【鲁教版八下精美学案】8.2.1 用配方法解一元二次方程（知识构建+考点归纳+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】8.2.1 用配方法解一元二次方程（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-09 07:07:12 | ||
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文档简介
第八章 一元二次方程
第2节 用配方法解一元二次方程
第1课时
知 识 梳 理
知识点 直接开平方法
1.直接开平方法的概念:
一般地，运用平方根的意义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫直接开平方法.如x2＝9，即x就是9的平方根，因此x＝±3。
注意 （1）开平方法的理论依据是平方根的意义，通过“降次”转化为一元一次方程求解，体现了数学的转化思想.
（2）适合用开平方法解的一元二次方程主要有两种类型:①x2＝a(a≥0)；②(x＋a)2＝b(a≠0，b≥0)。
2.用直接开平方法解一元二次方程的步骤：
（1）观察方程是否符合x2＝a（a≥0）或（x-a）2＝b（a≠0，b≥0）的形式；（2）直接开平方，得到两个一元一次方程；（3）解一元一次方程得到原方程的两个根。
3.直接开平方法的使用范围及注意事项:
（1）形如x2＝a（a≥0）的方程，方程的解是x＝±a；
（2）形如（x-a）2＝b（b≥0）的方程，方程的解是x＝±＋a；
（3）形如a（x-m）2＝b（ab≥0，a≠0）的方程，方程的解是x＝±＋m。
（4）用直接开平方法解形如（x＋a）2＝b的一元二次方程时，要注意b的符号.当b＞0时，方程的解是x＝±-a；当b＝0时，方程的解是x＝-a；当b＜0时，方程没有实数解；
（5）直接开平方法合适解一边是含未知数的完全平方式，另一边是非负数的形式的一元二次方程。
考 点 突 破
考点1: 用直接开平方法解一元二次方程
【典例1】解方程:（1）y2＝4；（2）x2-3＝0；（3）9x2-5＝8.
思路导析:（1）直接开平方求出方程的解.（2）先移项，再方程两边同乘以3，化成x2＝a的形式，然后再两边直接开方即可.（3）先移项合并同类项，再方程两边同除以9，化成x2＝a的形式，然后再两边直接开方即可。
解:（1）开平方，得y＝±2，所以y1＝2，y2＝-2。
（2）移项，得x2＝3，方程两边同乘以3，得x2＝9，方程两边同时开方，得x＝±3，所以x1＝3，x2＝-3。
（3）移项合并同类项，得9x2＝13，方程两边同除以9，得x2＝，
方程两边同时开方，得x＝±，所以x1＝，x2＝-。
友情提示 用直接开平方法解方程时，先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负实数的形式，再利用平方根的定义求解.要注意正数的平方根有两个，一正一负互为相反数，不要漏掉负的平方根.
变式1方程x2-9＝0的解是（ ）
A.x＝3 B.x＝-3 C.x＝±9 D.x1＝3，x2＝-3
变式2 用直接开平方法解一元二次方程:
（1）2y2＝8； （2）x2-15＝0； （3）4x2-＝0.
考点2: 形如（ax＋b）2＝c（c≥0）型方程的解法
【典例2】解方程:
（1）（x-1）2＝4；（2）x2-6x＋9＝25；（3）2（3x-1）2-8＝0；（4）25（x-4）2-4（5-2x）2＝0。
思路导析:（1）把（x-1）作为一个整体，方程两边直接开方，然后化为两个一元一次方程即可；（2）先将原方程化为（ax＋b）2＝c（c≥0）的形式，然后两边开平方转化为两个一元一次方程求解即可；（3）把（3x-1）看作一个整体，先移项，再把方程两边同时除以2，整理成（3x-1）2＝4，然后直接开平方，再解一元一次方程即可得出解；（4）先移项得到［5（x-4）］2＝［2（5-2x）］2，再两边直接开平方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可。
解:（1）方程两边直接开方得x-1＝±2，所以x1＝3，x2＝-1；
（2）原方程可化为（x-3）2＝52，方程两边同时开方，得x-3＝±5，即x-3＝5或x-3＝-5，
解得x1＝8，x2＝-2；
（3）移项，得2（3x-1）2＝8，方程两边同时除以2，得（3x-1）2＝4，方程两边同时开方，得3x-1＝±2，即3x-1＝2或3x-1＝-2，解得x1＝1，x2＝-3；
（4）∵原方程可化为［5（x-4）］2-［2（5-2x）］2＝0，移项，得［5（x-4）］2＝［2（5-2x）］2，∴5（x-4）＝±2（5-2x），即5（x-4）＝2（5-2x），5（x-4）＝-2（5-2x）所以x1＝2，x2＝10.
