【鲁教版八下精美学案】8.2.2 用配方法解一元二次方程（知识构建+考点归纳+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】8.2.2 用配方法解一元二次方程（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-09 07:07:22 | ||
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文档简介
第八章 一元二次方程
第2节 用配方法解一元二次方程
第2课时
知 识 梳 理
知识点 配方法
1.定义:利用完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2把一元二次方程转化为（x＋a）2＝b（b≥0）的形式，再通过求一元二次方程的解的方法叫做配方法。
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤:（1）二次项系数化为1:方程化成一般形式后，两边同时除以二次项系数；（2）移项:使方程左边含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程变为（x-a）2＝b的形式；（4）开方:当b≥0时，直接用开平方法转化两个一元一次方程.（5）求解:解两个一元一次方程得原方程的解。
注意（1）配方法适合于任何一元二次方程.（2）配方法的关键是只有当二次项系数为1时，才能在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.（3）当b＜0时，原方程无实数解.
3.配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程求解.
4.配方的实质是:当二次项系数为1时，方程两边都加上一次项系数一半的平方。
考 点 突 破
考点1:二次三项式的配方
【典例1】填空:
（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋____）2； （2）x2-8x＋（ ）＝（x-______)2；
（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋_____)2； （4）4x2-6x＋（ ）＝4（x-____）2＝（2x-___)2.
思路导析:根据完全平方公式的特点，（1）（2）（3）可加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，（4）可直接配方，也可提取4再配方.
答案:（1）9 3 （2）16 4 （3） （4）
友情提示 完全平方式在解答问题时应用广泛，要正确计算出常数项与（x＋a）2，分清前后两个数据的关系。
变式1 给下列各式配上适当的数，使其成为恒等式。
（1）x2＋5x+_____＝（x＋___)2； （2）y2-y＋______＝（y- _____)2；
（3）x2-x＋______＝（x- ___)2； （4）x2＋x＋______＝（x＋____)2.
变式2 试说明:不论m为何值，关于x的方程（m2-8m＋17）x2＋2mx＋1＝0都是一元二次方程.
考点2: 用配方法解二次项系数是1的方程
【典例2】 解方程:x2＋6x-7＝0.
思路导析:对于二次项系数为1的一元二次方程，直接进行配方。
解:移项，得x2＋6x＝7，两边分别加9，得x2＋6x＋9＝7＋9，即（x＋3）2＝16。
∴x＋3＝4或x＋3＝-4，∴x1＝1，x2＝-7.
友情提示 对于二次项系数为1的一元二次方程，首先将常数项移到方程的一边（通常移到右边）；然后在方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，便可将方程的左边配成完全平方式，再利用平方根的定义将二次降为一次，求解。
变式3 用配方法解方程x2-2x-5＝0时，原方程应变形为（ ）
A.（x＋1）2＝6 B.（x-1）2＝6 C.（x＋2）2＝9 D.（x-2）2＝9
变式4解方程:（1）x2＋2x-3＝0； （2）x2-5x-6＝0； （3）x2-7x＋5＝0。
考点3: 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
【典例3】 解方程:2x2-3x-3＝0
思路导析:首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解。
解:方程两边同除以2，得x2-x-＝0，移项，得x2-x＝，
配方，得x2-x＋=+，即（x-）2=，
开平方，得x-＝±解得x1＝，x2 =.
友情提示 配方法的一般步骤:（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.
变式5 用配方解方程3x2-6x-1＝0，则方程可变形为（ ）
A.（x-3）2＝ B.3（x-1）2＝ C.（3x-1）2＝1 D.（x-1）2＝
变式6 用配方法解方程:
（1）x2-x-4＝0； （2）（x-3）2＋x2＝5.
考点4: 利用配方法求值或证明
【典例4】 先仔细阅读材料，再尝试解决问题:通过对有理数的学习，我们知道x2≥0，本学期学习了完全平方公式后，我们知道a2±2ab＋b2＝（a±b）2.所以完全平方式（a±b）2的值为非负数，这一性质在数学中有着广泛的应用.比如探求多项式2x2＋4x-5的最大（小）值时，我们可以这样处理:解:原式＝2（x2＋2x）-5＝2（x2＋2x＋12-12）-5
＝2［（x＋1）2-12］-5
＝2（x＋1）2-7
因为（x＋1）2≥0，所以2（x＋1）2-7≥0-7当x＝-1时，2（x＋1）2-7取得最小值，最小值是-7.
