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1.4 生活中的优化问题举例（解析版）
考 点 考纲要求 要求 题型
长度、面积、容积的最值问题用料最省、费用最低问题利润最大、效率最高问题 .通过实例体会导数在解决实际问题中的作用.能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. I 解答题
知识梳理
一、优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
二、解决优化问题的基本思路
典例讲解
考向一 长度、面积、容积的最值问题
[典例1] 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
[解析] 设包装盒的高为h cm，底面边长为a cm.
由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800，
所以当x＝15时，S取得最大值．
(2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)．
由V′＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.
当x∈(0,20)时，V′>0；
当x∈(20,30)时，V′<0.
所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．
此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为.
解决面积、容积的最值问题的思路：
1．解决长度、面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．
2．必要时，可选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题．
1.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2.问：x，y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)
解析：依题意，有xy＋·x·＝8，
所以y＝＝－(0于是框架用料长度为
l＝2x＋2y＋2()＝(＋)x＋.
所以l′＝＋－.令l′＝0，即＋－＝0，
解得x1＝8－4，x2＝4－8(舍去)．
当0当8－40.
所以当x＝8－4时，l取得最小值．
此时，x＝8－4≈2.343 (m)，y≈2.828 (m)．
即当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省．
考向二 用料最省、费用最低问题
[典例2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
[解析] (1)隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，
再由C(0)＝8，得k＝40，
因此C(x)＝.
而建造费用为C1(x)＝6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5或x＝－(舍去)．
当0≤x<5时，f′(x)<0；
当50，故x＝5是f(x)的最小值点，
对应的最小值为f(5)＝6×5＋＝70.
所以，当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．
解答用料最省、费用最低问题：
用料最省、费用最低问题出现的形式多与几何体有关，解题时根据题意明确哪一项指标最省(往往要从几何体的面积、体积入手)，将这一指标表示为自变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围，即函数的定义域．
2．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？
解析：设速度为每小时v千米的燃料费为每小时p元，由题意得p＝k·v3，其中k为比例系数，当v＝10，p＝6，解得k＝＝0.006.
于是有p＝0.006v3.
设当速度为每小时v千米时，行1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行1千米所需时间为小时，所以行1千米的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20.
因当v<20时，q′<0；当v>20时，q′>0，所以当v＝20时取得最小值．
即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最小．
考向三 利润最大、效率最高问题
[典例3] 为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力，降低能耗，从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价值a万元的药品生产线，经过测算，生产成本降低y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②当x＝时，y＝a3，并且技术改造投入比率∈(0，t]，t为常数且t∈(0,2]．
(1)求y＝f(x)的表达式及定义域；
(2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y的最大值及相应的x值．
[解析] (1)设y＝f(x)＝k(a－x)x2，
当x＝时，y＝a3，即a3＝k··，∴k＝8.
∴f(x)＝8(a－x)x2.
∵0<≤t，
∴函数的定义域是.
(2)f′(x)＝－24x2＋16ax，令f′(x)＝0，则x＝0(舍去)或x＝.
当00，∴f(x)在上是增函数；当x>时，f′(x)<0，∴f(x)在上是减函数．
∴x＝为f(x)的极大值点．
当≥，即1≤t≤2时，ymax＝f＝a3；
当<，即0f＝.
综上，当1≤t≤2时，投入万元，y的最大值为a3；
当0
求解利润最大问题方法：
利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．
3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解析：(1)∵当x＝5时，y＝11，∴＋10＝11，∴a＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2，
∴商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)
＝2＋10(x－3)(x－6)2，其中3∴f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]
＝30(x－4)(x－6)．
∴当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (3,4) 4 (4,6)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? 极大值42 ?
由表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．
∴当x＝4时，函数f(x)取得最大值42.
故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
过关检测
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x>9时，y′<0；当x∈(0,9)时，y′>0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x＝9时函数取最大值．
答案：C
2.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
解析：原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.
答案：C
3．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( )
A．10 B．15
C．25 D．50
解析：如图，CDEF为半圆O的内接矩形，C、D为圆上的动点，
连接OC，设∠COF＝α，则
CF＝5sin α，OF＝5cos α，
∴S矩形CDEF＝2×5cos α·5sin α
＝25sin 2α(0<α<)．
∴S矩形CDEF的最大值为25.
