2018-2019学年陕西省渭南市潼关县高二（上）期末数学试卷（理科）解析版

2018-2019学年陕西省渭南市潼关县高二（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）有下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形；
②“若xy＝0，则|x|+|y|＝0”的逆命题；
③“若a＞b，则a+c＞b+c”的否命题；
④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（5分）命题“?x0∈?RQ，x03∈Q”的否定是（　　）
A．?x0??RQ，x03∈Q B．?x0∈?RQ，x03∈Q
C．?x??RQ，x3∈Q D．?x∈?RQ，x3?Q
3．（5分）下列向量中不垂直的一组是（　　）
A．（3，4，0），（0，0，5） B．（6，0，12），（6，﹣5，7）
C．（﹣2，1，2），（4，﹣6，7） D．（3，1，3），（1，0，﹣1）
4．（5分）已知△ABC的顶点B，C均在椭圆+y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（　　）
A．4 B．6 C．2 D．12
5．（5分）以正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点O，如图，建立空间直角坐标系，则与共线的向量的坐标可以是（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）已知A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，则向量与的夹角是（　　）
A．0 B． C．π D．
7．（5分）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（　　）
A．y2＝﹣4x B．x2＝4y
C．y2＝﹣4x或x2＝4y D．y2＝4x或x2＝﹣4y
8．（5分）已知点F是抛物线y2＝4x焦点，M，N是该抛物线上两点，|MF|+|NF|＝6，则MN中点到准线距离为（　　）
A． B．2 C．3 D．4
9．（5分）已知，若，则x＝（　　）
A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2
10．（5分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（　　）
A． B．2 C． D．2
11．（5分）一动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，且该动圆恒与直线y+4＝0相切，则动圆必经过的定点为（　　）
A．（0.4） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，2）
12．（5分）已知A（﹣1，0），B是圆F：x2﹣2x+y2﹣11＝0（F为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知a、b、c、d是实数，若a＝b，c＝d，则a+c＝b+d命题的否定为　 　．
14．（5分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为　 　．
15．（5分）直线l：x﹣2y+2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为　 　．
16．（5分）抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为　 　．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）设命题p：?x∈R，x2﹣2x＞a；命题q：．如果命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．
18．（12分）P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，＝（2，﹣1，﹣4），＝（4，2，0），＝（﹣1，2，﹣1）．
（1）求证：PA⊥平面ABCD；
（2）对于向量＝（x1，y1z1），，定义一种运算：，试计算（×）?的绝对值；说明其与几何体P﹣ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算（×）?的绝对值的几何意义．
19．（12分）已知双曲线与椭圆+＝1有相同焦点，且经过点（，4）．
（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；
（2）求此双曲线的标准方程．
20．（12分）已知动点P与平面上两定点A（﹣1，0），B（1，0）连线的斜率的积为定值﹣2．
（1）试求动点P的轨迹方程C．
（2）设直线l：y＝x+1与曲线C交于M、N两点，求|MN|
21．（12分）如图，若F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点．
（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|?|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．
22．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF＝AB＝2CE，AB：AD：AA1＝1：2：4，
（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
（2）证明AF⊥平面A1ED；
（3）求二面角A1﹣ED﹣F的正弦值．

2018-2019学年陕西省渭南市潼关县高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：①是假命题，因为面积相等的三角形不一定全等，错误；
②的逆命题为“若|x|+|y|＝0，则xy＝0”正确；
③的否命题为“若a≤b，则a+c≤b+c”，由不等式性质显然正确；
④原命题错误，而原命题与逆否命题同真假，故④为假命题．
故选：B．
2．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“?x0∈?RQ，x03∈Q”的否定是：?x∈?RQ，x3?Q．
故选：D．
3．【解答】解：分别计算各组向量中，两个向量的数量积．由于 （3，4，0）?（0，0，5）＝0+0+0＝0，故A中的两个向量垂直．
由于（6，0，12）?（6，﹣5，7 ）＝36+0+84＝120≠0，故B中的两个向量不垂直．
由于（﹣2，1，2）?（4，﹣6，7）＝﹣8﹣6+14＝0，故C中的两个向量垂直．
由于（3，1，3）?（1，0，﹣1 ）＝3+0﹣3＝0，故D中的两个向量垂直．
故选：B．
4．【解答】解：由椭圆+y2＝1，
∴a2＝3，解得a＝．
设椭圆的另一个焦点为A1．
由椭圆的定义可得：|BA|+|BA1|＝2a＝|CA|+|CA1|，
∴△ABC的周长＝4a＝4．
故选：A．
5．【解答】解：由图形可知，B1点在正方体的上底面上，
设正方体的棱长为：1，
∴B1点的坐标是（1，1，1）
则与共线的向量的坐标可以是
故选：C．
6．【解答】解：∵A（﹣1，﹣2，6），B（1，2，﹣6）O为坐标原点，
