【鲁教版八下精美学案】8.4 用分解因式法解一元二次方程（知识构建+考点归纳+真题训练）
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| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】8.4 用分解因式法解一元二次方程（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-11 22:54:38 | ||
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文档简介
第4节 用因式分解法解一元二次方程
知 识 梳 理
知识点1 因式分解法
1.因式分解法的概念:
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一元二次方程变为一元一次方程来求解，这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。
2.因式分解法的步骤:
（1）将方程的右边化为0；
（2）将方程的左边分解成两个一次因式的积；
（3）分别令每个因式为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
注意（1）因式分解法的基本思想和方法是转化和降次，它是一种特殊的解一元二次方程的方法；（2）因式分解法的理论依据:若两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个等于0，用式子表示为:若a·b＝0，则a＝0或b＝0.如方程x2-3x＝0，提公因式得x（x-3）＝0，则x＝0或x-3＝0。
知识点2 因式分解的主要方法
1.提公因式法:把公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，如2(x-2)＋x(x-2)＝0，通过提公因式（x-2），原方程变形为(x-2)(2＋x)＝0.
2.运用公式法:
完全平方公式:a2±2ab＋b2＝(a±b)2；
平方差公式:a2-b2＝（a＋b）（a-b）.
知识点3 选择适当方法解一元二次方程（难点）
选择解法的步骤是:先特殊，再一般，即先考虑能否用开平方法和因式分解法，再考虑公式法若无特殊说明，一般不使用配方法，但若二次项系数为1，一次项系数为偶数时，选择配方法解方程也比较方便。
考 点 突 破
考点1:用因式分解法解简单方程
【典例1】用因式分解法解方程:
（1）x2-3x＝0； （2）2(x-3)2＝5(3-x) （3）(2x＋1)2＝x2； （4）(x＋2)2-10x-20＝-25.
思路导析:（1）可直接提取公因式分解因式求解.（2）可先移项，再提公因式（x-3）分解因式求解.（3）可移项利用平方差分解因式求解.（4）可移项后，把（x＋2）当作一个整体，利用完全平方公式分解因式求解.
解:（1）原方程变形为x(x-3)＝0，∴x＝0或x-3＝0∴x1＝0，x2＝3；
（2）∵2(x-3)2＝5(3-x)，∴2(x-3)2＋5(x-3)＝0
∴(x-3)［2(x-3)＋5］＝0∴x-3＝0，2(x-3)＋5＝0
∴x1＝3，x2＝；
（3）原方程变形为(2x＋1)2-x2＝0即(2x＋1＋x)(2x＋1-x)＝0
∴3x＋1＝0或x＋1＝0.∴x1＝-3，x2＝-1；
（4）原方程变形为(x＋2)2-10(x＋2)＋52＝0，即(x＋2-5)2＝0，
∴x1＝x2＝3.
友情提示 用因式分解法解一元二次方程时，应熟记各种分解因式的方法，要善于观察方程的特点，不要急于将原方程化为一般式，而要观察括号中的因式能否提公因式，公因式有可能是单项式，也有可能是多项式，如果没有公因式，尝试能否化为两个整式的平方差或完全平方式的形式来解决，此时要注意整体思想的运用，对形如(ax＋b)2＝(cx＋d)2常用平方差公式来求解，也可以用直接开平方法求解。
变式1（1）方程(3x-5)(2x-)＝0可转化为两个一元一次方程_____________或_____________。
（2）小明在解关于x的方程（x＋2）2＝4（x＋2）时，在方程两边都除以（x＋2），得到方程的解为x＝2。其实，在解答过程中，小明的做法还遗漏了方程的另一个解，你认为遗漏的解是_________。
变式2 解方程:
（1）5x2＝4x； （2）3x(x-1)＝2x-2； （3）2(x-3)2＝x2-9； （4）(x-3)(x＋2)＝6.