答案：C
4．某人要购买8件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物付款额最省，此人每次购买礼物的数量分别为( )
A．2,6 B．4,4
C．3,5 D．1,7
解析：设第一次购买了x件礼物，则第二次购买了8－x件，则付款额f(x)＝x3＋(8－x)3，
f′(x)＝3x2－3(8－x)2＝3(16x－64)，
令f′(x)＝0，得x＝4，
∴当x＝4时，付款额最省．
答案：B
5．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
解析：由题意可得总利润P(x)＝－＋300x－20 000，0≤x≤390，由P′(x)＝－＋300＝0，得x＝300.当0≤x<300时，P′(x)>0；当300答案：D
6．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为( )
A．0.032 B．0.024
C．0.04 D．0.036
解析：设存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，x∈(0，0.048)．所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(00；当0.032答案：A
7.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形的长和宽分别为( )
A．2， B.，
C.，2 D．4，
解析：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x，y)，其中00，则另一个在抛物线上的顶点为(－x，y)，在x轴上的两个顶点分别为(－x,0)，(x,0)．
设矩形的面积为S，则S＝2x(4－x2)(00；当因此，当x＝时，S取得极大值，也就是最大值，此时，2x＝，4－x2＝.所以矩形的长和宽分别为和时，矩形的面积最大．
答案：B
8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________．
解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，
由题知k＝250 000，则a2x＝250 000，
所以a＝，
总利润y＝500－x3－1 200(x>0)，
y′＝－x2，
由y′＝0，得x＝25，
当x∈(0,25)时，y′>0，当x∈(25，＋∞)时，y′<0，
所以当x＝25时，y取得最大值．
答案：25件
9．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为________．
解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，则R＝rcos θ，l＝2rsin θ.
∴S侧＝2πR·l＝2πrcos θ×2rsin θ＝4πr2sin θcos θ.
∴由S′侧＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝0，得θ＝.
∴当θ＝，即R＝r时，S侧最大，且S侧最大值为2πr2.
答案：2πr2
10.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．
解析：设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r>0)，
则水桶的高为，所以S＝πr2＋2πr×＝πr2＋(r>0)，求导数，得S′＝2πr－，令S′＝0，解得r＝3.当03时，S′>0，所以当r＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．
答案：3
11．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝，总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋x2＝＋x2，
令f′(x)＝x－＝0，解得x＝20.
且当020时f′(x)>0，故x＝20时，f(x)最小．
答案：20
12.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．
解析：由题意设每小时的燃料费y与航速v间满足y＝av3(0≤v≤30)，
又∵25＝a·103，∴a＝.
设从甲地到乙地海轮的航速为v，总费用为f(v)，
则f(v)＝av3×＋×400＝20v2＋，
由f′(v)＝40v－＝0，得v＝20<30.
答案：20海里/时
13．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．
解析：设长，宽分别为a，b，则ab＝512，且l＝a＋2b，∴l＝2b＋，∴l′＝2－，令l′＝0得b2＝256，∴b＝16，a＝32.即当长、宽分别为32 m、16 m时最省材料．
答案：32 m,16 m
14．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处．
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝，每月库存货物的运费y2＝k2x，其中x是仓库到车站的距离，k1，k2是比例系数．
于是由2＝得k1＝20；由8＝10k2得k2＝.
因此，两项费用之和为y＝＋(x>0)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5，或x＝－5(舍去)．当05时，y′>0.因此，当x＝5时，y取得极小值，也是最小值．
故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小．
答案：5
15..圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解析：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积，
S＝2πRh＋2πR2
由V＝πR2h，得h＝，则
S(R)＝2πR＋2πR2＝＋2πR2，
令S′(R)＝－＋4πR＝0，
解得，R＝，
从而h＝＝
＝＝2·.
即h＝2R.
因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值．
所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．
16．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
解析：设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3.
则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)
＝12(x－10)(x－36)(0令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．
当00，V(x)是增函数；
当10因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，
其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)
＝19 600(cm3)．
故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.
17．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．
(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入资金)
解析：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0故当t＝2(百万元)时，f(t)取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)(0≤x≤3)，又设由此而获得的收益是g(x)，则有
g(x)＝(－x3＋x2＋3x)＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)．
∴g′(x)＝－x2＋4.令g′(x)＝0，
解得x＝－2(舍去)或x＝2.