∴向量＝（﹣1，﹣2，6），＝（1，2，﹣6），
∴cos＜＞＝＝﹣1，
∴向量与的夹角为π．
故选：C．
7．【解答】解：∵抛物线的顶点在原点，且过点（﹣4，4），
∴设抛物线的标准方程为x2＝2py（p＞0）或y2＝﹣2px（p＞0），
将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程x2＝2py（p＞0）得：16＝8p，
∴p＝2，
∴此时抛物线的标准方程为x2＝4y；
将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程y2＝﹣2px（p＞0），同理可得p＝2，
∴此时抛物线的标准方程为y2＝﹣4x．
综上可知，顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是x2＝4y或y2＝﹣4x．
故选：C．
8．【解答】解：∵F是抛物线y2＝4x的焦点
∴F（1，0），准线方程x＝﹣1，
设M（x1，y1），N（x2，y2）
∴|MF|+|NF|＝x1+1+x2+1＝6，
解得x1+x2＝4，
∴线段AB的中点横坐标为2，
∴线段AB的中点到该抛物线准线的距离为2+1＝3．
故选：C．
9．【解答】解：∵，
∴＝（﹣2，2，2），
∵，
∴（）＝4+2x+4＝0，
解得x＝﹣4．
故选：B．
10．【解答】解：双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，
可得＝，即：，解得a＝b，
双曲线C：﹣＝1（a＞b＞0）的渐近线方程为：y＝±x，
点（4，0）到C的渐近线的距离为：＝2．
故选：D．
11．【解答】解：由抛物线x2＝16y，得到准线方程为y＝﹣4，
焦点坐标为（0，4），
∵动圆的圆心在抛物线x2＝16y上，
且动圆恒与直线y＝﹣4相切，
由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，如图所示；
即动圆必经过定点F（0，4）．
故选：A．
12．【解答】解：由题意得 圆心F（1，0），半径等于2，|PA|＝|PB|，
∴|PF|+|PA|＝|PF|+|PB|＝|BF|＝半径2＞|AF|，
故点P的轨迹是以A、F 为焦点的椭圆，
2a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＝1．
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【解答】解：若a＝b，c＝d，则a+c＝b+d命题的否定为若a＝b，c＝d，则a+c≠b+d，
故答案为：若a＝b，c＝d，则a+c≠b+d
14．【解答】解：连接A1C1，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．
在△AC1A1中，sin∠AC1A1＝＝＝．
故答案为：．
15．【解答】解：根据题意，直线l的方程为x﹣2y+2＝0，与x轴交点坐标为（﹣2，0），与y轴交点坐标为（0，1）；
又有直线l：x﹣2y+2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，
则有F1的坐标（﹣2，0），顶点B的坐标为（0，1），
则有c＝2，b＝1，
a＝＝，
故其离心率e＝＝；
故答案为：．
16．【解答】解：依题意可知抛物线的准线方程为y＝﹣1
∴点A到准线的距离为4+1＝5
根据抛物线的定义可知点A与抛物线焦点的距离就是点A与抛物线准线的距离
∴点A与抛物线焦点的距离为5
故答案为：5．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【解答】解：关于命题p：?x∈R，x2﹣2x＞a，
∴a＜（x﹣1）2﹣1，
∴a＜﹣1，
故命题p为真时，a＜﹣1；
关于命题q：，
∴△＝4a2﹣4×（2﹣a）≥0，
∴a2+a﹣2≥0，
∴a≥1或a≤﹣2，
如果命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，
则p，q一真一假，
p真q假时：，解得：﹣2＜a＜﹣1，
p假q真时：，解得：a≥1，
综上：a∈（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．
18．【解答】解：（1）＝（2，﹣1，﹣4）?（﹣1，2，﹣1）＝﹣2+（﹣2）+4＝0，
∴，即AP⊥AB．＝（﹣1，2，﹣1）?（4，2，0）＝﹣4+4+0＝0，即PA⊥AD．
∴PA⊥面ABCD．
（2）|＝48，又cos，
V＝|＝16
猜测：|在几何上可表示以AB，AD，AP为棱的平行六面体的体积（或以AB，AD，AP为棱的四棱柱的体积）．
19．【解答】解：（1）由题意得：a2＝36，b2＝27．
∵c2＝a2﹣b2＝9，
∴．
∴焦点F1（0，﹣3），F2（0，3）．
（2）设双曲线方程为，
∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得m＝4或m＝36（舍）．
∴双曲线的方程为．
20．【解答】解：（1）设P（x，y），则kPA＝，kPB＝
∵动点p与定点A（﹣1，0），B（1，0）的连线的斜率之积为﹣2，
∴kPA×kPB＝﹣2
∴＝﹣2，即2x2+y2＝2
又x＝±1时，必有一个斜率不存在，故x≠±1
综上点P的轨迹方程为x2+＝1（x≠±1）
（2）将直线l：y＝x+1代入曲线C方程x2+＝1，整理得3x2+2x﹣1＝0
∴
∴
21．【解答】解：（1）由题意，设M到两个焦点的距离分别为m，16，则|16﹣n|＝2×3，解得n＝10或22；
（2）根据双曲线的方程可知，a＝3，b＝4，c＝5
则|F1F2|＝2c＝10，|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2×3＝6
∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|＝36，
∴|PF1|2+|PF2|2＝100＝|F1F2|2，
∴∠F1PF2＝90°，
∴△F1PF2的面积为|PF1|?|PF2|＝32×＝16．
22．【解答】解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB＝1，依题意得D（0，2，0），
F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，，0）．
（1）易得＝（0，，1），
＝（0，2，﹣4）．
于是cos＜，＞＝＝．
所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为．
（2）证明：连接ED，易知＝（1，2，1），＝（﹣1，，4），＝（﹣1，，0），
于是＝0，＝0．
因此，AF⊥EA1，AF⊥ED．
又EA1∩ED＝E，所以AF⊥平面A1ED．
（3）设平面EFD的一个法向量为u＝（x，y，z），则
即
不妨令x＝1，可得u＝（1，2，﹣1）．
由（2）可知，为平面A1ED的一个法向量．
于是cos＜u，＞＝＝，从而sin＜u，＞＝．
二面角A1﹣ED﹣F的正弦值是
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日期：2019/3/9 12:46:04；用户：黄仙兰；邮箱：ldcd172@xyh.com；学号：22387456