请根据上面的解题思路，解答下列问题:
（1）求多项式3x2-12x＋2的最小值是多少，并写出对应的x的取值；
（2）求多项式x2＋4x＋y2-2y＋8的最小值。
思路导析:（1）（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可。
解:（1）3x2-12x＋2＝3（x2-4x＋4-4）＋2＝3（x-2）2-10∵（x-2）2≥0，∴3（x-2）2-10≥-10，当x＝2时，多项式3x2-12x＋2的最小值是-10；
（2）x2＋4x＋y2-2y＋8＝x2＋4x＋4＋y2-2y＋1＋3＝（x＋2）2＋（y-1）2＋3，当x＝-2，y＝1时，多项式x2＋4x＋y2-2y＋8的最小值3。
友情提示 本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键。
变式7 阅读下面的解题过程:已知m2＋n2-4m＋n＋13＝0，试求m与n的值解:由已知得:m2-4m＋4＋n2＋6n＋9＝0因此:（m-2）2＋（n＋3）2＝0解得:m＝2且n＝-3.请你参考上面的解题方法解答下面的问题:已知x2＋y2＋2x-4y＋5＝0，试求xy.
变式8 先仔细阅读材料，再尝试解决问题完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2及（a±b）2的值具有非负性的特点在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式2x2＋12x-4的最小值时，我们可以这样处理:解:原式＝2（x2＋6x-2）＝2（x2＋6x＋9-9-2）
＝2［（x＋3）2-11］
＝2（x＋3）2-22.
因为无论x取什么数，都有（x＋3）2的值为非负数，所以（x＋3）2的最小值为0，当x＝-3时，2（x＋3）2-22的最小值是-22.解决问题:（1）请根据上面的解题思路探求:多项式x2＋4x＋5的最小值是多少，并写出此时x的值；
（2）请根据上面的解题思路探求:多项式-3x2-6x＋12的最大值是多少，并写出此时x的值.
巩 固 提 高
1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A.x2-2x-99＝0化为（x-1）2＝100 B.x2＋8x＋9＝0化为（x＋4）2＝25
C.2t2-7t-4＝0化为（t-)2 = D.3x2-4x-2＝0化为（x-）2＝
2.已知2x2-2xy＋y2＋4x＋4＝0，x＋y＝（ ）
A.-4 B.4 C.2 D.-2
3.已知关于x的多项式 - x2＋mx＋4的最大值为5，则m的值可能为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.5
4.若方程是一元二次方程，则方程的根是（ ）
A.， B.，
C.， D.以上答案都不对
5.将一元二次方程x2-6x＋5＝0化成（x-a）2＝b的形式，则ab＝_____________。
6.一元二次方程x2-2x＋3＝0的解是_____________。
7.已知关于x的方程x2＋3mx＋m2＝0的一个根是x＝1，那么m＝____________。
8.菱形的两条对角线的长分别是方程x2-14x＋48＝0的两实根，则菱形的面积为____________。
9.用配方法解方程:
（1）x2＋8x＝9； （2）-3x2＋12x＋15＝0； （3）3x2 - 6x-1＝0； （4）2x2 - 4x - 1＝0
10.一元二次方程x2 - 2x - ＝0的某个根也是一元二次方程x2 -（k＋2）x＋＝0的根，求k的值。
11.若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2 - 6a＋b2 - 8b＋＋25＝0，请根据已知条件判断△ABC的形状。
12.某小区规划在一块长10 m、宽8 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，如图所示，其余部分种草，若每块种草的小矩形面积达到6m2，求道路的宽。
真 题 训 练
1.（2018·珠海）一元二次方程y2-y-＝0配方后可化为（ ）
A. B. C.（y＋）2＝ D.（y－）2＝
2.（2018·泰安）一元二次方程（x＋1）（x-3）＝2x-5根的情况是（ ）
A.无实数根 B.有一个正根，一个负根
C.有两个正根，且都小于3 D.有两个正根，且有一根大于3
3.（聊城中考）用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A. B.
C. D.
4.（2018·顺义）把方程x2-3＝2x用配方法化为（x＋m）2＝n的形式，则m＝_________，n＝_________。
5.（徐州中考）解方程:x2＋4x-1＝0.
参考答案及解析
知识梳理
知识点:1.直接开平方法
考点突破
1.（1） （2） （3） （4）
2.解:∵m2-8m＋17＝m2-8m＋16＋1＝（m-4）2＋1＞0，
∴不论m为何值，关于x的方程(m2-8m＋17)x2＋2mx＋1＝0都是一元二次方程.
