【鲁教版八下精美学案】7.4 二次根式的乘除（知识构建+考点归纳+真题训练）

第4节 二次根式的乘除
知 识 梳 理
知识点1 二次根式的乘法法则
一般地，对二次根式的规定:? =________（a≥0，b≥0）.这就说，两个非负的平方根的积，等于这两个非负数的积的算术平方根.
二次根式相伨褪前压士?绞?鄟，指数不变，但要注意二次根式的运算的最后结果必须是最简二次根式或整式，如:。
注意 （1）此法则可以推广到多个ニ次根式相? 的情况:（a≥0，b≥0，c≥0），即算术平方根的积等于积的算术平方根。（2）当二次根式前面有系数时，系数之积作系数，被开方之积作被开方数，加
知识点2 二次很式的除法法则
一般地，对二次根式的除法规定: = __________（a≥0，b＞0）.这就是说，两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
二次根式的除法，就是把被开方数相除，根指数不变，但要注意分母大于0.根式的除法运算中，最后结果中的被开方数中不能有分母，要化为最简根式，如。
注意 二次根式前面有系数时，系教相除作系数，被开方数相除作被开方数。
知识点3 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算序一样，先_______后_______，最后加减，有括号的先算___________。
在运算过程中，每个根式可以看成一个“单项式”，多个不同类的次根式可以看作“多项式”，因此有理数运算中的运算律（分配律、交换律、结合律）、所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式等）在二次根式运算中仍然适用。
注意 乘法公式在二次恨式的计算中仍旧道用常用的有(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2，其中a，b各代表一个代数式。
考 点 突 破
考点1: 二次根式的乘法
【典例1】计算:
（1）； （2）；（3）；（4）。
思路导析:（1）（3）可直接应用·＝（a≥0，b≥0）计算，（2）（4）可利用乘法运算律将系数和二次根式分别相乘。
解:（1）原式＝＝＝5。（2）原式＝-12＝-12×9＝-108；
（3）原式＝=；（4）原式＝。
友情提示 （1）当二次根式前面有系数时，系数之积作系数，被开方数之积作被开方数.如（3）题.（2）二次根式的运算结果应化成最简二次根式或整式。
变式1 （1）=____________。 （2）_____________。
变式2 计算:
（1）； （2）；
（3）（x≥0，y≥0，z≥0）； （4）。
考点2: 二次根式的除法
【典例2】计算:
（1）；（2）；（3）；（4）。
思路导析:（1）（2）（3）利用公式＝（a≥0，b＞0）计算；（4）是乘除法的混合计算，按从左到右的顺序计算。
解:（1）==；（2）=；
（3）=；
（4）
友情提示 二次根式相乘除，就是利用乘除法法则计算；注意结果中的二次根式必须是最简二次根式。变式3 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
变式4 计算:
（1）；
（2）；
（3）（x＞0，y＞0）；
（4）3.
考点3: 二次根式的混合运算
【典例3】计算:
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
思路导析:（1）根据混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后合并同类二次根式即可求解.（2）先根据乘法公式计算出（3＋5）（-3＋5）的值，然后化简（＋）合并同类二次根式，然后根据除法计算，最后合并同类项即可.（3）根据二次根式的乘除法法则运算.（4）根据平方差公式和完全平方公式进行计算即可。
解:（1）原式＝；
（2）原式＝（；
（3）原式＝；
（4）原式＝.
友情提示（1）二次根式的混合运算，热练掌握运算法则是解本题的关键.（2）二次根式的混合运算，恰当运用平方差公式、完全平方公式可以简化运算，最后化二次根式为最简二次根式是解题的关键。变式5计算:
（1）_______________；
（2）＝_______________；
（3）＝______________。
变式6化简:
（1）； （2）；
（3）； （4）2；
（5）。
考点4: 把根号外的式子移到根号内
【典例4】把下列各式中根号外的因数（式）移到根号内
（1）5；（2）-3；（3）- 2a；（4）- a
思路导析:关键是运用公式a＝（a≥0）和（a≥0.b≥0）.
