3.4 简单的图案设计
第三章 图形的平移与旋转
学习目标
1.利用旋转、轴对称或平移进行简单的图案设计.（重点）
2.认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用.
3.灵活运用平移与旋转组合的方式进行一些图案设计.（难点）
导入新课
问题：经过一波三折，东京奥组公布了2020年东京夏季奥运会新会徽，名为“组合市松纹”的方案最终胜出.据称, 该方案的设计灵感源自在日本江户时代颇为流行的西洋跳棋黑白棋盘格，加入了日本传统的靛蓝色彩，体现出精致又优雅的日式风情.说一说图案中的奥运
五环可以通过其中一个圆怎样变化而得到？
讲授新课
例1 试说出构成下列图形的基本图形．
典例精析
基本图形
（1）
（2）
（3）
（4）
想一想：看成轴对称时基本图形是什么？
对于这三种图形变换一般从定义区分即可．分清图形变换的几个最基本概念是解题的关键．
方法归纳
例2 分析下列图形的形成过程．
基本图案
图案的形成过程
分析图案的形成过程
基本图案
图案的形成过程
分析图案的形成过程
图形的变换可以通过选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案，希望同学们认真分析，精心设计出漂亮的图案来．
方法归纳
例3 下面花边中的图案以正方形为基础,由圆弧、圆或线段构成.仿照例图,请你为班级的板报设计一条花边.要求:(1)只要画出组成花边的一个图案;(2)以所给的正方形为基础,用圆弧、圆或线段画出;(3)图案应有美感.
参考图案
例4 怎样用圆规画出这个六花瓣图?
这样的作图对你有所启发吗？
画完之后请同学们思考以下几个问题:
图中A点的位置对六花瓣的形状有没有影响?对花瓣的位置有影响吗?
(对形状没影响,对位置有影响)
在读清要求后，然后根据要求，进行方案的尝试设计，一般要经历一个不断修改的过程，使问题在修正中得以解决．
方法归纳
运动美
运动美
★★★ ★★★ ★★★★★ ★★★★★ ★★★★★★★★★★★??????????? ★★★★★★★★★ ★★★★★★★ ★★★★★ ★★★ ★
祝同学们学习快乐天天开心
组合美
当堂练习
用直尺,圆规,三角尺再设计一个新颖的(课堂上未见过的)美丽图案.
课堂小结
图案的设计
分析图案设计
分清基本图形
知道形成过程
设计方法
利用图形变换
轴对称
平 移
旋 转
动手设计
赏析悦目的图案
3.1 图形的平移
第1课时 平移的认识及性质
第三章 图形的平移与旋转
1.理解平移的概念及决定因素.（难点）
2.会找出平移前后图形中对应点、对应角和对应线段.
3.掌握平移的性质及运用.（重点）
讲授新课
问题1：如何在一张半透明的纸上，画出一排形状和大小如图的尼克呢？
思考：“尼克”的形状、大小、位置在运动前后是否发生了变化？
形状不变，大小不变，位置改变
平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移.
知识要点
A
B
C
判断下面几组图形运动是不是平移？
A
C
D
B
×
×
√
×
判一判
问题2：我们先观看以下几种生活现象，再想一想平移是由什么决定的？
工厂里传输带上的物品
2.图形的平移由移动的方向和距离所决定.
归纳总结
1.图形的平移不一定是水平的，也不一定是竖直的.
点 A、B、C的对应点分别是A'、B'、C'；
线段AB、AC、BC的对应线段分别是A'B'、A'C'、B'C';
∠A、∠B、∠C的对应角分别是∠A'、∠B'、∠C'.
试一试：如图，平移△ABC，得到△A′B′C′. 分析两个图形中的对应关系.
B'
C'
A'
A
B
C
动动手：用三角板、直尺画平行线.
P
Q
D
E
F
A
B
C
观察：线段AB与DE的位置关系与数量关系，∠B与∠E的关系呢？
直尺PQ是倾斜放置，用三角板能否画 出平行线？
AB//DE
AB=DE
∠B=∠E
观察：线段AC与DF的位置关系与数量关系，∠A与∠D的关系呢？
AC//DF
AC=DF
∠A=∠D
注意:在平移过程中,对应线段也可能在一条直线上(如:BC与EF)
规律发现
1.平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等；
3.在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上，如BC与EF；
2.平移后图形的形状与大小都没有变化；
4.平移的方向是直尺PQ倾斜放置的方向，平移的距离是BE的长度.
