2的二次根式的计算应化为b2×()2后进行。
解:（1）=；（2）＝3x＋2；（3）＝（-2）2×（）2＝4×3＝12；（4）＝。
友情提示 在进行二次根式的运算时，要熟练地运用 ()2＝a（a≥0），并能结合整式乘除法的其他公式，如，进行综合运算。
变式7 （1）若＝，则x＝____________。
（2）若实数a满足＝2，则a的值为_____________。
变式8 计算:
（1）；（2）；（3）；（4）。
考点5: 逆用（）2＝a（a≥0）分解因式
【典例5】 在实数范围内分解因式:
（1）x2-4；（2）x2＋2x-4；（3）x2（x-）-2（x-）。
思路导析:对于一个非负数，可写成一个数的平方的形式，逆用（）2＝a（a≥0）进行因式分解。
解:（1）x2-4＝（x＋2）（x-2）；
（2）x2＋2x-1＝（x2＋2x＋1）-2＝（x＋1）2 -（）2＝（x＋1＋）（x＋1-）；
（3）x2（x-）-2（x-）＝（x2-2）（x-）＝［x2-（）2］（x-）
＝（x＋）（x-）（x-）＝（x＋）（x-）2
友情提示 因式分解时要弄清题目要求在“实数范围内”还是“有理数范围内”分解，在“实数范围”内分解因式时，某些数字可写成带根号的“无理数的平方”的形式继续分解，使分解更彻底。
变式9在实数范围内分解因式
（1）x2-9； （2）a2-2a＋3； （3）2x-x3，
变式10 在实数范围内分解因式：
（1）x3-5x； （2）x4-4x2＋4 （3）x2-2x＋3
巩 固 提 高
1.已知式子:①；②；③；④；⑤；⑥.其中一定是二次根式的有
（ ）
A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
2.要使式子有意义，则m的取值范围是（ ）
A.m＞-1 B.m≥-1 C.m＞-1且m≠1 D.m≥-1且m≠1
3.如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.以下各式中计算正确的是（ ）
A.＝12 B.＝-3 C.＝4 D.
5.如果实数x，y满足＝0，那么以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为___________。6.若二次根式的值为5，则x＝_______________。
7.当x取何值时，下列各式为二次根式。
（1）； （2）；（3）；（4）。
8.计算:（1）； （2）
9.已知＝b＋8
（1）求a的值；
（2）求a2－b2的平方根。
10.当a取什么值时，代数式＋1取值最小？并求出这个最小值。
11.若实数a，b，c满足。
（1）求a，b，c；
（2）若满足上式的a，c为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长。
12.（1）已知是整数，求自然数n所有可能的值；
（2）已知函数y＝＋5，当自变量x取何值时，函数y有最小值？并求出最小值。
真 题 训 练
1.（2018·达州）二次根式中的x的取值范围是（ ）
A.x＜-2 B.x≤-2 C.x＞-2 D.x≥-2
2.（2018·苏州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
3.（凉山中考）式子有意义的条件是__________________。
4.（盘锦中考）若式子有意义，则x的取值范围是______________。
5.（2017·广安）已知x，y是实数，且y＝，求5x＋6y的值。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1: （a≥0）
考点突破
1.（1）（4）（5）
2.解:（1）（2）是二次根式，（3）（4）（5）不是二次根式.
3.解:（1）x≤； （2）x＝0； （3）x为任意实数；（4）x＞。
4.解:（1）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数4-3x≥0，分母4-3x≠0， 解得x＜。
∴x的取值范围是x＜。
（2）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，
被开方数3-x≥0，解得x≤3；分母x＋2≠0，解得x≠-2.
∴x的取值范围是x≤3且x≠-2；
（3）根据二次根式的意义和分式有意义的条件，被开方数分子-3＜0，必须且只需分母2-x＜0，解得x＞2，∴x的取值范围是x＞2；
（4）根据题意得:-x2≥0，∵x2≥0，∴x2＝0，解得x＝0.
∴x的取值范围是x＝0；
（5）根据题意得:2x2＋1≥0，∵x2≥0，∴2x2＋1＞0，
故x的取值范围是任意实数；
（6）根据题意得:2x-3≥0，解得x≥；2x-3≤0，解得x≤，
综上，可知x＝。∴x的取值范围是x＝。
5.解:∵y＝＋4，∴x＝3，y＝4.
6.解:由题意得a2-4a＋4＋＝0，∴（a-2）2＋＝0.
∵ ∴ ∴ ∴。
7.（1） （2） 5
8.解:（1）45；（2）3x-1；（3）；（4）。
9.解:（1）原式＝； （2）原式＝；（3）原式＝
10.解:（1）； （2）；（3）
巩固提高
1.D 2.D 3.C 4.A 5.20 6.±4
7.解:（1）当x≤0时，是二次根式； （2）当x＞2时，是二次根式；
（3）∵ ∴x≤5且x≠-2；
（4）∵为二次根式，∴x的取值范围是:x-3≠0。∴x≠3.
8.解:（1）1； （2）4a-15.
9.解:（1）根据题意得 解得a＝17；
（2）b＋8＝0，解得b＝-8.
则a2-b2＝172-（-8）2＝225，则平方根是:±15.
10.解:1.
11.解:（1）由题意可得:c-3≥0，3-c≥0，解得c＝3，
∴｜a-｜＋＝0，则a＝，b＝2；
（2）当a是腰长，c是底边时，等腰三角形的腰长之和:
＋＝2＜3，舍去；
当c是腰长，a是底边时，等腰三角形的周长为:＋3＋3＝＋6，
综上，这个等腰三角形的周长为＋6。
12.解:（1）∵是整数，18-n≥0，且18-n是完全平方数.
∴①18-n＝1，即n＝17； ②18-n＝4，即n＝14； ③18-n＝9，即n＝9；
④18-n＝16，即n＝2； ⑤18-n＝0，即n＝18；
综上所述，自然数n的值可以是17，14，9，2，18；
（2）∵≥0，∴y＝＋5≥5.∴当＝0时，y有最小值，
即3x＋4＝0，∴x＝，y有最小值5。
真题训练
1.D 2.D 3.x≥2且x≠3 4.1≤x≤2
5.解:由题意得 解得x＝3. ∴
∴5x＋6y＝5×3＋6×＝15 - 2＝13。