友情提示 如果方程的一边是一个含有未知数的一次式的完全平方式，而另一边是一个非负数，就可以根据平方根的意义，从把方程“降次”转化为两个一元一次方程，再按一元一次方程的解法求解。
变式3 一元二次方程（x-1）2-2＝0的根是（ ）
A.x＝ B.x1＝-1，x2＝3 C.x＝-2 D.x1＝1＋，x2＝1-
变式4 用直接开平方法解下列方程:
（1）(x-2)2＝3； （2）2(x-3)2＝72； （3）9(y＋4)2-49＝0； （4）4(2y-5)2＝9(3y-1)2.
考点3: 用直接开平方法求代数式的值
【典例3】（a2＋b2-3）2＝25，求a2＋b2的值.
思路导析: 由直接开平方法得到a2＋b2-3＝±5，则易求a2＋b2＝3±5.
解:由（a2＋b2-3）2＝25，得a2＋b2-3＝±5，∴a2＋b2＝3±5解得a2＋b2＝8或a2＋b2＝-2，a2＋b2≥0，
∴a2＋b2＝-2不合题意应舍去.∴a2＋b2的值为8.
友情提示 本题关键是利用直接开平方法解方程，但在解题过程中往往易忽略了a2＋b2是非负数，致使结果错误，本题属于易错题，应注意舍负取正。
变式5 若（m2＋n2-7）2＝9，则m2＋n2＝____________。
变式6 若（x2＋y2-1）2＝36，求x2＋y2的值。
巩 固 提 高
1.下列方程:①（x-1）2-1＝0，②x2-5＝0，③x2＋9＝0，④（x-3）2＋2＝0.可以用直接开平方法求解的有（ ）
A.③和④ B.①和② C.②和④ D.①和③
2.若方程（x-1）2＝m有解，则m的取值范围是（ ）
A.m≤0 B.m≥0 C.m＜0 D.m＞0
3.如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝2，那么这个方程是（ ）
A.x2＝4 B.x2＋4＝0 C.（x-2）2＝0 D.（x＋2）2＝0
4.在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a＊b＝a2-2ab＋b2，根据这个规则求方程（x-4）＊1＝0的解为_____________。
5.一元二次方程x2-a＝0的一个根是2，则a的值是_____________。
6.若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m＋1与2m-4，则这两根为______________。
7.在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a＊b＝a2-b2，根据这个规则，方程（x＋1）＊3＝0的解为_____________。
8.关于x的方程a（x＋m）2＋b＝0的解是x1＝2，x2＝-1（a，b，m均为常数，且a≠0），则a（2x＋m-1）2＋b＝0的解是_____________。
9.解方程:
（1）a2＝169； （2）1.44 - 0.64x2＝0；（3）x2-2＝0； （4）（x＋）（x-）＝6.
10.解方程:
（1）（x-1）2-9＝0； （2）（3x-1）2＝3； （3）4x2＋16x＋16＝25.
11.若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m＋1与2m-4.
（1）求m的值；
（2）求一的值12.已知直角三角形的长是方程9-（x-8）2＝0的两根，求直角三角形的第三边长.
真 题 训 练
1.（枣庄中考）x1，x2是一元二次方程3（x-1）2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（ ）A.x1小于-1，x2大于3 B.x1小于-2，x2大于3 C.x1，x2在-1和3之间 D.x1，x2都小于3
2.（2018·菏泽）给出一种运算:对于函数y＝xn，规定y’＝nxn-1.例如:若函数y＝x4，则有y’＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y’＝12的解是（ ）
A.x1＝4，x2＝-4 B.x1＝2，x2＝-2 C.x1＝x2＝0 D.x1＝2，x2＝-2
3.（泉州中考）方程x2＝2的解是_____________。
4.（2018·柳州）一元二次方程x2-9＝0的解是_______________。
5.（2018·焦作）定义新运算“”，对于非零实数a，b，规定ab＝ba，若2（x-1）＝3，则x＝____________。
参考答案及解析
考点突破
D
2.解:（1）y1＝2，y2＝-2；（2）x1＝5，x2＝-5（3）x1＝，x2＝-
3.D
4.解:（1）x1＝＋2，x2＝-＋2； （2）x1＝9，x2＝-3；
（3）y1＝，y2； （4）y1＝，y2 = 1.