问题：△ABC沿着PQ的方向平移到 △A`B`C`的位置，除了对应线段平行且相等外，你还发现了什么现象？
B
A
C
P
Q
A
A'
B
B'
C
C'
AA'//____//____
AA'=____=____
BB'
CC'
CC'
BB'
BC的中点M平移到什么地方去了吗？
M
M`
几何符号语言：
平移的两个图形全等
∵△ABC平移得到△DEF
∴△ABC≌△DEF
∵△ABC平移得到△DEF
∴AB∥DE，AC∥DF，
BC ∥EF(或共线)，
AB=DE，AC=DF，BC=EF
②对应线段平行(或在同一直线上)且相等；
图形平移的基本性质：
几何符号语言：
③对应角相等.
∵△ABC平移得到△DEF
∴AD∥BE ∥CF(或共线)，
AD=BE =CF
∵△ABC平移得到△DEF
∴∠BAC=∠EDF，
∠ABC=∠DEF，
∠ACB=∠DFE
④对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等；
例1 如图所示，经过平移，△ABC的顶点A移到了点C'.画出平移后的△A'B'C'的位置.
并指出平移的方向和距离.
A
B
C
（1）连接CC'；
（2）分别过点B,C按射线CC'的方向作线段BB',AA'，使得它们与线段CC'平行且相等，连接A'C',A'B',B'C',△A'B'C'为所求；
（3）平移的方向就是点C到点C'的方向；
（4）平移的距离就是线段AA'的长度.
典例精析
1. 在图形平移中，下面说法中错误的是（ ）
A. 图形上任意点移动的方向相同
B. 图形上任意点移动的距离相等
C. 图形上任意两点的连线的长度不变
D. 图形上可能存在不动点
D
B
C
A
例2：如图，经过平移，ΔABC的顶点A移到了点D，作出平移后的三角形．
E
F
D
解：如图，连接AD，过B、C点分别做线段BE、CF使得他们与线段AD平行且相等，连接 DE、DF、EF，ΔDEF就是ΔABC平移后的图形.
B
C
A
想一想：有其他的方法吗？
E
F
D
解：如图，过点D按射线AB的方向做线段DE平行且等于AB；过点D按射线AC的方向做线段DF平行且等于AC；连接EF. ΔDEF 就是ΔABC平移后的图形.
变式一：
如图，将字母A沿箭头所指的方向平移3cm，做出平移后的图形．
3cm
平移作图的步骤：
1)找关键点(一般是图形的顶点)；
2)根据平移的距离和方向作出这些点经过平移后的对应点；
3)将所作对应点按原来已知图形的连接方式连接起来，所得图形即为所求．
变式二：
将图中的字母N沿水平方向向右平移3cm，作出平移后的图形．
1m
1m
21m
15m
A
C
D
B
图 1
例3：如图是一块长方形的草地, 长为21米.宽为15米 在草地上有两条宽为1米的小道,长方形的草地上除小道外长满青草.求长草部分的面积为多少?
1m
1m
21m
15m
A
C
D
B
图 1
思路点拨：两种平移方式
1m
21m
15m
A
C
D
B
变式：如图是一块长方形的草地, 长为21米.宽为15米.在草地上有一条宽为1米的小道,长方形的草地上除小道外长满青草.求长草部分的面积为多少?
思路点拨：平移构成规则图形
2.如图所示，图中小正方形的边长为a，则阴影部分的面积是：________
a2
1.平移改变的是图形的 （ ）
A 、位置 B 、大小
C、 形状 D 、位置、大小和形状
2.经过平移，对应点所连的线段 （ ）
A 、平行 B 、相等
C 、平行且相等
D、 既不平行,又不相等
A
C
当堂练习
3、经过平移，图形上每个点都沿同一个方向移动了一段距离.下面说法正确的是（ ）
A 、不同的点移动的距离不同
B、 既可能相同也可能不同
C 、不同的点移动的距离相同
D 、无法确定
4、平移前后的图形是一对________
全等图形
C
5.将∠ABC向上平移10cm得到∠EFG，如果∠ABC=52°，则∠EFG= °,
BF= cm.
52
10cm
52
B
C
A
F
E
G
O
10
6. 如图所示，∠DEF是∠ABC经过平移得到的，∠ABC＝33O，求∠DEF的度数.
答：根据“经过平移对应角相等”
得：∠DEF= ∠ABC＝33°.
7.经过平移，△ABC的顶点A移到了点D，如图.作出平移后的三角形.
D
A
C
B
F
E
解：如图，过B，C点分别作线段BE，CF，使得它们线段AD平行并且相等
你还有别的方法吗？
则△DEF就是△ABC平移后的图形.
课堂小结
图形平移
平移的概念
平面上的平行移动由移动方向和距离所决定.
平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行且相等；对应线段平行并且相等，对应角相等.
