26．1 反比例函数
26．1.1 反比例函数(第1课时)
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．理解并掌握反比例函数的定义，能判断一个给定的函数是否为反比例函数．
2．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想．
【过程与方法】
1．用类比的思想方法，从实际问题中抽象出反比例函数的概念，发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力．
2．经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会建立函数模型的思想．
【情感态度与价值观】
通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体验数学来源于生活，又应用于生活，提高学生应用数学的意识．
二、重难点目标
【教学重点】
1．理解并掌握反比例函数的定义．
2．能根据已知条件确定反比例函数的解析式．
【教学难点】
根据已知条件，求反比例函数的解析式．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．如果两个变量x、y满足xy＝k(k为常数，k≠0)，那么x、y就成为反比例关系．例如，速度v、时间t与路程s之间满足vt＝s，如果路程s一定，那么速度v与时间t就成反比例关系．
2．一般地，在某一变化过程有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们就称y是x的函数.其中，x是自变量，y是因变量．
3．形如y＝(k是常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是因变量.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
4．y＝，y＝kx－1，xy＝k是反比例函数的三种表现形式．其中k是常数，k≠0.
5．下列函数中，反比例函数有哪些？每一个反比例函数相应的k值是多少？
①y＝2x＋1；②y＝；③y＝；④y＝－；⑤xy＝3；⑥2y＝x；⑦xy＝－1.
解：反比例函数有③④⑤⑦.③y＝中k＝；④y＝－中k＝－；⑤xy＝3中k＝3；⑦xy＝－1中k＝－1.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知y是x的反比例函数，当x＝2时，y＝6.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)求当x＝4时y的值．
【互动探索】(引发学生思考)因为y是x的反比例函数，所以设y＝，再把x＝2时，y＝6代入上式就可求出常数k的值．
【解答】(1)设y＝，因为当x＝2时y＝6，
则有6＝，解得k＝12.
∴y＝.
(2)把x＝4代入y＝，得y＝＝3.
【互动总结】(学生总结，老师点评)用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y＝(k为常数，k≠0)；②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④写出解析式．
【例2】已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，求m的值．
【互动探索】(引发学生思考)在反比例函数y＝kx－1中的隐含条件是x的次数为－1，k≠0.
【解答】∵y＝(2m2＋m－1)x2m2＋3m－3是反比例函数，
∴
解得m＝－2.
【互动总结】(学生总结，老师点评)反比例函数也可以写成y＝kx－1(k≠0)的形式，注意x的次数为－1，系数不等于0.
活动2 巩固练习(学生独学)
1．反比例函数y＝(m＋1)x－1中m的取值范围是( B )
A．m≠1 B．m≠－1
C．m≠±1 D．全体实数
2．当m＝6时，y＝3xm－7是反比例函数．
3．某蓄水池的排水管每小时排水8 m3,6 h可将满池水全部排空．
(1)蓄水池的容积为48 m3;
(2)若每小时排水用Q(m3)表示，则排水时间t(h)与Q(m3)的函数解析式为t＝.
4．已知y与3x成反比例，且当x＝1时，y＝.
(1)写出y与x的函数解析式；
(2)当x＝时，求y的值；
(3)当y＝时，求x的值．
解：(1)y＝. (2)y＝2. (3) x＝.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】已知y＝y1＋y2，y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1.求：
(1)y关于x的关系式；
(2)当x＝－时，y的值．
【互动探索】根据正比例函数和反比例函数的定义设出y1、y2的关系式，进而得到y的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式．
【解答】 (1)∵y1与(x－1)成正比例，y2与(x＋1)成反比例，
∴设y1＝k1(x－1)(k1≠0)，y2＝(k2≠0)．
∵y＝y1＋y2，∴y＝k1(x－1)＋.
∵当x＝0时，y＝－3；当x＝1时，y＝－1，
∴解得k1＝1，k2＝－2，
∴y＝x－1－.
(2)把x＝－代入(1)中函数关系式，得y＝－.
