4.3 公式法
第四章 因式分解
第1课时 平方差公式
1.探索并运用平方差公式进行因式分解,体会转化
思想.(重点)
2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进
行因式分解.(难点)
导入新课
情境引入
如图,在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形,将剩余部分拼成一个长方形,根据此图形变换,你能得到什么公式?
a2- b2=(a+b)(a-b)
讲授新课
想一想:多项式a2-b2有什么特点?你能将它分解因式吗?
是a,b两数的平方差的形式
两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式:
√
√
×
×
辨一辨:下列多项式能否用平方差公式来分解因式,为什么?
√
√
(1)x2+y2
(2)x2-y2
(3)-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
(4)-x2+y2
(5)x2-25y2
(x+5y)(x-5y)
(6)m2-1
(m+1)(m-1)
例1 分解因式:
a
a
b
b
a2 - b2 =
解:(1)原式=
2x
3
2x
2x
3
3
(2)原式
a
b
典例精析
方法总结:公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式,只要被分解的多项式能转化成平方差的形式,就能用平方差公式因式分解.
分解因式:
(1)(a+b)2-4a2; (2)9(m+n)2-(m-n)2.
针对训练
=(2m+4n)(4m+2n)
解:(1)原式=(a+b-2a)(a+b+2a)
=(b-a)(3a+b);
(2)原式=(3m+3n-m+n)(3m+3n+m-n)
=4(m+2n)(2m+n).
例2 分解因式:
解:(1)原式=(x2)2-(y2)2
=(x2+y2)(x2-y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y);
(2)原式=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1).
方法总结:分解因式前应先分析多项式的特点,一般先提公因式,再套用公式.注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.
分解因式:
(1)5m2a4-5m2b4; (2)a2-4b2-a-2b.
针对训练
=(a+2b)(a-2b-1).
=5m2(a2+b2)(a+b)(a-b);
解:(1)原式=5m2(a4-b4)
=5m2(a2+b2)(a2-b2)
(2)原式=(a2-4b2)-(a+2b)
=(a+2b)(a-2b)-(a+2b)
例3 已知x2-y2=-2,x+y=1,求x-y,x,y的值.
∴x-y=-2②.
解:∵x2-y2=(x+y)(x-y)=-2,
x+y=1①,
联立①②组成二元一次方程组,
方法总结:在与x2-y2,x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中,通常需先因式分解,然后整体代入或联立方程组求值.
例4 计算下列各题:
(1)1012-992; (2)53.52×4-46.52×4.
解:(1)原式=(101+99)(101-99)=400;
(2)原式=4(53.52-46.52)
=4(53.5+46.5)(53.5-46.5)
=4×100×7=2800.
方法总结:较为复杂的有理数运算,可以运用因式分解对其进行变形,使运算得以简化.
例5 求证:当n为整数时,多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除.
证明:原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n?2=8n,
∵n为整数,
∴8n被8整除,
方法总结:解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式,然后分析能被哪些数或式子整除.
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )
A.a2+(-b)2 B.5m2-20mn
C.-x2-y2 D.-x2+9
当堂练习
D
2.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是( )
A.3(x2+4x+3) B.3(x2+2x+3)
C.(3x+3)(x+3) D.3(x+1)(x+3)
D
3.若a+b=3,a-b=7,则b2-a2的值为( )
A.-21 B.21 C.-10 D.10
A
4.把下列各式分解因式:
(1) 16a2-9b2=_________________;
(2) (a+b)2-(a-b)2=_________________;
(3) 9xy3-36x3y=_________________;
(4) -a4+16=_________________.
(4a+3b)(4a-3b)
4ab
9xy(y+2x)(y-2x)
(4+a2)(2+a)(2-a)
5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是_____________.
4
6.已知4m+n=40,2m-3n=5.求(m+2n)2-(3m-n)2的值.
原式=-40×5=-200.
解:原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)(2m-3n),
当4m+n=40,2m-3n=5时,
7.如图,在边长为6.8 cm正方形钢板上,挖去4个边长为1.6 cm的小正方形,求剩余部分的面积.
解:根据题意,得
6.82-4×1.62
=6.82- (2×1.6)2
=6.82-3.22
=(6.8+3.2)(6.8 - 3.2)
=10×3.6
=36 (cm2)
答:剩余部分的面积为36 cm2.
8. (1)992-1能否被100整除吗?
解:(1)∵ 992-1=(99+1)(99-1)=100×98,
∵n为整数
∴(2n+1)2-25能被4整除.
(2)n为整数,(2n+1)2-25能否被4整除?
∴992-1能否被100整除.
(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)
=(2n+6)(2n-4)
=2(n+3) ×2(n-2)=4(n+3)(n-2).
课堂小结
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
步骤
一提:公因式;
二套:公式;
三查:多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
4.3 公式法
第四章 因式分解
第2课时 完全平方公式
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式.(重点)
2.灵活应用各种方法分解因式,并能利用因式分解
进行计算.(难点)
导入新课
复习引入
1.因式分解:
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法?
1.提公因式法
2.平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
讲授新课
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗?
同学们拼出图形为:
这个大正方形的面积可以怎么求?
(a+b)2
a2+2ab+b2
=
将上面的等式倒过来看,能得到:
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
我们把a?+2ab+b?和a?-2ab+b?这样的式子叫作完全平方式.
观察这两个式子:
(1)每个多项式有几项?
(3)中间项和第一项,第三项有什么关系?
