【鲁教版八下精美学案】7.2 二次根式的性质（知识构建+考点归纳+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】7.2 二次根式的性质（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-07 15:04:59 | ||
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文档简介
第2节 二次根式的性质
知 识 梳 理
知识点1 二次根式的性质
1.性质:
＝＝
二次根式的实质是一个任意实数的平方的算术平方根，所以a的取值范围是任意实数
2.与的不同:
（1）字母的取值范围:中的a为任意实数，中的a为非负数；
（2）结果:＝＝，＝a（a＜0），
注意（1）在化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数，0，还是负数.（2）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
知识点2 积的算术平方根的性质
＝________（a≥0，b≥0），这就是说，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。注意（1）在这个性质中，a，b可以是数，也可以是代数式，且必须满足a≥0，b≥0，才能用此式进行计算或化简.如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了，如在运用积的算术平方根的性质计算时，若写成＝×，等式的右边显然没有意义，而应为＝＝×.
（2）此性质可以推广到多个非负因数的情况，如（a≥0，b≥0，c≥0，d≥ 0）.
（3）这个公式的作用是化简二次根式，如＝＝××＝4×3×＝12.
知识点3 商的算术平方根的性质
＝__________（a≥0，b＞0），这就是说，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
注意 （1）商的算术平方根的性质的限制条件（a≥0，b＞0），因为分母不能为0，所以被除式a必须是非负的，除式b必须是正数，否则性质不成立。（2）当被开方数是带分数时，应先将带分数化成假分数.（3）应用商的算术平方根的性质可以化去根号内的分母，如
。
知识点4 最简二次根式
1.定义:
被开方数都不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.像这样的二次根式叫做最简二次根式。
2.对最简二次根式的概念的理解:
（1）被开方数中不含分母，也就是被开方数必须是整数或整式；
（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.
（3）一个二次根式如果不是最简二次根式，那么可以利用二次根式的性质，把它化成最简二次根式.如，，等都是最简二次根式，而，，等都不是最简二次根式。
3.化简二次根式要注意:
（1）被开方数较大时，要分解质因数； （2）被开方数是带分数的化成假分数；
（3）被开方数是小数的化成分数； （4）被开方数是多项式的，要分解因式
考 点 突 破
考点1:二次根式的性质
【典例1】求下列各式的值：
（1），（2，（3）（x＜-1）。
思路导析:求（1）（2）的值直接用＝化简，要注意结果是a或-a，（3）先化简再化简。
解:（1）＝＝1.2；（2）==；
（3）==，∵x＜-1，故x＋1＜0，
∴＝-（x＋1）＝-x-1.
友情提示 形如的化简求值，一般先根据公式写成｜a｜的形式，然后再根据a的正负去掉绝对值符号，注意的化简结果是一个非负数。
变式1 若a＋＝0，则＋等于（ ）
A.2-2a B.2a-2 C.-2 D.2
变式2 化简下列分式:
（1）； （2）； （3）；（4）；（5）（a＜5）。
考点2: 积的算术平方根
【典例2】化简:
（1）；（2）；（3）（a＞0，c＞0）；（4）。
思路导析:将被开方数进行因式分解，运用积的算术平方根的性质及＝化简二次根式。
解:（1）＝＝10；
（2）＝＝＝××＝28；
（3）＝=；
（4）＝＝＝×＝6×2＝12。
友情提示（1）直接运用积的算术平方根进行化简一般分为两步，第一步是利用性质将积的算术平方根改写成算术平方根的乘积，第二步是利用二次根式的性质＝进行化简.（2）被开方数能用乘法公式的，先用乘法公式分解因式再进行计算，如（4）题。
变式3 判断下列各式是否正确:
（1）；（ ） （2）＝x-y；（ ）
（3）＝＝5＋6＝11；（ ） （4）；（ ）
（5）＝＝。（ ）
变式4 化简下列各式
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）（a≥0，b≥0）；（8）（x≥0）。
考点3: 商的算术平方根
【典例3】化简:
（1）；（2）；（3）（a＞0，b＞0）；（4）（x，y不同时为0）思路导析:此题中的二次根式，被开方数的分母不是能开得尽方的数，要先利用分式的基本性质，使分母变为开得尽方的数，再用商的算术平方根的性质化简。
解:（1）＝==；（2）；
（3）==（a＞0，b＞0）；
（4）===。
友情提示 （1）被开方数是带分数时，必须先化成假分数；（2）分子中的因数开方后仍作分子，分母中的因数开方后仍作分母。
变式5 下列各式化简:
①==； ②=； ③；
④（x＞0，y≥0），其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式6 化简:
（1）；（2）；（3）（x>0，y>0）。
考点4: 最简二次根式
【典例4】把下列根式化成最简二次根式。
（1）；（2）；（3）（m＞0）；（4）（a＞0，b＞0）.。
思路导析: （1）（3）需根据积的算术平方根的性质，把根号下能开尽方的因式开出来，（2）需根据商的算术平方根的性质化去根号内的分母。
解:（1）；（2）；
（3）=；
（4）＝。
友情提示 （1）在对二次根式化简时，如果被开方数是一个整数，一般先将被开方数写成一个平方数与另一个数的积的形式.（2）当被开方数是多项式时，应先将被开方数分解因式，特别要注意，另外，还应当注意整式中所含字母的取值范围.（3）当被开方数是带分数时应化为假分数.（4）化简的结果为最简形式。
变式7 下列属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
变式8 把下列各式化成最简二次根式:
（1）；（2）；（3）。
巩 固 提 高
1.下列二次根式:①；②-2 ③；④；⑤；⑥；⑦。其中是最简二次根式的有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.下列各式中，一定能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C.√＝5＋4＝9 D.
