【鲁教版八下精美学案】7.3 二次根式的加减（知识构建+考点归纳+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】7.3 二次根式的加减（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-07 15:07:22 | ||
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文档简介
第3节 二次根式的加减
知 识 梳 理
知识点1 同类二次根式
1.同类二次根式的概念:
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做____________。
例如:3和2，5和-2，这样的二次根式都是同类二次根式..
判断同类二次根式的方法:（1）首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同；（2）几个二次根式化成最简二次根式后，只要被开方数及根指数相同，就是同类二次根式，而与根号外的因式无关。
2.合并同类二次根式的方法:
合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，把根号外的因式相加减，根指数与被开方数不变，如3＋2＝（3＋2）＝5。
知识点2 二次根式的加减运算
1.一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再合并_____________，有括号时，要先去括号。
2.二次根式加减运算的步骤:
（1）将每一个二次根式都化简为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式。
注意 （1）二次根式的加减实际上是对同类二次根式的合并.（2）二次根式的加减也满足交换律和结合律。
考 点 突 破
考点1: 同类二次根式的概念
【典例1】下列各式中，哪些是同类二次根式？
；；；；；.（其中，a＞0，b＞0）
思路导析:判断同类二次根式，要把各个二次根式先化成最简二次根式，再比较被开方数，与系数无关同类二次根式是化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。
解:＝；＝；=；=；=；
=。
∴，，是同类二次根式；，，是同类二次根式。
友情提示 判断同类二次根式是以化简为最简二次根式为前提的，但绝不是指只有化简后的二次根式才是同类二次根式，而是通过化简来判断化简前的根式是否是同类二次根式。
变式1 在二次根式:①，②，③，④中，与与同类二次根式的是（ ）
A.①③ B.②③ C.①④ D.③④
变式2 下列各式中，哪些是同类二次根式？
；；；；；；。
【典例2】 若最简二次根式与是同类二次根式，求a，b的值。
思路导析:由同类二次根式的定义可知:被开方数相同，根指数相同（都为2），因此对于最简二次根式根据以上两点列方程求解即可。
解:因为最简二次根式与是同类二次根式，
所以 解得
友情提示 解决此类问题的关键是利用同类二次根式的被开方数和根指数分别相同列出关于未知数的方程，然后解方程即可。
变式3 若a，b为有理数，且，求b2的值。
变式4 若最简二次根式和是同类二次根式。
（1）求x，y的值；
（2）求x，y平方和的算术平方根。
考点2: 二次根式的加减
【典例3】合并下列同类二次根式:
（1）； （2）；（3）
思路导析:根据合并同类二次根式的法则求解，注意不要漏掉系数为1的二次根式。
解:（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式
.
规律总结 二次根式加减法法则:
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再将同类二次根式分别合并，有括号时，要先去括号。
不是同类二次根式不能合并，运算结果是一个二次根式和多项式的乘积时，需要将多项式加上括号。
变式5 合并下列同类二次根式:
（1）；（2）；（3）.
变式6 化简:（a＞0）。
考点3: 二次根式的化简求值
【典例4】 先化简，再求值。
（1），其中x＝4；
（2），其中x＝6.
思路导析:先把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并，然后把x的值代入计算即可。解:（1）＝＝3.
把x＝4代入上式得: 原式＝3×4＝6；
（2）＝＝4，
把x＝6代入上式得:原式＝4×＝12。
友情提示 本题考查了二次根式的化简求值，一定要先化简再求值，二次根式运算到最后，注意结果要化成最简二次根式。
变式7 化简求值:，其中a＝18。
变式8化简求值:，其中a＝2，b＝3.
考点4: 二次根式加减的实际应用
【典例5】 教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画送给老师，其中一个面积为800 cm2，另一个面积为450 cm2，他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有长1.2 m的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？如果不够用，还需要多长的金彩带？（＝1.414，结果保留整数.）
思路导析:先计算每个正方形的边长，再计算两个正方形的周长和，然后与1.2m比较。
解:镶壁画所需的金彩带为:
4（）＝4（20＋15）＝140= 197.96（cm）.
∵1.2 m＝120 cm，120＜197.96，∴小明的金彩带不够用。
197.96-120＝77.96≈78（cm）即小明还需要买78 cm的金彩带。
变式9 已知三角形的三边长分别为cm，cm，cm，则这个三角形的周长为______cm。变式10 要焊接如图所示的一个钢架，大约需要多少米钢材？（＝2.236，结果精确到0.1m）
巩 固 提 高
1.在根式，，，中与是同类二次根式的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列计算结果正确的是（ ）
A B.2＋＝2 C.3-＝2 D.
