4.2 提公因式法
第四章 因式分解
第1课时 提公因式为单项式的因式分解
1.能准确地找出各项的公因式，并注意各种变形的符号问题；（重点）
2.能简单运用提公因式法进行因式分解.（难点）
导入新课
问题引入
问题1：多项式ma+mb+mc有哪几项？
问题2：每一项的因式都分别有哪些？
问题3：这些项中有没有公共的因式，若有，公共的因
式是什么？
ma, mb, mc
依次为m, a和m, b和m, c
有，为m
问题4：请说出多项式ab2-2a2b中各项的公共的因式.
a, b, ab
相同因式p
这个多项式有什么特点？
pa+pb+pc
我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
讲授新课
例1 找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：最大公约数
3
字母：相同的字母
x
所以公因式是3x.
指数：相同字母的最低次幂
1
典例精析
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公
约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即
字母最低次幂.
写出下列多项式的公因式.
（1）x-x2；
（2）abc+2a；
（3）abc-b2+2ab；
（4）a2+ax2；
练一练
x
a
b
a
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提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a+b+c )
pa+ pb +pc
p
=
概念学习
8a3b2 + 12ab3c；
例2 分解因式：
分析：提公因式法步骤（分两步）
第一步:找出公因式；第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
解：8a3b2 + 12ab3c
=4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
=4ab2(2a2+3bc)；
如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公式？
另一个因式将是2a2b+3b2c,
它还有公因式是b.
思考：以下是三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果：
（1）2x2+4x = 2(x2+2x)；
（2）2x2+4x = x(2x+4)；
（3） 2x2+4x = 2x(x+2).
第几位同学的结果是正确的？
用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？
做乘法运算来检验易得第3位同学的结果是正确的.
注意：公因式要提尽.
正确解：原式=6xy(2x+3y).
问题1：小明的解法有误吗？
易错分析
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.
注意：某项提出莫漏1.
正确解：原式=3x·x-6y·x+1·x
=x(3x-6y+1)
问题2：小亮的解法有误吗？
提出负号时括号里的项没变号
注意：首项有负常提负.
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
问题3：小华的解法有误吗？
例3 分解下列因式：
解：(1)3x+ x3=x ·3+x·x2=x(3+x2)；
(2)7x3－ 21x2=7x2·x －7x2·3=7x2(x－3)；
(3)8a3b2 －12ab3c+ab=ab·8a2b－ ab·12b2c +ab·1= ab(8a2b－12b2c+1)；
(4)－24x3+ 12x2－28x
=－(24x3 －12x2+28x)
=－(4x·6x2 －4x·3x+4x·7)
=－4x(6x2 －3x+7).
例4 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.
1. 多项式8xmyn﹣1﹣12x3myn的公因式是（ ）
A．xmyn B．xmyn﹣1 C．4xmyn D．4xmyn﹣1
解析：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大
公约数，为4；
（2）字母取各项都含有的相同字母，为xy；
（3）相同字母的指数取次数最低的，x为m次，
y为n-1次；
D
当堂练习
2. 把多项式﹣4a3+4a2﹣16a分解因式（ ）
A．﹣a（4a2﹣4a+16）
B．a（﹣4a2+4a﹣16）
C．﹣4（a3﹣a2+4a）
D．﹣4a（a2﹣a+4）
D
3. 若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（ ）
A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8
解析：因为ab=﹣3，a﹣2b=5，
所以a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）
=﹣3×5=﹣15．
A
4. 计算（﹣3）m+2×（﹣3）m﹣1，得（ ）
A．3m﹣1 B．（﹣3）m﹣1
C．﹣（﹣3）m﹣1 D．（﹣3）m
解析：（﹣3）m+2×（﹣3）m﹣1
=（﹣3）m﹣1（﹣3+2）
=﹣（﹣3）m﹣1．
C
5.把下列多项式分解因式：
(1)-3x2+6xy-3xz；
(2)3a3b+9a2b2-6a2b.
解：-3x2+6xy-3xz
=(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z
=-3x·(x-2y+z).
3a3b+9a2b2-6a2b
=3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·2
=3a2b(a+3b-2)
6.已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.
解：2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
课堂小结
因式
分解
提公因式法（单项式）
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
4.2 提公因式法
第四章 因式分解
第2课时 提公因式为多项式的因式分解
学习目标
1.准确地找出各项的多项式公因式进行因式分解；（重点）
2.能运用整体思想进行因式分解.（难点）
导入新课
复习引入
1.多项式的第一项系数为负数时，先提取“-”号，注意多项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________; 3.字母取多项式各项中都含有的____________; 4.相同字母的指数取各项中最小的一个,即 _________.
提公因式法因式分解的一般步骤：
系数的最大公约数
相同的字母
最低次幂
思考1：提公因式时，公因式可以是多项式吗？找找上面各式的公因式.
思考2：公因式是多项式形式，怎样运用提公因式法分解因式？
讲授新课
例1 把下列各式分解因式
（1）a(x-3)+2b(x-3)
（2）
解:（1） a(x-3)+2b(x-3)
=(x-3)(a+2b)
=y(x+1)(1+xy+y)
(2)
典例精析
归纳总结
1.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
2.整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
练一练：
1. x(a+b)+y(a+b)
2. 3a(x－y)－(x－y)
3. 6(p+q)2－12(q+p)
=(a+b)(x+y)
=(x－y)(3a－1)
=6(p+q)(p+q-2)
例2 把下列各式因式分解：
两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时,
则两个多项式相等.
如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,
则两个多项式互为相反数.
如: a-b 和 b-a 即 a-b = -(a-b)
归纳总结
由此可知规律：
(1)a-b 与 -a+b 互为相反数.
(a-b)n = (b-a)n (n是偶数）
(a-b)n = -(b-a)n (n是奇数）
(2) a+b与b+a 互为相同数,
(a+b)n = (b+a)n (n是整数）
a+b 与 -a-b 互为相反数.
(-a-b)n = (a+b)n (n是偶数）
(-a-b)n = -(a+b)n (n是奇数）
在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”号，使等式成立：
(1) (a-b) =___(b-a); (2) (a-b)2 =___(b-a)2;
(3) (a-b)3 =___(b-a)3;
(4) (a-b)4 =___(b-a)4;
(5) (a+b) =___(b+a);
(6) (a+b)2 =___(b+a)2.
+
-
-
+
+
+
(7) (a+b)3 =__(-b-a)3;
-
(8) (a+b)4 =__(-a-b)4.
+
当堂练习
1.请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号,使等式成立.
(1) 2-a= (a-2)
(2) y-x= (x-y)
(3) b+a= (a+b)
-
(6)-m-n= (m+n)
(5) –s2+t2= (s2-t2)
(4) (b-a)2= (a-b)2
(7) (b-a)3= (a-b)3
-
+
+
-
-
-
3.因式分解：(x-y)2+y(y-x).
解法1：(x-y)2+y(y-x)
=（x-y)2-y(x-y)
=(x-y)(x-y-y)
=(x-y)(x-2y).
解法2：(x-y)2+y(y-x)
=（y-x)2+y(y-x)
=(y-x)(y-x+y)
=(y-x)(2y-x).
2.因式分解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 ).
解：p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=(a2+b2)(p-q).
课堂小结
因式
分解
公因式为多项式
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：（整体思想）
第一步找公因式；第二步提公因式
注意
1.分解因式是一种恒等变形；
2.公因式：要提尽；
3.不要漏项；
4.提负号，要注意变号