考点2: 用因式分解法解复杂方程
【典例2】解下列一元二次方程:
（1）4(x-3)2-25(x-2)2＝0； （2）(2x＋1)2＋4(2x＋1)＝-4； （3）(x＋3)(x-1)＝4x-4
思路导析:解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法，如（1）可以用因式分解法中的平方差公式，（2）可以用完全平方公式，从整体上把握，（3）无法求解，因此需要重新整理。
解:（1）由4(x-3)2-25(x-2)2＝0，得［2（x-3）］2-［5（x-2）］2＝0.
∴（2x-6）2-（5x-10）2＝0∴（2x-6＋5x-10）（2x-6-5x＋10）＝0
即（7x-16）（-3x＋4）＝0∴x1＝，x2＝；
（2）由（2x＋1）2＋4（2x＋1）＋4＝0，得（2x＋1＋2）2＝0.
∴（2x＋3）2＝0∴x1＝x2＝；
（3）解法一:由（x＋3）（x-1）＝4x-4，得x2＋2x-3＝4x-4
∴x2-2x＋1＝0。∴（x-1）2＝0。∴x1＝x2＝1.
解法二:（x＋3）（x-1）＝4（x-1），即（x＋3）（x-1）-4（x-1）＝0
提出公因式为（x-1）（x＋3-4）＝0。∴x1＝x2＝1
友情提示 解一元二次方程时，首先观察方程的特点，因式分解法是最简便的方法，应首先考虑，不易式解因式洁先考虑提公因式法，然后是平方差公式或完全平方公式，但方程右边一定为0.
变式3 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别是x1＝3，x2＝4，那么二次三项式x2-px＋q可因式分解为（ ）
A.（x-3)(x＋4） B.（x＋3)(x-4） C.（x-3)(x-4） D.（x＋3)(x＋4）
变式4 用因式分解法解下列方程:
（1）49(x-3)2＝16(x＋6)2； （2）(2-3x)(x＋4)＝(3x-2)(1-5x)；
（3）(1＋2y)2-3(1＋2y)＋2＝0； （4）(x＋4)2-(x＋5)2＋(x-3)2＝24-3x.
考点3: 用适当的方法解一元二次方程
【典例3】用适当的方法解方程。
（1）9（x-1）2＝5； （2）（x-3）2＋x2＝9； （3）x（x＋2）＝323； （4）x2-x-1＝0.
思路导析: 本题考查因式分解的四种解法，要会根据方程的结构特点灵活选择恰当的方法来解答（1）用直接开平方法；（2）用因式分解法；（3）用配方法；（4）用公式法。
解:（1）原方程可变形为（x-1）2＝。开平方得x-1＝，∴x1＝1＋，x2＝1-。
（2）原方程可变形为（x-3）［（x-3）＋（x＋3）］＝0，即2x（x-3）＝0.
∴2x＝0或x-3＝0.∴x1＝0，x2＝3；
原方程可变形为x2＋2x＝323。配方，得x2＋2x＋1＝323＋1，即（x＋1）2＝324开平方，
得x＋1＝±18，即x1＝17，x2＝-19；
（4）∵a＝1，b＝-2，c＝-1，
∴b2-4ac＝（-2）2-4×1×（-1）＝6＞0。∴x＝＝，
即x1＝，x2＝.
友情提示 选择解法的步骤是:
先特殊，再一般，即先考虑能否用开平方法和因式分解法，再考虑公式法，若无特殊说明，一般不使用配方法，但若二次项系数为1，一次项系数为偶数时，选择配方法解方程比较方便。
变式5 已知下列方程，请把它们的序号填在相应解法后的横线上。
①2（x-1）2＝6；②（x-2）2＋x2＝4；③（x-2）（x-3）＝3；
④x2-2x-1＝0；⑤x2-x＋＝0；⑥x2-2x-99＝0
（1）直接开平方法:________________； （2）配方法:___________；
（3）公式法:_________； （4）因式分解法:_____________。
变式6 用适当的方法解下列方程。
（1）x2＋x-6＝0；（2）49(x-3)2＝16(x＋6)2；（3）(x-2)(x＋3)＝66；（4）(x＋1)2＝3x＋2.
考点4: 通过换元法降次解方程
【典例4】阅读材料:为解方程（x2-1）2-5（x2-1）＋4＝0，我们可以将（x2-1）看作一个整体，然后设x2-1＝y…①，那么原方程可化为y2-5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.