3.B
4.解:（1）x1＝1，x2＝-3；（2）x1＝6，x2＝-1；（3）x1 =，x2＝
5.D
6.解:（1）x1＝2＋，x2＝2-, （2）x1＝2，x2＝1
7.解:x2＋y2＋2x-4y＋5＝0，∴（x＋1）2＋（y-2）2＝0.
∴x＋1＝0，y-2＝0,解得x＝-1，y＝2
∴xy＝1.
8.解:（1）x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝（x＋2）2＋1，
当x＝-2时，多项式x2＋4x＋5的最小值是1
（2）-3x2-6x＋12＝-3（x2＋2x＋1）＋3＋12＝-3（x＋1）2＋15，
当x＝-1时，多项式-3x2-6x＋12的最大值是15.
巩固提高
1.B 2.A 3.B 4.B 5.12
6.x1＝，x2＝ 7. 8. 24
9，解x1 = - 9，x2＝1； （2）x1＝-1，x2＝5；
（3）x1＝，x2＝ ； （4）x1＝1＋ ，x2 =1－.
10.解:把k＝或k＝-7.
11.解:等式变形为a2-6a＋9＋b2-8b＋16＋＝0.
即（a-3）2＋（b－4）2＋＝0
∴（a-3）2＝0，（b－4）2＝0,＝0
∴a＝3，b＝4，c＝5
∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2
∴△ABC为直角三角形.
12.解:设道路的宽为x m，
由题意得（10-2x）（8一x）＝6×6，整理得2x2-26x＋44＝0，
系数化为1得x2-13x＋22＝0，
配方得
解这个方程得x1＝2，x2＝11（舍去）
答:道路的宽为2m
真题训练
1.B 2.D 3.A 4. -14
5.解:∵x2＋4x-1＝0，∴x2＋4x＋4＝1＋4,
∴（x＋2）2＝5.
∴x1＝－2＋，x2＝－2－
第2节 用配方法解一元二次方程
第2课时
知 识 梳 理
知识点 配方法
1.定义:利用完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2把一元二次方程转化为（x＋a）2＝b（b≥0）的形式，再通过求一元二次方程的解的方法叫做配方法。
2.用配方法解一元二次方程的一般步骤:（1）二次项系数化为1:方程化成一般形式后，两边同时除以二次项系数；（2）移项:使方程左边含有二次项和一次项，右边为常数项；（3）配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方，将方程变为（x-a）2＝b的形式；（4）开方:当b≥0时，直接用开平方法转化两个一元一次方程.（5）求解:解两个一元一次方程得原方程的解。
注意（1）配方法适合于任何一元二次方程.（2）配方法的关键是只有当二次项系数为1时，才能在方程两边同时加上一次项系数一半的平方.（3）当b＜0时，原方程无实数解.
3.配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程求解.
4.配方的实质是:当二次项系数为1时，方程两边都加上一次项系数一半的平方。
考 点 突 破
考点1:二次三项式的配方
【典例1】填空:
（1）x2＋6x＋（ ）＝（x＋____）2； （2）x2-8x＋（ ）＝（x-______)2；
（3）x2＋x＋（ ）＝（x＋_____)2； （4）4x2-6x＋（ ）＝4（x-____）2＝（2x-___)2.
思路导析:根据完全平方公式的特点，（1）（2）（3）可加上一次项系数一半的平方配成完全平方式，（4）可直接配方，也可提取4再配方.
答案:（1）9 3 （2）16 4 （3） （4）
友情提示 完全平方式在解答问题时应用广泛，要正确计算出常数项与（x＋a）2，分清前后两个数据的关系。
变式1 给下列各式配上适当的数，使其成为恒等式。
（1）x2＋5x+_____＝（x＋___)2； （2）y2-y＋______＝（y- _____)2；
（3）x2-x＋______＝（x- ___)2； （4）x2＋x＋______＝（x＋____)2.
变式2 试说明:不论m为何值，关于x的方程（m2-8m＋17）x2＋2mx＋1＝0都是一元二次方程.
考点2: 用配方法解二次项系数是1的方程
【典例2】 解方程:x2＋6x-7＝0.
思路导析:对于二次项系数为1的一元二次方程，直接进行配方。
解:移项，得x2＋6x＝7，两边分别加9，得x2＋6x＋9＝7＋9，即（x＋3）2＝16。
∴x＋3＝4或x＋3＝-4，∴x1＝1，x2＝-7.