3.1 图形的平移
第2课时 坐标系中的点沿x轴、y轴
的一次平移
第三章 图形的平移与旋转
1.使学生掌握平面直角坐标系中的点或图形平移引起的点的坐标的变化规律;（重点、难点）
2. 使学生看到平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数与几何的相互转化，初步建立空间观念．
学习目标
导入新课
观察与思考
问题：你会下象棋吗?如果下一步想“马走日”“象走田”应该走到哪里呢？你知道吗？
讲授新课
你还记得什么叫平移吗？
图形平移的性质是什么？
在平面内，把一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形的变换叫做平移.
1.新图形与原图形形状和大小不变，但位置改变;
2.对应点的连线平行且相等.
知识回顾
1
3
5
2
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
O
3
4
2
-1
5
-2
-3
-4
-6
-5
6
1
根据左图回答问题：
1.将点A(-2,-3)向右平移5个单位长度，得到点A1( ___ , ___ );
2.将点A(-2,-3)向左平移
2个单位长度，得到点A2(____ , _____)；
-4
-3
3
-3
y
x
合作与交流
1
3
5
2
4
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
3
4
2
-1
5
-2
-3
-4
-6
-5
6
O
1
3.将点A(-2,-3)向上平移4个单位长度，得到点A3( , )；
4.将点A(-2,-3)向下平移2个单位长度，得到点A4( , ).
-2
1
-2
-5
y
x
向左平移a个单位对应点P2(x-a,y)
总结归纳
向右平移a个单位对应点 P1(x+a,y)
向上平移b个单位对应点P3(x,y+b)
向下平移b个单位对应点P4(x,y-b)
图形上的点P(x,y)
点的平移规律
典例精析
例1 平面直角坐标系中,将点A(－3，－5)向上平移4个单位,再向左平移3个单位到点B,则点B的坐标为( )
A.(1,－8) B.(1,－2) C.(－6,－1) D.(0,－1)
点的平移变换：左右移动改变点的横坐标，左减右
加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．
C
解析：点A的坐标为(－3,－5)，将点A向上平移4个单位，再向左平移3个单位到点B，点B的横坐标是－3－3＝－6，纵坐标为－5＋4＝－1，即(－6,－1)．
（-8，3）
（4，-2）
探究1：如图，线段AB的两个端点坐标分别为:A(1，1),B(4，4),
将线段AB向上平移2个单位，作出它的像A′B′,并写出点A′,B′的坐标.
1. 作出线段两个端点平移后的对应点.
2. 连接两个对应点，所得图形即为所求平移图形.
线段CD是由线段AB平移得到的.其中点A(–1，4)的对应点为C(4，4)，则点B(–4，–1)的对应点D的坐标为________.
（1，-1）
探究2：在直角坐标系中描出以下各点：(0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0)并用线段依次连接，看一看是什么图案.
y
x
则坐标变化为
问1：纵坐标保持不变，将各坐标的横坐标加２又会怎样？
y
x
原图形被向右平移2个单位
(x,y) (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0)
(x+2,y) (2,0) (7,4) (5,0) (7,1) (7,-1) (5,0) (6,-2) (2,0)
则坐标变化为：
问2：纵坐标保持不变，将各坐标的横坐标减２，图案会变成什么样？
y
x
-1
-2
原图形被向左平移2个单位
(x,y) (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0)
(x-2,y) (-２,0) (3,4) (1,0) (3,1) (3,-1) (1,0) (2,-2) (-2,0)
问3：横坐标保持不变，将各坐标的纵坐标都加２， 则原图型变为什么样？
y
x
原图形被向上平移2个单位
问4：横坐标保持不变，将各坐标的纵坐标都减１， 则原图型变为什么样？
y
x
原图形被向下平移1个单位
归纳总结
(1)原图形向左（右）平移a个单位长度：(a>0)
(2)原图形向上（下）平移b个单位长度：(b>0)
原图形上的点P(x,y)
原图形上的点P (x,y)
P1(x+a,y)
P2(x-a,y)
原图形上的点P(x,y)
原图形上的点P(x,y)
P3(x,y+b)
P4(x,y-b)
1. (x,y)?(x,y＋4) 2.(x,y) ?(x-4,y)
3. (x,y)?(x,y－2) 4.(x,y) ?(x+2,y)
将坐标作如下变化时，图形将怎样变化？
说一说
向上平移4个单位长度
向左平移4个单位长度
向下平移2个单位长度
向右平移2个单位长度
当堂练习
1.将点A（3，2）向上平移2个单位长度,得到A1,则
A1的坐标 为______.
2.将点A（3，2）向下平移3个单位长度,得到A2,则
A2的坐标为______.