当y＝1时，x2-1＝1，∴x2＝2，∴x＝±；
当y＝4时，x2-1＝4，∴x2＝5，∴x＝±。
故原方程的解为x1＝，x2＝-，x3＝5，x4＝-。
解答问题:（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了____________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程:x4-x2-6＝0.
解:（1）换元.
（2）设x2＝y，那么原方程可化为y2-y-6＝0解得y1＝3，y2＝-2.
当y＝3时，x2＝3，∴x＝±;当y＝-2时，x2＝-2无解。
∴原方程的解为x1＝，x2＝-.
友情提示 此类题目考查利用换元法解特殊的高次方程，解答这类问题的关键是设出适当的未知数，通过整体交换或代入达到降次的目的，换元法是一种重要的数学方法，对某些具有一定特点的方程可采用设辅助未知数的方法，把原方程转化为一个整式方程，它不仅可用在解方程中，在其他方面也有广泛的应用。
变式7 填空:
（1）已知＝0，则的值等于______________。
（2）若（x2＋y2＋2）（x2＋y2-1）＝0，则x2＋y2的值为_____________。
变式8 运用换元法解方程:x4-6x2＋8＝0。
巩 固 提 高
1.下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ）
A.（x-3）（x-5）＝10×2，∴x-3＝10，x-5＝2∴x1＝13，x2＝7
B.（2-5x）＋（5x-2）2＝0，∴（5x-2）（5x-3）＝0，∴x1＝，x2＝
C.（x＋2）2＋4x＝0，∴x1＝2，x2＝-2
D.x2＝x，两边同时除以x，得x＝1。
2.解方程9（x＋1）2-4（x-1）2＝0的正确解法是（ ）
A.直接开平方得3（x＋1）＝2（x-1）
B.化为一般形式为13x2＋5＝0
C.分解因式得［3（x＋1）＋2（x-1）］［3（x＋1）-2（x-1）］＝0
D.直接得x＋1＝0或x-1＝0
3.若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实根分别为5，-6，则二次三项式x2＋mx＋n可分解为（ ）
A.（x＋5）（x-6） B.（x-5）（x＋6） C.（x＋5）（x＋6） D.（x-5）（x-6）
4.设a，b是一个直角三角形两直角边，且(a2＋b2)(a2＋b2-1)-12＝0，则这个直角三角形的斜边＝_______。5.已知数轴上A，B两点对应的数分别是一元二次方程(x＋1)(x-2)＝0的两个根，则A，B两点间的距离是____________。
6.若矩形的长和宽是方程x2-7x＋12＝0的两根，则矩形的对角线长度为___________。
7.用因式分解法解方程。
（1）（x-2）2＝3（x-2）； （2）4（x-2）2＝9（x＋3）2；
（3）2x2-7x-15＝0； （4）（1＋2y）2-3（1＋2y）＋2＝0
8.用适当的方法解下列方程:
（1）9（x＋2）2＝16；（2）（x-1）2-（x-1）＝0；（3）4x2-4x＋1＝0；（4）（3x-4）2＝9x-12.
9.已知m为方程（x＋6）（x-6）＝64的较大的一个根，n为方程x（x-5）＝2x的较小的一个根，求mn的值.
10.已知关于x的方程（a-1）x2-4x-1＋2a＝0的一个根为x＝3.
（1）求a的值及方程的另一个根；
（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长。
11.三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x2-16x＋60＝0的一个实数根，求该三角形的面积。
12.将4个数a，b，c，d排成两行两列，记为，定义＝ad-bc。
解方程:＝6（x＋1）.
真 题 训 练
1.（2018·铜仁）关于x的一元二次方程x2-4x＋3＝0的解为（ ）
A.x1＝-1，x2＝3 B.x1＝1，x2＝-3 C.x1＝1，x2＝3 D.x1＝-1，x2＝-3
2.（2018·安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A.12 B.9 C.13 D.12或9
3.（2018·淮安）一元二次方程x2-x＝0的根是_____________。
4.（2017·德州）方程3x（x-1）＝2（x-1）的解为__________。
5.解方程:
（1）（2018·齐齐哈尔）2（x-3）＝3x（x-3）；
（2）（2016·山西）2（x-3）2＝x2-9.
