中小学教育资源及组卷应用平台
2.1.2 演绎推理（学生版）
考纲要求
考 点 考纲要求 要求 题型
把演绎推理写成三段论 理解演绎推理的意义． 了解演绎推理的含义，能用“三段论”进行简单的推理． I 选择。填空题
三段论在证明几何问题中的应用 掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理． II 选择。填空题。解答题
知识梳理
1．演绎推理
(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
2．三段论
一般模式 常用格式
大前提 已知的一般原理 M是P
小前提 所研究的特殊情况 S是M
结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 S是P
典例解析
考向一 把演绎推理写成三段论
[例1] 把下列推断写成三段论的形式：
(1)因△ABC三条边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；
(2)y＝sin x(x∈R)是周期函数．
1．把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；
(2)一切奇数都不能被2整除；2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除.
考向二 三段论在证明几何问题中的应用
[例2] 如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的棱长均为a，设点D为棱C1C的中点，A1B交AB1于点G.
求证：A1B⊥AD
2．已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ACD.
考向三 演绎推理在代数问题中的应用
[例3] 已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
3．已知函数f(x)＝－x2＋2x.
(1)证明函数f(x)在(－∞，1]上是增函数；
(2)当x∈[－5，－2]时，f(x)是增函数还是减函数？
过关检测
1．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是( )
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边长的一半
C．E，F为AB，AC的中点
D．EF∥BC
2．下列推理是演绎推理的是( )
A．M，N是平面内两定点，动点P满足|PM|＋|PN|＝2a>|MN|，得点P的轨迹是椭圆
B．由a1＝1，an＝2n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积为πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
3.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
4．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a
证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴aA．大前提 B．小前提
C．结论 D．三段论
5．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出an的通项公式
7．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
8．设a>0，b>0，a＋b≥2，大前提
x＋≥2，小前提
所以x＋≥2.结论
以上推理过程中的错误为( )
A．大前提 B．小前提
C．结论 D．无错误
9.若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
10．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
11．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥FA，求证：ED＝AF.
12．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)<0.对任意正数a，b，若a求证：af(b)13．已知{an}是各项均为正数的等差数列，且公差d≠0.如果lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，bn＝.证明：数列{bn}是等比数列．
14．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义，单调递增，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，
(1)求证：f(x2)＝2f(x) ;
(2)求f(1)的值;
(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．
15．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明数列{an－n}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
中小学教育资源及组卷应用平台
2.1.2 演绎推理（解析版）
考纲要求
考 点 考纲要求 要求 题型
把演绎推理写成三段论 理解演绎推理的意义． 了解演绎推理的含义，能用“三段论”进行简单的推理． I 选择。填空题
三段论在证明几何问题中的应用 掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理． II 选择。填空题。解答题
知识梳理
1．演绎推理
(1)含义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．
2．三段论
一般模式 常用格式
大前提 已知的一般原理 M是P
小前提 所研究的特殊情况 S是M
结论 根据一般原理，对特殊情况做出的判断 S是P
典例解析
考向一 把演绎推理写成三段论
[例1] 把下列推断写成三段论的形式：
(1)因△ABC三条边的长依次为3,4,5，所以△ABC是直角三角形；
(2)y＝sin x(x∈R)是周期函数．
[解析] (1)一条边长的平方等于其他两条边长平方和的三角形是直角三角形，大前提
△ABC三条边的长依次为3,4,5，且32＋42＝52，小前提
所以△ABC是直角三角形．结论
(2)因为三角函数是周期函数，大前提
y＝sin x(x∈R)是三角函数，小前提
所以y＝sin x(x∈R)是周期函数．结论
“三段论”的推理形式
用三段论写演绎推理的过程，关键是明确大前提、小前提，大前提提供了一个一般性的原理，在演绎推理的过程中往往省略，而小前提指出了大前提下的一个特殊情况，只有将二者结合起来才能得到完整的三段论．一般地，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．
1．把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；
(2)一切奇数都不能被2整除；2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除.
