【鲁教版八下精美学案】8.5 一元二次方程的根与系数的关系（知识构建+考点归纳+真题训练）
文档属性
| 名称 | 【鲁教版八下精美学案】8.5 一元二次方程的根与系数的关系（知识构建+考点归纳+真题训练） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-03-11 22:56:33 | ||
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文档简介
第5节 一元二次方程的根与系数的关系
知 识 梳 理
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1和x2，则方程根与系数间的关系是x1＋x2＝______________，x1x2＝_____________.此关系也称韦达定理。
例如:设一元二次方程3x2-7x＋2＝0的两个实数根为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝。
注意 方程两个根与系数之间存在必然关系，是在△＝b2-4ac≥0，即有根的前提条件下成立的。
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的知识拓展
有关根与系数的关系的三个重要推论:
1.以x1，x2为实数根的一元二次方程（二次项系数为1）的表达式是x2-（x1＋x2）x＋x1x2＝0。
2.如果方程x2＋px＋q＝0的两个实数根是x1x2，那么x1＋x2＝_______，x1x2＝_________。
3.与两根有关的几个代数式的变形:
①；②；③；
④(x1 - x2)2＝x12-2x1x2＋x22＝(x1＋x2)2-4x1x2；
⑤.
考 点 突 破
考点1: 利用根与系数的关系求方程的两根之和与两根之积
【典例1】 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积。
（1）3y2＋1＝2y；（2）（x-2）2＝2x＋6.
思路导析:由一元二次方程根与系数的关系可求得。
解:（1）原方程可化为3y2-2y＋1＝0.
∴a＝3，b＝-2，c＝1
∴△＝b2-4ac＝（-2）2-4×3×1＝0.
∴方程有两个相等的实数根。
∴y1＋y2＝，y1y2＝。
（2）整理得x2-6x-2＝0，这里a＝1，b＝-6，c＝-2。
△＝b2-4ac＝(-6)2-4×（-2）＝44＞0，∴方程有两个不相等的实数根
设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝6，x1x2＝-2.
友情提示 不解方程求方程两根和与积应用的前提是b2-4ac≥0，应用的关键是准确确定a，b，c的值，因此应先整理成一般形式确定a，b，c，再利用x1＋x2＝和x1x2＝求两根之和与两根之积。变式1 下列方程中，两根之和为的方程是（ ）
A.-3x2-x＋2＝0 B.3x2＋x＋2＝0 C.x2-x＋3＝0 D.6x2-2x-1＝0
变式2 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积。
（1）x2＋2x＋1＝0； （2）3x2-2x-1＝0； （3）2x2＋3＝7x2＋x； （4）5x-5＝6x2-4
考点2: 利用根与系数的关系求方程的另一根及字母的值
【典例2】 已知方程x2-6x＋m2-2m＋5＝0的一个根为2，求另一个根及m的值。
思路导析: 此题主要考查了一元二次方程的解的定义，首先把方程的一个解代入原方程中即可求出待定字母的值，然后就可以求出方程的另一个解。
解:解法一:把x＝2代入原方程，得22-6×2＋m2-2m＋5＝0，
即m2-2m-3＝0，解得m1＝3，m2＝-1.
当m1＝3，m2＝-1时，原方程都化为x2-6x＋8＝0
解得x1＝2，x2＝4，
∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.
解法二:设方程的另一个根为x，根据根与系数的关系得
∴或
友情提示 已知方程的一个根求另一个根，优先选择根与系数的关系，通过设未知数列方程达到目的；也可以利用方程根的定义，将已知根代入得一元二次方程，然后解方程，但要注意选择简便方法计算。变式3 已知关于x的一元二次方程x2＋kx-6＝0有一个根为-3，则方程的另一个根为___________。
变式4 已知关于x的方程x2-（m＋2）x＋2m-1＝0。
（1）求证:无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，请求出方程的另一个根。
考点3: 利用根与系数的关系求代数式的值
【典例3】已知一元二次方程x2＋3x-1＝0的两根是x1，x2，请利用根与系数的关系求:
（1）；（2）；（3）。
思路导析:首先对所求代数式进行恒等变形，然后代入x1＋x2＝-3，x1x2＝-1，所求代数式的值便可迎刃而解。
解:由题意知x1＋x2＝-3，x1x2＝-1.
