【鲁教版八下精美学案】8.1 一元二次方程（知识构建+考点归纳+真题训练）

第八章 一元二次方程
第1节 一元二次方程
知 识 梳 理
知识点1 一元二次方程
只含有______个未知数x的整式方程，并且都可以化为_____________（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
注意（1）一元二次方程的概念有三个要点:①整式方程；②“一元”指的是只含有一个未知数；③“二次”指的是未知数的最高次数是2。（2）一元二次方程中的“元”和“次”是对整理后的式子而言的，这实际上给出了判定方程是否是一元二次方程的步骤:首先要合并同类项整理，然后按定义进行判断。（3）判断一个方程是一元二次方程，必须同时满足整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2（二次项系数不为0）。这三个条件缺一不可。
知识点2 一元二次方程的一般形式
1.一元二次方程的一般形式:
我们把ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.其中ax2，bx，c分别称为________、_________和_________，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.
如一元二次方程5x2＝3x-5的一般形式为5x2-3x＋5＝0，其中5x2是二次项，5是二次项系数，-3x是一次项，-3是一次项系数，5是常数项.
2.一元二次方程的特殊形式:
（1）a≠0，b≠0，c＝0时，ax2＋bx＝0；
（2）a≠0，b＝0，c≠0时，ax2＋c＝0；
（3）a≠0，b＝0，c＝0时，ax2＝0.
注意（1）任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的形式.一般形式是判断方程是否是一元二次方程的主要依据.（2）要想确定各项系数，必须先将方程化成一般形式，并且各项系数都包括前面的符号
知识点3 一元二次方程解的估算
能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值，称为一元二次方程的解.
估计一元二次方程的精确解或近似解，通常采用列表的方式.首先根据具体的实际问题确定出解的适当范围，然后通过对x的取值进行逼近使得方程中的ax2＋bx＋c的值无限接近于0，这时x的值就是方程的精确解或近似解.
一般地，一个一元二次方程如果有解，那么它有两个解，这两个解可能相等，也可能不相等.
考 点 突 破
考点1: 一元二次方程的判定
【典例1】下列方程哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？
（1）3x2-1＝x（3x-1）；（2）＋2x-1＝0；（3）x（x2-1）＝2；（4）＝x＋1；
（5）x2-2x＋y2＝0；（6）-3x＝5.
思路导析:把（1）（3）（4）化为一般式→一元二次方程的概念→判断。
解:方程（2）（6）不是整式方程，方程（5）含有两个未知数，故（2）（5）（6）不是一元二次方程.方程（1）化简后为x-1＝0不含二次项方程（3）化简为x3-x-2＝0，未知数的最高次数是3.故（1）（3）不是一元二次方程方程（4）化简为x2-3x-3＝0符合一元二次方程的定义，综上（1）（2）（3）（5）（6）不是一元二次方程，（4）是一元二次方程。
友情提示 判别一元二次方程的“三个技巧”:（1）先把方程化简变形为一般形式后再判断；（2）分母或被开方数中含有未知数的方程一定不是一元二次方程；（3）二次项系数中含有字母时，若字母的取值不明确，不一定是一元二次方程。
变式1 下列方程是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.x2＋＝0 B.ax2＋bx＋c＝0 C.(x＋1)(x-2)＝1 D.3x2-2xy-5y2＝0
变式2 下列方程哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程？
（1）3x2-1＝x（3x-1）；（2）＋2x-1＝0；（3）x（x2-1）＝2；
（4）＝x＋1； （5）x2-2x＋y2＝0；（6）-3x＝5.
考点2: 一元二次方程的应用
【典例2】 关于x的方程（m＋1）＋mx-1＝0是一元二次方程，求m的值.
思路导析:根据一元二次方程的定义，必须满足两个条件:（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0，据此即可求解。
解:根据题意，得｜m-1｜＝2，且m＋1≠0，解得m＝3，
所以m的值为3.
规律总结 本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是:ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0），特别要注意a≠0的条件。
求一元二次方程中二次项指数中的字母取值时，先令指数为2，求得字母的取值，再舍去使二次项系数为0的值，与一次项系数和常数项无关。
变式3 若方程（m-1）-（m＋1）x-2＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A.0 B.±1 C.1 D.-1
变式4 已知关于x的方程（m2-1）x2＋（m-1）x-2＝0.
（1）当m为何值时，该方程为一元二次方程？
（2）当m为何值时，该方程为一元一次方程？
考点3: 一元二次方程的一般形式
【典例3】 将方程化为一般形式，并指出它的二次项系数a，一次项系数b和常数项c的值。
（1）(2x-5)(x＋2)＝1；（2）-2x(x-5)＝3-x；（3）(2x-1)(x＋5)＝6x.