【互动总结】(学生总结，老师点评)根据题意设出y1、y2的函数关系式并用待定系数法求得函数关系式是解答此题的关键．注意不同的函数关系要用不同的待定系数，如本题y1的待定系数用k1, y2的待定系数用k2.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
反比例函数
练习设计
请完成本课时对应练习！
26．1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．用描点法画出反比例函数y＝的图象．
2．根据图象理解和掌握反比例函数y＝的性质．
【过程与方法】
1．经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程，获得研究函数性质的经验．
2．通过函数图象探究函数性质，进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质的方法．
3．经历知识的形成过程，了解从特殊到一般的认识过程，培养学生观察、探究、归纳及动手能力．
【情感态度与价值观】
1．经历画图、观察、猜想、思考、交流等活动，获得研究问题和合作交流的方法与经验，体验数学活动中的探索性和创造性．
2．在学习过程中，感受数学美，发现学习数学的乐趣．
二、重难点目标
【教学重点】
用描点法画反比例函数的图象，探索反比例函数的图象特点和性质．
【教学难点】
运用反比例函数的图象和性质解决问题．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P4～P6的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．用“描点法”画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.
2．反比例函数y＝(k为常数，k≠0)中，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
3．反比例函数图象是双曲线.
4．在反比例函数y＝(k≠0，k为常数)中，(1)当k>0时，双曲线位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小；(2)当k<0时，双曲线位于第二、四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大.
5．反比例函数y＝－的图象大致是( D )
6．已知反比例函数y＝.
(1)若函数的图象位于第一、三象限，则k＜4；
(2)若在每一象限内，y随x增大而增大，则k＞4.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】画出反比例函数y＝和y＝的图象．
【互动探索】(引发学生思考)描点法：列表→描点→连线
【解答】列表表示几组x与y的对应值：
x … －6 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 6 …
y＝ … －1 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1 …
y＝ … －2 －3 －4 －6 －12 12 6 4 3 2 …
描点连线：以表中各对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连结这些点，就得到函数y＝和y＝的图象．
【互动总结】(学生总结，老师点评)作反比例函数图象时要注意：(1)列表时：自变量的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可简化计算，又便于对称描点；(2)列表描点时：要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又可以准确地表达函数变化趋势；(3)连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连结，从中体会函数的增减性．
【例2】若点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)都是反比例函数y＝－图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，判断y1、y2、y3的大小关系．
【互动探索】(引发学生思考)要根据函数值的大小判断自变量的大小，需考虑函数的增减性．先画出函数图象，再描出已知点位置，最后判断y1、y2、y3的大小关系．
【解答】∵反比例函数y＝－中k＝－1＜0，
∴此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，如图．
∵x1＜0＜x2＜x3，
∴点(x1，y1)在第四象限，(x2，y2)、(x3，y3)两点均在第二象限，
∴y2＜y3＜y1.
【互动总结】(学生总结，老师点评)利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小的方法：(1)看k的符号，明确函数的增减情况；(2)看两点是否在同一个象限内；若不在同一个象限内，借助图象即可判断函数值或自变量的大小，若在同一个象限内，则比较两个横(纵)坐标的大小，根据函数的增减情况，得出函数值(自变量)的大小．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．下列四个点中，在反比例函数y＝－的图象上的是( A )
A．(3，－2) B．(3,2)
C．(2,3) D．(－2，－3)
2．设x为一切实数，在下列函数中，当x减小时，y的值总是增大的函数是( C )
A．y＝－5x－1 B．y＝
C．y＝－2x＋2 D．y＝4x
3．对于反比例函数y＝，下列说法正确的是( D )
A．图象经过点(1，－3)
B．图象在第二、四象限
C．x>0时，y随x的增大而增大
D．x<0时，y随x的增大而减小
4．若反比例函数y＝(k<0)的图象过点P(2，m)，Q(1，n)，则m与n的大小关系是：m>n.