4.如果有意义，那么代数式｜x-1｜＋的值为（ ）
A.±8 B.8 C.与x的值无关 D.无法确定
5.把中根号外的（a-1）移入根号内得______________。
6.若x≤0时，化简的结果是_____________。
7.若 成立，则x满足_______________。
8.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简＝_____________。
9.把下列二次根式化成最简二次根式:
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
10.阅读材料:
将等式＝5反过来，可得到5＝.根据这个思路，我们可以把根号外的因式“移入”根号内，用于根式的化简.例如:。
请你仿照上面的方法，化简下列各式:
（1）3；（2）7；（3）-8；（4）-9。
11.已知和是相等的最简二次根式。
（1）求a，b的值；
（2）求的值。
12.如图所示，Rt△ABP为一块直角三角形菜地，欲分配给张、王、李三家耕种，已知张、王、李三家的人口分别为2人，4人，6人，菜地要按人口比例进行分配，又知∠P＝90°，PA＝20m，∠B＝30°，试计算每家应分的菜地面积并画出划分示意图.
13.观察下列各式：，=3，=4，…，请你将猜想到的规律用含自然数n（n≥2）的等式表示出来，并验证所写等式的正确性。
真 题 训 练
1.（临安中考）化简的结果是（ ）
A.-2 B.±2 C.2 D.4
2.（2018·无锡）下列等式正确的是（ ）
A.＝3 B.＝-3 C.＝3 D.（＝-3
3.（2018·张家界）下列运算正确的是（ ）
A.a2＋a＝2a3 B.＝a C.(a＋1)2＝a2＋1 D.(a3)2＝a6
4.（2017·阜阳）若＝2-a，则a的取值范围是_____________。
5.（2018·广州）如图所示，数轴上点A表示的数为a，化简:a＋＝____________。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1：1. a -a
知识点2： ?
知识点3：
考点突破
1.A
2.解:（1） （2）36 （3）3xy （4）π－3 （5）5－a
3.（1）× （2）× （3）× （4）√ （5）×
4. （1） （2）10 （3）15 （4）15 （5） （6）6
（7）4ab（a≥0，b≥0） （8）2x（x≥0）
5.B
6.解:（1）原式＝；（2）原式 =；（3）原式 =（x>0，y>0）
7.A
8.解:（1）；（2）；（3）
巩固提高
1.A 2.A 3.D 4.B 5. 6. 1 7. 2≤x＜3 8. 2a
9.解:（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝；
（4）原式＝；（5）原式＝。
10.解:（1）；（2）；（3）；（4）
11.解:（1）和是相等的最简二次根式，
∴ 解得 ∴a的值是0，b的值是2。
（2）＝＝.
12.解:在Rt△ABP中，∠P＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AP＝2×20＝40（m）。
∴BP＝＝=20（m）
∴S△ABP＝PA?PB＝×20×20＝200（m2）
又∵S张:S王:S李＝2:4:6＝1:2:3
∴S张=(m2)；S网=(m2)；S李=100(m2).