5.10或4
6.解:∵（x2＋y2-1）2＝36，∴x2＋y2-1＝±6.∴x2＋y2＝7或x2＋y2 = -5，
∵x2＋y2≥0，∴x2＋y2＝7.
巩固提高
1.B 2.B 3.C 4.x1＝x2＝5 5.4 6.±2
7.x1＝2，x2＝-4 8.x1＝，x2 = 0.
9.（1）解:a1＝13，a2＝-13；（2）x1＝，x2＝-；（3）x1＝，x2＝-；（4）x1＝3，x2＝- 3.
10.解:（1）x1＝4，x2＝-2； （2）x1＝，x2＝；（3）x1＝ - 4.5，x2＝ 0.5
11.解:（1）ax2＝b，x2＝，x＝，即方程的两根互为相反数。
∵一元二次方程ax2＝b的两根分别为m＋1与2m-4.∴m＋1＋2m-4＝0，解得m＝1；
（2）当m＝1时，m＋1＝2，2m-4＝-2，∵x＝，一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m＋1与2m-4，∴＝（±2）2＝4.
12.解:9-（x-8）2＝0，去括号，得9-x2＋16x-64＝0，即x2-16x＋55＝0.
左边分解因式，得（x-5）（x-11）＝0，所以x-5＝0或x-11＝0.得x＝5或x＝11.
∵直角三角形两边长是方程9-（x-8）2＝0的两根，∴直角三角形两边长为5和11.
当直角三角形两直角边为5和11时，第三边斜边时，第三边为:，当直角三角形一直角边和斜边为5和11时，当第三边是一直角边时，第三边为:.
答:直角三角形第三边长为或.
真题训练
1.B 2.B 3.,x2 = -. 4. x1 = 3,x2 = -3 .
5. 或 解析：∵ab = ba，且2(x-1)=3.
∴(x-1)2 =3
∴x-1=.∴x1 =,x2 =.
第2节 用配方法解一元二次方程
第1课时
知 识 梳 理
知识点 直接开平方法
1.直接开平方法的概念:
一般地，运用平方根的意义直接开平方求出一元二次方程的解的方法叫直接开平方法.如x2＝9，即x就是9的平方根，因此x＝±3。
注意 （1）开平方法的理论依据是平方根的意义，通过“降次”转化为一元一次方程求解，体现了数学的转化思想.
（2）适合用开平方法解的一元二次方程主要有两种类型:①x2＝a(a≥0)；②(x＋a)2＝b(a≠0，b≥0)。
2.用直接开平方法解一元二次方程的步骤：
（1）观察方程是否符合x2＝a（a≥0）或（x-a）2＝b（a≠0，b≥0）的形式；（2）直接开平方，得到两个一元一次方程；（3）解一元一次方程得到原方程的两个根。
3.直接开平方法的使用范围及注意事项:
（1）形如x2＝a（a≥0）的方程，方程的解是x＝±a；
（2）形如（x-a）2＝b（b≥0）的方程，方程的解是x＝±＋a；
（3）形如a（x-m）2＝b（ab≥0，a≠0）的方程，方程的解是x＝±＋m。
（4）用直接开平方法解形如（x＋a）2＝b的一元二次方程时，要注意b的符号.当b＞0时，方程的解是x＝±-a；当b＝0时，方程的解是x＝-a；当b＜0时，方程没有实数解；
（5）直接开平方法合适解一边是含未知数的完全平方式，另一边是非负数的形式的一元二次方程。
考 点 突 破
考点1: 用直接开平方法解一元二次方程
【典例1】解方程:（1）y2＝4；（2）x2-3＝0；（3）9x2-5＝8.
