【鲁教版八下精美学案】8.3.1 用公式法解一元二次方程（知识构建+考点归纳+真题训练）

第3节 用公式法解一元二次方程
第1课时
知 识 梳 理
知识点1 一元二次方程的求根公式（难点）
一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根是x＝，这个式子称为一元二次方程的求根公式。
知识点2 公式法解一元二次方程（重点）
1.公式法:用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
注意 （1）应用求根公式的前提条件是b2-4ac≥0，当b2-4ac＜0时可直接判断此方程无实数根。
（2）公式法是解一元二次方程的万能法，适用于任何一元二次方程，但在应用时一定要将原方程化为一般形式。
2.用公式法解一元二次方程的步骤:
（1）把方程化为一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）；
（2）确定各项系数a，b，c的值，并求出b2-4ac的值；
（3）当b2-4ac≥0时，代入求根公式x＝得到方程的根；若b2-4ac＜0，则方 程无实数根，不必代入求根公式。
考 点 突 破
考点1:用公式法解一元二次方程
【典例1】用公式法解下列方程:
（1）3x2＋5（2x＋1）＝0； （2）3x2＋1＝2x； （3）5x2-6x＋8＝0。
思路导析:（1）先把方程化为一般形式，找出a，b，c，求出△＝b2-4ac的值，再代入求根公式
x＝计算即可；（2）先把方程化为一般形 式，找出a，b，c，求出△＝b2-4ac的值为0，故方程有两个相等的根；（3）找出a，b，c，求出△＝b2-4ac的值小于0，故方程没有实数根。
解:（1）3x2＋5（2x＋1）＝0，整理得3x2＋10x＋5＝0，∵a＝3，b＝10，c＝5，∴b2-4ac＝100-60＝40＞0。 x＝＝。则原方程的解为x1＝；x2 = ；
（2）整理，得3x2-2x＋1＝0。
∵a＝3，b＝-2，c＝1，∴b2-4ac＝（-2）2-4×3×1＝12-12＝0。
∴x＝= 。∴x1＝x2＝.
（3）5x2-6x＋8＝0，∵a＝5，b＝-6，c＝8，∴b2-4ac＝（-6）2-4×5×8＝36-160＝-124.∴原方程无解。友情提示 公式法解一元二次方程的“四个步骤”:
（1）化:若方程不是一般形式，先把一元二次方程化为一般形式:ax2＋bx＋c＝0（a≠0）
（2）定:确定a，b，c的值
（3）算:计算b2-4ac的值
（4）求:若b2-4ac≥0，则利用求根公式求出方程的根；若b2-4ac＜0，则原方程没有实数根。
变式1 以x＝为根的一元二次方程可能是（ ）
A. x2＋bx＋c＝0 B.x2＋bx-c＝0 C.x2-bx＋c＝0 D.x2-bx-c＝0
变式2 用公式法解方程:
（1）2y2＋5y＝3； （2）t2＋3＝2t； （3）3x2＋5（2x＋1）＝0
考点2: 用适当的方法解一元二次方程
【典例2】（1）用配方法解方程:3x2-12x＋9＝0； （2）用公式法解方程:3x2-9x＋4＝0。
思路导析:（1）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可；（2）先求出b2-ac的值，再代入公式求出即可。
解:（1）两边同除以3，得x2-4x＋3＝0，移项，得x2-4x＝-3，配方，得x2-4x＋4＝-3＋4即(x-2)2＝1，开方，得x-2＝±1，∴x1＝3，x2＝1；
（2）∵a＝3，b＝-9，c＝4，∴△＝b2-4ac＝(-9)2-4×3×4＝33＞0.
∴方程有两个不相等的实数根为x＝, x1＝，x2＝。
友情提示 目前解一元二次的方法有:直接开平方去，配方法和公式法，形如:
x2＝a（a≥0）或(x＋b)2＝a（a≥0）的类型的方程用直接开平方法，配方法和公式法均适用于任何一元二次方程。
变式3 解方程:
（1）用公式法解方程:5x2-4x-1＝0；
（2）用配方法解方程:x2＋7x-3＝0.
变式4 用适当的方法解下列方程:
（1）(x-1)(x＋3)＝12； （2）(3x-4)2＝(4x-3)2； （3）x2-2x＋2＝0.
