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2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法（解析版）
考 点 考纲要求 要求 题型
综合法和分析法的应用 能知道直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2.掌握分析综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题. II 选择。填空。解答题
知识梳理
1．直接证明
综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．
2．综合法和分析法的定义、框图
综合法 分析法
定 义 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫作分析法
框图表示 →→→…→ (P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论．) →→→…→
典例解析
考向一 综合法的应用
[例1] 设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠－3.
(1)求证：{an}是等比数列；
(2)若数列{an}的公比为q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，
求证：{}为等差数列．
1．已知a，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
考向二 分析法的应用
[例2] 设a，b∈R，求证：≥(a＋b)．
2．已知a>0，求证： －≥a＋－2.
考向三 综合法与分析法的综合应用
[例3] △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c分别是A，B，C所对的边，求证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
3．设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，证明：＋＝2.
过关检测
1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法和综合法综合使用
D．间接证法
2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A．b B．－b
C. D．－
3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：
A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
4．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到 A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是( )
A．a2C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
5．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x<0)，则a与b大小关系为( )
A．a>b B．aC．a＝b D．a≤b
6．欲证－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
7.设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.
8．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
9.在△ABC中，已知cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状一定是________．
10.已知sin x＝，x∈(，)，则tan(x－)＝________.
11．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
12．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
13．如图，在直四棱柱A1B1C1D1?ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
14．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是15.设a，b大于0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
16．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，求证：函数y＝f(x＋)为偶函数．
17．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
18．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
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2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法（解析版）
考 点 考纲要求 要求 题型
综合法和分析法的应用 能知道直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2.掌握分析综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题. II 选择。填空。解答题
知识梳理
1．直接证明
综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．
2．综合法和分析法的定义、框图
综合法 分析法
定 义 一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫作分析法
框图表示 →→→…→ (P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论．) →→→…→
典例解析
考向一 综合法的应用
[例1] 设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠－3.
(1)求证：{an}是等比数列；
(2)若数列{an}的公比为q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，
求证：{}为等差数列．
[证明] (1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得
(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.
两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man(m≠－3)，
∴＝.
又m为常数，且m≠－3，
∴{an}是等比数列．
(2)∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3，
∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3.
又m≠－3，则a1＝1.
∴b1＝a1＝1.
由(1)，可得q＝f(m)＝(m≠－3)．
∴n∈N*且n≥2时，bn＝f(bn－1)＝·.
∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1.
∴－＝.
∴数列{}是首项为1，公差为的等差数列．
综合法证明数学问题的步骤
(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；
(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程．
(3)适当调整，回顾反思，回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，对语言进行适当的修饰，反思总结．
1．已知a，b>0，且a＋b＝1，求证：＋≥4.
证明：解法一：∵a，b是正数，
∴a＋b≥2>0，
＋≥2>0(当且仅当a＝b时，上两式取等号)．
∴(a＋b)(＋)≥4.
又a＋b＝1，∴＋≥4.
解法二：∵a，b是正数，且a＋b＝1，
∴＋＝＋
＝1＋＋＋1≥2＋2＝4(当且仅当a＝b时，取等号)．
考向二 分析法的应用
[例2] 设a，b∈R，求证：≥(a＋b)．
[证明] 当a＋b<0时，≥0，
不等式≥(a＋b)显然成立．
当a＋b≥0时，要证明≥(a＋b)成立．
只需证()2≥2，
即证a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.
因为a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，
所以≥(a＋b)成立．
综上所述，不等式得证．
分析法证明不等式要注意哪些事项
2．已知a>0，求证： －≥a＋－2.
证明：要证明 －≥a＋－2.
只需证： ＋2≥a＋＋.
由于a>0.
因此只需证明2≥2
即a2＋＋4 ＋4≥a2＋＋
2＋4，
只需证2 ≥.
只需证4≥2，
也就是证明a2＋≥2.
上述不等式显然成立，故原不等式成立．
考向三 综合法与分析法的综合应用
[例3] △ABC的三个内角A，B，C成等差数列，a，b，c分别是A，B，C所对的边，求证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
[证明] 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1，
即证＋＝，
只需证＋＝3，
化简，得＋＝1，
即c(b＋c)＋(a＋b)a＝(a＋b)(b＋c)，
所以只需证c2＋a2＝b2＋ac.
因为△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，
所以B＝60°，
所以cos B＝＝，
因此a2＋c2－b2＝ac成立．
故(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立．
对综合法与分析法的综合应用的认识
(1)综合法推理清晰，易于表述，分析法从结论入手，易于寻找解题思路．
(2)分析法与综合法是两种思路相反的推理方法，分析法是倒溯，综合法是顺推．因此常将二者交互使用，互补优缺点，从而形成分析综合法，其证明模式可用框图表示如下：
→→…→←…←←
其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示可证明的结论．
3．设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，证明：＋＝2.
证明：要证明＋＝2，
只要证ay＋cx＝2xy，
也就是证明2ay＋2cx＝4xy.
由题设条件，b2＝ac,2x＝a＋b,2y＝b＋c，
∴2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy成立．
故＋＝2成立．
过关检测
1．在证明命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的过程：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ＋sin2θ)(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”中应用了( )
A．分析法
B．综合法
C．分析法和综合法综合使用
D．间接证法
答案：B
2．已知函数f(x)＝lg，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A．b B．－b
C. D．－
解析：f(x)定义域为(－1,1)，
f(－a)＝lg＝lg()－1＝－lg＝－f(a)＝－b.
答案：B
3．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：A．a－b>0 B．a－c>0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：0?(a－c)(a－b)>0.
答案：C
4．在不等边△ABC中，a为最大边，要想得到 A为钝角的结论，对三边a，b，c应满足的条件，判断正确的是( )
A．a2C．a2>b2＋c2 D．a2≤b2＋c2
解析：要想得到A为钝角，只需cos A<0，因为cos A＝，所以只需b2＋c2－a2<0，即b2＋c2答案：C
5．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x<0)，则a与b大小关系为( )
A．a>b B．aC．a＝b D．a≤b
解析：a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex，当x<0时，0∴a>b.
答案：A
6．欲证－<－成立，只需证( )
A．(－)2<(－)2
B．(－)2<(－)2
C．(＋)2<(＋)2
D．(－－)2<(－)2
解析：要证－<－,
只要证＋<＋,
只需证明(＋)2<(＋)2．
答案：C
7.设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为( )
A．8 B．4
C．1 D.
解析：是3a与3b的等比中项?3a·3b＝3?3a＋b＝3?a＋b＝1，因为a>0，b>0，所以≤＝?ab≤，
所以＋＝＝≥＝4.
答案：B
8．已知直线l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m；②若l⊥m，则α∥β；③若α⊥β，则l⊥m；④若l∥m，则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：若l⊥α，m?β，α∥β，则l⊥β，所以l⊥m，①正确；
若l⊥α，m?β，l⊥m，α与β可能相交，②不正确；
若l⊥α，m?β，α⊥β，l与m可能平行或异面，③不正确；
若l⊥α，m?β，l∥m，则m⊥α，所以α⊥β，④正确．
答案：B
9.在△ABC中，已知cos Acos B>sin Asin B，则△ABC的形状一定是________．
解析：∵cos Acos B>sin Asin B
∴cos Acos B－sin Asin B>0，即cos(A＋B)>0.
由0因此C＝π－(A＋B)>.
∴△ABC是钝角三角形．
答案：钝角三角形
10.已知sin x＝，x∈(，)，则tan(x－)＝________.
解析：∵sin x＝，x∈(，)，∴cos x＝－ ，
∴tan x＝－，∴tan(x－)＝＝－3.
答案：－3
11．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．
解析：a＋b>a＋b?a－a>b－b
?a(－)>b(－)?(a－b)(－)>0
?(＋)(－)2>0，
故只需a≠b且a，b都不小于零即可．
答案：a≥0，b≥0且a≠b
12．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
解析：∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b)＝1＋2＋ab－1－a－b－ab＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0，
∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
答案：≤
13．如图，在直四棱柱A1B1C1D1?ABCD(侧棱与底面垂直)中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)．
解析：要证明A1C⊥B1D1，
只需证明B1D1⊥平面A1C1C，
因为CC1⊥B1D1，
只要再有条件B1D1⊥A1C1，就可证明B1D1⊥平面A1CC1，
从而得B1D1⊥A1C1.
答案：B1D1⊥A1C1(答案不唯一)
14．如果不等式|x－a|<1成立的充分非必要条件是解析：|x－a|<1?a－1由题意知(，)?(a－1，a＋1)，则有(且等号不同时成立)，解得≤a≤.
答案：≤a≤
15.设a，b大于0，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.
证明：要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，
即需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立．
又因a＋b>0，
故只需证a2－ab＋b2>ab成立，
即需证a2－2ab＋b2>0成立，
即需证(a－b)2>0成立．
而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立．
故原不等式a3＋b3>a2b＋ab2成立．
16．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若函数y＝f(x＋1)与y＝f(x)的图象关于y轴对称，求证：函数y＝f(x＋)为偶函数．
证明：∵函数y＝f(x)与y＝f(x＋1)的图象关于y轴对称．
∴f(x＋1)＝f(－x)，
则y＝f(x)的图象关于x＝对称，
∴－＝，∴a＝－b.
则f(x)＝ax2－ax＋c＝a(x－)2＋c－，
∴f(x＋)＝ax2＋c－为偶函数．
17．在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．
证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C. ①
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π. ②
由①②，得B＝. ③
由a，b，c成等比数列，有b2＝ac. ④
由余弦定理及③，
可得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac.
再由④，得a2＋c2－ac＝ac，
即(a－c)2＝0，因此a＝c，
从而有A＝C. ⑤
由②③⑤，得A＝B＝C＝，所以△ABC为等边三角形．
18．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝1，＝an＋1－n2－n－，n∈N*.
(1)求a2的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.
解析：(1)依题意，2S1＝a2－－1－，又S1＝a1＝1，所以a2＝4.
(2)当n≥2时，2Sn＝nan＋1－n3－n2－n，
2Sn－1＝(n－1)an－(n－1)3－(n－1)2－(n－1)，
两式相减得2an＝nan＋1－(n－1)an－(3n2－3n＋1)－(2n－1)－，
整理得(n＋1)an＝nan＋1－n(n＋1)，即－＝1，又－＝1，
故数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，所以an＝n2.
(3)证明：当n＝1时，＝1<；
当n＝2时，＋＝1＋＝<；
当n≥3时，＝<＝－，此时
＋＋…＋＝1＋＋＋＋…＋<1＋＋＋＋…＋＝1＋＋－＝－<.
综上，对一切正整数n，有＋＋…＋<.
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