3.将点A（3，2）向左平移4个单位长度,得到A3,则
A3的坐标为______.
(3,4)
4.点A1(6,3)是由点A(-2,3)经过 得
到的,点B(4,3)经过 得到B1(4,1).
向右平移8个单位长度
向下平移2个单位长度
(3,-1)
(-1,2)
5.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），将线段OA向左平移2个单位长度，得到线段O′A′，则点A的对应点A′的坐标为 ．
（﹣1，3）
6.将点P（m+1,n -2）向上平移3个单位长
度，得到点Q（2，1- n），则点A(m,n)坐
标为___________
解：m +1=2 ,
n -2 +3 =1- n
故，m=1,n=0
所以，点A坐标为（1，0）
（1，0）
1.将平面直角坐标系中的点A（a-2，3）,向左平移1个单位长度后的点位于第二象限，则a的取值范围是（ ）
A.a＜2 B. a＜3 C.a ＞ 2 D.a ＞3
B
解析：a-2-1 ＜0,
故 a ＜3.
能力提升
(1)若点Q是由点P左右平移得到的，求出m的值，并说明平移方向和距离；
（2）点Q能否由点P上下平移得到的？说明理由.
解：2m-1=m +1 ,
故 m=2,
∴点P坐标为（1，3）
点Q坐标为（6，3）
∴点Q由点P向右平移5个单位长度得到的.
解：m-1=m2 +m ,
故 m2=-1,
∴点Q不能由点P上下平移得到.
3．如图， △OAB的顶点A，B的坐标分别为A(1，3),B(4，0),把△OAB沿x轴向右平移得△CDE.如果CB=1，
（1）点D的坐标为 ＿＿＿＿＿
（4，3）
（２）求线段ＯＡ在平移过程中扫过的面积.
S=3×3=9
图形在坐标系中的平移
沿x轴平移
课堂小结
沿y轴平移
纵坐标不变
横坐标加上一个正数，向右平移
横坐标减去一个正数，向左平移
横坐标不变
纵坐标加上一个正数，向上平移
纵坐标减去一个正数，向下平移
3.1 图形的平移
第3课时 坐标系中的点沿x轴、y轴
的两次平移
第三章 图形的平移与旋转
1.掌握平面直角坐标系中图形的两次平移与一次平移的转化，以及平移引起的点的坐标的变化规律;（重点、难点）
2. 了解平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数与几何的相互转化，初步建立空间观念．
学习目标
导入新课
复习引入
1. (x,y)?(x,y＋4)
2. (x,y)?(x,y －2)
在坐标系中，将坐标作如下变化时，图形将怎样变化？
向上平移4个单位
向下平移2个单位
4. (x,y)?(x+3 , y)
3. (x,y) ?(x-1 , y)
向左平移1个单位
向右平移3个单位
思考： (x,y)?(x-3 , y+4)
A ( x, y )
B (x-3, y)
向左平移3个单位
向上平移4个单位
C (x-3, y+4)
A
B
C
A经过两次平移到C，能否经过 一次平移到C呢？
o
A
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
5
4
3
2
1
-1
-2
●
●
A’
问1：A点先向下平移2 个单位长度，再向右平移3个单位长度得到A’ 你能找到A’的位置吗？
讲授新课
合作探究
o
A
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
5
4
3
2
1
-1
-2
●
●
A’
问2：（1）你还能想到其他的平移方式吗？
（2）A点能否通过一次平移到达A’点的位置？若能，请指出平移方向和距离？
o
A
x
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
6
5
4
3
2
1
-1
-2
●
●
A’
问3：观察A点和A'点的坐标，有何变化？
A(2,1) A'(5,-1)
y
x
O
2
4
6
4
2
-2
-4
-2
8
A
画一画：将图中的“鱼”向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到新“鱼”，试着在直角坐标系中画出新鱼.
问题1：在上述变化中，能否看成是经过一次平移得到的？如果能，请指出平移的方向和距离，并与同伴交流.
能
平移方向是O到A,平移距离是OA=
问题2：对应点的坐标之间有什么关系？
横坐标加3，纵坐标减2
做一做：先将右图中的“鱼” F的每个“顶点” 的横坐标分别加2,纵坐标不变,得到 “鱼” G；再将“鱼” G的每个“顶点” 的纵坐标分别加3，横坐标不变，得到“鱼” H.“鱼” H与原来的 “鱼” F相比有什么变化？能否将“鱼” H看成是“鱼” F经过一次平移得到的？与同伴交流.
y
x
(6,-2)
(7,-1)
(7,1)
(5,0)
(7,4)
(2,0)
“鱼”G各“顶点”坐标
“鱼”F各 “顶点”坐标
(0,0)
(5,4)
(3,0)
(5,1)
(5,-1)
(4,-2)
“鱼”H各“顶点”坐标
(2,3)
(7,7)
(5,3)
(7,4)
(7,2)
(6,1)
1 “鱼”G各“顶点”坐标如下表：
2 “鱼”H各“顶点”坐标如下表：
F
G
H
结论：1.形状、大小相同，只是位置改变 ，先向右平移了2个单位长度，再向上平移了3个单位长度.