（1）＝(-3)2-2×(-1)＝11；
（2）==3；
（3）(x1-2)(x2-2)＝x1x2 - 2x1 - 2x2＋4＝x1x2 - 2(x1＋x2)＋4＝-1-2×(-3)＋4＝-1＋6＋4＝9.
方法归纳 若方程x2＋px＋q＝0的两实根是x1，x2，则x1＋x2＝-p，x1x2＝q.分别对代数式进行恒等变形，将它们化为含有x1＋x2和x1x2的代数式，然后求解.
变式5 设x1，x2是方程2x2＋4x-3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值
（1）（x1＋2）（x2＋2）；（2）.
变式6 设方程4x2-7x＝3的两个根分别为x1，x2，不解方程，求下列代数式的值.
（1）；（2）。
考点4:利用根与系数的关系求待定字母的值
【典例4】 已知关于x的一元二次方程2x2-mx-2m＋1＝0的两根的平方和是，求m的值。
思路导析:先用含m的代数式表示x1＋x2，x1x2，再将x1＋x2转化为关于m的代数式，最后求得m的值。
解:设方程的两根为x1，x2，由已知，得 ∵= ，
∴=，∴=。解得m1＝-11，m2＝3.
当m＝-11时，方程为2x2＋11x＋23＝0，
△＝b2-4ac＝112-4×2×23＝-63＜0，方程没有实数根，所以m＝-11不合题意，应舍去；
当m＝3时，方程为2x2-3x-5＝0，
△＝b2-4ac＝（-3）2-4×2×（-5）＝49＞0，方程有两个不相等的实数根。
综上可知，m的值为3。
友情提示 利用一元二次方程根与系数的关系求方程中字母系数的值时，千万不要忘记将字母代回原方程验证△≥0.因为根与系数的关系是在一元二次方程的判别式大于或等于0的前提下使用的。
变式7 关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是-2和1，则n的值为（ ）
A.-8 B.8 C.16 D.-16
变式8 已知关于x的方程（k＋1）x2-2（k-1）x＋k＝0有两个实数根x1，x2。
（1）求k的取值范围；
（2）若x1＋x2＝x1x2＋2，求k的值
考点5: 一元二次方程根的情况及根与系数的综合应用
【典例5】 已知关于x的一元二次方程x2＋（2k＋1）x＋k2＝0有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12＋x22的值。
思路导析:（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；（2）将k＝1代入方程，由根与系数的关系得出x1＋x2＝-3，x1x2＝1，代入到x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2可得。
解:（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k＋1）2-4k2＝4k＋1＞0，解得k＞-；
（2）当k＝1时，方程为x2＋3x＋1＝0，
∵x1＋x2＝-3，x1x2＝1，∴x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2＝9-2＝7.
友情提示 本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握方程的根的情况与判别式的值间的关系及根与系数的关系是解题的关键。
变式9 已知关于x的方程x2＋（2k-1）x＋k2-1＝0有两个实数根x1，x2。
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值。
变式10 已知关于x的方程(x-3)(x-2)-p2＝0.
（1）求证:无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12＋x22＝3x1x2，求实数p的值.
巩 固 提 高
1.一元二次方程3x2-1＝2x＋5两实根的和与积分别是（ ）
A.，-2 B.，-2 C.，2 D.，2
2.已知a，β是一元二次方程x2＋x-2＝0的两个实数根，则a＋β-aβ的值是（ ）
A.3 B.1 C.-1 D.-3
3.若x1，x2是方程x2-2mx＋m2-m-1＝0的两个根，且x1＋x2＝1-x1x2，则m的值为（ ）
A.-1或2 B.1或-2 C.-2 D.1
4.关于x的一元二次方程x2＋（a2-2a）x＋a-1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ）
A.2 B.0 C.1 D.2或0
5.已知x1，x2是一元二次方程x2-2x-1＝0的两实数根，则的值是___________。
6.已知:m2-2m-1＝0，n2＋2n-1＝0且mn≠1，则的值为_____________。
7.已知x1，x2是一元二次方程x2-3x-1＝0的两根，不解方程求下列各式的值。
（1）x1＋x2；（2）x1x2；（3）x12＋x22；（4）。
8.已知关于x的一元二次方程x2-2x＋a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2＋x1＋x2＞0，求a的取值范围。
9.已知关于x的一元二次方程2x2-（m＋2）x＋m＝0。
（1）证明:不论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若此方程两根之和等于两根之积的一半，求m的值。
10.已知x1，x2是关于x的一元二次方程（a-6）x2＋2ax＋a＝0的两个实数根.