3.已知和最简二次根式可以合并，则a的值是（ ）
A.1 B.-2.5 C.2 D.3
4.若＝10，则x的值为___________。
5.在数轴上A，B两点表示的数分别为－1和点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为___________。
6.已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a－b的值为__________。
7.计算:
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
8.已知a＝＋2，b＝- 2，求的值。
9.已知:如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求:
（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长；
（3）求AB边上的高。
10.已知（）2＝3，求的值。
11.先观察下列等式，再回答问题:
①＝1＋1＝2； ②＝2＋＝2；
③＝3＋＝3；……
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并用所学知识证明。
真 题 训 练
1.（2018·曲靖）下列二次根式中能与2合并的是（ ）
A. B. C. D.
2.（2016·龙口）若最简二次根式和是同类二次根式，则＝_____________。
3.（2017·江西）计算:_____________。
4.（2017·山西）计算:＝_____________。
5.（2016·泰州）计算:。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1: 1.同类二次根式
知识点2: 1.同类二次根式
考点突破
1.C
2.，是同类二次根式； ，，是同类二次根式；
，是同类二次根式。
3.解:a=1，b=.
4.解:（1）x＝4，y＝3.
（2）x2＋y2＝16＋9＝25，∴x，y平方和的算术平方根为5.
5.解:（1）；（2）（3）。
6.解:原式＝
7.解:原式 =
当a＝18时，原式＝＝18×＝18×6＝108.
8.解:原式＝。
把a＝2，b＝3代入，原式＝
9.12
10.解:AB＝＝＝0＝2（m），
同理：BC＝（m），∴AB＋BC＋AC＋BD＝2＋＋5＋2＝3＋7≈13.7（m）.
所以，大约需要13.7m钢材。
巩固提高
1.B 2.C 3.C 4. 2 5. 6.
7.解:（1）原式＝；（2）原式 =；（3）原式＝；
（4）原式＝.
8.解:5.
9.解:（1）:Rt△ABC的面积是4；
（2）AB的长是2；
（3）AB边上的高是。
10.解: 1
11.（1）
（2）利用开方即可证出成立。
真题训练
1.B 2. 1 3.5 4.3
5.解:
知 识 梳 理
知识点1 同类二次根式
1.同类二次根式的概念:
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做____________。
例如:3和2，5和-2，这样的二次根式都是同类二次根式..
判断同类二次根式的方法:（1）首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同；（2）几个二次根式化成最简二次根式后，只要被开方数及根指数相同，就是同类二次根式，而与根号外的因式无关。
2.合并同类二次根式的方法:
合并同类二次根式的方法与合并同类项类似，把根号外的因式相加减，根指数与被开方数不变，如3＋2＝（3＋2）＝5。
知识点2 二次根式的加减运算
1.一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再合并_____________，有括号时，要先去括号。
2.二次根式加减运算的步骤:
（1）将每一个二次根式都化简为最简二次根式；
（2）找出其中的同类二次根式；
（3）合并同类二次根式。
注意 （1）二次根式的加减实际上是对同类二次根式的合并.（2）二次根式的加减也满足交换律和结合律。
考 点 突 破
考点1: 同类二次根式的概念
【典例1】下列各式中，哪些是同类二次根式？
；；；；；.（其中，a＞0，b＞0）
思路导析:判断同类二次根式，要把各个二次根式先化成最简二次根式，再比较被开方数，与系数无关同类二次根式是化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式。
解:＝；＝；=；=；=；
=。
∴，，是同类二次根式；，，是同类二次根式。
友情提示 判断同类二次根式是以化简为最简二次根式为前提的，但绝不是指只有化简后的二次根式才是同类二次根式，而是通过化简来判断化简前的根式是否是同类二次根式。
变式1 在二次根式:①，②，③，④中，与与同类二次根式的是（ ）
A.①③ B.②③ C.①④ D.③④
变式2 下列各式中，哪些是同类二次根式？
；；；；；；。
【典例2】 若最简二次根式与是同类二次根式，求a，b的值。
思路导析:由同类二次根式的定义可知:被开方数相同，根指数相同（都为2），因此对于最简二次根式根据以上两点列方程求解即可。
解:因为最简二次根式与是同类二次根式，
所以 解得
友情提示 解决此类问题的关键是利用同类二次根式的被开方数和根指数分别相同列出关于未知数的方程，然后解方程即可。
变式3 若a，b为有理数，且，求b2的值。
变式4 若最简二次根式和是同类二次根式。
（1）求x，y的值；
（2）求x，y平方和的算术平方根。
考点2: 二次根式的加减
【典例3】合并下列同类二次根式:
（1）； （2）；（3）
思路导析:根据合并同类二次根式的法则求解，注意不要漏掉系数为1的二次根式。
解:（1）原式＝；
（2）原式＝；
（3）原式
.