2.可以将“鱼”H看成是“鱼”F经过一次平移得到的，平移方向是点(0,0)到点(2,3)的方向，平移距离是 .
问题：在上述变化中，能否看成是经过一次平移得到的？如果能，请指出平移的方向和距离，并与同伴交流.
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形与原来的图形相比，位置有什么变化？它们对应点的坐标之间有怎样的关系？
交流讨论
平移方向和平移距离 对应点的坐标
向右平移a个单位长度，向上平移b个单位长度
向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度
向左平移a个单位长度，向上平移b个单位长度
向左平移a个单位长度，向下平移b个单位长度
一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.
归纳总结
例 四边形ABCD各顶点的坐标分别为A(-3,5)B(-4,3)C(-1,1)D(-1,4),将四边形ABCD先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，得到四边形A′B′C′D′.
（1）四边形A′B′C′D′
与四边形ABCD对应
点的横坐标有什么关
系？纵坐标呢？分别
写出点A′，B′，C′，
D′的坐标
解：四边形A′B′C′D′与
四边形ABCD对应点的
横坐标分别增加了4，
纵坐标分别增加了3，
A′（1，8），
B′（0，6），
C′（3，4），D′（3，7）.
（2）如果四边形A′B′C′D′看成是由四边形ABCD经过一次平移得到的，请指出这一平移的平移方向和平移距离.
解：平移方向A到A′，如图所示；平移距离AA',由勾股定理得AA'=5.
当堂练习
1.将点A（3，2）向上平移2个单位长度,向左平移4个单位长度得到A1,则A1的坐标 为______.
(-1,4)
2.在平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A（﹣1，1） B（﹣1，﹣2）
C（﹣1，2） D（1，2）
A
3.如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
A
A
B
C
-4
-5
1
2
3
4
1
2
3
4
-1
-2
-3
-1
-2
-3
o
y
(-3,2)
(-2,-1)
(3,0)
4.如图，△ABC上任意一点P(x0,y0)经平移后得到的对应点为P1(x0+2,y0+4)，将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1.求A1、B1、C1的坐标.
P(x0,y0)
P1(x0+2,y0+4)
B
解：A（-3,2）经平移后得到（-3+2,2+4），即A1(-1,6);
B（-2,-1）经平移后得到（-2+2,-1+4），即B1(0,3);
C（3,0）经平移后得到（3+2,0+4），即C1(5,4).
C
O
图形在坐标系中的平移
沿x轴、y轴的两次平移
课堂小结
可化为一次平移
3.2 图形的旋转
第1课时 旋转的定义和性质
第三章 图形的平移与旋转
1.掌握旋转的有关概念及基本性质.（重点）
2.能够根据旋转的基本性质解决实际问题.
导入新课
情境引入
这些运动有什么共同的特点？
讲授新课
观察与思考
B
O
A
问题 观察下列图形的运动，它有什么特点？
钟表的指针在不停地转动，从12时到4时，时针转动了______度.
120°
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.
思考:怎样来定义这种图形变换？
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
怎样来定义这种图形变换？
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.
O
P′
P
旋转中心
旋转角
对应点
旋转的定义
这个定点称为旋转中心.
转动的角称为旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
如果图形上的点P经过旋转变为点P'，这两个点叫做这个旋转的对应点.
知识要点
例1. △ ABD经过旋转后到△ ACE的位置.
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?顺时针还是逆时针？
(3)如果M是AB的中点,经过上述旋转后,点M转到什么位置?
A
B
C
E
M
.
解：(1)旋转中心是点A;
(2)旋转了60 °,逆时针;
(3)点M转到了AC的中点上.
D
典例精析
60°
若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转中心是______，旋转角是_________，旋转角等于____度，其中的对应点有_______、 _______、 _______、 _______、 _______、 _______ .
O
O
∠AOB
60
F与A
A与B
B与C
C与D
D与E
E与F
填一填：
B
旋转中心
旋转角
旋转方向
必须明确
确定一次图形的旋转时,
温馨提示：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，
旋转方向，旋转角度”称之为旋转的三要素；②旋转变换
同样属于全等变换.