解析：(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提
在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提
水会沸腾．结论
(2)一切奇数都不能被2整除，大前提
2100＋1是奇数，小前提
2100＋1不能被2整除.结论
考向二 三段论在证明几何问题中的应用
[例2] 如图，正三棱柱ABC?A1B1C1的棱长均为a，设点D为棱C1C的中点，A1B交AB1于点G.
求证：A1B⊥AD
[证明] 如图，连接A1D，DG，BD.
∵三棱柱ABC?A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱，
∴四边形A1ABB1为正方形，
∴A1B⊥AB1.
∵D是C1C的中点，A1C1＝BC
∴A1D＝BD，即△A1BD为等腰三角形．
∵点G为A1B与AB1的交点，
∴点G为A1B的中点，∴A1B⊥DG.
又∵DG∩AB1＝G，
∴A1B⊥平面AB1D.
又∵AD?平面AB1D，
∴A1B⊥AD.
(1)三段论是最重要且最常用的推理表现形式，我们以前学过的平面几何与立体几何的证明，都不自觉地运用了这种推理，只不过在利用该推理时，往往省略了大前提．
(2)在几何证明题中，每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提．把一般性原理用于特殊情况，就可得到结论．
2．已知A，B，C，D四点不共面，M，N分别是△ABD和△BCD的重心，求证：MN∥平面ACD.
证明：如图所示，连接BM，BN并延长，分别交AD，DC于P，Q两点，连接PQ.
因为M，N分别是△ABD和△BCD的重心，所以P，Q分别是AD，DC的中点．
又因为＝，所以MN∥PQ，
又MN?平面ADC，PQ?平面ADC，
所以MN∥平面ACD.
考向三 演绎推理在代数问题中的应用
[例3] 已知函数f(x)＝ax＋(a>1)，证明函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
[证明] 设x1，x2是(－1，＋∞)上的任意两实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－
＝ax1－ax2＋－
＝ax1－ax2＋，
∵a>1，且x1∴ax1又∵x1>－1，x2>－1，
∴(x1＋1)(x2＋1)>0.
∴f(x1)－f(x2)<0.
∴f(x1)∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
代数问题中利用演绎推理证明的常用问题
(1)函数的相关性质(如单调性、奇偶性、周期性和对称性)．
(2)三角函数的图象和性质．
(3)数列的概念与性质、数列的通项公式与求和．
(4)导数的应用：利用导数研究函数的性质、讨论函数的零点或与函数有关的不等式证明．
3．已知函数f(x)＝－x2＋2x.
(1)证明函数f(x)在(－∞，1]上是增函数；
(2)当x∈[－5，－2]时，f(x)是增函数还是减函数？
证明：(1)方法一：任取x1，x2∈(－∞，1]，x1则f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2)，
∵x10，
∴x2＋x1－2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，
∴f(x1)于是，根据“三段论”可知，f(x)＝－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．
方法二：∵f′(x)＝－2x＋2＝－2(x－1)．
当x∈(－∞，1]时，x－1<0，
∴－2(x－1)>0，
∴f′(x)>0在x∈(－∞，1]上恒成立．
故f(x)在(－∞，1]上是增函数．
(2)∵f(x)在(－∞，1]上是增函数，而[－5，－2]是区间(－∞，1]的子区间，
∴f(x)在[－5，－2]上是增函数．
过关检测
1．在“△ABC中，E，F分别是边AB，AC的中点，则EF∥BC”的推理过程中，大前提是( )
A．三角形的中位线平行于第三边
B．三角形的中位线等于第三边长的一半
C．E，F为AB，AC的中点
D．EF∥BC
解析：大前提是“三角形的中位线平行于第三边”．
答案：A
2．下列推理是演绎推理的是( )
A．M，N是平面内两定点，动点P满足|PM|＋|PN|＝2a>|MN|，得点P的轨迹是椭圆
B．由a1＝1，an＝2n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积为πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
解析：A是演绎推理，B为归纳推理，C、D类比推理．
答案：A
3.正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确 B．大前提不正确
C．小前提不正确 D．全不正确
解析：函数f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，故小前提不正确．
答案：C
4．已知△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证a证明：∵∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠A<∠B，∴aA．大前提 B．小前提
C．结论 D．三段论
解析：结合三段论的特征可知，该证明过程省略了大前提“在同一个三角形中大角对大边”，因此画线部分是演绎推理的小前提．
答案：B
