1.3 线段的垂直平分线
第一章 三角形的证明
第1课时 线段的垂直平分线
1.理解线段垂直平分线的概念；
2.掌握线段垂直平分线的性质定理及逆定理；（重点）
3.能运用线段的垂直平分线的有关知识进行证明或计算.（难点）
学习目标
导入新课
问题引入
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
观察： 已知点A与点A′关于直线l 对称，如果线段AA′沿直线l折叠，则点A与点A′重合，AD=A′D，∠1=∠2= 90°，即直线l 既平分线段AA′，又垂直线段AA′.
●
●
l
A
A′
D
2
1
(A)
讲授新课
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
知识要点
如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请你量一量线段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的长，你能发现什么？请猜想点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离之间的数量关系．
探究发现
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
作关于直线l 的轴反射（即沿直线l 对折），由于l 是线段AB的垂直平分线，因此点A与点B重合. 从而线段PA与线段PB重合，于是PA=PB.
活动探究
猜想：
点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等．
命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.
由此你能得到什么结论？
你能验证这一结论吗？
如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．
求证：PA =PB．
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
验证结论
微课--证明线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
总结归纳
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( )
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
典例精析
C
解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).故选C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如图②所示，在△ABC中，BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E, △BCE的周长等于18cm,则AC的长是 .
B
10cm
图①
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
逆
命
题
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
它是真命题吗？你能证明吗？
想一想：如果PA=PB,那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
记得要分点P在线段AB上及线段AB外两种情况来讨论
（1）当点P在线段AB上时，
∵PA=PB，
∴点P为线段AB的中点，
显然此时点P在线段AB的垂直平分线上；
（2）当点P在线段AB外时，如右图所示.
∵PA=PB，
∴△PAB是等腰三角形.
过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，
∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.
即 PC⊥AB，且AC=BC.
∴直线PC是线段AB的垂直平分线，
此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
微课--线段垂直平分线的逆命题
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
总结归纳
例2：已知：如图△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC.
求证：直线AO垂直平分线段BC.
证明：∵AB=AC，
∴A在线段BC的垂直平分线（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）.
同理，点O在线段BC的垂直平分线.
∴直线AO是线段BC的垂直平分线（两点确定一条直线）.
利用三角形的全等证明
证明：延长AO交BC于点D，
∵AB＝AC， AO＝AO， OB＝OC ，
∴△ABO≌△ACO（SSS）.
∴∠BAO=∠CAO，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC．
∵OB＝OC ，OD＝OD ，
∴RT△DBO≌RT△DCO（HL）.
∴BD＝CD.
∴直线AO垂直平分线段BC.
试一试：已知：如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别为C,D，连接CD.
求证：OE是CD的垂直平分线.
证明：
∵OE平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE(角平分线上的点到角的两边的距离相等）.
∴ OE是CD的垂直平分线.
当堂练习
1.如图所示，AC=AD,BC=BD, 则下列说法正确的是
（ ）
A．AB垂直平分CD；
B ．CD垂直平分AB ；
C．AB与CD互相垂直平分；
D．CD平分∠ ACB ．
A
2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，这样的点的组合共有 种.
无数
3.下列说法：
①若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；
③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；
④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．
其中正确的有 （填序号）.
① ② ③
4.如图，△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于E,连接BE，AB+BC=16cm,则△BCE的周长是 cm.
16
5.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC =BC， AD=BD，AB与CD相交于点O.
求证：AO=BO.
证明： ∵ AC =BC，AD=BD，
∴ CD为线段AB的垂直平分线.
又 ∵AB与CD相交于点O，
课堂小结
线段的垂直平分的性质和判定
性质
到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
1.3 线段的垂直平分线
第一章 三角形的证明
第2课时 三角形三边的垂直平分线及作图
1.理解并掌握三角形三边的垂直平分线的性质，能
够运用其解决实际问题.(重点)
2.能够利用尺规作出三角形的垂直平分线.
学习目标
导入新课
复习引入
1.回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理.
2.线段的垂直平分线的作法.
性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
讲授新课
合作探究
画一画：利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，完成之后你发现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等．
点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.
思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
B
C
A
P
l
n
m
证明：连接PA，PB，PC.
∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC
（线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）.
∴PB=PC.
∴点P在BC的垂直平分线上
(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.
B
C
A
P
l
n
m
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
归纳总结
应用格式：
∵ 点P 为△ABC 三边垂直平分线的交点，
∴ PA =PB=PC．
分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内；
直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；
钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外.
做一做
做一做：（1）已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
已知：三角形的一条边a和这边上的高h.
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h.
A1
D
C
B
A
a
h
(D)
C
B
A
a
h
A1
D
C
B
A
a
h
A1
提示：能作出无数个这样的三角形，它们并不全等.
（2）已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
这样的等腰三角形有无数多个.根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，只要作底边的垂直平分线，取它上面除底边的中点外的任意一点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形．
如图所示，这些三角形不都全等．
(3)已知等腰三角形的底及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？
这样的等腰三角形只有两个，并且它们是全等的，分别位于已知底边的两侧．
例 已知：线段a，h.
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高AD=h.
D
a
h
作法：
1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交MN于A点；
4．连接AB，AC.
△ABC就是所求作的三角形.
典例精析
1.已知直线l和其上一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
试一试
已知：直线 l 和 l 上一点P．
求作：PC⊥ l ．
作法：
1.以点P为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A和B．
2．作线段AB的垂直平分线PC．
直线PC就是所求 l 的垂线．
l
作法：
2.已知直线 l 和线外一点P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点P.
(1)先以P为圆心，大于点P到直线 l 的垂直距离R为半径作圆，交直线 l 于A，B.
(2)分别以A、B为圆心，大于R的长
为半径作圆，相交于C、D两点.
(3)过两交点作直线 l ',此直线为
l 过P的垂线.
P ●
当堂练习
1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（ ）
A．80° B．70°
C．60° D．50°
C
2.下列说法错误的是 ( )
A.三角形三条边的垂直平分线必交于一点
B.如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边
C.平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等
D.三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称
D
【解析】选D.等边三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称，等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴对称，一般三角形不是轴对称图形，D选项没有说明三角形的形状，所以D选项说法错误.
3.如图所示，在△ABC中，∠B＝22.5°,AB的垂直平分线交BC于点D，DF⊥AC于点F,并与BC边上的高AE交于G.
求证：EG＝EC.
证明:连接AD.∵点D在线段AB的垂直平分线上，
∴DA＝DB,∴∠DAB＝∠B＝22.5°,
∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.
∵AE⊥BC,∴∠DAE＝∠ADE＝45°,
∴AE＝DE.又∵DF⊥AC,
∴∠DFC＝∠AEC＝90°,
∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°,
∴∠CAE＝∠CDF,
∴△DEG≌△AEC(ASA),
∴EG＝EC.
F
A
B
C
E
G
D
4.已知：线段a.
求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.
作法：
（1）作直线l.
（2）在直线l上任取一条线段DE.
（3）作线段DE的垂直平分线MN交DE于C.
（4）在射线CE上截取CA=a,
在射线CM上截取CB=a.
（5）连接AB.
△ABC就是所求作的三角形.
课堂小结
1.定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.
2.已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形.
A
B
C
P
a
b
c