归纳总结
A．30°
B．45°
C．90°
D．135°
例2 如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若△AOB绕点O按逆时针方向旋转到△COD的位置，则旋转的角度为( )
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、OD是对应边，∠BOD是旋转角，所以，旋转角为90°.故选C.
C
A
B
B′
A′
C
．
M′
M
．
．
．
．
45°
绕点C逆时针旋转45°.
合作探究
旋转中心是点__________；
图中对应点有_______________________________________;
图中对应线段有_____________________________________.
每对对应线段的长度有怎样的关系？
图中旋转角等于________.
C
点A与点A′,点B与点B′,点M与点M′,点N与点N′
线段CA与CA′、CB与CB′、AB与A′B′
45°
相等
根据上图填空.
B'
A'
C'
A
B
C
O
线： AO=A'O ，BO=B'O ，CO=C'O
角：∠AOA'=∠BOB' =∠COC'
D
E
A
B
F
C
O
1.对应点到旋转中心的距离相等;
2.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角;
4.对应线段相等，对应角相等.
旋转的性质
知识要点
3.旋转中心是唯一不动的点;
例3 如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3则∠BE′C＝________度．
解析：连接EE′，
由旋转性质知BE＝BE′，∠EBE′＝90°，
∴∠BE'E=45°，
在△EE′C中，E′C＝1，EC＝3，
由勾股定理逆定理可知∠EE′C＝90°，
∴∠BE′C＝∠BE′E＋∠EE′C＝135°.
135
例4 如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1BC1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1，BC1分别交于点E，F．
求证：△BCF≌△BA1D；
解析：根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=
∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A1=∠A=
∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D；
证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
由旋转的性质，可得
A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=
∠CBC1，
在△BCF与△BA1D中，
∴△BCF≌△BA1D（ASA）.
1.下列现象中属于旋转的有( )个
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.
A.2 B.3 C.4 D.5
2. 下列说法正确的是( )
A.旋转改变图形的形状和大小
B.平移改变图形的位置
C.平移图形可以向某方向旋转一定距离得到
D.由平移得到的图形也一定可由旋转得到
B
C
当堂练习
D
4. △A ′ OB ′是△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到的.已知∠AOB=20 °, ∠ A ′ OB =24°，AB=3,OA=5,则A ′ B ′ = ,OA ′ = ,旋转角等于 .
3
5
44 °
5.△ABC绕点A旋转一定角度后得到△ADE，若BC=4，AC=3，则下列说法正确的是（ ）
A.DE=3
B.AE=4
C.∠CAB是旋转角
D.∠CAE是旋转角
D
6.如图（1）中，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB和∠D都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后能够与△ADE重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着A点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（ ）
A.45°，90°
B.90°，45°
C.60°，30°
D.30°，60°
A
7.如图所示，AB是长为4的线段，且CD⊥AB于O.你能借助旋转的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法.
旋转到同一个象限，构成四分之一个圆
将一个直角三角板绕30°角的顶点顺时针旋转，使一直角边与原斜边在同一条直线上(如图所示).你知道旋转角是多少吗？连结BB’，△ABB’有什么特征吗？
150°
△ABB’是等腰三角形
课堂小结
旋转
定义
三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度
性质
旋转前后的图形全等；
对应点到旋转中心的距离相等;
对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
3.2 图形的旋转
第2课时 旋转作图
第三章 图形的平移与旋转
能够根据旋转的基本性质进行简单作图.
（重点）
A
B
C
D
E
F
G
H
K
L
M
N
回顾平移的特征
导入新课
O
F
︵
A
B
C
D
E
回顾旋转的特征
画一画：如图，画出线段 AB绕点A按顺时针方向旋转60°后的线段．
讲授新课
作法：(1)如图，以AB为一边按顺时针方向画∠BAX，使得∠BAX=60°.
(2)在射线AX上取点C，使得AC=AB.线段AC为所求．
X
C
画出下图所示的四边形 ABCD 以 O为中心，
旋转角都为 60°的旋转图形．
试一试
B'
A'
C'
D'
拓展提升
①相同：都是一种运动；运动前后不改变图形的形状和大小.
②不同
平移和旋转的异同：
图形变换 运动方向 运动量的衡量
平移 直线 移动一定距离
旋转 顺时针或逆时针 转动一定的角度
例1 如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形.
作图关键－关键是确定点E的对应点E′
想一想：本题中作图的关键是什么？
解：∵点A是旋转中心，∴它的对应点是 .正方形ABCD中，AD=AB，∠DAB= ，所以旋转后 重合. 设点E的对应点为E′.
∵△ADE △ABE′
∴∠ABE′＝ ＝ ，
BE′＝ ，
因此 .