友情提示 对于二次项系数为1的一元二次方程，首先将常数项移到方程的一边（通常移到右边）；然后在方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，便可将方程的左边配成完全平方式，再利用平方根的定义将二次降为一次，求解。
变式3 用配方法解方程x2-2x-5＝0时，原方程应变形为（ ）
A.（x＋1）2＝6 B.（x-1）2＝6 C.（x＋2）2＝9 D.（x-2）2＝9
变式4解方程:（1）x2＋2x-3＝0； （2）x2-5x-6＝0； （3）x2-7x＋5＝0。
考点3: 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程
【典例3】 解方程:2x2-3x-3＝0
思路导析:首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解。
解:方程两边同除以2，得x2-x-＝0，移项，得x2-x＝，
配方，得x2-x＋=+，即（x-）2=，
开平方，得x-＝±解得x1＝，x2 =.
友情提示 配方法的一般步骤:（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数.
变式5 用配方解方程3x2-6x-1＝0，则方程可变形为（ ）
A.（x-3）2＝ B.3（x-1）2＝ C.（3x-1）2＝1 D.（x-1）2＝
变式6 用配方法解方程:
（1）x2-x-4＝0； （2）（x-3）2＋x2＝5.
考点4: 利用配方法求值或证明
【典例4】 先仔细阅读材料，再尝试解决问题:通过对有理数的学习，我们知道x2≥0，本学期学习了完全平方公式后，我们知道a2±2ab＋b2＝（a±b）2.所以完全平方式（a±b）2的值为非负数，这一性质在数学中有着广泛的应用.比如探求多项式2x2＋4x-5的最大（小）值时，我们可以这样处理:解:原式＝2（x2＋2x）-5＝2（x2＋2x＋12-12）-5
＝2［（x＋1）2-12］-5
＝2（x＋1）2-7
因为（x＋1）2≥0，所以2（x＋1）2-7≥0-7当x＝-1时，2（x＋1）2-7取得最小值，最小值是-7.
请根据上面的解题思路，解答下列问题:
（1）求多项式3x2-12x＋2的最小值是多少，并写出对应的x的取值；
（2）求多项式x2＋4x＋y2-2y＋8的最小值。
思路导析:（1）（2）利用配方法把原式变形，根据非负数的性质解答即可。
解:（1）3x2-12x＋2＝3（x2-4x＋4-4）＋2＝3（x-2）2-10∵（x-2）2≥0，∴3（x-2）2-10≥-10，当x＝2时，多项式3x2-12x＋2的最小值是-10；
（2）x2＋4x＋y2-2y＋8＝x2＋4x＋4＋y2-2y＋1＋3＝（x＋2）2＋（y-1）2＋3，当x＝-2，y＝1时，多项式x2＋4x＋y2-2y＋8的最小值3。
友情提示 本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键。
变式7 阅读下面的解题过程:已知m2＋n2-4m＋n＋13＝0，试求m与n的值解:由已知得:m2-4m＋4＋n2＋6n＋9＝0因此:（m-2）2＋（n＋3）2＝0解得:m＝2且n＝-3.请你参考上面的解题方法解答下面的问题:已知x2＋y2＋2x-4y＋5＝0，试求xy.
变式8 先仔细阅读材料，再尝试解决问题完全平方公式a2±2ab＋b2＝（a±b）2及（a±b）2的值具有非负性的特点在数学学习中有着广泛的应用，例如求多项式2x2＋12x-4的最小值时，我们可以这样处理:解:原式＝2（x2＋6x-2）＝2（x2＋6x＋9-9-2）
＝2［（x＋3）2-11］
＝2（x＋3）2-22.
因为无论x取什么数，都有（x＋3）2的值为非负数，所以（x＋3）2的最小值为0，当x＝-3时，2（x＋3）2-22的最小值是-22.解决问题:（1）请根据上面的解题思路探求:多项式x2＋4x＋5的最小值是多少，并写出此时x的值；
（2）请根据上面的解题思路探求:多项式-3x2-6x＋12的最大值是多少，并写出此时x的值.