划分方法（方法不唯一）:在AB上取DE两点，使AD＝AB，AE＝AB，连接PD，PE，则PD，PE是三块菜地的分界线，如图所示
解:，
这是因为当n≥2时。
真题训练
1.C 2.A 3.D 4.a≤2 5. 2
知 识 梳 理
知识点1 二次根式的性质
1.性质:
＝＝
二次根式的实质是一个任意实数的平方的算术平方根，所以a的取值范围是任意实数
2.与的不同:
（1）字母的取值范围:中的a为任意实数，中的a为非负数；
（2）结果:＝＝，＝a（a＜0），
注意（1）在化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数，0，还是负数.（2）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.
知识点2 积的算术平方根的性质
＝________（a≥0，b≥0），这就是说，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。注意（1）在这个性质中，a，b可以是数，也可以是代数式，且必须满足a≥0，b≥0，才能用此式进行计算或化简.如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了，如在运用积的算术平方根的性质计算时，若写成＝×，等式的右边显然没有意义，而应为＝＝×.
（2）此性质可以推广到多个非负因数的情况，如（a≥0，b≥0，c≥0，d≥ 0）.
（3）这个公式的作用是化简二次根式，如＝＝××＝4×3×＝12.
知识点3 商的算术平方根的性质
＝__________（a≥0，b＞0），这就是说，商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
注意 （1）商的算术平方根的性质的限制条件（a≥0，b＞0），因为分母不能为0，所以被除式a必须是非负的，除式b必须是正数，否则性质不成立。（2）当被开方数是带分数时，应先将带分数化成假分数.（3）应用商的算术平方根的性质可以化去根号内的分母，如
。
知识点4 最简二次根式
1.定义:
被开方数都不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.像这样的二次根式叫做最简二次根式。
2.对最简二次根式的概念的理解:
（1）被开方数中不含分母，也就是被开方数必须是整数或整式；
（2）被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.
（3）一个二次根式如果不是最简二次根式，那么可以利用二次根式的性质，把它化成最简二次根式.如，，等都是最简二次根式，而，，等都不是最简二次根式。
3.化简二次根式要注意:
（1）被开方数较大时，要分解质因数； （2）被开方数是带分数的化成假分数；
（3）被开方数是小数的化成分数； （4）被开方数是多项式的，要分解因式
考 点 突 破
考点1:二次根式的性质
【典例1】求下列各式的值：
（1），（2，（3）（x＜-1）。
思路导析:求（1）（2）的值直接用＝化简，要注意结果是a或-a，（3）先化简再化简。
解:（1）＝＝1.2；（2）==；
（3）==，∵x＜-1，故x＋1＜0，
∴＝-（x＋1）＝-x-1.
友情提示 形如的化简求值，一般先根据公式写成｜a｜的形式，然后再根据a的正负去掉绝对值符号，注意的化简结果是一个非负数。
变式1 若a＋＝0，则＋等于（ ）
A.2-2a B.2a-2 C.-2 D.2
变式2 化简下列分式:
（1）； （2）； （3）；（4）；（5）（a＜5）。
考点2: 积的算术平方根
【典例2】化简:
（1）；（2）；（3）（a＞0，c＞0）；（4）。
思路导析:将被开方数进行因式分解，运用积的算术平方根的性质及＝化简二次根式。
解:（1）＝＝10；
（2）＝＝＝××＝28；
（3）＝=；
（4）＝＝＝×＝6×2＝12。
友情提示（1）直接运用积的算术平方根进行化简一般分为两步，第一步是利用性质将积的算术平方根改写成算术平方根的乘积，第二步是利用二次根式的性质＝进行化简.（2）被开方数能用乘法公式的，先用乘法公式分解因式再进行计算，如（4）题。
变式3 判断下列各式是否正确:
（1）；（ ） （2）＝x-y；（ ）
（3）＝＝5＋6＝11；（ ） （4）；（ ）
（5）＝＝。（ ）
变式4 化简下列各式
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）（a≥0，b≥0）；（8）（x≥0）。
考点3: 商的算术平方根
【典例3】化简:
（1）；（2）；（3）（a＞0，b＞0）；（4）（x，y不同时为0）思路导析:此题中的二次根式，被开方数的分母不是能开得尽方的数，要先利用分式的基本性质，使分母变为开得尽方的数，再用商的算术平方根的性质化简。
解:（1）＝==；（2）；
（3）==（a＞0，b＞0）；
（4）===。
友情提示 （1）被开方数是带分数时，必须先化成假分数；（2）分子中的因数开方后仍作分子，分母中的因数开方后仍作分母。
变式5 下列各式化简:
①==； ②=； ③；
④（x＞0，y≥0），其中正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式6 化简:
（1）；（2）；（3）（x>0，y>0）。
考点4: 最简二次根式
【典例4】把下列根式化成最简二次根式。
（1）；（2）；（3）（m＞0）；（4）（a＞0，b＞0）.。
思路导析: （1）（3）需根据积的算术平方根的性质，把根号下能开尽方的因式开出来，（2）需根据商的算术平方根的性质化去根号内的分母。
解:（1）；（2）；
（3）=；
（4）＝。
友情提示 （1）在对二次根式化简时，如果被开方数是一个整数，一般先将被开方数写成一个平方数与另一个数的积的形式.（2）当被开方数是多项式时，应先将被开方数分解因式，特别要注意，另外，还应当注意整式中所含字母的取值范围.（3）当被开方数是带分数时应化为假分数.（4）化简的结果为最简形式。
变式7 下列属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
变式8 把下列各式化成最简二次根式:
（1）；（2）；（3）。
巩 固 提 高
1.下列二次根式:①；②-2 ③；④；⑤；⑥；⑦。其中是最简二次根式的有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.下列各式中，一定能成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C.√＝5＋4＝9 D.