参考答案及解析
考点突破
1.（1）3x-5＝0 2x-＝0
（2）x＝-2
2.解:（1）x1＝0，x2＝；（2）x1＝，x2＝1；（3）x1＝3，x2＝9；（4）x1＝-3，x2＝4.
3.D
4.解:（1）x1＝-，x2＝15；（2）x1=，x2=；（3）y1=，y2＝0；（4）x1＝8，x2＝-3.
5.（1）① （2）④⑥ （3）③⑤ （4）②
6.解:（1）x1＝-12，x2＝2；（2）x1＝15，x2＝-；
（3）x1＝-9，x2＝8；（4）x1＝，x2＝。
7.（1）1 解析:，，开方得:1-＝0，＝1.
（2）1 解析:由（x2＋y2＋2）（x2＋y2-1）＝0，得x2＋y2＋2＝0，或x2＋y2-1＝0，
即x2＋y2＝-2，或x2＋y2＝1.又∵x2＋y2≥0，∴x2＋y2＝1.
8.解:设x2＝y，则原方程可化为y2-6y＋8＝0解得y1＝2，y2＝4.
当y＝2时，即x2＝2，∴x＝±；
当y＝4时，即x2＝4，∴x＝±2
∴原方程的解为x1＝，x2＝-，x3＝2，x4＝-2.
巩固提高
1.B 2.C 3.B 4.2 5.3 6.5
7.解:（1）x1＝2，x2＝5；（2）x1＝-1，x2＝-13；（3）x1＝5，x2＝-；（4）y1＝，y2＝0。
8.解:（1）x1＝-，x2＝-；（2）x1＝1，x2＝2；
（3）x1＝，x2＝；（4）x1＝，x2＝。
9.解:解方程（x＋6）（x-6）＝64，得x1＝10，x2＝10，
∴m＝10.
解方程x（x-5）＝2x，得x1＝0，x2＝7，∴n＝0.
∴mn＝100＝1.
10.解:（1）将x＝3代入方程（a-1）x2-4x-1＋2a＝0中，得9（a-1）-12-1＋2a＝0，解得a＝2.
将a＝2代入原方程中得x2-4x＋3＝0，因式分解得（x-1）（x-3）＝0，
∴x1＝1，x2＝3
∴方程的另一个根是x＝1；
（2）∵三角形的三边长都是这个方程的根，∴①当三边长都为1时，周长为3；
②当三边长都为3时，周长为9；③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；
④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形.故三角形的周长为3或9或7.
11.解:∵x2-16x＋60＝0，∴（x-6）（x-10）＝0.解得:x1＝6，x2＝10.
当x＝6时，则三角形是等腰三角形，如图①所示，AB＝AC＝6，BC＝8，AD是高，
∴BD＝4，AD＝＝2.∴S△ABC＝BC·AD＝×8×2＝8；
当x＝10时，如图②所示，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
S△ABC=BC·AC＝×8×6＝24.2
∴该三角形的面积是24或8.
12.解:由题意得（x＋1）（x＋1）-（5-x）（x＋5）＝6（x＋1），
∴（x＋1）（x＋1）-6（x＋1）-（5-x）（x＋5）＝0.
∴（x＋1）（x＋1-6）＋（x-5）（x＋5）＝0.即（x＋1）（x-5）＋（x-5）（x＋5）＝0，
∴（x-5）（x＋1＋x＋5）＝0.∴（x-5）（2x＋6）＝0.
∴x-5＝0或2x＋6＝0.∴x1＝5，x2＝-3.
真题训练
1.C 2.A 3.x1＝0，x2＝1 4.x＝1或x＝
5.解:（1）2（x-3）＝3x（x-3），
移项得2（x-3）-3x（x-3）＝0，
整理得（x-3）（2-3x）＝0，x-3＝0或2-3x＝0，
解得x1＝3或x2＝；
（2）方程变形得2（x-3）2-（x＋3）（x-3）＝0，
分解因式得（x-3）（2x-6-x-3）＝0，
解得x1＝3，x2＝9.