活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】若ab<0，则正比例函数y＝ax和反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的( )
【互动探索】∵ab<0，∴a、b异号，分两种情况：(1)当a>0，b<0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限内，无此选项；(2)当a<0，b>0时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限内，选项C符合．
【答案】C
【互动总结】(学生总结，老师点评)这类题既可以用分析法，也可以用排除法．用分析法时，根据题干逐一分析，得出不同条件下的结果，再与选项对比得出答案．用排除法时，每个选项逐一分析，看是否满足题干条件．
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形．
2．反比例函数的性质：
(1)当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
(2)当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．
练习设计
请完成本课时对应练习！
第3课时 反比例函数图象与性质的综合应用
教学目标
一、基本目标
【知识与技能】
1．进一步理解和掌握反比例函数的图象与性质，并能用待定系数法求反比例函数解析式．
2．理解并掌握反比例函数y＝(k≠0)中比例系数k的几何意义．
3．运用反比例函数的图象和性质解决与其他函数或几何知识综合的问题．
【过程与方法】
1．通过探究反比例函数性质的应用，感受反比例函数解析式与图象之间的联系，体会数形结合思想的魅力．
2．经历观察、思考、分析、交流等学习过程，提高学生数学学习能力及合作精神，逐步提高学生分析问题、解决问题的能力．
【情感态度与价值观】
通过解决反比例函数与一次函数、二次函数有关的综合题，增强学生的自信心，培养学生学习的兴趣，提高学生综合运用知识解决问题的能力．
二、重难点目标
【教学重点】
灵活运用反比例函数图象与性质解决综合问题．
【教学难点】
比例系数k的几何意义．
教学过程
环节1 自学提纲，生成问题
【5 min阅读】
阅读教材P7～P8的内容，完成下面练习．
【3 min反馈】
1．填表分析正比例函数和反比例函数的区别.
函数 正比例函数 反比例函数
解析式 y＝kx(k≠0) y＝(k≠0)
图象形状 直线 双曲线
k>0 位置 第一、三象限 第一、三象限
增减性 y随x的增大而增大 每个象限内，y随x的增大而减小
k<0 位置 第二、四象限 第二、四象限
增减性 y随x的增大而减小 每个象限内，y随x的增大而增大
2.反比例函数y＝的图象经过点(2,5)，若点(1，n)在反比例函数图象上，则n等于( A )
A．10 B．5
C．2 D．－6
3．下列各点在反比例函数y＝－的图象上的是( B )
A. B．
C. D．
4．反比例函数y＝的图象经过(2，－1)，则k的值为－2.
环节2 合作探究，解决问题
活动1 小组讨论(师生互学)
【例1】已知反比例函数的图象经过点A(2,6)．
(1)这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？
(2)点B(3,4)、C和D(2,5)是否在这个函数的图象上？
【互动探索】(引发学生思考)(1)求出反比例函数的解析式，再判断该函数的性质；(2)若点满足所求函数的解析式，则点在这个函数的图象上，否则不在这个函数的图象上．
【解答】(1)解法1：见教材P7例3.
解法2：设这个反比例函数为y＝，
∵图象过点A(2,6)，∴6＝，解得k＝12.
∴这个反比例函数的表达式为y＝.
∵k>0，∴这个函数的图象在第一、三象限．在每个象限内，y随x的增大而减小．
(2)把点B、C、D的坐标代入y＝，可知点B、C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，故点B、C在函数y＝的图象上，点D不在这个函数的图象上．
【互动总结】(学生总结，老师点评)求反比例函数的解析式一般用待定系数法．
【例2】如图是反比例函数y＝的图象的一支，根据图象回答下列问题：
(1)图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？
(2)在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和B(x2，y2)，如果x1>x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？
【互动探索】(引发学生思考)(1)反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、三象限，或者在第二、四象限．(2)根据反比例函数的性质解答．
【解答】(1)∵这个函数的图象的一支在第一象限，
∴另一支必在第三象限．
∵函数的图象在第一、三象限，
∴m－5＞0，解得m＞5.
(2)解法1(性质法)：详细解答参考教材P7～P8例4.
解法2(图象法或数形结合法)：
∵函数的图象在第一、三象限，
如图，在图中描出符合条件的两个点，
∴由图象易知y1
【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决问题(2)时，用数形结合法能更快速准确地求出结果．
活动2 巩固练习(学生独学)
1．正比例函数y＝6x的图象与反比例函数y＝的图象的交点位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第一、三象限
2．若反比例函数y＝的图象经过点A(－1，－2)，则当x>1时，函数值y的取值范围是( D )
A．y>1 B．0C．y>2 D．03．如图所示，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y＝(x>0)上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会( C )
A．逐渐增大 B．不变
C．逐渐减小 D．先增大后减小
4．如图所示，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝(x>0)的图象上，OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的边长为2.
