第十六章 二次根式单元检测试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 第十六章 二次根式单元检测试题（含解析） |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 250.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-11 00:00:00 | ||
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文档简介
第十六章二次根式检测试题（含解析）
（考试时间60分钟，总分100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2. 下列式子没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A．2×3＝6 B． +＝ C．3﹣＝3 D．＝
4. 以下各式不是代数式的是（ ）
A．0 B． C． D．
5. 如果是一个正整数，那么x可取的最小正整数的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
6. 估计的运算结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
7. 小明的作业本上有以下四题：做错的题是（ ）
A． B． C． D．
8. 若三角形的三边长分别为a，b，c，其中a和b满足﹣6b=﹣9，则c的取值范围是（ ）．
A． 2＜c＜5 B． 3＜c＜6 C． 1＜c＜6 D． 1＜c＜5
9. 计算的结果是（ ）
A．2+ B． C．2﹣ D．
10. 已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y为负数，则m的取值范围是( A )
A．m＞9 B．m＜9 C．m＞－9 D．m＜－9
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 化简：＝ ．
12. 计算：﹣＝ ．
13. 实数a在数轴上的位置如图所示，则＝ ．
14. 若已知a，b为实数，且+＝b+4，则a+b＝ ．
15. 若长方形相邻两边的长分别是cm和cm，则它的周长是 cm．
16. 任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72 []＝8 []＝2 []＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
三、解答题（17-19每题8分，20每题10分，21题12分，共46分）
17. 计算：
（1）（﹣2）2+5÷﹣9
（2）÷×
18. 先化简，再求值：（a2b+ab）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．
19. 已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
20. 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋＋3，求此三角形的周长．
21. 阅读下面的问题：
﹣1；
＝；
；
……
（1）求与的值．
（2）已知n是正整数，求与的值；
（3）计算+．
22. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ＋ ＝( ＋ )2；(答案不唯一)
(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
参考答案：
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
2. 下列式子没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数进行分析即可．
【解答】解：A、有意义，故此选项不合题意；
B、没有意义，故此选项符合题意；
C、有意义，故此选项不合题意；
D、有意义，故此选项不合题意；
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A．2×3＝6 B． +＝ C．3﹣＝3 D．＝
【分析】根据二次根式的运算即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝6×2＝12，故A错误；
（B）与不是同类二次根式，故B错误；
（C）原式＝2，故C错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
4. 以下各式不是代数式的是（ ）
A．0 B． C． D．
【分析】代数式是指把数或表示数的字母用+、﹣、×、÷连接起来的式子，而对于带有＝、＞、＜等数量关系的式子则不是代数式．由此可得答案．
【解答】解：A、0是单独数字，是代数式；
B、是代数式；
C、是不等式，不是代数式；
D、是数字，是代数式；
故选：C．
【点评】此类问题主要考查了代数式的定义，只要根据代数式的定义进行判断，就能熟练解决此类问题．
5. 如果是一个正整数，那么x可取的最小正整数的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【分析】首先化简，再确定x的最小正整数的值．
【解答】解：＝3，
x可取的最小正整数的值为2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是正确进行化简．
6. 估计的运算结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．
【解答】解：∵＝4+，而4＜＜5，
∴原式运算的结果在8到9之间；
故选：C．
7. 小明的作业本上有以下四题：做错的题是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】利用二次根式的运算方法，逐一计算对比答案得出结论即可．
【解答】解：A、=4a2，计算正确；
B、×=5a，计算正确；
C、a==，计算正确；
D、﹣=（﹣），此选项错误．
故选：D．
8. 若三角形的三边长分别为a，b，c，其中a和b满足﹣6b=﹣9，则c的取值范围是（ ）．
A． 2＜c＜5 B． 3＜c＜6 C． 1＜c＜6 D． 1＜c＜5
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方；因式分解﹣运用公式法；三角形三边关系．
【分析】利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求解即可．
【解答】解：原方程可化为+（b﹣3）2=0，
所以，a﹣2=0，b﹣3=0，
解得a=2，b=3，
∵3﹣2=1，3+2=5，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．故选D
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，三角形的三边关系．