思路导析:根据整式的乘法，移项，合并同类项，可得一元二次方程的一般形式。
解:（1）2x2-x-11＝0，a＝2，b＝-1，c＝-11；
（2）2x2-11x＋3＝0，a＝2，b＝-11，c＝3；
（3）2x2＋3x-5＝0，a＝2，b＝3，c＝-5.
友情提示 确定的一元二次方程各项系数的值，应通过去分母、去括号、移项、合并同类项，化成一元二次方程的一般形式，再确定各项系数的值，同时不要忘记系数包括前面的运算符号。
变式5 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并分别写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。
（1）(x-4)2＝5(x＋4)；（2）(-x＋1)2＝4x；（3）(x＋3)2＝(1-2x)2；（4）-2x2-12x＝3(1-x)(x＋1)
变式6 填空:
（1）一元二次方程-2(x-1)2＝x＋3化成一般形式ax2＋bx＋c＝0后，若a＝2，则b＋c的值是_________；（2）若一元二次方程(2a-4)x2＋(3a＋6)x＋a-8＝0没有一次项，则a的值为__________；
（3）若关于x的一元二次方程2x2＋(k＋9)x-(2k-3)＝0的二次项系数，一次项系数，常数项的和是0，则k＝___________。
考点4: 利用一元二次方程的根求字母的值
【典例4】已知a是关于x的一元二次方程x2-2016x＋1＝0的一个根，试求代数式a2-2015a＋的值。
思路导析:根据方程解的定义，得a2-2016a＋1＝0，将a2＋1和a2-2016a看作一个整体，利用整体代入法可求代数式的值。
解:∵a是方程x2-2016x＋1＝0的一个根，∴a2-2016a＋1＝0。
∴a2＋1＝2016a，a2-2016a＝-1.∴a2-2015a＋=a2-2016a+a+=-1+a+=-1+a+
=-1+=-1+=-1+2016=2015。
友情提示 整体代入法是代数式求值的常用方法之一，要仔细观察题目，适当去项、补项。
变式7 已知一元二次方程(m-2)x2 - 3x＋m2 - 4＝0的一个根为0，则m＝___________。
变式8 已知x＝-1是一元二次方程ax2＋bx - 10＝0的一个解，且a≠- b，求的值为________。考点5 估算一元二次方程的解
【典例5】 写出一个一元二次方程，其二次项系数为1，一次项系数为 - 2，常数项为 - 4，并求出方程的近似解（精确到个位）.
思路导析: 根据已知条件和一元二次方程的定义可写出一元二次方程对近似解的求法通过列表，使方程的值等于0或近似为0求出解。
解:一元二次方程为x2 - 2x - 4＝0
∵当x＜ - 2时，- 2x＞4，∴x2-2x-4＞0.故x＞ - 2.
又∵当x＞4时，x2 - 2x - 4＝x(x-2) - 4＞0，∴x＜4.∴ - 2＜x＜4.
因此可先列表计算:
x
-2
-1
0
1
2
3
4
x2-2x-4
4
-1
-4
-5
-4
-1
4
∴方程的解应在-2到-1或3到4之间:
x
-1.1
-1.2
-1.3
-1.4
3.1
3.2
3.3
3.4
x2-2x-4
-0.59
-0.16
0.29
0.76
-0.59
-0.16
0.29
0.76
∴方程的解为x1≈-1，x2≈3.
x
-2
-1
0
1
2
3
…
x2-x
6
2
0
0
2
6
…
变式9 下表是某同学求代数式x2-x的值的情况，根据表格可知方程x2-x＝2的解是（ ）
A.x＝-1 B.x＝0 C.x＝2 D.x1＝-1，x2＝2
变式10 要剪一块面积为150 cm2的长方形铁片，使它的长比宽多5 cm，这块铁片应该怎样剪？
（1）设长为x cm，则宽为（x-5）cm，列方程得____________________；
（2）请根据所列方程回答下以问题:
①x可能小于5吗？可能等于10吗？说说你的理由。
②你知道铁片的长x是多少吗？
巩 固 提 高
1.有下列关于x的方程:①ax2＋bx＋c＝0，②3x(x-4)＝0，③x2＋y-3＝0，④＋x＝2，⑤x3-3x＋8=0，⑥x2-5x＋7＝0，⑦(x-2)(x＋5)＝x2-1.其中是一元二次方程的有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.若关于x的方程ax2-3x＝2x2-2是一元二次方程，则a的值不能为（ ）
A.2 B.-2 C.0 D.3
3.若n（n≠0）是关于x的方程x2＋m x＋2 n＝0的一个根，则m＋n的值是（ ）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
4.根据下表的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的取值范围是（ ）
x
6.17
6.18
6.19
ax2＋bx＋c
-0.03
-0.01
0.02
A.6＜x＜6.17 B.6.17＜x＜6.18 C.6.18＜x＜6.19 D.x＞6.19
5.若m是方程x2＋x-1＝0的根，则式子m3＋2m2＋2015的值为（ ）
A.2013 B.2014 C.2015 D.2016
6.关于x的一元二次方程x2＋(2a - 1)x＋5 - a＝ax＋1的一次项系数为4，则常数项为__________。
7.若关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，则 a＋b＋c＝_______；若有一个根为-1，则b与a，c之间的关系为_________；若有一个根是0，则c＝_______。
8.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项
（1）2x2＝1-3x； （2）5x(x-2)＝4x2-3x.