知 识 梳 理
知识点1 因式分解法
1.因式分解法的概念:
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一元二次方程变为一元一次方程来求解，这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。
2.因式分解法的步骤:
（1）将方程的右边化为0；
（2）将方程的左边分解成两个一次因式的积；
（3）分别令每个因式为0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
注意（1）因式分解法的基本思想和方法是转化和降次，它是一种特殊的解一元二次方程的方法；（2）因式分解法的理论依据:若两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个等于0，用式子表示为:若a·b＝0，则a＝0或b＝0.如方程x2-3x＝0，提公因式得x（x-3）＝0，则x＝0或x-3＝0。
知识点2 因式分解的主要方法
1.提公因式法:把公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，如2(x-2)＋x(x-2)＝0，通过提公因式（x-2），原方程变形为(x-2)(2＋x)＝0.
2.运用公式法:
完全平方公式:a2±2ab＋b2＝(a±b)2；
平方差公式:a2-b2＝（a＋b）（a-b）.
知识点3 选择适当方法解一元二次方程（难点）
选择解法的步骤是:先特殊，再一般，即先考虑能否用开平方法和因式分解法，再考虑公式法若无特殊说明，一般不使用配方法，但若二次项系数为1，一次项系数为偶数时，选择配方法解方程也比较方便。
考 点 突 破
考点1:用因式分解法解简单方程
【典例1】用因式分解法解方程:
（1）x2-3x＝0； （2）2(x-3)2＝5(3-x) （3）(2x＋1)2＝x2； （4）(x＋2)2-10x-20＝-25.
思路导析:（1）可直接提取公因式分解因式求解.（2）可先移项，再提公因式（x-3）分解因式求解.（3）可移项利用平方差分解因式求解.（4）可移项后，把（x＋2）当作一个整体，利用完全平方公式分解因式求解.
解:（1）原方程变形为x(x-3)＝0，∴x＝0或x-3＝0∴x1＝0，x2＝3；
（2）∵2(x-3)2＝5(3-x)，∴2(x-3)2＋5(x-3)＝0
∴(x-3)［2(x-3)＋5］＝0∴x-3＝0，2(x-3)＋5＝0
∴x1＝3，x2＝；
（3）原方程变形为(2x＋1)2-x2＝0即(2x＋1＋x)(2x＋1-x)＝0
∴3x＋1＝0或x＋1＝0.∴x1＝-3，x2＝-1；
（4）原方程变形为(x＋2)2-10(x＋2)＋52＝0，即(x＋2-5)2＝0，
∴x1＝x2＝3.
友情提示 用因式分解法解一元二次方程时，应熟记各种分解因式的方法，要善于观察方程的特点，不要急于将原方程化为一般式，而要观察括号中的因式能否提公因式，公因式有可能是单项式，也有可能是多项式，如果没有公因式，尝试能否化为两个整式的平方差或完全平方式的形式来解决，此时要注意整体思想的运用，对形如(ax＋b)2＝(cx＋d)2常用平方差公式来求解，也可以用直接开平方法求解。
变式1（1）方程(3x-5)(2x-)＝0可转化为两个一元一次方程_____________或_____________。
（2）小明在解关于x的方程（x＋2）2＝4（x＋2）时，在方程两边都除以（x＋2），得到方程的解为x＝2。其实，在解答过程中，小明的做法还遗漏了方程的另一个解，你认为遗漏的解是_________。
变式2 解方程:
（1）5x2＝4x； （2）3x(x-1)＝2x-2； （3）2(x-3)2＝x2-9； （4）(x-3)(x＋2)＝6.
考点2: 用因式分解法解复杂方程
【典例2】解下列一元二次方程:
（1）4(x-3)2-25(x-2)2＝0； （2）(2x＋1)2＋4(2x＋1)＝-4； （3）(x＋3)(x-1)＝4x-4
思路导析:解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法，如（1）可以用因式分解法中的平方差公式，（2）可以用完全平方公式，从整体上把握，（3）无法求解，因此需要重新整理。
解:（1）由4(x-3)2-25(x-2)2＝0，得［2（x-3）］2-［5（x-2）］2＝0.