规律总结 二次根式加减法法则:
一般地，二次根式相加减，先把各个二次根式分别化成最简二次根式，然后再将同类二次根式分别合并，有括号时，要先去括号。
不是同类二次根式不能合并，运算结果是一个二次根式和多项式的乘积时，需要将多项式加上括号。
变式5 合并下列同类二次根式:
（1）；（2）；（3）.
变式6 化简:（a＞0）。
考点3: 二次根式的化简求值
【典例4】 先化简，再求值。
（1），其中x＝4；
（2），其中x＝6.
思路导析:先把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并，然后把x的值代入计算即可。解:（1）＝＝3.
把x＝4代入上式得: 原式＝3×4＝6；
（2）＝＝4，
把x＝6代入上式得:原式＝4×＝12。
友情提示 本题考查了二次根式的化简求值，一定要先化简再求值，二次根式运算到最后，注意结果要化成最简二次根式。
变式7 化简求值:，其中a＝18。
变式8化简求值:，其中a＝2，b＝3.
考点4: 二次根式加减的实际应用
【典例5】 教师节到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画送给老师，其中一个面积为800 cm2，另一个面积为450 cm2，他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有长1.2 m的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？如果不够用，还需要多长的金彩带？（＝1.414，结果保留整数.）
思路导析:先计算每个正方形的边长，再计算两个正方形的周长和，然后与1.2m比较。
解:镶壁画所需的金彩带为:
4（）＝4（20＋15）＝140= 197.96（cm）.
∵1.2 m＝120 cm，120＜197.96，∴小明的金彩带不够用。
197.96-120＝77.96≈78（cm）即小明还需要买78 cm的金彩带。
变式9 已知三角形的三边长分别为cm，cm，cm，则这个三角形的周长为______cm。变式10 要焊接如图所示的一个钢架，大约需要多少米钢材？（＝2.236，结果精确到0.1m）
巩 固 提 高
1.在根式，，，中与是同类二次根式的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.下列计算结果正确的是（ ）
A B.2＋＝2 C.3-＝2 D.
3.已知和最简二次根式可以合并，则a的值是（ ）
A.1 B.-2.5 C.2 D.3
4.若＝10，则x的值为___________。
5.在数轴上A，B两点表示的数分别为－1和点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为___________。
6.已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a－b的值为__________。
7.计算:
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
8.已知a＝＋2，b＝- 2，求的值。
9.已知:如图所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求:
（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长；
（3）求AB边上的高。
10.已知（）2＝3，求的值。
11.先观察下列等式，再回答问题:
①＝1＋1＝2； ②＝2＋＝2；
③＝3＋＝3；……
（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用n（n为正整数）表示的等式，并用所学知识证明。
真 题 训 练
1.（2018·曲靖）下列二次根式中能与2合并的是（ ）
A. B. C. D.
2.（2016·龙口）若最简二次根式和是同类二次根式，则＝_____________。
3.（2017·江西）计算:_____________。
4.（2017·山西）计算:＝_____________。
5.（2016·泰州）计算:。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1: 1.同类二次根式
知识点2: 1.同类二次根式
考点突破
1.C
2.，是同类二次根式； ，，是同类二次根式；
，是同类二次根式。
3.解:a=1，b=.
4.解:（1）x＝4，y＝3.
（2）x2＋y2＝16＋9＝25，∴x，y平方和的算术平方根为5.
5.解:（1）；（2）（3）。
6.解:原式＝
7.解:原式 =
当a＝18时，原式＝＝18×＝18×6＝108.
8.解:原式＝。
把a＝2，b＝3代入，原式＝
9.12
10.解:AB＝＝＝0＝2（m），
同理：BC＝（m），∴AB＋BC＋AC＋BD＝2＋＋5＋2＝3＋7≈13.7（m）.
所以，大约需要13.7m钢材。
巩固提高
1.B 2.C 3.C 4. 2 5. 6.
7.解:（1）原式＝；（2）原式 =；（3）原式＝；
（4）原式＝.
8.解:5.
9.解:（1）:Rt△ABC的面积是4；
（2）AB的长是2；
（3）AB边上的高是。
10.解: 1
11.（1）
（2）利用开方即可证出成立。
真题训练
1.B 2. 1 3.5 4.3
5.解: