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2.2.2 反证法（解析版）
考 点 考纲要求 要求 题型
用反证法证明否(肯)定性命题 用反证法证明“唯一性”命题 用反证法证明“至多、至少”问题 .了解反证法是间接证明的一种基本方法．2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题. i 解答题
知识梳理
1．反证法
(1)反证法是间接证明的一种基本方法．
(2)一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫作反证法．
2．反证法的一般步骤
用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；
(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．
典例讲解
考向一 用反证法证明否(肯)定性命题
[例1] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
[证明] 假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．
∴n，an＋b均为奇数．
又a＋b为偶数，
∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数
∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
∴f(x)＝0无整数根．
反证法证明否定性命题的适用类型
(1)一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．
(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．
1．设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1.
因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，
即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，
所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，
则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．
故假设不成立，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
考向二 用反证法证明“唯一性”命题
[例2] 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
[证明] 由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，
所以f(x)在(a，b)内至少存在一个零点，设零点为m，则f(m)＝0，
假设f(x)在(a，b)内还存在另一个零点n，即f(n)＝0，则n≠m.
若n>m，则f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；
若n
因此假设不正确，即f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
反证法证明唯一性命题的适用类型
(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．
(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．
2．已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个．
证明：如图所示．假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，
在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α，β分别交于过点A的直线c，d，
由b∥α，知b∥c，同理b∥d，
故c∥d，这与c，d相交于点A矛盾，
故假设不成立，原结论成立．
考向三 用反证法证明“至多、至少”问题
[例3] 若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与中至少有一个小于2.
[证明] 假设，都不小于2，即≥2，≥2.
∵x>0，y>0，
∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)．
即x＋y≤2，这与已知x＋y>2矛盾．
∴，中至少有一个小于2.
(1)用反证法证明“至少”“至多”型命题，可减少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什么，避免出现错误．
(2)用反证法证明“至多、至少”问题时常见的“结论词”与“反设词”如下：
结论词 反设词 结论词 反设词
至少有一个 一个也没有 对所有x成立 存在某个x0不成立
至多有一个 至少有两个 对任意x不成立 存在某个x0成立
至少有n个 至多有n－1个 p或q 綈p且綈q
至多有n个 至少有n＋1个 p且q 綈p或綈q
3．已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．
证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，
x1，x2∈(a，b)且x1∴f(x1)故函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．
过关检测
1．用反证法证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析：自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．”
答案：D
2．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则( )
A．a，b，c都是正数
B．a，b，c都大于1
C．a，b，c都小于2
D．a，b，c中至少有一个不小于
解析：假设a，b，c中都小于，
则a＋2b＋c<＋2×＋＝2，与a＋2b＋c＝2矛盾
∴a，b，c中至少有一个不小于.
答案：D
3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，
(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是( )
A．(1)与(2)的假设都错误
B．(1)与(2)的假设都正确
C．(1)的假设正确；(2)的假设错误
D．(1)的假设错误；(2)的假设正确
解析：(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．
答案：D
4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值( )
A．都大于2 B．至少有一个不大于2
C．都小于2 D．至少有一个不小于2
解析：假设a＋，b＋，c＋都小于2
则a＋<2，b＋<2，c＋<2
∴a＋＋b＋＋c＋<6，①
又a，b，c大于0
所以a＋≥2，b＋≥2，c＋≥2.
∴a＋＋b＋＋c＋≥6.②
故①与②式矛盾，假设不成立
所以a＋，b＋，c＋至少有一个不小于2.
答案：D
5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至少有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
解析：三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°.
答案：B
6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．
解析：“至少有一个”的否定是“没有一个”．
答案：没有一个是三角形或四边形或五边形
7．已知直线a，b为异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
解析：假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线．
答案：C
8．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．
解析：“a、b全为0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反设为“a≠0或b≠0”．
答案：a，b不全为0
9．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．
解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a>b，n∈N*，则恒有an>bn，从而an＋2>bn＋1恒成立，∴不存在n使an＝bn.
答案：0
10.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
解析：显然①、②不能推出，③中a＋b>2能推出“a，b中至少有一个大于1”否则a≤1，且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾．④中取a＝－2，b＝0，推不出．
答案：③
11．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：
假设________．设全体质数为p1，p2，…，pn，令p＝p1p2…pn＋1.
显然，p不含因数p1，p2，…，pn.故p要么是质数，要么含有________的质因数．这表明，除质数p1，p2，…，pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．
解析：由反证法的步骤可得．
答案：质数只有有限多个 除p1，p2，…，pn之外
12．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．
证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．
假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a.
因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，所以假设错误，原命题成立．
12．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．
证明：假设x0是f(x)＝0的负数根，
则x0<0且x0≠－1且ax0＝－，
由0解之得所以假设不成立．
故方程f(x)＝0没有负实根．
13．已知a，b，c∈(0,1)．
求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于，
证明：假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.
因为00.
由基本不等式≥>
同理>，>
以上三个不等式相加
＋＋>，即>.
这是不可能的．
故(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.
14．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.证明数列{cn}不是等比数列．
证明：假设数列{cn}是等比数列，则
(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1)．①
因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，
所以a＝an－1an＋1，b＝bn－1bn＋1.
代入①并整理，得
2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1
＝anbn，
即2＝＋.②
当p，q异号时，＋<0，与②相矛盾；
当p，q同号时，由于p≠q，
所以＋>2，与②相矛盾．
故数列{cn}不是等比数列．
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2.2.2 反证法（解析版）
考 点 考纲要求 要求 题型
用反证法证明否(肯)定性命题 用反证法证明“唯一性”命题 用反证法证明“至多、至少”问题 .了解反证法是间接证明的一种基本方法．2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题. i 解答题
知识梳理
1．反证法
(1)反证法是间接证明的一种基本方法．
(2)一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫作反证法．
2．反证法的一般步骤
用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；
(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；
(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．
典例讲解
考向一 用反证法证明否(肯)定性命题
[例1] 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
1．设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1，求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.
考向二 用反证法证明“唯一性”命题
[例2] 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．
2．已知a与b是异面直线，求证：过a且平行于b的平面只有一个．
考向三 用反证法证明“至多、至少”问题
[例3] 若x>0，y>0，且x＋y>2，求证：与中至少有一个小于2.
3．已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．
过关检测
1．用反证法证明：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为( )
A．a，b，c都是偶数
B．a，b，c都是奇数
C．a，b，c中至少有两个偶数
D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
2．实数a，b，c满足a＋2b＋c＝2，则( )
A．a，b，c都是正数
B．a，b，c都大于1
C．a，b，c都小于2
D．a，b，c中至少有一个不小于
3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2，
(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1，以下结论正确的是( )
A．(1)与(2)的假设都错误
B．(1)与(2)的假设都正确
C．(1)的假设正确；(2)的假设错误
D．(1)的假设错误；(2)的假设正确
4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值( )
A．都大于2 B．至少有一个不大于2
C．都小于2 D．至少有一个不小于2
5．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )
A．假设三内角都不大于60°
B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至少有一个大于60°
D．假设三内角至多有两个大于60°
6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是________．
7．已知直线a，b为异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
8．用反证法证明命题“若a2＋b2＝0，则a，b全为0(a、b为实数)”，其反设为________．
9．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a>b，那么两个数列中序号与数值均相同的项有________个．
10.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
11．用反证法证明质数有无限多个的过程如下：
假设________．设全体质数为p1，p2，…，pn，令p＝p1p2…pn＋1.
显然，p不含因数p1，p2，…，pn.故p要么是质数，要么含有________的质因数．这表明，除质数p1，p2，…，pn之外，还有质数，因此原假设不成立．于是，质数有无限多个．
12．用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．
12．已知f(x)＝ax＋(a>1)，证明方程f(x)＝0没有负数根．
13．已知a，b，c∈(0,1)．
求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于，
14．设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn.证明数列{cn}不是等比数列．
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