∴（2x-6）2-（5x-10）2＝0∴（2x-6＋5x-10）（2x-6-5x＋10）＝0
即（7x-16）（-3x＋4）＝0∴x1＝，x2＝；
（2）由（2x＋1）2＋4（2x＋1）＋4＝0，得（2x＋1＋2）2＝0.
∴（2x＋3）2＝0∴x1＝x2＝；
（3）解法一:由（x＋3）（x-1）＝4x-4，得x2＋2x-3＝4x-4
∴x2-2x＋1＝0。∴（x-1）2＝0。∴x1＝x2＝1.
解法二:（x＋3）（x-1）＝4（x-1），即（x＋3）（x-1）-4（x-1）＝0
提出公因式为（x-1）（x＋3-4）＝0。∴x1＝x2＝1
友情提示 解一元二次方程时，首先观察方程的特点，因式分解法是最简便的方法，应首先考虑，不易式解因式洁先考虑提公因式法，然后是平方差公式或完全平方公式，但方程右边一定为0.
变式3 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根分别是x1＝3，x2＝4，那么二次三项式x2-px＋q可因式分解为（ ）
A.（x-3)(x＋4） B.（x＋3)(x-4） C.（x-3)(x-4） D.（x＋3)(x＋4）
变式4 用因式分解法解下列方程:
（1）49(x-3)2＝16(x＋6)2； （2）(2-3x)(x＋4)＝(3x-2)(1-5x)；
（3）(1＋2y)2-3(1＋2y)＋2＝0； （4）(x＋4)2-(x＋5)2＋(x-3)2＝24-3x.
考点3: 用适当的方法解一元二次方程
【典例3】用适当的方法解方程。
（1）9（x-1）2＝5； （2）（x-3）2＋x2＝9； （3）x（x＋2）＝323； （4）x2-x-1＝0.
思路导析: 本题考查因式分解的四种解法，要会根据方程的结构特点灵活选择恰当的方法来解答（1）用直接开平方法；（2）用因式分解法；（3）用配方法；（4）用公式法。
解:（1）原方程可变形为（x-1）2＝。开平方得x-1＝，∴x1＝1＋，x2＝1-。
（2）原方程可变形为（x-3）［（x-3）＋（x＋3）］＝0，即2x（x-3）＝0.
∴2x＝0或x-3＝0.∴x1＝0，x2＝3；
原方程可变形为x2＋2x＝323。配方，得x2＋2x＋1＝323＋1，即（x＋1）2＝324开平方，
得x＋1＝±18，即x1＝17，x2＝-19；
（4）∵a＝1，b＝-2，c＝-1，
∴b2-4ac＝（-2）2-4×1×（-1）＝6＞0。∴x＝＝，
即x1＝，x2＝.
友情提示 选择解法的步骤是:
先特殊，再一般，即先考虑能否用开平方法和因式分解法，再考虑公式法，若无特殊说明，一般不使用配方法，但若二次项系数为1，一次项系数为偶数时，选择配方法解方程比较方便。
变式5 已知下列方程，请把它们的序号填在相应解法后的横线上。
①2（x-1）2＝6；②（x-2）2＋x2＝4；③（x-2）（x-3）＝3；
④x2-2x-1＝0；⑤x2-x＋＝0；⑥x2-2x-99＝0
（1）直接开平方法:________________； （2）配方法:___________；
（3）公式法:_________； （4）因式分解法:_____________。
变式6 用适当的方法解下列方程。
（1）x2＋x-6＝0；（2）49(x-3)2＝16(x＋6)2；（3）(x-2)(x＋3)＝66；（4）(x＋1)2＝3x＋2.
考点4: 通过换元法降次解方程
【典例4】阅读材料:为解方程（x2-1）2-5（x2-1）＋4＝0，我们可以将（x2-1）看作一个整体，然后设x2-1＝y…①，那么原方程可化为y2-5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.
当y＝1时，x2-1＝1，∴x2＝2，∴x＝±；
当y＝4时，x2-1＝4，∴x2＝5，∴x＝±。
故原方程的解为x1＝，x2＝-，x3＝5，x4＝-。
解答问题:（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用了____________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；
（2）请利用以上知识解方程:x4-x2-6＝0.
