6.2 平行四边形的判定
第六章 平行四边形
第3课时 平行线间的距离及平行四边形判定与性质的综合
学习目标
1.掌握平行线间的距离的概念及性质；
2.运用平行四边形的性质计算和证明；（重点）
3.能够综合运用平行四边形的判定定理和性质.（难点）
导入新课
情境引入
在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？与同伴交流.
如图，在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺度量出平行线之间的垂线段的长度．
经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等(从图中也可以看到这一点)．
合作探究
讲授新课
猜想：平行线间距离处处相等.
如图，直线a//b，A,B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C,D.求证：AC=BD.
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
理论证明
a
b
A
B
C
D
∴∠1=∠2=90°.
∴AC∥BD.
∴AB∥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形.
∴AC=BD.
1
2
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等(如图：AC=BD),这个距离称为平行线之间的距离.
归纳总结
(简记为：两条平行线间的距离处处相等）.
A
B
思考：两条平行线之间的距离与点和点之间的距离、点到线之间的距离有何区别与联系？
a
b
A
B
点到直线的距离只有一条，即过直线外点作直线的垂线段的长度；而平行线的距离有无数条即一直线任一点都可以得到一条两平行直线的距离.
例1 如图，直线AE//BD，点C在BD上，若AE=5，BD=8，△ABD的面积为16，则△ACE的面积为 .
分析：根据平行线之间的距离处处相等.
解析：设高为h,则S△ABD= ·BD·h=16,h=4,
所以S △ACE= ·AE·h= ×5 ×4=10.
10
典例精析
思考：若垂线段改为夹在两条线段间的平行线段呢？它们是否相等呢？
由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”易知其围成的封闭图形为平行四边形，再由平行四边形性质易知夹在两条平行线间的平行线段相等.
例2 已知，如图，在平行四边形ABCD中，BN=DM，BE=DF．求证：四边形MENF是平行四边形
证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠MDF=∠NBE．
∵DM=BN，DF=BE，
∴△MDF≌△NBE(SAS).
∴MF=NE，∠MFD=∠NEB．
∴四边形MENF是平行四边形.
∴∠MFE=∠NEF ∴FM∥EN．
证明：∵四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，
∴AD EF，EF BC.
∴AD BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
问题 四边形AEFD和EBCF都是平行四边形，求证四边形ABCD 是平行四边形.
提示:要由其中的一个或多个平行四边形，得出四边形中边角的条件，判定其他四边形也是平行四边形
例3.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件：①AE=CF；②DE=BF；③∠ADE=∠CBF；④∠ABE=∠CDF．其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
B
【解析】由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，②不能证明对角线互相平分，只有①③④可以，故选B．
例4 如图，在 ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，连接AF，CE．
求证：AF=CE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF．
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，AE∥CF，
在△ABE和△CDF中，
∠ABE＝∠CDF，
∠AEB＝∠CFD，
AB＝CD ，
∴△ABE≌△CDF（AAS）．
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AF=CE．
1.(1)在□ABCD中，∠A=150°，AB=8cm,BC=10cm,则S □ABCD= .
提示：过点A作AE⊥BC于E，然后利用勾股定理求出AE的值.
40cm2
(2)若点P是□ABCD上AD上任意一点，那么△PBC的面积是 .
20cm2
提示：△PBC与□ABCD是同底等高.
当堂练习
2.如图，?ABCD 中． EF∥GH∥BC，MN∥AB，则图中平行四边形的个数是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．18
【解析】根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，
如图，则图中的四边形AEOM、AGPM、ABNM、EGPO、EBNO、GBNP、MOFD、MPHD、MNCD、OPHF、ONCF、PNCH、AEFD、AGHD、ABCD、EGHF、EBCF和GBCH都是平行四边形，共18个．
故选D．
D
3.在?ABCD中，E、F分别在BC、AD上，若想要使四边形AFCE为平行四边形，需添加一个条件，这个条件不可以是（ ）
A．AF=CE B．AE=CF
C．∠BAE=∠FCD D．∠BEA=∠FCE
B
4.如图，?ABCD中，E，F分别为BC，AD边上的点，要使四边形BEDF为平行四边形，需添加一个条件:
_________________________________.
【解析】∵四边形EBFD要为平行四边形．
∴∠BAE=∠DCF，AB=CD
在△AEB与△CFD中，
AB＝CD ∠BAE＝∠DCF AE＝CF ，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴AE=FC
∴DE=BF；
AE=FC或∠ABE=∠CDF或BE=DF（答案不唯一）
∴四边形EBFD为平行四边形．
∴可添加的条件是AE=FC，同理还可添加∠ABE=∠CDF．
故答案为：AE=FC或∠ABE=∠CDF或BE=DF（答案不唯一）
5.如图，在?ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．
求证：AG=CH．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，
∵E、F分别为AD、BC边的中点，
∴AE=DE= AD，CF=BF= BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴∠AEG=∠ADF，
∴∠AEG=∠CFH，
在△AEG和△CFH中，
∠EAG＝∠FCH
AE＝CF
∠AEG＝∠CFH ，
∴△AEG≌△CFH（ASA），
∴AG=CH．
平行四边形
五种判定方法
课堂小结
对边平行,对边相等，对角相等
判定
性质
夹在两条平行线间的平行线段处处相等
6.2 平行四边形的判定
第六章 平行四边形
第1课时 利用四边形边的关系判定
平行四边形
情境引入
学习目标
1.平行四边形判定方法的探究.（重点）
2.平行四边形判定方法的理解和灵活应用.（难点）
平行四边形的性质
边
平行四边形的对边平行
平行四边形的对边相等
角
平行四边形的对角相等
平行四边形的邻角互补
平行四边形的对角线互相平分
对称性
平行四边形是中心对称图形
对角线
导入新课
知识回顾
导入新课
学习了平行四边形之后，小明回家用细木棒钉制了一个平行四边形.第二天，小明拿着自己动手做的平行四边形向同学们展示.
小辉却问：你凭什么确定这四边形就是平行四边形呢?
大家都困惑了……
活动1：用两根长30cm的木条和两根长20cm的木条作为四边形的四条边，能否拼成一个平行四边形？与同伴进行交流.
20cm
30cm
猜测：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
讲授新课
合作探究
已知： 四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
求证： 四边形ABCD是平行四边形.
连接BD，
在△ABD和△CDB中,
AB=CD
BD=DB
AD=CB
∴△ABD≌△CDB(SSS).
∴ ∠1=∠2 , ∠ 3=∠4.
∴AB∥ CD , AD∥ CB
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AD=BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理1
B
D
C
A
总结归纳
例1 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的两点，且AF＝CE.
求证：四边形AECF为平行四边形
证明：可求得△ABE≌△CDF(SAS)
∴AE=CF
又∵AF=CE
∴四边形ABCD是平行四边形
（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
典例精析
活动2：将两根同样长的木条AD，BC平行放置,再用木条AB，DC加固,得到的四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
D
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
连接AC.
∵AB//CD, ∴∠1=∠2.
又AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA（SAS）.
∴BC=DA.
∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵AB=CD，
AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理2
B
D
C
A
总结归纳
例2 如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线，试证明四边形AFCE是平行四边形．
证明：∵在平行四边形ABCD中，
AE、CF分别是∠DAB、 ∠BCD的角平分线
∴∠B=∠D,AB=CD, AD∥BC
∠BAE=∠DCF= ∠DAB= ∠BCD
∴△ABE≌△CDF(ASA)
∴BE=DF∴AF=CE ∵AF∥CE
∴四边形AFCE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
卢师傅要做一个平行四边形木框.他要从图中几根木条中选出四根来制作，可是他不知道该怎样选，请同学们帮他选一选，哪四根木条可以制作成平行四边形木框，为什么？
7cm
4cm
3cm
3cm
5cm
4cm
阅读思考
4cm
4cm
4cm
4cm
3cm
3cm
3cm
3cm
发现：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形.
思考：我们可以从角出发来判定一个四边形是否为平行四边形吗？
你能根据平行四边形的定义证明它们吗？
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A=∠C，∠B=∠D
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°
∴2∠A+2∠B=360°
即∠A+∠B=180°
∴ AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得 AB∥ CD
证明：
定义判定：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
归纳小结
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是
ABCD
∵ AB= CD,
AB∥CD,
∴四边形ABCD是
ABCD
∵ ∠ A= ∠ C,
∠ B= ∠ D,
∴四边形ABCD是
ABCD
1.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件：∠A:∠B:∠C:∠D的值为（ ）
A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
D
2. 如图所示，△ABC是等边三角形，P是其内任意一点，PD//AB,PE//BC,PF//AC,若△ABC的周长为24，则PD+PE+PF= .
8
3.已知AD//BC ，要使这个四边形ABCD为平行四边形，需要增加条件 .
AD=BC或AB//CD
当堂练习
4.已知：如图，E,F分别是 平行四边形ABCD 的边AD,BC的中点.
求证：BE=DF.
D
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
AD=BC
∵E,F分别是AD,BC的中点，
∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形）.
∴BE=DF(平行四边形的对边分别相等).
解：是，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD,AB//CD.
∴∠ABE=∠CDF.
∴∠AEB=∠CFD=900.
