1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第4课时 等边三角形的判定及含30°角的
直角三角形的性质
1.能用所学的知识证明等边三角形的判定定理.(重点)
2.掌握含30°角的直角三角形的性质并解决有关问题.(难点)
导入新课
观察与思考
观察下面图片，说说它们都是由什么图形组成的？
思考：上节课我们学习了等腰三角形的判定定理，那等边三角形的判定定理是什么呢？
一个三角形满足什么条件就是等边三角形?
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
讲授新课
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
∵ ∠A= ∠ B,
∴ AC=BC.
∵ ∠ B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
证明：
定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
A
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°.
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
证明:∵AB=AC,∠B=60°(已知),
∴∠C=∠B=60°(等边对等角)，
∴∠A=60°(三角形内角和定理)．
∴∠A=∠B =∠C=60°．
∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).
已知:如图,在△ABC中，AB=AC,∠B=60°．
求证:△ABC是等边三角形．
第二种情况：有一个底角是60°.
【验证】
等边对等角
等角对等边
“三线合一”,即等腰三角形顶角平分线，底边上的中线、高线互相重合
有一角是60°的等腰三角形是等边三角形
等边三角形三个内角都相等，且每个角都是60°
三个角都相等的三角形是等边三角形
归纳总结
等腰三角形(含等边三角形) 性质 判定的条件
例1 如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC, 求证：△ADE是等边三角形.
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等边三角形.
想一想：本题还有其他证法吗？
典例精析
变式：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由.
如图,在等边三角形ABC中，AD=AE,
求证：△ADE是等边三角形.
证明：
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60°.
∵ AD=AE,
∴ △ADE是等腰三角形
∴ △ADE是等边三角形.
又∵ ∠A=60°.
操作:用两个含有30°角的三角板，你能拼成一个怎样的三角形？
你能说出所拼成的三角形的形状吗？
猜想：在直角三角形中, 30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？
合作探究
已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°，
∠A=30°.
求证:BC= AB.
分析：突破如何证明“线段的倍、分”问题
“线段相等”问题
猜想验证
∵ ∠ACB=90°, (已知)
∴∠ACD=90°，(平角意义)
在△ABC与△ADC中，
BC=DC，（作图）
∠ACB=∠ACD，（已证）
AC=AC，（公共边）
∴△ABC≌△ADC（SAS） ， ∴ AD=AB；
∵∠ACB=90°,∠BAC=30°，(已知)
∴∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，(有一个角是60°的等腰三角
形是等边三角形)
∴BC= BD= AB． (等式性质)
证明: 延长BC至D,使CD=BC,连接AD，
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
几何语言：
在△ABC中,
∵∠ACB=90°,∠A=30°．
∴BC= AB．(在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜边的一半)
推论：
归纳总结
例2 如图，在△ABC中，已知AB=AC=2a,∠B=∠ACB
=15°, CD是腰AB上的高，求CD的长.
解：∵∠B=∠ACB=15°，(已知)
∴∠DAC=∠B+∠ACB= 15°+15°=30°，
∵∠ADC=90°，∴CD= AC=a．
（在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半）
例3 已知:如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D．
求证:BD=
证明：∵∠A=30°，CD⊥AB，∠ACB=90°
∴BC= ∠B=60°．
∴∠BCD=30°，
∴BD=
∴BD=
1.已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为______cm.
9
当堂练习
2.在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3．
则AC=_____;BC=_______．
A
B
C
3
30°
6
3. 已知：如图，AB=BC ，∠CDE= 120°， DF∥BA，且DF平分∠CDE.
求证：△ABC是等边三角形.
∴△ABC是等边三角形.
又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.
∴ ∠FDC=∠ABC=60°，
∴ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠EDF=∠FDC=60°，
又∵DF∥BA，
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
∵CD=BC，∴BC= BD．
又∵BC= AB，
∴AB=BD．∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形．
∴∠B=60°．在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
4．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°, BC= AB．
求证：∠BAC=30°．
课堂小结
1.等边三角形的判定:
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
三个角都相等的三角形是等边三角形．
2.特殊的直角三角形的性质:
在直角三角形中, 如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
3.数学方法：分类的思想．
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第1课时 三角形的全等和等腰三角形的性质
学习目标
1.回顾全等三角形的判定和性质;
2.理解并掌握等腰三角形的性质及其推论，能运用
其解决基本的几何问题.(重点)
导入新课
情境引入
问题1：图中有些你熟悉的图形吗?它们有什么共同特点?