解:（1）换元.
（2）设x2＝y，那么原方程可化为y2-y-6＝0解得y1＝3，y2＝-2.
当y＝3时，x2＝3，∴x＝±;当y＝-2时，x2＝-2无解。
∴原方程的解为x1＝，x2＝-.
友情提示 此类题目考查利用换元法解特殊的高次方程，解答这类问题的关键是设出适当的未知数，通过整体交换或代入达到降次的目的，换元法是一种重要的数学方法，对某些具有一定特点的方程可采用设辅助未知数的方法，把原方程转化为一个整式方程，它不仅可用在解方程中，在其他方面也有广泛的应用。
变式7 填空:
（1）已知＝0，则的值等于______________。
（2）若（x2＋y2＋2）（x2＋y2-1）＝0，则x2＋y2的值为_____________。
变式8 运用换元法解方程:x4-6x2＋8＝0。
巩 固 提 高
1.下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ）
A.（x-3）（x-5）＝10×2，∴x-3＝10，x-5＝2∴x1＝13，x2＝7
B.（2-5x）＋（5x-2）2＝0，∴（5x-2）（5x-3）＝0，∴x1＝，x2＝
C.（x＋2）2＋4x＝0，∴x1＝2，x2＝-2
D.x2＝x，两边同时除以x，得x＝1。
2.解方程9（x＋1）2-4（x-1）2＝0的正确解法是（ ）
A.直接开平方得3（x＋1）＝2（x-1）
B.化为一般形式为13x2＋5＝0
C.分解因式得［3（x＋1）＋2（x-1）］［3（x＋1）-2（x-1）］＝0
D.直接得x＋1＝0或x-1＝0
3.若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实根分别为5，-6，则二次三项式x2＋mx＋n可分解为（ ）
A.（x＋5）（x-6） B.（x-5）（x＋6） C.（x＋5）（x＋6） D.（x-5）（x-6）
4.设a，b是一个直角三角形两直角边，且(a2＋b2)(a2＋b2-1)-12＝0，则这个直角三角形的斜边＝_______。5.已知数轴上A，B两点对应的数分别是一元二次方程(x＋1)(x-2)＝0的两个根，则A，B两点间的距离是____________。
6.若矩形的长和宽是方程x2-7x＋12＝0的两根，则矩形的对角线长度为___________。
7.用因式分解法解方程。
（1）（x-2）2＝3（x-2）； （2）4（x-2）2＝9（x＋3）2；
（3）2x2-7x-15＝0； （4）（1＋2y）2-3（1＋2y）＋2＝0
8.用适当的方法解下列方程:
（1）9（x＋2）2＝16；（2）（x-1）2-（x-1）＝0；（3）4x2-4x＋1＝0；（4）（3x-4）2＝9x-12.
9.已知m为方程（x＋6）（x-6）＝64的较大的一个根，n为方程x（x-5）＝2x的较小的一个根，求mn的值.
10.已知关于x的方程（a-1）x2-4x-1＋2a＝0的一个根为x＝3.
（1）求a的值及方程的另一个根；
（2）如果一个三角形的三条边长都是这个方程的根，求这个三角形的周长。
11.三角形两边的长分别是8和6，第3边的长是一元二次方程x2-16x＋60＝0的一个实数根，求该三角形的面积。
12.将4个数a，b，c，d排成两行两列，记为，定义＝ad-bc。
解方程:＝6（x＋1）.
真 题 训 练
1.（2018·铜仁）关于x的一元二次方程x2-4x＋3＝0的解为（ ）
A.x1＝-1，x2＝3 B.x1＝1，x2＝-3 C.x1＝1，x2＝3 D.x1＝-1，x2＝-3
2.（2018·安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A.12 B.9 C.13 D.12或9
3.（2018·淮安）一元二次方程x2-x＝0的根是_____________。
4.（2017·德州）方程3x（x-1）＝2（x-1）的解为__________。
5.解方程:
（1）（2018·齐齐哈尔）2（x-3）＝3x（x-3）；
（2）（2016·山西）2（x-3）2＝x2-9.