E ′
点A
90 °
≌
∠ADE
90 °
DE
在CB的延长线 上截取点E′,使BE ′=DE
则△ABE′为旋转后的图形.
答：延长CB,以点A为圆心，AE 的长为半径画弧,交CB的延长线于E'，连接AE',则△ABE'为旋转后的图形.
想一想：
还有其他方法确定点E的对应点E′吗？
（1）明确旋转三要素：
旋转中心、旋转方向和旋转角度.
旋转作图的基本步骤：
（2）找出关键点;
（3）作出关键点的对应点;
（4）作出新图形;
（5）写出结论.
D
E
B
F
C
A
考考你：
借助上图，如何确定它们的旋转中心位置？
答：找到两条对应点连线段的垂直平分线的交点.
例2. 怎样将甲图案变成乙图案？
甲
甲
乙
乙
A
B
B
A
可以先将甲图案绕图上的A点旋转，使得图案被“扶直”，然后，再沿AB方向将所得图案平移到B点位置，即可得到乙图案
还可以用什么方法把甲图案变成乙图案？
下图由四部分组成,每部分都包括两个小“十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?
平移:
平移的方向
平移的距离
仅靠平移无法得到
旋转:
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?
整个图形可以看作是左边的两个小“十字”绕着图案的中心旋转3次，分别旋转90°、180°、270°前后图形组成的.
平移、 旋转相结合:
先平移
后旋转
下图由四部分组成,每部分都包括两个小“十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?
整个图形可以看作是左边的两个小“十字”先通过一次平移成图形右侧的部分，然后左、右部分一起绕图形的中心旋转90°前后图形组成的.
轴对称:
下图由四部分组成,每部分都包括两个小”十”字,红色部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗?能经过平移吗?能经过轴对称吗?还有其他方式吗?
直线EF与GH相交于图形的中心O，且互相垂直，先把左边的两个“十字”作关于EF的轴对称图形，然后作这两部分关于GH的轴对称图形，这样就可以得到整个图形.
O
对称轴?
如图，怎样将右边的图案变成左边的图案？
答：以右边图案的中心为旋转中心，将图案按逆时针方向旋转90°，然后平移，即可得到左边的图案.
1.选择不同的__________、不同的______旋转同一个图案,会出现不同的效果.
(1)两个旋转中，旋转中心不变, ______ 改变了，产生了_______的旋转效果.
(2)两个旋转中,旋转角不变,__________改变了，产生了_______的旋转效果.
旋转中心
旋转角
旋转角
不同
旋转中心
不同
2.我们可以借助旋转可以设计出许多美丽的图案.
1.如图，四边形ABCD绕O点旋转后，顶点A的对应点为E，试确定B、C、D对应的点的位置，以及旋转后的四边形．
解：（1）连接OA、OB、OC、OD、OE；
（2）分别以OB、OC、OD为一边作∠BOF， ∠COG， ∠DOH，使∠BOF= ∠COG= ∠DOH= ∠AOE；
（3）分别在射线OF，OG，OH上，截取OF=OB，OG=OC，OH=OD；
（4）连接EF，FG，GH，HE，
四边形EFGH就是四边形ABCD绕O点旋转后的图形．
当堂练习
2.如图，正方形ABCD和正方形CDEF有公共边CD,请设计方案,使正方形ABCD旋转后能与正方形CDEF重合,你能写出几种方案?
A
B
C
D
E
F
·
O
解:
方案一:
把正方形ABCD绕点D
顺时针旋转90°.
方案二:
把正方形ABCD绕点C
逆时针旋转90°.
方案三:
把正方形ABCD绕CD的
中点O旋转180°.
课堂小结
旋转的作图
作旋转图形
作图基本步骤五步
确定旋转中心
找两条对应点连线段的垂直平分线的交点
3.3 中心对称
第三章 图形的平移与旋转
学习目标
1.理解中心对称的定义及性质，会识别中心对称图形.（重点）
2.会运用掌握中心对称及中心对称图形的性质解决实际问题.（重点）
导入新课
1.从A旋转到B,旋转中心
是?旋转角是多少度呢?
o
A
B
C
D
2.从A旋转到C呢?
3.从A旋转到D呢?
情境引入1
魔术时间
桌上有四张牌，将其中一张牌旋转180度后，你很快能猜出是哪一张吗？
情境引入2
讲授新课
重 合
O
A
Ｏ
D
B
C
问题1：观察下列图形的运动，说一说它们有什么共同点.
观察与思考
旋转角为180°
知识要点
如果把一个图形(如△ABO)绕定点O旋转180?，它能够与另一个图形(如△CDO)重合，那么就说这两个图形△ABO与图形△CDO关于点O的对称或中心对称，点O就是对称中心.