斜拉桥梁
埃及金字塔
体育观看台架
问题2：建筑工人在盖房子时，用一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板底边中点，就说房梁是水平的，你知道其中反映了什么数学原理?
七下“轴对称”中学过的等腰三角形的“三线合一”.
思考：你能证明等腰三角形的“三线合一”吗？
问题3 在八上的“平行线的证明”这一章中，我们学了哪8条基本事实？
1.两点确定一条直线；
2.两点之间线段最短；
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直；
4.同位角相等，两直线平行；
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；
8.三边分别相等的两个三角形全等.
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
问题：你能运用基本事实及已经学过的定理证明上面的推论吗？
弄清楚证明一个命题的一般步骤是解题的关键
证明一个命题的一般步骤:
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知和求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
讲授新课
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°），
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E).
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知），
∴∠C=∠F（等量代换）.
∵BC=EF（已知），
∴△ABC≌△DEF（ASA）.
总结归纳
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
根据全等三角形的定义，我们可以得到：
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
问题1：你还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?
推论:等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线 底边上的高互相重合(三线合一).
问题2：你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
定理:等腰三角形的两个底角相等.
问题引入
等腰三角形的两个底角相等.
A
B
C
已知：△ABC中，AB=AC,
求证：∠B=?C.
思考：如何构造两个全等的三角形？
定理:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）.
如何证明两个角相等呢？
可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证
议一议：在七下学习轴对称时，我们利用折叠的方法说明了等腰三角形是轴对称图形，且两个底角相等，如下图，实际上，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形.由此，你得到了什么解题的启发？
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
D
证明：
作底边的中线AD，
则BD=CD.
AB=AC ( 已知 )，
BD=CD ( 已作 )，
AD=AD (公共边)，
∴ △BAD≌ △CAD (SSS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
在△BAD和△CAD中
方法一：作底边上的中线
还有其他的证法吗？
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
求证： ∠B= ∠C.
D
证明：
作顶角的平分线AD，
则∠BAD=∠CAD.
AB=AC ( 已知 ),
∠BAD=∠CAD ( 已作 ),
AD=AD (公共边),
∴ △BAD ≌ △CAD (SAS).
∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
方法二：作顶角的平分线
在△BAD和△CAD中
想一想：由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到那些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？
解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD.
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°，
∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ，
即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
D
定理:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中,
∵AB=AC(已知),
∴∠B=∠C(等边对等角).
证明后的结论,以后可以直接运用.
总结归纳
推论:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)，
∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, BD=CD (已知)，
∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.
∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.
综上可得：如图,在△ABC中,
例1 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
典例精析
分析：（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD.
（3）观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（4）设∠A=x°,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠C=180 °，∴ x+2x+2x=180 °,
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 °，在△ABC中，
∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
例2 如图①，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：
AF⊥BC.
解析：(1)过A作AG⊥BC于G，根据等腰三角形的性质得出BG＝CG，DG＝EG即可证明；(2)先证BF＝CF，再根据等腰三角形的性质证明．
图①
图②
A
B
D
G
E
C
A
B
D
E
C
F
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，∴BD＝CE；
(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，∴BD＋DF＝CE＋EF，∴BF＝CF.∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
图①
图②
A
B
D
G
E
C
A
B
D
E
C
F
当堂练习
1.如图，已知AB＝AE，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC≌ △AED，还需添加一个条件，这个条件可以是____________________________．
∠C＝∠D（答案不唯一）
2.(1)等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为___________；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为 ____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为__________.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°,30°
结论:在等腰三角形中,注意对角的分类讨论.
① 顶角+2×底角=180°
② 顶角=180°－2×底角
③ 底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180°
⑤0°＜底角＜90°
课堂小结
等腰三角形的性质
等边对等角
三线合一
注意是指同一个三角形中
注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质.
定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第2课时 等边三角形的性质
学习目标
1.进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角
形两底角的角平分线（两腰上的高，中线）的性质;
2.学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问
题.(重点、难点)
在七下我们已经知道了“三边相等的三角形是等边三角形”，生活中有很多等边三角形，如交通图标、台球室的三角架等，它们都是等边三角形.