5．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，补充以上推理的大前提是( )
A．正方形都是对角线相等的四边形
B．矩形都是对角线相等的四边形
C．等腰梯形都是对角线相等的四边形
D．矩形都是对边平行且相等的四边形
答案：B
6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人
C．由三角形的性质，推测四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出an的通项公式
解析：B、C、D是合情推理，A为演绎推理．
答案：A
7．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A．类比推理 B．归纳推理
C．演绎推理 D．一次三段论
解析：这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
答案：C
8．设a>0，b>0，a＋b≥2，大前提
x＋≥2，小前提
所以x＋≥2.结论
以上推理过程中的错误为( )
A．大前提 B．小前提
C．结论 D．无错误
解析：小前提中无“x>0”条件，不满足利用基本不等式的条件．
答案：B
9.若不等式ax2＋2ax＋2<0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．
解析：①a＝0时，有2<0，显然此不等式解集为?.
②a≠0时需有??
所以0答案：[0,2]
10．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.
答案：log2x－2≥0
11．如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥FA，求证：ED＝AF.
证明：同位角相等，两条直线平行，大前提
∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提
所以DF∥EA.结论
两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提
DE∥FA，且DF∥EA，小前提
所以四边形AFDE为平行四边形．结论
平行四边形的对边相等，大前提
ED和AF为平行四边形的一组对边，小前提
所以ED＝AF.结论
12．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)<0.对任意正数a，b，若a求证：af(b)证明：构造函数F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)．
由题设条件知F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递减．
若0F(b)，即af(a)>bf(b)．
又f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，
∴af(a)af(b)．
所以bf(a)>af(b)．
13．已知{an}是各项均为正数的等差数列，且公差d≠0.如果lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，bn＝.证明：数列{bn}是等比数列．
证明：∵lg a1，lg a2，lg a4成等差数列．
∴2lg a2＝lg a1＋lg a4，即a＝a1a4
由于数列{an}的公差d≠0
∴(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，则d(a1－d)＝0.
因此a1＝d≠0
则a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd，bn＝＝.
这时{bn}是首项b1＝，公比为的等比数列．
综上，{bn}为等比数列．
14．已知y＝f(x)在(0，＋∞)上有意义，单调递增，且满足f(2)＝1，f(xy)＝f(x)＋f(y)，
(1)求证：f(x2)＝2f(x) ;
(2)求f(1)的值;
(3)若f(x)＋f(x＋3)≤2，求x的取值范围．
证明：(1)∵f(xy)＝f(x)＋f(y)，x、y∈(0，＋∞)．
∴f(x2)＝f(x·x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)．
(2)令x＝1，则f(1)＝2f(1),∴f(1)＝0.
(3)∵f(x)＋f(x＋3)＝f[x(x＋3)]，且f(4)＝2.
又f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
所以
x(x＋3)≤4，解得015．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明数列{an－n}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn;
(3)证明不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
证明：(1)∵an＋1＝4an－3n＋1,
∴an＋1－(n＋1)＝4an－4n，n∈N*.
又a1－1＝1,
所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知，an－n＝4n－1，于是an＝4n－1＋n
故Sn＝＋.
(3)Sn＋1－4Sn＝＋－4.
＝－(3n2＋n－4)＝－(3n＋4)(n－1)≤0，
故Sn＋1≤4Sn对任意n∈N*恒成立.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