巩 固 提 高
1.用公式法求一元二次方程的根时，首先要确定a，b，c的值.对于方程-4x2＋3＝5x，下列叙述正确的是（ ）
A.a＝-4，b＝5，c＝3 B.a＝-4，b＝-5，c＝3 C.a＝4，b＝5，c＝3 D.a＝4，b＝-5，c＝-3
2.用公式解方程-3x2＋5x-1＝0，正确的是（ ）
A.x＝ B.x＝ C.x＝ D. x＝
3.已知a是一元二次方程x2-3x-5＝0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（ ）
A.-2＜a＜-1 B.2＜a＜3 C.-3＜a＜-4 D.4＜a＜5
4.用公式法解一元二次方程时，一般要先计算b2-4ac的值.请问解方程-x2＋5x＝3时b2-4ac的值为_________。
5.已知代数式7x（x＋5）＋10与代数式9x-9的值互为相反数，则x＝______________。
6.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2-2b＋3，若将实数对（x，-3x）放入其中，得到一个新数为5，则x＝___________。
7.用公式法解下列方程:
（1）x2＋4x＋4＝-6x-21； （2）x2-6x＋9＝(5-2x)2； （3）3x2＋2x＋1＝0.
8.按要求解下列方程:
（1）用直接开平方法解方程:(2x-3)2＝9；
（2）用配方法解方程:3x2-10x＋6＝0；
（3）用两种方法解方程:4(x＋3)2＝9(x-2)2；
（4）用公式法解方程:m2＋3-m＝0.
9.三角形的两边长分别是4和3，第三边的长是一元二次方程x2-8x＋15＝0的一个实数根，则求这个三角形的面积。
10.已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2-3x＋8＝0，求△ABC的周长。
11.已知关于x的一元二次方程（m-1）x2-2mx＋m＋1＝0.
（1）求出方程的根；
（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？
12.已知a是一元二次方程x2-4x＋1＝0的两个实数根中较小的根。
（1）求a2-4a＋2016的值；
（2）化简求值。
真 题 训 练
1.（2018·昌平）方程x2-x-1＝0的根是（ ）
A. x1=,x2= B.x1=,x2=
C.x1 = ，x2 D.没有实数根
2.（2017·临沂）一元二次方程x2-x-1＝0的两个实数根中较大的根是（ ）
A.1＋ B. C. D.
3.（潍坊中考）等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程x2-12x＋k＝0的两个根，则k的值是（ ）
A.27 B.36 C.27或36 D.18
4.（2018·十堰）对于实数a，b，定义运算“※”如下:a※b＝a2-ab，例如，5※3＝52-5×3＝10.若
（x＋1）※（x-2）＝6，则x的值为___________。
5.（2018·绵阳）已知a＞b＞0，且，则＝____________。
参考答案及解析
考点突破
1.D
2.解:（1）y1＝，y2＝-3；（2）t1＝t2＝；（3）x1＝，x2＝
3.解:（1）x1＝1，x2＝；（2）x1＝，x2＝
4.解:（1）x1＝3，x2＝-5；（2）x1＝1，x2=-1；（3）x1＝，x2＝.
巩固提高
1.B 2.C 3.A 4.13 5. 6.
7.解:（1）x1＝x2＝-5；（2）x1＝，x2＝2；（3）原方程没有实数根
8.解:（1）x1＝3，x2＝0；（2）x1＝，x2＝；（3）x1＝12，x2＝0；（4）x1＝x2＝。
9.解:由x2-8x＋15＝0，得（x-5）（x-3）＝0
∴x-5＝0，x-3＝0。∴x1＝5，x2＝3。∴三角形的第三边长是5或3
当第三边长是5时，32＋42＝52，∴三角形是直角三角形。
S=×3×4＝6。
当第三边长是3时，则三角形是等腰三角形.
S=×4×=×4×＝2。
∴该三角形的面积是6或2。
10.解:根据题意得k≥0且（3）2-4×8≥0，解得k≥。
∵整数k＜5，∴k＝4。
∴方程变形为x2-6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2-6x＋8＝0，
∴△ABC的边长为2，2，2或4，4，4或4，4，2。
∴△ABC的周长为6或12或10。
11.解:（1）根据题意，得m≠1。
∵a＝m-1，b＝-2m，c＝m＋1，
∴△＝b2 - 4ac＝(-2m)2-4(mn-1)(m＋1)＝4，
则，；
（2）由（1），知。
∵方程的两个根都为正整数，∴是正整数。
∴m-1＝1或m-1＝2，解得m＝2或m＝3。
∴当m为2或3时，此方程的两个根都为正整数。
12.解:（1）∵a是方程x2-4x＋1＝0的实数根，∴a2-4a＋1＝0。
∴a2-4a＋2016＝a2-4a＋1＋2015＝2015；
（2）解方程x2-4x＋1＝0，得x1＝2＋，x2＝2-。
∴a＝2-.∴a-1＜0。
∴原式====。
当a＝2-时，原式＝2--1＝1-.
真题训练
1.B 2.B 3.B 4. 1 5.