思路导析:（1）直接开平方求出方程的解.（2）先移项，再方程两边同乘以3，化成x2＝a的形式，然后再两边直接开方即可.（3）先移项合并同类项，再方程两边同除以9，化成x2＝a的形式，然后再两边直接开方即可。
解:（1）开平方，得y＝±2，所以y1＝2，y2＝-2。
（2）移项，得x2＝3，方程两边同乘以3，得x2＝9，方程两边同时开方，得x＝±3，所以x1＝3，x2＝-3。
（3）移项合并同类项，得9x2＝13，方程两边同除以9，得x2＝，
方程两边同时开方，得x＝±，所以x1＝，x2＝-。
友情提示 用直接开平方法解方程时，先要将方程化为左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负实数的形式，再利用平方根的定义求解.要注意正数的平方根有两个，一正一负互为相反数，不要漏掉负的平方根.
变式1方程x2-9＝0的解是（ ）
A.x＝3 B.x＝-3 C.x＝±9 D.x1＝3，x2＝-3
变式2 用直接开平方法解一元二次方程:
（1）2y2＝8； （2）x2-15＝0； （3）4x2-＝0.
考点2: 形如（ax＋b）2＝c（c≥0）型方程的解法
【典例2】解方程:
（1）（x-1）2＝4；（2）x2-6x＋9＝25；（3）2（3x-1）2-8＝0；（4）25（x-4）2-4（5-2x）2＝0。
思路导析:（1）把（x-1）作为一个整体，方程两边直接开方，然后化为两个一元一次方程即可；（2）先将原方程化为（ax＋b）2＝c（c≥0）的形式，然后两边开平方转化为两个一元一次方程求解即可；（3）把（3x-1）看作一个整体，先移项，再把方程两边同时除以2，整理成（3x-1）2＝4，然后直接开平方，再解一元一次方程即可得出解；（4）先移项得到［5（x-4）］2＝［2（5-2x）］2，再两边直接开平方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可。
解:（1）方程两边直接开方得x-1＝±2，所以x1＝3，x2＝-1；
（2）原方程可化为（x-3）2＝52，方程两边同时开方，得x-3＝±5，即x-3＝5或x-3＝-5，
解得x1＝8，x2＝-2；
（3）移项，得2（3x-1）2＝8，方程两边同时除以2，得（3x-1）2＝4，方程两边同时开方，得3x-1＝±2，即3x-1＝2或3x-1＝-2，解得x1＝1，x2＝-3；
（4）∵原方程可化为［5（x-4）］2-［2（5-2x）］2＝0，移项，得［5（x-4）］2＝［2（5-2x）］2，∴5（x-4）＝±2（5-2x），即5（x-4）＝2（5-2x），5（x-4）＝-2（5-2x）所以x1＝2，x2＝10.
友情提示 如果方程的一边是一个含有未知数的一次式的完全平方式，而另一边是一个非负数，就可以根据平方根的意义，从把方程“降次”转化为两个一元一次方程，再按一元一次方程的解法求解。
变式3 一元二次方程（x-1）2-2＝0的根是（ ）
A.x＝ B.x1＝-1，x2＝3 C.x＝-2 D.x1＝1＋，x2＝1-
变式4 用直接开平方法解下列方程:
（1）(x-2)2＝3； （2）2(x-3)2＝72； （3）9(y＋4)2-49＝0； （4）4(2y-5)2＝9(3y-1)2.
考点3: 用直接开平方法求代数式的值
【典例3】（a2＋b2-3）2＝25，求a2＋b2的值.
思路导析: 由直接开平方法得到a2＋b2-3＝±5，则易求a2＋b2＝3±5.
解:由（a2＋b2-3）2＝25，得a2＋b2-3＝±5，∴a2＋b2＝3±5解得a2＋b2＝8或a2＋b2＝-2，a2＋b2≥0，
∴a2＋b2＝-2不合题意应舍去.∴a2＋b2的值为8.