4.如果有意义，那么代数式｜x-1｜＋的值为（ ）
A.±8 B.8 C.与x的值无关 D.无法确定
5.把中根号外的（a-1）移入根号内得______________。
6.若x≤0时，化简的结果是_____________。
7.若 成立，则x满足_______________。
8.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简＝_____________。
9.把下列二次根式化成最简二次根式:
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。
10.阅读材料:
将等式＝5反过来，可得到5＝.根据这个思路，我们可以把根号外的因式“移入”根号内，用于根式的化简.例如:。
请你仿照上面的方法，化简下列各式:
（1）3；（2）7；（3）-8；（4）-9。
11.已知和是相等的最简二次根式。
（1）求a，b的值；
（2）求的值。
12.如图所示，Rt△ABP为一块直角三角形菜地，欲分配给张、王、李三家耕种，已知张、王、李三家的人口分别为2人，4人，6人，菜地要按人口比例进行分配，又知∠P＝90°，PA＝20m，∠B＝30°，试计算每家应分的菜地面积并画出划分示意图.
13.观察下列各式：，=3，=4，…，请你将猜想到的规律用含自然数n（n≥2）的等式表示出来，并验证所写等式的正确性。
真 题 训 练
1.（临安中考）化简的结果是（ ）
A.-2 B.±2 C.2 D.4
2.（2018·无锡）下列等式正确的是（ ）
A.＝3 B.＝-3 C.＝3 D.（＝-3
3.（2018·张家界）下列运算正确的是（ ）
A.a2＋a＝2a3 B.＝a C.(a＋1)2＝a2＋1 D.(a3)2＝a6
4.（2017·阜阳）若＝2-a，则a的取值范围是_____________。
5.（2018·广州）如图所示，数轴上点A表示的数为a，化简:a＋＝____________。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1：1. a -a
知识点2： ?
知识点3：
考点突破
1.A
2.解:（1） （2）36 （3）3xy （4）π－3 （5）5－a
3.（1）× （2）× （3）× （4）√ （5）×
4. （1） （2）10 （3）15 （4）15 （5） （6）6
（7）4ab（a≥0，b≥0） （8）2x（x≥0）
5.B
6.解:（1）原式＝；（2）原式 =；（3）原式 =（x>0，y>0）
7.A
8.解:（1）；（2）；（3）
巩固提高
1.A 2.A 3.D 4.B 5. 6. 1 7. 2≤x＜3 8. 2a
9.解:（1）原式＝；（2）原式＝；（3）原式＝；
（4）原式＝；（5）原式＝。
10.解:（1）；（2）；（3）；（4）
11.解:（1）和是相等的最简二次根式，
∴ 解得 ∴a的值是0，b的值是2。
（2）＝＝.
12.解:在Rt△ABP中，∠P＝90°，∠B＝30°，∴AB＝2AP＝2×20＝40（m）。
∴BP＝＝=20（m）
∴S△ABP＝PA?PB＝×20×20＝200（m2）
又∵S张:S王:S李＝2:4:6＝1:2:3
∴S张=(m2)；S网=(m2)；S李=100(m2).
划分方法（方法不唯一）:在AB上取DE两点，使AD＝AB，AE＝AB，连接PD，PE，则PD，PE是三块菜地的分界线，如图所示
解:，
这是因为当n≥2时。
真题训练
1.C 2.A 3.D 4.a≤2 5. 2