思考：在上一节课我们证明等腰三角形的两底角相等，那等边三角形的各角之间有什么关系呢？
导入新课
情境引入
讲授新课
上节课我们证明了等腰三角形的“三线合一”，试猜想等腰三角形的两底角的角平分线、两腰上的高、两腰上的中线有什么关系呢？
猜想：底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等.
你能证明你的猜想吗？
例1 证明:等腰三角形两底角的平分线相等．
A
C
B
E
已知:
求证:
BD=CE.
如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线．
1
2
猜想证明
∠2= ∠ACB(已知),
∵AB=AC(已知),
∴∠ABC=∠ACB(等边对等角).
证明：
又∵∠1= ∠ABC，
∴∠1=∠2(等式性质)．
在△BDC与△CEB中，
∠DCB=∠ EBC（已知），
BC=CB（公共边），
∠1=∠2（已证），
∴
△BDC≌△CEB（ASA）．
∴
BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
A
C
B
E
1
2
又∵CM= ，BN= ，
例2 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等．
BM=CN．
求证:
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN
是△ABC两腰上的中线．
证明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
∴CM=BN．
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB,∠MCB=∠NBC, CM=BN，
∴△BMC≌△CNB（SAS）．
∴BM=CN.
例3 证明: 等腰三角形两腰上的高相等．
BP=CQ．
求证:
已知：如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是
△ABC两腰上的高．
证明：
∵AB=AC(已知)，∴∠ABC=∠ACB.
在△BMC与△CNB中，
∵ BC=CB,∠QBC=∠PCB, ∠BQC=∠CPB，
∴△BQC≌△CPB（SAS）．
∴BP=CQ.
还有其他的结论吗?
1.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
（1）如果∠ABD= ∠ABC ，
∠ACE= ∠ACB，
那么BD=CE吗? 为什么？
（2）如果∠ABD= ∠ABC ，
∠ACE= ∠ACB 呢?
由此你能得到一个什么结论?
议一议：
过底边的端点且与底边夹角相等的两线段相等.
BD=CE
BD=CE
BD=CE
2.已知:如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)如果AD= AC,AE= AB,
那么BD=CE吗? 为什么？
BD=CE
(2)如果AD= AC,AE= AB,
那么BD=CE吗? 为什么？
BD=CE
由此你能得到一个什么结论?
(3)如果AD= AC,AE= AB,
那么BD=CE吗? 为什么？
BD=CE
两腰上距顶点等距的两点与底边顶点的连线段相等.
这里是一个由特殊结论归纳出一般结论的一种数学思想方法.
想一想：等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形的内角有什么特征呢？
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
可以利用等腰三角形的性质进行证明.
怎样证明这一定理了？
定理证明
已知：如图,在△ABC中， AB=AC=BC．
求证：∠A=∠B=∠C=60°．
证明：在△ABC中，
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
例4：如图，等边三角形ABC中,BD是AC边上的中线,BD=BE,求∠EDA的度数.
解：
∵ △ABC是等边三角形，
∴∠CBA=60°.
∵BD是AC边上的中线，
∴∠BDA=90°, ∠DBA=30°.
∵ BD=BE，
∴ ∠BDE=(180 °－∠DBA) ÷2 =
(180°－30°) ÷2=75°.
∴ ∠EDA=90 °－ ∠BDE=90°－75°=15°.
当堂练习
1.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm.
12
2.如图所示，△ACM和△BCN都为等边三角形，连接AN、BM，求证：AN=BM.
证明：
∵△ACM和△BCN都为等边三角形，
∴∠1＝∠3＝60°，
∴∠1＋∠2＝∠3＋ ∠2，
即∠ACN＝∠MCB.
∵CA＝CM，CB＝CN，
∴△CAN≌△CMB(SAS)，
∴AN＝BM.
3.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.
解：
∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.
∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.
∵ A、O、D三点共线，
∴ ∠DOB=∠COA=120°，
∴ △COA ≌△DOB(SAS).
∴ ∠DBO=∠CAO.
设OB与EA相交于点F,
∵ ∠EFB=∠AFO，
∴ ∠AEB=∠AOB=60°.
F
变式:如图，若把“两个全等的等边三角形”换成“不全等的两个等边三角形”，其余条件不变，你还能求出∠AEB的大小吗？
方法与前面相同，∠AEB=60°.
课堂小结
等腰三角形两底角上的平分线、两腰上的高、两腰上的中线的相关性质：
底角的两条平分线相等；
两条腰上的中线相等；
两条腰上的高线相等.