9.已知a是关于x的一元二次方程x2 - 2018x＋1＝0的一个根，试求代数式a2 - 2017a＋的值。
10.已知a2-3a＋1＝0，求下列各式的值:
（1）2a2-6a-3； （2）a2＋a-2； （3）a-a-1。
11.已知关于x的方程（2k＋1）x2-4kx＋k-1＝0。
（1）k为何值时，这个方程是一元一次方程？并求出这个一元一次方程的解；
（2）k为何值时，这个方程是一元二次方程？并写出这个一元一次方程的二次项系数，一次项系数和常数项。
真 题 训 练
1.（2018·绥化）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A.xy＋2＝1 B.x2＋- 9＝0 C.x2＝0 D.ax2＋bx＋c＝0
2.（2018·盐城）已知一元二次方程x2＋k - 3＝0有一个根为1，则k的值为（ ）
A.- 2 B.2 C.- 4 D.4
3.（2018·扬州）若m是方程2x2 - 3x - 1＝0的一个根，则6m2 - 9m＋2015的值为__________。
4.（2018·南充）若2n（n≠0）是关于x的方程x2 - 2mx＋2n＝0的根，则m - n的值为____________。
5.（2018·资阳）已知关于x的一元二次方程mx2＋5x＋m2 - 2m＝0有一个根为0，则m＝__________。
参考答案及解析
知识梳理
知识点1: 一 ax2＋bx＋c＝0
知识点2:1.二次项 一次项 常数项
考点突破
1.C
2.（1）（2）（3）（5）（6）不是一元二次方程， （4）是一元二次方程
3.D
4.解:（1）当m≠±1时，方程为一元二次方程；
（2）当m为一1时，方程为一元一次方程。
5.解:（1）x2-13x-4＝0；1；-13；-4；
（2）x2-6x＋1＝0；1；-6；1；
（3）3x2-10x-8＝0；3；-10；-8；
（4）x2-12x-3＝0；1；-12；-3.
6.（1）2 （2）-2 （3）14
7. - 2
8.5
9，D
10.解:（1）x（x-5）＝150，即x2 - 5x - 150＝0
（2）①x不可能小于5.理由:如果x＜5则宽x-5＜0，不合题意。
x不可能等于10.理由:如果x＝10，则面积为10×（10-5）＝50≠150，所以x不可能等于10。
②原方程化为x2-5x-150＝0，如表所示
x
10
11
12
13
14
15
16
x2-5x-150
-100
-84
-66
-46
-24
0
26
所以铁片长x＝15cm
巩固提高
1.A 2.A 3.D 4.C 5.D
6. - 1 7. 0 a - b＋c＝0 0
8.解:（1）2x2＝1-3x一般形式为2x2＋3x-1＝0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1；
（2）5x（x-2）＝4x2-3x.一般形式为x2 - 7x＝0，二次项系数为1，一次项系数为7，常数项为0。
9.解:∵a是方程x2 - 2018x＋1＝0的一个根，
∴a2 - 2018a＋1＝0，∴a2＋1＝2018a，a2 - 2018a＝-1。
∴a2 - 2017a+=a2-2018a+a+=-1+a+=-1+a+=-1+=-1+=-1+2018=2017。
10.解:（1）∵a2-3a＋1＝0，∴a2-3a=-1.
∴2a2-6a-3＝2（a2-3a）-3＝2×(-1)-3=-5.
（2）∵a2-3a＋1＝0，∴.
∴；
（3）。
11.解:（1）方程是一元一次方程，则二次项系数为0，即2k＋1＝0，所以k＝－。
此时原方程化为2x－= 0，解得x＝。
所以当k = －时，方程是一元一次方程，它的解是x＝。
（2）当2k＋1≠0，即k≠－时，方程是元二次方程.二次项系数是2k＋1，一次项系数是－4k，常数项是k-1。
真题训练
C 2. B 3. 2018 4. 5. 2