填一填：
如图，△OCD与△OAB关于点O中心对称 ，则____是对称中心，点A与_____是对称点， 点B与____是对称点.
O
C
D
1.中心对称是一种特殊的旋转.其旋转角是180 °.
2.中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系.
归纳总结
问题2 如图，旋转三角尺，画出△ABC关于点O中心对称的△A′B′C′ .
A′
C
A
B
B′
C′
找一找:
下图中△A′B′C′与△ABC关于点O是成中心对称,你能从图中找到哪些等量关系?
(1) OA=OA′、OB=OB′、 OC=OC′
（2）△ABC≌△A′B′C′
1.成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.（即对称点与对称中心三点共线）
2.中心对称的两个图形是全等形.
知识要点
中心对称的性质
典例精析
例1 如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A'B'C'D'.
分析：要画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形，只要画出A，B，C，D四点关于点O的对称点，再顺次连接各对应点即可.
作法：
1.连接AO并延长到A'，使OA'=OA，得到点A的对应点A'；
2.同理，可作出点B，C，D的对应点B'，C'，D'；
3.顺次连接A'，B'，C'，D'，则四边形A'B'C'D'即为所作.
考考你:如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，找出它们的对称中心O.
解法1：根据观察，B、B′应是对应点，连接BB′，用刻度尺找出BB′的中点O，则点O即为所求（如图）.
O
O
解法2：根据观察，B、B′及C、C′应是两组对应点，连接BB′、CC′，BB′、CC′相交于点O，则点O即为所求（如图）.
注意：如果限制只用直尺作图，我们用解法2.
例2 如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高为________.
解析：设AB边上的高为h，因为△AOB的面积是12，AB＝3，易得h＝8.
又因为△AOB与△DOC成中心对称，△COD≌△AOB，所以△DOC中CD边上的高是8.
8
轴 对 称
中心对称
1
2
3
翻转后和另一个图形重合
旋转后和另一个图形重合
1
拓展提升
中心对称与轴对称的异同
合作探究
（1）线段
（2）平行四边形
A
B
问题 将下面的图形绕O点旋转，你有什么发现？
O
共同点：
（1）都绕一点旋转了180度；
（2）都与原图形完全重合.
把一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.
O
B
A
C
D
中心对称图形的定义
知识要点
√
√
(1)
(2)
(3)
√
（4）
判一判：下列图形中哪些是中心对称图形？
×
在生活中，有许多中心对称图形，你能举出一些例子吗？
例3 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为_______.
解析：由于矩形是中心对称图形，所以依题意可知△BOF与△DOE关于点O成中心对称，由此图中阴影部分的三个三角形就可以转化到直角△ADC中，易得阴影部分的面积为3．
3
例4 请你用无刻度的直尺画一条直线把他们分成面积相等的两部分，你怎样画？
割法1
割法2
补法
图(1)
图(2)
解密魔术
当堂练习
1.判断正误：
（1）轴对称的两个图形一定是全等形，但全等的两个图形不一定是轴对称的图形.（ ）
（2）成中心对称的两个图形一定是全等形.但全等的两个图形不一定是成中心对称的图形. （ ）
（3）全等的两个图形，不是成中心对称的图形，就是成轴对称的图形. （ ）
√
√
×
2.如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有
（ ） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
D
3.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积
是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
B
4.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
（ ）
A . 角 B. 等边三角形 C . 线段 D . 平行四边形
C
5.下列图形中是中心对称图形而不是轴对称图形的是
( ）
A . 平行四边形 B. 矩形
C . 菱形 D . 正方形
A
6.世界上因为有了圆的图案，万物才显得富有生机，以下来自现实生活的图形中都有圆，它们看上去是那么美丽与和谐，这正是因为圆具有 轴对称和中心对称性.
请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ，是中心对称图形的有 .
7.图中网格中有一个四边形和两个三角形,
(1)请你先画出三个图形关于点O的中心对称图形;
(2)将(1)中画出的图形与原图形看成一个整体图形,请写出这个整体图形对称轴的条数;这个整体图形至少旋转多少度与自身重合?
O
A′
B′
C′
8.如图，已知等边三角形ABC和点O，画△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称.
课堂小结
中心对称和
中心对称图形
概念
旋转角是180°
性质
对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分
作图
应用1：作中心对称图形；
应用2：找出对称中心.
中心对称
中心对称图形
定义
性质
应用
绕着内部一点旋转180°能与本身重合的图形
经过对称中心的直线把原图形分成面积相等的两部分
美丽的中心对称图形在建筑物和工艺品等领域非常常见
