18.2 勾股定理的逆定理 同步练习
一.选择题
1. 以下列三个数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A.2，3，4 B.4，5，6 C.5，12，13 D. 5，6，7
2. 下列数据中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A.1，1， B.5，12，13 C.3，5，7 D. 6，8，10
3. 将直角三角形的三条边长同时扩大三倍，得到的三角形是（ ）
A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
4. 已知△ABC，下列命题中的假命题是（ ）
A. 如果∠C-∠B=∠A，则△ABC是直角三角形，
B. 如果c2=b2-a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°
C. 如果(c+a)(c-a)=b2，则△ABC是直角三角形，
D. 如果∠A:∠B:∠C=5:2:3，则△ABC是直角三角形，
5. 在△ABC中，三边之比分别为5:12:13，∠C-∠B=∠A，则△ABC为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形，
二.填空题
1. 已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 .
2. 已知a、b、c是三角形三边长，且c＝5，a、b满足关系式，则△ABC的形状是 三角形.
3. 如图，正方形网格中的△ABC，若小方格的边长都为1，则△ABC是 三角形.
4. 如图，每个小正方形边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则AB2＝ .， ∠ABC .
三.解答题
1. 如图在△ABC中，AB=20,AC=15,BC=25,AD⊥BC,垂足为D，求AD,BD的长.
2. 如图，四边形ABCD中，且AB=4,AD=3,BC=13,CD=12，求这个四边形的面积.
3. 在△ABC中，三条边长分别为a、b、c，且a=n，(n是大于2的偶数)，求证: △ABC是直角三角形.
参考答案
一.1C .2C .3D .4.B 5.B
二.1. 直角
2. 直角
3. 直角
4.10,45
三
解:∵AB2+AC2=202+152=625=252=BC2
∴△ABC是直角三角形
∴AD=12
由勾股定理得，
解:∵∠BAD=90°, AB=4,AD=3
∴BD=5
∵BC=13,CD=12
∴CD2+BD2=BC2
∴△BCD是直角三角形，
沪科版数学八年级下册18.2 勾股定理的逆定理教学设计
课题
18.2 勾股定理的逆定理
单元
第18章第2节
学科
数学
年级
八年级下
学习
目标
【知识与技能】?
1．理解勾股定理的逆定理的证明方法并能证明勾股定理的逆定理;
2．利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形。
【过程与方法】?
通过勾股定理的逆定理的证明，体会数与形结合方法在问题解决中的作用，并能运用勾股定理的逆定理解决相关问题。
【情感态度与价值观】
通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神。
重点
勾股定理逆定理的应用
难点
探究勾股定理逆定理的证明过程。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：同学们好，上节课我们学习了勾股定理，这节课我们继续研究，在上新课之前，请同学们回顾一下：
1.直角三角形有哪些性质?
(1)有一个角是90°;
(2)两个锐角的和是90° ；
2.如何判断三角形是直角三角形?
(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；?
(2)如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形.
(3)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方
(4)30°的角所对的直角边等于斜边的一半.
师：据说，几千年前古埃及人已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13 个结，然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，这样围成的三角形，最长边所对的角就是直角．
师：请同学们思考下面问题：
问题1.三角形的三边分别为3，4，5.
实验操作： 分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们一定是直角三角形吗？
3, 4, 5； ② 6，8，10．
想一想：这三组数都满足a2+b2=c2吗？
量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数
认真回顾，积极思考，踊跃发言，
创设问题情境，引入新课
通过问题情景，为学生理解概念，
讲授新课
师：通过以上问题，我们发现，
如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形. 这个定理就称为勾股定理的逆定理，
师：我们发现这个定理可以用来判定一个三角形是直角三角形
已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．
师：首先，我们来学习如何用这个定理判定三角形是直角三角形，请看下面例题：
例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝7 , b ＝24 , c＝25
(2) a＝7, b ＝8 , c＝11
通过上面那题我们发现，像7、24、25能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.