9. 计算的结果是（ ）
A．2+ B． C．2﹣ D．
【分析】原式利用积的乘方变形为＝[（+2）（﹣2）]2017?（﹣2），再利用平方差公式计算，从而得出答案．
【解答】解：原式＝（+2）2017?（﹣2）2017?（﹣2）
＝[（+2）（﹣2）]2017?（﹣2）
＝（﹣1）2017?（﹣2）
＝﹣（﹣2）
＝2﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则及积的乘方的运算法则．
10. 已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y为负数，则m的取值范围是( A )
A．m＞9 B．m＜9 C．m＞－9 D．m＜－9
【解答】解：∵（x+3）2+|3x+y+m|=0，
∴x+3=0，3x+y+m=0，
解得：x=-3，y=-m-9，
根据y为负数，得到-m-9＜0，
解得：m＞9．
故答案为：m＞9
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 化简：＝ ．
【分析】题目所给的代数式中，分母含有二次根式，所以要通过分母有理化来化简原式．
【解答】解：＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的分母有理化．
12. 计算：﹣＝ ．
【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：＝2﹣＝．
故答案为：．
13. 实数a在数轴上的位置如图所示，则＝ 3﹣a ．
【分析】根据数轴上点的位置判断出a﹣3的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据数轴上点的位置得：a﹣3＜0，
则原式＝|a﹣3|＝3﹣a，
故答案为：3﹣a
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14. 若已知a，b为实数，且+＝b+4，则a+b＝ 1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式组可得a＝5，进而可得b的值，然后可得答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：a＝5，
则b+4＝0，
b＝﹣4，
a+b＝5﹣4＝1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
15. 若长方形相邻两边的长分别是cm和cm，则它的周长是 14 cm．
【分析】直接化简二次根式进而计算得出答案．
【解答】解：∵长方形相邻两边的长分别是cm和cm，
∴它的周长是：2（+）＝2（2+5）＝14（cm）．
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
16. 任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72 []＝8 []＝2 []＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 3 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 255 ．
【分析】①根据规律依次求出即可；
②要想确定只需进行3次操作后变为1的所有正整数，关键是确定二次操作后数的大小不能大于4，二次操作时根号内的数必须小于16，而一次操作时正整数255却好满足这一条件，即最大的正整数为255．
【解答】解：①[]＝9，[]＝3，[]＝1，
故答案为：3；
②最大的是255，
[]＝15，[]＝3，[]＝1，而[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为：255．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力．
三、解答题（17-19每题8分，20每题10分，21题12分，共46分）
17. 计算：
（1）（﹣2）2+5÷﹣9
（2）÷×
【分析】（1）先利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式＝5﹣4+4+5﹣9
＝5﹣4+4+5﹣9
＝；
（2）原式＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18. 先化简，再求值：（a2b+ab）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．
【分析】根据分式的除法可以化简题目中的式子，然后将a、b代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（a2b+ab）÷
＝ab（a+1）
＝ab，
当a＝+1，b＝﹣1时，原式＝＝3﹣1＝2．
19. 已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+y）2
＝（+2+﹣2）2
＝12；
（2）原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（+2+﹣2）（+2﹣+2）
＝2×4
＝．
【点评】本题考查二次根式的分母有理化；主要根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．
20. 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋＋3，求此三角形的周长．
解：∵3a－6≥0，2－a≥0，
∴a＝2，b＝4.
边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；
当边长为4，4，2时，符合实际情况，
4×2＋2＝10.
∴此三角形的周长为10.
21. 阅读下面的问题：
﹣1；
＝；
；
……
（1）求与的值．
（2）已知n是正整数，求与的值；
（3）计算+．
【分析】（1）根据分母有理化可以解答本题；
（2）根据分母有理化可以解答本题；
（3）根据（2）中的结果可以解答本题．
【解答】解：（1）＝＝，
＝＝；
（2）＝＝，
＝＝；
（3）+
＝
＝﹣1+
＝﹣1+10
＝9．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
22. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝m2＋3n2，b＝2mn；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：4＋2＝(1＋)2；(答案不唯一)
(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
解：根据题意，得
∵2mn＝4，且m，n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
∴a＝7或13.
（考试时间60分钟，总分100分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2. 下列式子没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A．2×3＝6 B． +＝ C．3﹣＝3 D．＝
4. 以下各式不是代数式的是（ ）
A．0 B． C． D．
5. 如果是一个正整数，那么x可取的最小正整数的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
6. 估计的运算结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
7. 小明的作业本上有以下四题：做错的题是（ ）
A． B． C． D．
8. 若三角形的三边长分别为a，b，c，其中a和b满足﹣6b=﹣9，则c的取值范围是（ ）．
A． 2＜c＜5 B． 3＜c＜6 C． 1＜c＜6 D． 1＜c＜5
9. 计算的结果是（ ）
A．2+ B． C．2﹣ D．
10. 已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y为负数，则m的取值范围是( A )
A．m＞9 B．m＜9 C．m＞－9 D．m＜－9
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 化简：＝ ．
12. 计算：﹣＝ ．
13. 实数a在数轴上的位置如图所示，则＝ ．
14. 若已知a，b为实数，且+＝b+4，则a+b＝ ．
15. 若长方形相邻两边的长分别是cm和cm，则它的周长是 cm．
16. 任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72 []＝8 []＝2 []＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
三、解答题（17-19每题8分，20每题10分，21题12分，共46分）
17. 计算：
（1）（﹣2）2+5÷﹣9
（2）÷×
18. 先化简，再求值：（a2b+ab）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．
19. 已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
20. 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋＋3，求此三角形的周长．
21. 阅读下面的问题：
﹣1；
＝；
；
……
（1）求与的值．
（2）已知n是正整数，求与的值；
（3）计算+．
22. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝ ，b＝ ；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空： ＋ ＝( ＋ )2；(答案不唯一)
(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
参考答案：
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故D正确；
故选：D．
2. 下列式子没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数进行分析即可．
【解答】解：A、有意义，故此选项不合题意；
B、没有意义，故此选项符合题意；
C、有意义，故此选项不合题意；
D、有意义，故此选项不合题意；
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A．2×3＝6 B． +＝ C．3﹣＝3 D．＝
【分析】根据二次根式的运算即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝6×2＝12，故A错误；
（B）与不是同类二次根式，故B错误；
（C）原式＝2，故C错误；
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
4. 以下各式不是代数式的是（ ）
A．0 B． C． D．
【分析】代数式是指把数或表示数的字母用+、﹣、×、÷连接起来的式子，而对于带有＝、＞、＜等数量关系的式子则不是代数式．由此可得答案．
【解答】解：A、0是单独数字，是代数式；
B、是代数式；
C、是不等式，不是代数式；
D、是数字，是代数式；
故选：C．
【点评】此类问题主要考查了代数式的定义，只要根据代数式的定义进行判断，就能熟练解决此类问题．
5. 如果是一个正整数，那么x可取的最小正整数的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【分析】首先化简，再确定x的最小正整数的值．
【解答】解：＝3，
x可取的最小正整数的值为2，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是正确进行化简．
6. 估计的运算结果应在（ ）
A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间
【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．
【解答】解：∵＝4+，而4＜＜5，
∴原式运算的结果在8到9之间；
故选：C．
7. 小明的作业本上有以下四题：做错的题是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】利用二次根式的运算方法，逐一计算对比答案得出结论即可．
【解答】解：A、=4a2，计算正确；
B、×=5a，计算正确；
C、a==，计算正确；
D、﹣=（﹣），此选项错误．
故选：D．
8. 若三角形的三边长分别为a，b，c，其中a和b满足﹣6b=﹣9，则c的取值范围是（ ）．
A． 2＜c＜5 B． 3＜c＜6 C． 1＜c＜6 D． 1＜c＜5
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方；因式分解﹣运用公式法；三角形三边关系．
【分析】利用完全平方公式配方，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求解即可．
【解答】解：原方程可化为+（b﹣3）2=0，
所以，a﹣2=0，b﹣3=0，
解得a=2，b=3，
∵3﹣2=1，3+2=5，
∴1＜c＜5．
故答案为：1＜c＜5．故选D
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，三角形的三边关系．
9. 计算的结果是（ ）
A．2+ B． C．2﹣ D．
【分析】原式利用积的乘方变形为＝[（+2）（﹣2）]2017?（﹣2），再利用平方差公式计算，从而得出答案．
【解答】解：原式＝（+2）2017?（﹣2）2017?（﹣2）
＝[（+2）（﹣2）]2017?（﹣2）
＝（﹣1）2017?（﹣2）
＝﹣（﹣2）
＝2﹣，
故选：C．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则及积的乘方的运算法则．