【自主解答】
友情提示 移到根号内的必须是非负数，但原二次根式是负数时，千万不能将负号移到根号内.如-3≠，正确的应为-3＝-.
变式7把代数式（a-1）中的a-1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A.- B. C. D.
变式8 把下列各式中根号外的因式移到根号内。
（1）；（2）（x-2）。
考点5: 二次根式的化简求值
【典例5】已知x＝＋和y＝－，求下列各式的值:
（1）x2－y2；（2）x2＋2xy＋y2。
思路导析:先计算出x＋y和x-y，再利用乘法公式得到x2－y2＝(x＋y)(x-y)，x2＋2xy＋y2＝(x＋y)2，然后利用整体代入的方法计算.
【自主解答】
友情提示 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值、二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰。
变式9 已知:a＝－2，b＝＋2，分别求下列代数式的值:
（1）a2b-ab2；（2）a2＋ab＋b2。
变式10（1）已知x＝2＋，y＝2－，求（x＋）（y＋）的值；
（2）已知a＝2＋，b＝2－，试求的值。
巩 固 提 高
1.若ab＞0，a＋b＜0，则下列各式①；②＝1；③＝－b.其中正确的是（ ）
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
2.若，则x的取值范围是（ ）
A.x＜3 B.x≤3 C.0≤x＜3 D.x≥0
3.如果(2＋)2＝a＋b（a，b为有理数），那么a＋b等于（ ）
A.7 B.8 C.10 D.10
4.计算(＋2)2018(－2)2019的值为_______________。
5.矩形相邻两边长分别为，，则它的周长是_________，面积是________。
6.填空:写出的一个同类二次根式____________。
7.计算:
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
8.已知a＝1－，b＝1＋，求下列各式的值。
（1）a2b－ab2；
（2）a3b＋2a2b2＋ab3。
9.（1）先化简，再求值:，其中x＝－1.
（2）先化简，再求值:，其中a＝＋1，b＝－1。
10.已知5＋的小数部分为a，5－的小数部分为b，求:
（1）a＋b的值；
（2）a-b的值。
11.已知:a＝2－，求的值。
12.观察下列运算:
①；②；⑧；…
（1）通过观察你得出什么规律？用含n（n为正整数）的式子表示出来；
（2）利用（1）中你发现的规律计算:
真 题 训 练
1.（2018·绵阳）等式成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
2.（2018·临安）下列各式计算正确的是（ ）
A.a12÷a6＝a2 B.(x+y)2=x2+y2 C. D.
3.（2017·滨州）下列计算:
①()2＝2；②＝2；③(-2)2＝12；④(2＋)(2－)＝－1。
其中结果正确的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4.（201.（城）计算的结果为（ ）
A.5 B.－5 C.7 D.－7
5.（2017·大连）计算:。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1:
知识点2:
知识点3:乘方 乘除 括号内的
考点突破
1.（1） （2）
2.解:（1）原式＝；（2）原式＝；
（3）原式＝； （4）原式＝。
4.解:（1）；（2）；（3）；（4）。
5.（1） （2）11 （3）2
6.（1）；（2）xy；（3）原式＝；（4）1 ；（5）原式＝（.
7.A
8.解:（1）；（2）。
9.解:（1）4；（2）13.
10.解:（1）原式的值为4；（2）。
巩固提高
1.B 2C 3.D
4.
5. 4
6.3（答案不唯一）
7.解:（1）原式＝； （2）原式＝；
（3）原式＝； （4）原式＝。
8.（1）；（2）。
9.解:（1）；（2）。
10.（1）1；（2）.
11. 3
12.（1）（n为正整数）
（2）原式＝＝2017。
真题训练
1.B 2.D 3.D 4.A
5.解:原式＝＝7