下面请看例2，
例2 下列各组数是勾股数的是( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
例3 已知：在△ABC中，三条边长分别为 a=n2 - 1, b=2n,c=n2 +1（ n>1,n是正整数），
求证：△ABC为直角三角形.
师：通过以上例题，我们发现：
1. 三角形中,大边对大角,小边对小角,直角三角形中的最大角是直角,是最长(斜)边所对的角.
2. 判定一个三角形是否是直角三角形的步骤有哪些?
(1)找到最大边并计算它的平方,
(2)计算另两边的平方和,
(3)若两数相等,则三角形是直角三角形,若不相等,则这个三角形不是直角三角形
认真总结，提炼知识，
认真思考，小组合作，展示成果，
通过思考，得到相关概念，
巩固新知，理解概念，提升能力，
课堂练习
1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是 ( )
A.3:4:7 B.5:12:13
C.1:2:4 D.1:3:5
2.将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形
3.三角形三边a，b，c 满足条件:(a+b)2－c2＝2ab，此三角形是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
4.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是 ______三角形.
5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
与你的同伴交流.
独立完成，积极展示，
进一步巩固新知，提升学生解决问题的能力，
中考链接
1.(2018南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
Ａ.3,4,5 Ｂ.2,3,4 Ｃ.4,5,6 Ｄ.5,11,12
2.(2017益阳)如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．
认真思考，展示学习成果，
贴近实战，提升能力，
课堂小结
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
2.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
积极思考回顾总结本节知识要点，
为学生梳理，本节知识要点，
板书
1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.
2.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
认真做好笔记，
提炼知识，为学生留下只是在线索，
课件32张PPT。18.2 勾股定理的逆定理沪科版 八年级下新知导入1.直角三角形有哪些性质?2.如何判断三角形是直角三角形?(1)有一个角是90°; (2)两个锐角的和是90° ；(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；? (2)如果一个三角形中，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形.(3)勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方(4)30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 据说，几千年前古埃及人已经知道，在一根绳子上连续打上等距离的13 个结，然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起，拉紧绳子，再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子，这样围成的三角形，最长边所对的角就是直角．相传，大禹治水
时也用这类似的
方法确定直角.新知导入新知导入问题1.三角形的三边分别为3，4，5.新知导入实验操作： 分别以这些数为边长画出三角形（单位：cm），它们一定是直角三角形吗？
① 3, 4, 5； ② 6，8，10． 用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数想一想这三组数都满足a2+b2=c2吗？量一量新知讲解如果三角形的三边长a，b，c满足
a2+b2=c2
那么这个三角形是直角三角形.勾股定理的逆定理：我们发现这个定理可以用来判定一个三角形是直角三角形.