10. 已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y为负数，则m的取值范围是( A )
A．m＞9 B．m＜9 C．m＞－9 D．m＜－9
【解答】解：∵（x+3）2+|3x+y+m|=0，
∴x+3=0，3x+y+m=0，
解得：x=-3，y=-m-9，
根据y为负数，得到-m-9＜0，
解得：m＞9．
故答案为：m＞9
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 化简：＝ ．
【分析】题目所给的代数式中，分母含有二次根式，所以要通过分母有理化来化简原式．
【解答】解：＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的分母有理化．
12. 计算：﹣＝ ．
【分析】先化简＝2，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：＝2﹣＝．
故答案为：．
13. 实数a在数轴上的位置如图所示，则＝ 3﹣a ．
【分析】根据数轴上点的位置判断出a﹣3的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据数轴上点的位置得：a﹣3＜0，
则原式＝|a﹣3|＝3﹣a，
故答案为：3﹣a
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14. 若已知a，b为实数，且+＝b+4，则a+b＝ 1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，解不等式组可得a＝5，进而可得b的值，然后可得答案．
【解答】解：由题意得：，
解得：a＝5，
则b+4＝0，
b＝﹣4，
a+b＝5﹣4＝1，
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
15. 若长方形相邻两边的长分别是cm和cm，则它的周长是 14 cm．
【分析】直接化简二次根式进而计算得出答案．
【解答】解：∵长方形相邻两边的长分别是cm和cm，
∴它的周长是：2（+）＝2（2+5）＝14（cm）．
故答案为：14．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
16. 任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]＝4，[]＝1．现对72进行如下操作：72 []＝8 []＝2 []＝1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 3 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 255 ．
【分析】①根据规律依次求出即可；
②要想确定只需进行3次操作后变为1的所有正整数，关键是确定二次操作后数的大小不能大于4，二次操作时根号内的数必须小于16，而一次操作时正整数255却好满足这一条件，即最大的正整数为255．
【解答】解：①[]＝9，[]＝3，[]＝1，
故答案为：3；
②最大的是255，
[]＝15，[]＝3，[]＝1，而[]＝16，[]＝4，[]＝2，[]＝1，
即只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的正整数是255，
故答案为：255．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，主要考查学生的阅读能力和猜想能力．
三、解答题（17-19每题8分，20每题10分，21题12分，共46分）
17. 计算：
（1）（﹣2）2+5÷﹣9
（2）÷×
【分析】（1）先利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后化简后合并即可；
（2）根据二次根式的乘除法则运算．
【解答】解：（1）原式＝5﹣4+4+5﹣9
＝5﹣4+4+5﹣9
＝；
（2）原式＝
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18. 先化简，再求值：（a2b+ab）÷，其中a＝+1，b＝﹣1．
【分析】根据分式的除法可以化简题目中的式子，然后将a、b代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（a2b+ab）÷
＝ab（a+1）
＝ab，
当a＝+1，b＝﹣1时，原式＝＝3﹣1＝2．
19. 已知x＝+2，y＝﹣2，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）x2﹣y2．
【分析】（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（x+y）2
＝（+2+﹣2）2
＝12；
（2）原式＝（x+y）（x﹣y）
＝（+2+﹣2）（+2﹣+2）
＝2×4
＝．
【点评】本题考查二次根式的分母有理化；主要根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．
20. 已知a，b分别为等腰三角形的两条边长，且a，b满足b＝4＋＋3，求此三角形的周长．
解：∵3a－6≥0，2－a≥0，
∴a＝2，b＝4.
边长为4，2，2时，不符合实际情况，舍去；
当边长为4，4，2时，符合实际情况，
4×2＋2＝10.
∴此三角形的周长为10.
21. 阅读下面的问题：
﹣1；
＝；
；
……
（1）求与的值．
（2）已知n是正整数，求与的值；
（3）计算+．
【分析】（1）根据分母有理化可以解答本题；
（2）根据分母有理化可以解答本题；
（3）根据（2）中的结果可以解答本题．
【解答】解：（1）＝＝，
＝＝；
（2）＝＝，
＝＝；
（3）+
＝
＝﹣1+
＝﹣1+10
＝9．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
22. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b＝(m＋n)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b＝m2＋2n2＋2mn，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.
这样小明就找到了一种把a＋b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b＝(m＋n)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝m2＋3n2，b＝2mn；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：4＋2＝(1＋)2；(答案不唯一)
(3)若a＋4＝(m＋n)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
解：根据题意，得
∵2mn＝4，且m，n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
∴a＝7或13.