参考答案及解析
考点突破
1.（1）3x-5＝0 2x-＝0
（2）x＝-2
2.解:（1）x1＝0，x2＝；（2）x1＝，x2＝1；（3）x1＝3，x2＝9；（4）x1＝-3，x2＝4.
3.D
4.解:（1）x1＝-，x2＝15；（2）x1=，x2=；（3）y1=，y2＝0；（4）x1＝8，x2＝-3.
5.（1）① （2）④⑥ （3）③⑤ （4）②
6.解:（1）x1＝-12，x2＝2；（2）x1＝15，x2＝-；
（3）x1＝-9，x2＝8；（4）x1＝，x2＝。
7.（1）1 解析:，，开方得:1-＝0，＝1.
（2）1 解析:由（x2＋y2＋2）（x2＋y2-1）＝0，得x2＋y2＋2＝0，或x2＋y2-1＝0，
即x2＋y2＝-2，或x2＋y2＝1.又∵x2＋y2≥0，∴x2＋y2＝1.
8.解:设x2＝y，则原方程可化为y2-6y＋8＝0解得y1＝2，y2＝4.
当y＝2时，即x2＝2，∴x＝±；
当y＝4时，即x2＝4，∴x＝±2
∴原方程的解为x1＝，x2＝-，x3＝2，x4＝-2.
巩固提高
1.B 2.C 3.B 4.2 5.3 6.5
7.解:（1）x1＝2，x2＝5；（2）x1＝-1，x2＝-13；（3）x1＝5，x2＝-；（4）y1＝，y2＝0。
8.解:（1）x1＝-，x2＝-；（2）x1＝1，x2＝2；
（3）x1＝，x2＝；（4）x1＝，x2＝。
9.解:解方程（x＋6）（x-6）＝64，得x1＝10，x2＝10，
∴m＝10.
解方程x（x-5）＝2x，得x1＝0，x2＝7，∴n＝0.
∴mn＝100＝1.
10.解:（1）将x＝3代入方程（a-1）x2-4x-1＋2a＝0中，得9（a-1）-12-1＋2a＝0，解得a＝2.
将a＝2代入原方程中得x2-4x＋3＝0，因式分解得（x-1）（x-3）＝0，
∴x1＝1，x2＝3
∴方程的另一个根是x＝1；
（2）∵三角形的三边长都是这个方程的根，∴①当三边长都为1时，周长为3；
②当三边长都为3时，周长为9；③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；
④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形.故三角形的周长为3或9或7.
11.解:∵x2-16x＋60＝0，∴（x-6）（x-10）＝0.解得:x1＝6，x2＝10.
当x＝6时，则三角形是等腰三角形，如图①所示，AB＝AC＝6，BC＝8，AD是高，
∴BD＝4，AD＝＝2.∴S△ABC＝BC·AD＝×8×2＝8；
当x＝10时，如图②所示，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
S△ABC=BC·AC＝×8×6＝24.2
∴该三角形的面积是24或8.
12.解:由题意得（x＋1）（x＋1）-（5-x）（x＋5）＝6（x＋1），
∴（x＋1）（x＋1）-6（x＋1）-（5-x）（x＋5）＝0.
∴（x＋1）（x＋1-6）＋（x-5）（x＋5）＝0.即（x＋1）（x-5）＋（x-5）（x＋5）＝0，
∴（x-5）（x＋1＋x＋5）＝0.∴（x-5）（2x＋6）＝0.
∴x-5＝0或2x＋6＝0.∴x1＝5，x2＝-3.
真题训练
1.C 2.A 3.x1＝0，x2＝1 4.x＝1或x＝
5.解:（1）2（x-3）＝3x（x-3），
移项得2（x-3）-3x（x-3）＝0，
整理得（x-3）（2-3x）＝0，x-3＝0或2-3x＝0，
解得x1＝3或x2＝；
（2）方程变形得2（x-3）2-（x＋3）（x-3）＝0，
分解因式得（x-3）（2x-6-x-3）＝0，
解得x1＝3，x2＝9.