新知讲解 已知：如图，△ABC的三边长分别为a，b，c，且满a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．证明：画一个Rt△A'B'C'，使B'C'＝a，
A'C'＝b，∠C'＝90°，由勾股定理得：即△ABC是直角三角形新知讲解勾股定理的逆命题如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有a2 + b2 = c2如果三角形的三边长a、b、c满足a2 + b2 = c2那么这个三角形是直角三角形。互逆命题勾股定理我们已经学习了一些互逆的定理,如:
勾股定理及其逆定理；
两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.新知讲解例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝7 , b ＝24 , c＝25(2) a＝7, b ＝8 , c＝11分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。新知讲解例1 判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：
(1) a＝7 , b ＝24 , c＝25解： (1) ∵ 最大边是c=25, c2 = 252＝625
a2 + b2 =72＋242＝49+576 ＝625
∴ a2 + b2 ＝ c2
∴ 这个三角形是直角三角形新知讲解解：(2) ∵最大边是a＝11，a2＝121，
b2+c2＝72+82＝113，∴ b2+c2≠a2∴ △ABC不是直角三角形. 像7、24、25能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数.(2) a＝7, b ＝8 , c＝11新知讲解例2 下列各组数是勾股数的是( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.新知讲解分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代n为满足条件的特殊值来试，n=4.则a=15,b=8,c=17,c最大.例3 已知：在△ABC中，三条边长分别为 a=n2 - 1, b=2n,c=n2 +1（ n>1,n是正整数），
求证：△ABC为直角三角形.新知讲解证明：∵a2+b2＝(n2－1)2+(2n)2
＝n4－2n2+1+4n2
＝n4+2n2+1
＝(n2+1)2＝c2，∴ △ABC是直角三角形，(勾股定理的逆定理).新知讲解1. 三角形中,大边对 角,小边对 角,直角三角形中的最大角是 ,是 边所对的角.大小直角最长(斜)2. 判定一个三角形是否是直角三角形的步骤有哪些?(1)找到最大边并计算它的平方,(2)计算另两边的平方和,(3)若两数相等,则三角形是直角三角形,
若不相等,则这个三角形不是直角三角形课堂练习1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是 ( )
A.3:4:7 B.5:12:13
C.1:2:4 D.1:3:5分析：根据勾股定理的逆定理，要能组成一个直角三角形的三边应满足：两条较小边的平方和等于最大边的平方.课堂练习解：故选Ｂ.∵ 52+122=132
∴三条线段能组成直角三角形1.如果线段a,b,c能组成直角三角形,则它们的比可以是 ( )
A.3:4:7 B.5:12:13
C.1:2:4 D.1:3:5B课堂练习将直角三角形的三边长扩大同样的倍数,则得到的
三角形 ( )
A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形分析:由于三角形是直角三角形，所以三边满足勾股定理，当各边扩大或者缩小k倍时，再利用勾股定理的逆定理，判断三角形的形状，课堂练习解：故选Ａ.设直角三角形的直角边分别是a、b，斜边为c，则满足a2+b2＝c2，
若各边都扩大k倍，则三边分别是ax、bk、cK，
∵ （ax）2+ （bk） 2=k2(a2+b2)＝ （cK） 2
∴三角形为直角三角形课堂练习3.三角形三边a，b，c 满足条件:(a+b)2－c2＝2ab，此三角形是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形B分析：因为a、b、c，分别为三角形的三边，可化简:(a+b)2－c2＝2ab得到结论，课堂练习4.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是 ______三角形.分析：根据勾股定理的几何意义， 25+ 144＝ 169，即52+122＝132则这个三角形的形状可判定，课堂练习解：故填：直角.∵ 25+ 144＝ 169
∴ 52+122＝132
∴三条线段能组成直角三角形4.以△ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是 ______三角形.直角课堂练习5.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，
图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
与你的同伴交流.解:△ABE，△DEF，△FCB均为直角三角形.
由勾股定理知
BE2=22+42=20，EF2=22+12=5，
BF2=32+42=25,
∴BE2+EF2=BF2,
∴ △BEF是直角三角形.中考链接1.(2018南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
Ａ.3,4,5 Ｂ.2,3,4 Ｃ.4,5,6 Ｄ.5,11,12分析:利用勾股定理的逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角，由此可判定即可，中考链接解：故选A.∵ 32+42=52
∴三条线段能组成直角三角形1.(2018南通)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
Ａ.3,4,5 Ｂ.2,3,4 Ｃ.4,5,6 Ｄ.5,11,12A中考链接2.(2017益阳)如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．分析：先根据勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，然后根据直角三角形的性质即可得到结论．中考链接解：∵在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，
∴AC2+BC2=52+122=132=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
∵CD是AB边上的中线，
∴CD=6.5；
故答案为：6.5．2.(2017益阳)如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．课堂总结一定是直角三角形吗勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数板书设计一定是直角三角形吗勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形.勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数作业布置选做题：P60习题18.2：第5、6题必做题：P60习题18.2：第1、2 、3 、4题谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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