(2)每个多项式的第一项和第三项有什么特征?
三项
这两项都是数或式的平方,并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
完全平方式的特点:
1.必须是三项式(或可以看成三项的);
2.有两个同号的数或式的平方;
3.中间有两底数之积的±2倍.
完全平方式:
简记口诀:
首平方,尾平方,首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式,就是完全平方式,将它写成完全平方形式,便实现了因式分解.
+b2
±
=(a ± b)?
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍,等于这两个数的和(或差)的平方.
3.a?+4ab+4b?=( )?+2· ( ) ·( )+( )?=( )?
2.m?-6m+9=( )? - 2· ( ) ·( )+( )? =( )?
1. x?+4x+4= ( )? +2·( )·( )+( )? =( )?
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
对照 a?±2ab+b?=(a±b)?,填空:
m
m - 3
3
x
2
m
3
下列各式是不是完全平方式?
(1)a2-4a+4; (2)1+4a?;
(3)4b2+4b-1; (4)a2+ab+b2;
(5)x2+x+0.25.
是
(2)因为它只有两项;
不是
(3)4b?与-1的符号不统一;
不是
分析:
不是
是
(4)因为ab不是a与b的积的2倍.
例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
B
解析:根据完全平方式的特征,中间项-6x=2x×(-3),故可知N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
解析:∵16=(±4)2,故-m=2×(±4),m=±8.
±8
典例精析
方法总结:本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征, 根据参数所在位置,结合公式,找出参数与已知项之间的数量关系,从而求出参数的值.计算过程中,要注意积的2倍的符号,避免漏解.
例2 分解因式:
(1)16x2+24x+9; (2)-x2+4xy-4y2.
分析:(1)中, 16x2=(4x)2, 9=3?,24x=2·4x·3, 所以16x2+24x
+9是一个完全平方式,即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
+b2
a2
(2)中首项有负号,一般先利用添括号法则,将其变形为-(x2-4xy
+4y2),然后再利用公式分解因式.
解: (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2;
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
(2)-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
例3 把下列各式分解因式:
(1)3ax2+6axy+3ay2 ;(2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解: (1)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2;
分析:(1)中有公因式3a,应先提出公因式,再进一步分解因式;
(2)中将a+b看成一个整体,设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式,完全平方式等)的多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.
概念学习
因式分解:
(1)-3a2x2+24a2x-48a2;
(2)(a2+4)2-16a2.
针对训练
=(a2+4+4a)(a2+4-4a)
解:(1)原式=-3a2(x2-8x+16)
=-3a2(x-4)2;
(2)原式=(a2+4)2-(4a)2
=(a+2)2(a-2)2.
例4 把下列完全平方公式分解因式:
(1)1002-2×100×99+99?;
(2)342+34×32+162.
解:(1)原式=(100-99)?
(2)原式=(34+16)2
=1.
=2500.
例5 已知x2-4x+y2-10y+29=0,求x2y2+2xy+1的值.
=112=121.
解:∵x2-4x+y2-10y+29=0,
∴(x-2)2+(y-5)2=0.
∵(x-2)2≥0,(y-5)2≥0,
∴x-2=0,y-5=0,
∴x=2,y=5,
∴x2y2+2xy+1=(xy+1)2
方法总结:此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式,然后利用非负数性质解答问题.
例6 已知a,b,c分别是△ABC三边的长,且a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,请判断△ABC的形状,并说明理由.
∴△ABC是等边三角形.
解:由a2+2b2+c2-2b(a+c)=0,得
a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0,
即(a-b)2+(b-c)2=0,
∴a-b=0,b-c=0,∴a=b=c,
当堂练习
1.下列四个多项式中,能因式分解的是( )
A.a2+1 B.a2-6a+9
C.x2+5y D.x2-5y
2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是( )
A.4xy(x-y)-x3 B.-x(x-2y)2
C.x(4xy-4y2-x2) D.-x(-4xy+4y2+x2)
3.若m=2n+1,则m2-4mn+4n2的值是________.
B
B
1
4.若关于x的多项式x2-8x+m2是完全平方式,则m的值为___________ .
±4
5.把下列多项式因式分解.
(1)x2-12x+36; (2)4(2a+b)2-4(2a+b)+1;
(3) y2+2y+1-x2;
(2)原式=[2(2a+b)]? - 2·2(2a+b)·1+(1)?
=(4a+2b - 1)2;
解:(1)原式 =x2-2·x·6+(6)2
=(x-6)2;
(3)原式=(y+1)? -x?
=(y+1+x)(y+1-x).
解:(1)原式=(38.9-48.9)2
=100.
7.分解因式:(1)4x2+4x+1;(2)
小聪和小明的解答过程如下:
他们做对了吗?若错误,请你帮忙纠正过来.
解:(1)原式=(2x)2+2?2x?1+1=(2x+1)2
×
×
8.(1)已知a-b=3,求a(a-2b)+b2的值;
(2)已知ab=2,a+b=5,求a3b+2a2b2+ab3的值.
原式=2×52=50.
解:(1)原式=a2-2ab+b2=(a-b)2.
当a-b=3时,原式=32=9.
(2)原式=ab(a2+2ab+b2)=ab(a+b)2.
当ab=2,a+b=5时,
课堂小结
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
(1)要求多项式有三项.
(2)其中两项同号,且都可以写成某数或式的平方,另一项则是这两数或式的乘积的2倍,符号可正可负.