1.4 角平分线
第一章 三角形的证明
第1课时 角平分线
1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点）
2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点）
3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
学习目标
情境引入
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？
（比例尺为1︰20000）
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ,D即为所求.
O
导入新课
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作
PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将
三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________
C
O
B
A
PD=PE
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的
任意一点
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
讲授新课
PD PE
第一次
第二次
第三次
验证猜想
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.
求证：PD=PE.
证明：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = ,
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
变式：如 图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4, AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______.
4
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
变式：如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
（3）求?PDB的周长.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
思考：这个结论正确吗？
逆
命
题
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP
证明猜想
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
知识总结
例3:如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.
G
H
M
A
B
C
F
E
D
┑
┑
┑
例4 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.
解：如图所示：
归纳总结
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
图形
已知
条件
结论
当堂练习
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
3
E
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
60
BF
3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？
A
O
B
M
N
P
解：在RT△MOP和RT△NOP中，
OM=ON，
OP=OP，
∴RT△MOP≌RT△NOP（HL）.
∴∠MOP=∠NOP，即OP平分∠AOB.
课堂小结
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
1.4 角平分线
第一章 三角形的证明
第2课时 三角形三条内角的平分线
1．会证明和运用“三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等”.(重点）
2.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．(难点）
学习目标
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
导入新课
情境引入
活动1 分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
讲授新课
活动2 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
你能证明这个结论吗？
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每个角的角平分线，观察这三条角平分线，你是否发现同样的结论？与同伴交流．
结论：三角形三个角的平分线相交于一点.
试一试
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
D
E
I
G
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明结论
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
例1.如图,在△ABC中,已知AC=BC, ∠C=90°, AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E.
(1)如果CD=4cm,AC的长;
（1）解：∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为E，
∴DE=CD=4cm.
∵AC=BC,∴∠B=∠BAC.
∵∠C=90°,∴∠B=45°.∴BE=DE.
在等腰直角三角形BDE中，
(2)求证:AB=AC+CD.
（2）证明：由（1）的求解过程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL).
∴AC=AE.
∵BE=DE=CD,
∴AB=AE+BE=AC+CD.
E
O
例2：如图，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
12
解：连接OC
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
例3 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离
相等，所以O是内心，即三条角平分线
的交点，AO，BO，CO都是角平分线，
所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
当堂练习
1.如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定P点的方法正确的是（ ）
A.P为∠A，∠B两角平分线的交点
B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线
的交点
C.P为AC，AB两边上的高的交点
D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点
B
【解析】∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴P在∠A的角平分线上，
∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上.
∴P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点.
2.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠CBE=
∠ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC的 ，AE+DE= .
C
角平分线
6cm
3. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A.△ABC 的三条中线的交点
B.△ABC 三边的中垂线的交点
C.△ABC 三条角平分线的交点
D.△ABC 三条高所在直线的交点
C
4.已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上,BD=DF.
求证：CF=EB.
证明：∵AD平分∠CAB,
DE⊥AB，∠C＝90°（已知）,
∴ CD＝DE (角平分线的性质).
在Rt△CDF和Rt△EDB中,
CD=ED（已证）,
DF=DB （已知）,
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）.
C
拓展思维
5.如图, 直线l1、l2、l3表示三条互相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3
三角形内角平分线的性质
性质：三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．
课堂小结
应用：位置的选择问题.
