2018年高中数学第一章导数及其应用1.3.1利用导数判断函数的单调性课件8新人教B版选修2_2（19张PPT）

课件19张PPT。导数的应用—函数的单调性教学目的：
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
教学重点：利用导数判断函数单调性
教学难点：利用导数判断函数单调性 1 、函数 f(x) 在点 x0 处的导数定义2 、某点处导数的几何意义3 、导函数的定义函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数 f? (x0) 就是曲线 y = f(x) 在点 M(x0, y0) 处的切线的斜率.知识回顾 4 、求函数 y=f(x) 的导数的三个步骤： 2.算比值： 3.取极限： 1.求增量： 5、四个常见函数的导数公式 6、导数的四则运算法则7、复合函数的导数8、对数函数的导数9、指数函数的导数引例 已知函数y=2x3-6x2+7,求证：这个函数在区
间(0,2)上是单调递增的. （1）任取x1 ( 2 ) 作差f（x1）-f（x2）并变形
（3）判断符号
（4）下结论用定义法判断函数单调性的步骤：新课讲授引入
函数单调性体现出了函数值y随自变量x的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？ 曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数 的图像可以看到：
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：增函数减函数正负＞0＜0在区间（2， ）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即 >0时，函数y=f(x) 在区间（2， ）内为增函数；在区间（ ，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小,即 0时，函数y=f(x)在区间（ ，2）内为减函数. 设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y ′ >0，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内y ′ <0，那么y=f(x)为这个区间内的减函数. 判断函数单调性的常用方法：
（1）定义法
（2）导数法 结论：y ′ >0增函数y ′ <0减函数 用导数法确定函数的单调性时的步骤是：
（1）求出函数的导函数
（2）求解不等式f ′(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间
（3）求解不等式f ′(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间注：单调区间不以“并集”出现。 2、导数的应用：判断单调性、求单调区间例1 确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.
∴当x∈(1，+∞)时，
f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.
∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数 例题讲解例2 确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间
内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，
f(x)是增函数.
当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，
f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.
∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)
∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.
例3 证明函数f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.f(x1)－f(x2)=∵x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0， ∴ ＞0点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.
证法二：(用导数方法证)∵f′(x)=( )′=(－1)·x－2=－ ，x＞0，∴x2＞0，∴－ ＜0. ∴f′(x)＜0，∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.证明：令f(x)=e2x－1－2x. ∴f′(x)=2e2x－2=2(e2x－1)
∵x＞0，∴e2x＞e0=1，∴2(e2x－1)＞0, 即f′(x)＞0
∴f(x)=e2x－1－2x在(0，+∞)上是增函数.
∵f(0)=e0－1－0=0.
∴当x＞0时，f(x)＞f(0)=0，即e2x－1－2x＞0.
∴1+2x＜e2x例4当x＞0时，证明不等式：1+2x＜e2x.分析：假设令f(x)=e2x－1－2x.∵f(0)=e0－1－0=0, 如果能够证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，那么f(x)＞0，则不等式就可以证明.点评：所以以后要证明不等式时，可以利用函数的单调性进行证明，把特殊点找出来使函数的值为0.∴y=x+ 的单调减区间是(－1，0)和(0，1)例5已知函数y=x+ ，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+ )′=1－1·x－2

=令 ＞0. 解得x＞1或x＜－1.∴y=x+ 的单调增区间是(－∞，－1)
和(1，+∞).令 ＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1. 例6（2000年全国高考题）设函数其中a>0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间 上是单调函数。即例7.设f (x) = ax3+x 恰有三个单调区间，试确定a 的
取值范围，并求其单调区间。1、函数f(x)=x3-3x+1的减区间为( )
(A) (-1,1) (B) (1,2)
(C) (-∞,-1) (D) (-∞,-1) ，(1, +∞) 2、若函数y=a(x3-x)的递减区间为( )，
则a的取值范围为( )
(A) a>0 (B) –11 (D) 0单调递增函数
单调递减函数
(C) 部份单调增，部分单调减
(D) 单调性不能确定 课堂练习f(x)在某区间内可导，可以根据f′(x)＞0或f′(x)＜0求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式.以及当f′(x)=0在某个区间上，那么f(x)在这个区间上是常数函数。
课堂小结课后作业