∴△ABE≌△CDF（AAS）.
∴AE=CF.
∵ ∠AEF=∠CFE=900,
∴AE//CF.
∴四边形AECF是平行四边形.
1.现有一块等腰直角三角形铁板，要求切割一次,焊接成一个含有45°角的平行四边形 (不能有余料), 请你设计一种方案，并说明该方案正确的理由.
A
B
C
能力提升
C
A
B
F
D
C
A
B
E
A
B
C
F
2.电视剧《人民的名义》中有一位退休好干部叫陈岩石，他有一块平行四边形菜园地，夏季到来了，院子里瓜果飘香.有一天突然下起了暴雨，将菜园地的一部分冲垮，陈老的菜园地与邻居家的菜园地之间的界限看不清了，巧的是，刚好保留了顶点A和C.
（1）如图，若你只有一把直尺和一个圆规，你能将图形补全吗？若能，请补全图形（不写作法，只保留作图痕迹），并证明四边形ABCD是平行四边形.
（2）若E是BC边上的一点，只用一把无刻度的直尺在AD边上作点F，使得DF=BE,
①作出满足题意的点F，简要说明作图过程.
②依据你的作图，证明：DF=BE.
★
E
A
B
C
D
O
F
课堂小结
平行四边形的判定
定义法
判定理理1
判定定理2
①已知一组对边平行，可以证另一组对边平行；也可证这组对边相等.
②已知一组对边相等，可以证另一组对边相等；也可证这组对边平行.
③已知一组对角相等，再证另一组对角相等.
6.2 平行四边形的判定
第六章 平行四边形
第2课时 利用四边形对角线的性质判定
平行四边形
1.利用对角线互相平分判定平行四边形;（重点）
2.平行四边形对角线相等的相关运用.（难点）
学习目标
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
两组对角分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形判定定理
∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是
ABCD
∵ AB= CD,
AB∥C D,
∴四边形ABCD是
ABCD
∵ ∠ A= ∠ C,
∠ B= ∠ D,
∴四边形ABCD是
ABCD
复习引入
导入新课
将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边形ABCD ．想一想，△AOB≌△COD吗？四边形ABCD的对边之间有什么关系？你得到什么结论？
A
C
B
O
D
讲授新课
合作探究
猜想：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边 形ABCD是平行四边形.
证明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知)
OB=OD (已知)
∠AOB=∠COD (对顶角相等)
∴△AOB≌△COD(SAS)
∴ ∠BAO=∠OCD ,
∠ ABO=∠CDO.
∴AB∥ CD , AD∥ BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
∵AO=CO，
BO=DO
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
平行四边形判定定理3
总结归纳
1.请你识别下列四边形哪些是平行四边形?
⑷
70。
练一练
2.已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且OE=OF.
求证：四边形BFDE是平行四边形
D
O
A
B
C
E
F
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ BO = DO.
∵ EO = FO，
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
例1 已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形.
O
证明：连接BD
在ABCD中，AO=CO，BO=DO
∵AE=CF
∴AO-AE=CO-CF
∴EO=FO
又 ∵BO=DO
∴ 四边形BFDE是平行四边形.
(对角线互相平分的四边形是平行四边形）
例2 填空：如图在四边形ABCD中
（1）若AB//CD，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AB=CD，补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形；
（3）若对角线AC、BD交于点O，OA=OC=3，OB=5，
补充条件 ，使四边形ABCD为平行四边形.
AD//BC
AD=BC
OD=5
（4）如图， □ABCD 的对角线AC,BD相交于点O,E,F是AC上的两点，补充条件： ,使得四边形BFDE是平行四边形.
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∵AE=CF ，
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
又 BO=DO.
∴四边形BFDE是平行四边形.
AE=CF
想想还有
其他证法吗？
想一想：判定一个四边形是平行边形可以从哪些角度思考?具体有哪些方法?
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
小明用手中六个全等的正三角形做拼图游戏时，拼成一个六边形．你能在图中找出所有的平行四边形吗？并说说你的理由．
试一试
解：有6个平行四边形，分别是：
ABOF， ABCO，
BCDO， CDEO，
DEFO， EFAO．
当堂练习
1. 根据下列条件，不能判定一个四边形为平行四边形的是（ ）
A. 两组对边分别相等
B . 两条对角线互相平分
C . 两条对角线相等
D . 两组对边分别平行
C
C
3.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．
∴△ABE≌△FCE（AAS）；
∴AE=EF，又∵BE=CE
∴四边形ABFC是平行四边形．
解：四边形ABFC是平行四边形；理由如下：
∵AB∥CD，∴∠BAE=∠CFE，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，在△ABE和△FCE中，
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
课堂小结