定理： 等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
1.1 等腰三角形
第一章 三角形的证明
第3课时 等腰三角形的判定与反证法
1.掌握等腰三角形的判定定理及其运用；（重点、难点）
2.理解并掌握反证法的思想，能够运用反证法进行证明；（重点）
学习目标
复习引入
导入新课
问题1：等腰三角形有哪些性质定理及推论？
等腰三角形的两底角相等(简写成 ‘‘等边对等角”)．
等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简写成 ‘‘三线合一”)
问题2：等腰三角形的“等边对等角”的题设和结论分别是什么？
题设：一个三角形是等腰三角形
结论：相等的两边所对应的角相等
思考：如图，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB与AC之间有什么关系吗？
我测量后发现AB与AC相等.
3cm
3cm
讲授新课
A
B
C
如图，位于海上B、C两处的两艘救生船接到A处遇险船只的报警，当时测得∠B=∠C.如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？
互动探究
已知：如图，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB和AC有什么数量关系?
建立数学模型：
做一做：画一个△ABC，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB与AC的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？
AB=AC
你能验证你的结论吗？
在△ABD与△ACD中，
∠1=∠2，
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
过A作AD平分∠BAC交BC于点D.
证明：
结论验证：
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
(简称“等角对等边”).
等腰三角形的判定定理：
应用格式：
∴AB=AC(等角对等边).
A
C
B
总结归纳
（等角对等边）.
（等角对等边）.
错，因为都不是在同一个三角形中.
辨一辨：如图,下列推理正确吗?
例1 已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA(SSS),
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）,
∴AE=DE(等角对等边）,
∴ △AED是等腰三角形.
典例精析
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E分别是 AB，AC上的点，且DE∥BC.
求证：△ADE为等腰三角形.
证明 ∵AB=AC，
∴ ∠B=∠C.
又∵ DE∥BC，
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴ ∠ADE=∠AED.
∴△ADE为等腰三角形.
想一想：小明说，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗?如果成立，你能证明它吗?
在△ABC中, 如果∠B≠∠C,那么AB≠AC.
如图,在△ABC中,已知∠B≠∠C,
此时, AB与AC要么相等,要么不相等.
假设AB=AC, 那么根据“等角对等边”定理可得∠B=∠C,
但已知条件是 ∠B≠∠C.
“∠B=∠C”与“∠B≠∠C”相矛盾，
因此AB≠AC.
小明是这样想的:
你能理解他的推理过程吗?
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后由此推导出了与已知或公理或已证明过的定理相矛盾，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
总结归纳
用反证法证题的一般步骤
1. 假设: 先假设命题的结论不成立;
2. 归谬: 从这个假设出发,应用正确的推论方法,得出与
定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果;
3. 结论: 由矛盾的结果判定假设不正确,从而肯定命题
的结论正确.
例3 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.已知：△ABC．
求证：∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角．
【分析】按反证法证明命题的步骤，首先要假定结论“∠A,∠B,∠C中不能有两个角是直角”不成立，即它的反面“∠A,∠B,∠C中有两个角是直角”成立，然后，从这个假定出发推下去，找出矛盾．
典例精析
证明：假设∠A,∠B,∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°，则
∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°．
这与三角形内角和定理矛盾，∠A=∠B=90°不成立．
所以一个三角形中不能有两个角是直角．
当堂练习
72°
36°
③如果AD=4cm，则
1.已知:如图,∠A=36°，
∠DBC=36°，∠C=72°,
①∠1= , ∠2= ；
②图中有 个等腰三角形；
BC= cm；
72°
36°
3
4
5
2. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和 ∠ACB的平分线相交于点O.
求证：△OBC为等腰三角形.
∴ ∠DBC =∠ECB，
∴ △OBC是等腰三角形.
又∵ △ABC是等腰三角形，
∴ ∠ABC =∠ACB，
3.求证：在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知:
直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.
求证:
l3与l2相交.
l1
l2
l3
P
经过直线外一点,有且只有一条直线
与已知直线平行
假设不成立
l3与l2 不相交
l3∥l2
l1∥l2
课堂小结
等腰三角形的判定
等角对等边
有两个角相等的三角形是等腰三角形
反证法
先假设结论不成立，然后推导与已知定理相矛盾的结果，从而证明原命题成立.