友情提示 本题关键是利用直接开平方法解方程，但在解题过程中往往易忽略了a2＋b2是非负数，致使结果错误，本题属于易错题，应注意舍负取正。
变式5 若（m2＋n2-7）2＝9，则m2＋n2＝____________。
变式6 若（x2＋y2-1）2＝36，求x2＋y2的值。
巩 固 提 高
1.下列方程:①（x-1）2-1＝0，②x2-5＝0，③x2＋9＝0，④（x-3）2＋2＝0.可以用直接开平方法求解的有（ ）
A.③和④ B.①和② C.②和④ D.①和③
2.若方程（x-1）2＝m有解，则m的取值范围是（ ）
A.m≤0 B.m≥0 C.m＜0 D.m＞0
3.如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝2，那么这个方程是（ ）
A.x2＝4 B.x2＋4＝0 C.（x-2）2＝0 D.（x＋2）2＝0
4.在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a＊b＝a2-2ab＋b2，根据这个规则求方程（x-4）＊1＝0的解为_____________。
5.一元二次方程x2-a＝0的一个根是2，则a的值是_____________。
6.若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别是m＋1与2m-4，则这两根为______________。
7.在实数范围内定义一种运算“＊”，其规则为a＊b＝a2-b2，根据这个规则，方程（x＋1）＊3＝0的解为_____________。
8.关于x的方程a（x＋m）2＋b＝0的解是x1＝2，x2＝-1（a，b，m均为常数，且a≠0），则a（2x＋m-1）2＋b＝0的解是_____________。
9.解方程:
（1）a2＝169； （2）1.44 - 0.64x2＝0；（3）x2-2＝0； （4）（x＋）（x-）＝6.
10.解方程:
（1）（x-1）2-9＝0； （2）（3x-1）2＝3； （3）4x2＋16x＋16＝25.
11.若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m＋1与2m-4.
（1）求m的值；
（2）求一的值12.已知直角三角形的长是方程9-（x-8）2＝0的两根，求直角三角形的第三边长.
真 题 训 练
1.（枣庄中考）x1，x2是一元二次方程3（x-1）2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（ ）A.x1小于-1，x2大于3 B.x1小于-2，x2大于3 C.x1，x2在-1和3之间 D.x1，x2都小于3
2.（2018·菏泽）给出一种运算:对于函数y＝xn，规定y’＝nxn-1.例如:若函数y＝x4，则有y’＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y’＝12的解是（ ）
A.x1＝4，x2＝-4 B.x1＝2，x2＝-2 C.x1＝x2＝0 D.x1＝2，x2＝-2
3.（泉州中考）方程x2＝2的解是_____________。
4.（2018·柳州）一元二次方程x2-9＝0的解是_______________。
5.（2018·焦作）定义新运算“”，对于非零实数a，b，规定ab＝ba，若2（x-1）＝3，则x＝____________。
参考答案及解析
考点突破
D
2.解:（1）y1＝2，y2＝-2；（2）x1＝5，x2＝-5（3）x1＝，x2＝-
3.D
4.解:（1）x1＝＋2，x2＝-＋2； （2）x1＝9，x2＝-3；
（3）y1＝，y2； （4）y1＝，y2 = 1.
5.10或4
6.解:∵（x2＋y2-1）2＝36，∴x2＋y2-1＝±6.∴x2＋y2＝7或x2＋y2 = -5，
∵x2＋y2≥0，∴x2＋y2＝7.
巩固提高
1.B 2.B 3.C 4.x1＝x2＝5 5.4 6.±2
7.x1＝2，x2＝-4 8.x1＝，x2 = 0.
9.（1）解:a1＝13，a2＝-13；（2）x1＝，x2＝-；（3）x1＝，x2＝-；（4）x1＝3，x2＝- 3.
10.解:（1）x1＝4，x2＝-2； （2）x1＝，x2＝；（3）x1＝ - 4.5，x2＝ 0.5
11.解:（1）ax2＝b，x2＝，x＝，即方程的两根互为相反数。
∵一元二次方程ax2＝b的两根分别为m＋1与2m-4.∴m＋1＋2m-4＝0，解得m＝1；
（2）当m＝1时，m＋1＝2，2m-4＝-2，∵x＝，一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m＋1与2m-4，∴＝（±2）2＝4.
12.解:9-（x-8）2＝0，去括号，得9-x2＋16x-64＝0，即x2-16x＋55＝0.
左边分解因式，得（x-5）（x-11）＝0，所以x-5＝0或x-11＝0.得x＝5或x＝11.
∵直角三角形两边长是方程9-（x-8）2＝0的两根，∴直角三角形两边长为5和11.
当直角三角形两直角边为5和11时，第三边斜边时，第三边为:，当直角三角形一直角边和斜边为5和11时，当第三边是一直角边时，第三边为:.
答:直角三角形第三边长为或.
真题训练
1.B 2.B 3.,x2 = -. 4. x1 = 3,x2 = -3 .
5. 或 解析：∵ab = ba，且2(x-1)=3.
∴(x-1)2 =3
∴x-1=.∴x1 =,x2 =.