又当0≤x<2时，g′(x)>0；
当2故g(x)在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数．
∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．
18．设某物体一天中的温度T(℃)是时间t(h)的函数：T(t)＝at3＋bt2＋ct＋d(a≠0)．t＝0表示12点，t>0表示12点以后，t<0表示12点以前．若测得该物体在8点的温度为8 ℃，12点的温度为60 ℃，13点的温度为58 ℃，并且该物体的温度在8点和16点有相同的变化率．
(1)写出该物体的温度T与时间t之间的函数表达式；
(2)该物体在10点到14点这段时间内(包括10点和14点)，在何时温度最高？最高值是多少？
解析：(1)根据题意，得
即
又∵该物体的温度在8点和16点有相同的变化率，且T′＝3at2＋2bt＋c，
∴T′(－4)＝T′(4)，即
48a－8b＋c＝48a＋8b＋c.
∴b＝0.
将b＝0代入上述方程组中，并进行化简得
∴
∴该物体的温度T与时间t之间的函数表达式为T＝t3－3t＋60.
(2)由(1)，T′(t)＝3t2－3＝3(t－1)(t＋1)(－2≤t≤2)，
令T′(t)＝0，得t＝±1.
当t变化时，T′(t)和T(t)的变化情况如下表：
t －2 (－2，－1) －1 (－1，1) 1 (1,2) 2
T′(t) ＋ 0 － 0 ＋
T(t) 58 ? 极大值62 ? 极小值58 ? 62
可知t＝－1是函数的极大值点，且极大值为T(－1)＝62；t＝1是函数的极小值点，且极小值为T(1)＝58.
又函数在区间[－2,2]的端点函数值为T(－2)＝58，T(2)＝62，
比较以上数值可以得出，当t＝2或－1时，T(t)取最大值，即在11点、14点时物体的温度最高，最高温度为62 ℃.
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1.4 生活中的优化问题举例（学生版）
考 点 考纲要求 要求 题型
长度、面积、容积的最值问题用料最省、费用最低问题利润最大、效率最高问题 .通过实例体会导数在解决实际问题中的作用.能够利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. I 解答题
知识梳理
一、优化问题
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．
二、解决优化问题的基本思路
典例讲解
考向一 长度、面积、容积的最值问题
[典例1] 请你设计一个包装盒，如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE＝FB＝x cm.
(1)某广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？
(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
1.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2.问：x，y分别为多少时用料最省？(精确到0.001 m)
考向二 用料最省、费用最低问题
[典例2] 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
2．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？
考向三 利润最大、效率最高问题
[典例3] 为了解决老百姓“看病贵”的问题，国家多次下调药品价格，各大药厂也在积极行动，通过技术改造来提高生产能力，降低能耗，从而降低药品生产的成本．某药厂有一条价值a万元的药品生产线，经过测算，生产成本降低y万元与技术改造投入x万元之间满足：①y与(a－x)和x2的乘积成正比；②当x＝时，y＝a3，并且技术改造投入比率∈(0，t]，t为常数且t∈(0,2]．
(1)求y＝f(x)的表达式及定义域；
(2)为了有更大的降价空间，要尽可能地降低药品的生产成本，求y的最大值及相应的x值．
3．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
过关检测
1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A．13万件 B．11万件
C．9万件 D．7万件
2.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A．8 B.
C．－1 D．－8
3．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( )
A．10 B．15
C．25 D．50
4．某人要购买8件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物付款额最省，此人每次购买礼物的数量分别为( )
A．2,6 B．4,4
C．3,5 D．1,7
5．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x(0≤x≤390)的关系是R(x)＝－＋400x，(0≤x≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )
A．150 B．200
C．250 D．300
6．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为( )
A．0.032 B．0.024
C．0.04 D．0.036
7.已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形的长和宽分别为( )
A．2， B.，
C.，2 D．4，
8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________．
9．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为________．
10.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．
11．某公司一年购买某种货物2 000吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为x2万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
12.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．
13．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．
14．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，y1和y2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处．
15..圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
16．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
17．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)．
(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入资金)
18．设某物体一天中的温度T(℃)是时间t(h)的函数：T(t)＝at3＋bt2＋ct＋d(a≠0)．t＝0表示12点，t>0表示12点以后，t<0表示12点以前．若测得该物体在8点的温度为8 ℃，12点的温度为60 ℃，13点的温度为58 ℃，并且该物体的温度在8点和16点有相同的变化率．
(1)写出该物体的温度T与时间t之间的函数表达式；
(2)该物体在10点到14点这段时间内(包括10点和14点)，在何时温度最高？最高值是多少？
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