巩 固 提 高
1.用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）
A.x2-2x-99＝0化为（x-1）2＝100 B.x2＋8x＋9＝0化为（x＋4）2＝25
C.2t2-7t-4＝0化为（t-)2 = D.3x2-4x-2＝0化为（x-）2＝
2.已知2x2-2xy＋y2＋4x＋4＝0，x＋y＝（ ）
A.-4 B.4 C.2 D.-2
3.已知关于x的多项式 - x2＋mx＋4的最大值为5，则m的值可能为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.5
4.若方程是一元二次方程，则方程的根是（ ）
A.， B.，
C.， D.以上答案都不对
5.将一元二次方程x2-6x＋5＝0化成（x-a）2＝b的形式，则ab＝_____________。
6.一元二次方程x2-2x＋3＝0的解是_____________。
7.已知关于x的方程x2＋3mx＋m2＝0的一个根是x＝1，那么m＝____________。
8.菱形的两条对角线的长分别是方程x2-14x＋48＝0的两实根，则菱形的面积为____________。
9.用配方法解方程:
（1）x2＋8x＝9； （2）-3x2＋12x＋15＝0； （3）3x2 - 6x-1＝0； （4）2x2 - 4x - 1＝0
10.一元二次方程x2 - 2x - ＝0的某个根也是一元二次方程x2 -（k＋2）x＋＝0的根，求k的值。
11.若a，b，c是△ABC的三边长且满足a2 - 6a＋b2 - 8b＋＋25＝0，请根据已知条件判断△ABC的形状。
12.某小区规划在一块长10 m、宽8 m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，如图所示，其余部分种草，若每块种草的小矩形面积达到6m2，求道路的宽。
真 题 训 练
1.（2018·珠海）一元二次方程y2-y-＝0配方后可化为（ ）
A. B. C.（y＋）2＝ D.（y－）2＝
2.（2018·泰安）一元二次方程（x＋1）（x-3）＝2x-5根的情况是（ ）
A.无实数根 B.有一个正根，一个负根
C.有两个正根，且都小于3 D.有两个正根，且有一根大于3
3.（聊城中考）用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），此方程可变形为（ ）
A. B.
C. D.
4.（2018·顺义）把方程x2-3＝2x用配方法化为（x＋m）2＝n的形式，则m＝_________，n＝_________。
5.（徐州中考）解方程:x2＋4x-1＝0.
参考答案及解析
知识梳理
知识点:1.直接开平方法
考点突破
1.（1） （2） （3） （4）
2.解:∵m2-8m＋17＝m2-8m＋16＋1＝（m-4）2＋1＞0，
∴不论m为何值，关于x的方程(m2-8m＋17)x2＋2mx＋1＝0都是一元二次方程.
3.B
4.解:（1）x1＝1，x2＝-3；（2）x1＝6，x2＝-1；（3）x1 =，x2＝
5.D
6.解:（1）x1＝2＋，x2＝2-, （2）x1＝2，x2＝1
7.解:x2＋y2＋2x-4y＋5＝0，∴（x＋1）2＋（y-2）2＝0.
∴x＋1＝0，y-2＝0,解得x＝-1，y＝2
∴xy＝1.
8.解:（1）x2＋4x＋5＝x2＋4x＋4＋1＝（x＋2）2＋1，
当x＝-2时，多项式x2＋4x＋5的最小值是1
（2）-3x2-6x＋12＝-3（x2＋2x＋1）＋3＋12＝-3（x＋1）2＋15，
当x＝-1时，多项式-3x2-6x＋12的最大值是15.
巩固提高
1.B 2.A 3.B 4.B 5.12
6.x1＝，x2＝ 7. 8. 24
9，解x1 = - 9，x2＝1； （2）x1＝-1，x2＝5；
（3）x1＝，x2＝ ； （4）x1＝1＋ ，x2 =1－.
10.解:把k＝或k＝-7.
11.解:等式变形为a2-6a＋9＋b2-8b＋16＋＝0.
即（a-3）2＋（b－4）2＋＝0
∴（a-3）2＝0，（b－4）2＝0,＝0
∴a＝3，b＝4，c＝5
∵32＋42＝52，即a2＋b2＝c2
∴△ABC为直角三角形.
12.解:设道路的宽为x m，
由题意得（10-2x）（8一x）＝6×6，整理得2x2-26x＋44＝0，
系数化为1得x2-13x＋22＝0，
配方得
解这个方程得x1＝2，x2＝11（舍去）
答:道路的宽为2m
真题训练
1.B 2.D 3.A 4. -14
5.解:∵x2＋4x-1＝0，∴x2＋4x＋4＝1＋4,
∴（x＋2）2＝5.
∴x1＝－2＋，x2＝－2－