5．如图所示，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝ax＋b的图象相交于点A(1,4)和点B(n，－2)．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．
解：(1)把点A(1,4)代入y＝，得m＝1×4＝4，∴反比例函数解析式为y＝.把点B(n，－2)代入y＝，得－2n＝4，∴n＝－2，∴点B坐标为(－2，－2)．把(1,4)，(－2，－2)代入y＝ax＋b，得解得∴所求一次函数解析式为y＝2x＋2. (2)x<－2或0活动3 拓展延伸(学生对学)
【例3】如图所示，点A在反比例函数y＝的图象上，AC垂直x轴于点C，且△AOC的面积为2，求该反比例函数的表达式．
【互动探索】反比例函数的比例系数与三角形的面积有什么关系？
【解答】∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴xA·yA＝k，
∴S△AOC＝·k＝2，∴k＝4，
∴反比例函数的表达式为y＝.
【互动总结】(学生总结，老师点评)过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积等于.
环节3 课堂小结，当堂达标
(学生总结，老师点评)
1．反比例函数中系数k的几何意义；
2．反比例函数图象上点的坐标特征；
3．反比例函数与一次函数的交点问题．
练习设计
请完成本课时对应练习！
26.1 反比例函数
第二十六章 反比例函数
26.1.1 反比例函数
1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点)
2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知
条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点)
学习目标
欣赏视频：
生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果.在电压 U 一定时，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗，相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮.你能写出这些量之间的关系式吗?
当杂技演员表演滚钉板的节目时，观众们看到密密麻麻的钉子，都为他们捏一把汗，但有人却说钉子越多，演员越安全，钉子越少反而越危险，你认同吗？为什么？
反比例函数的概念
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.
(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速
度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t
(单位：h) 的变化而变化；
合作探究
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草
坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的
变化而变化；
(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占
有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的
变化而变化.
观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？
问题：
都具有 的形式，其中 是常数．
分式
分子
(k为常数，k ≠ 0) 的函数，
叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
一般地，形如
思考：
因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.
例如，在前面得到的第一个解析式
中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的
值时，v 都有唯一确定的值与其对应.
想一想：
反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0)
下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
是，k = 3
不是
不是
不是
解得 m =－2.
方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可，如本题中 x 的次数为－1，且系数不等于0.
例1
2. 已知函数 是反比例函数，则
k 必须满足 .
1. 当m= 时， 是反比例函数.
k≠2 且 k≠－1
±1
确定反比例函数的解析式
已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
解得 k =12.
例2
(2) 当 x=4 时，求 y 的值.
方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式，
②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数； ④写出反比例函数解析式.
已知 y 与 x+1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
建立简单的反比例函数模型
人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.
当 v=100 时，f =40.
所以当车速为100km/h 时视野为40度.
解得 k =4000.
所以
例3
如图所示，已知菱形 ABCD 的面积为180，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x，y. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.
解:因为菱形的面积等于两条对角线长
乘积的一半，
例3
A. B.
C. D.
1. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( )
A
2. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，
x 和 y 成反比例函数关系的有 ( )
① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间 y
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
3. 填空
(1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围
是 .
(2) 若 是反比例函数，则m的取值范
围是 .
(3) 若 是反比例函数，则m的取值范围
是 .
m ≠ 1
m ≠ 0 且 m ≠ －2
m = －1
4. 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3时，y =－4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 y=6 时，求 x 的值.
解得 k =－12.
所以有
解得 x =－2.
5. 小明家离学校 1000 m，每天他往返于两地之间，有
时步行，有时骑车．假设小明每天上学时的平均速
度为 v ( m/min )，所用的时间为 t ( min )．
(1) 求变量 v 和 t 之间的函数关系式；
(2) 小明星期二步行上学用了 25 min，星期三骑自行
车上学用了 8 min，那么他星期三上学时的平均
速度比星期二快多少？
125－40＝85 ( m/min )．
答：他星期三上学时的平均速度比星期二快 85 m/min.
6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成 反比例，当 x=0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1，求：
(1) y 关于 x 的关系式；
∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1，
－3=－k1+k2 ，
∴k1=1，k2=－2，
建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数：定义/三种表达方式