（1）求a的取值范围；
（2）若（x1＋1）（x2＋1）是负整数，求实数a的整数值.
11.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m＋1）x＋m2＋5＝0的两个实数根.
（1）若（x1-1）（x2-1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一条边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.
真 题 训 练
1.（2018·宜宾）一元二次方程x2-2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A.-2 B.1 C.2 D.0
2.（2018·眉山）若a，β是一元二次方程3x2＋2x-9＝0的两根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3.（2018·南京）设x1，x2是一元二次方程x2-mx-6＝0的两个根，且x1＋x2＝1，则x1＝__________，
x2＝____________。
4.（2018·江西）一元二次方程x2-4x＋2＝0的两根为x1，x2则x12-4x1＋2x1x2的值为______________。
5.（2018·南充）已知关于x的一元二次方程x2-（2m-2）x＋（m2-2m）＝0.
（1）求证:方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12＋x22＝10，求m的值.
参考答案及解析
知识梳理
知识点1:
知识点2: 2. -p q
考点突破
1.D
2.解:（1）x1＋x2＝-2，x1·x2＝1；
（2）x1＋x2＝，x1·x2＝-；
（3）x1＋x2＝-，x1·x2＝-；
（4）x1＋x2=，x1·x2=
4.解:（1）证明:x2-（m＋2）x＋2m-1＝0，△＝［-（m＋2）］2-4×1×（2m-1）＝（m-2）2＋4，
∵不论m为何值，（m-2）2＋4＞0，∴△＞0.
∴无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）把x＝1代入方程x2-（m＋2）x＋2m-1＝0，得1-（m＋2）＋2m-1＝0，解得m＝2，
方程为x2-4x＋3＝0，设方程的另一个根为a，则a＋1＝4，解得a＝3，
即方程的另一个根为3.
5.解:（1）；（2）。
6.解:（1）；（2）。
7.C
8.解:（1）∵关于x的方程（k＋1）x2-2（k - 1）x＋k＝0有两个实数根，
∴ 解得k≤且k≠-1；
（2）∵关于x的方程（k＋1）x2-2（k-1）x＋k＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝，x1x2＝。
∵x1＋x2＝x1x2＋2，即=+2，解得k＝-4，
经检验k＝-4是原分式方程的解。∴k＝-4.
9.解:（1）∵关于x的方程x2＋（2k-1）x＋k2-1＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝（2k-1）2-4（k2-1）＝-4k＋5≥ 0，解得k≤。
∴实数k的取值范围为k≤；
（2）∵关于x的方程x2＋（2k-1）x＋k2-1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝1-2k，x1·x2＝k2-1.
∵x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1·x2＝16＋x1·x2，
∴（1-2k）2-2×（k2-1）＝16＋（k2-1），即k2-4k-12＝0.
解得k＝-2或k＝6（不符合题意，舍去）.∴实数k的值为-2.
10.证明:（1）（x-3）（x-2）-p2＝0，x2-5x＋6-p2＝0，
△＝（-5）2-4×1×（6-p2）＝25-24＋4p2＝1＋4p2，
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，∴1＋4p2＞0.
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）x1＋x2＝5，x1x2＝6-p2，∵x12＋x22＝3x1x2，
∴（x1＋x2）2-2x1x2＝3x1x2∴52＝5（6-p2）.∴p＝±1.
巩固提高
1.B 2.B 3.D 4.B 5. 6 6. 3
7.解:（1）3；（2）-1；（3）11；（4）-3.
I1I2x1T2
8.解:∵该一元二次方程有两个实数根，∴△＝（-2）2-4×1×a＝4-4a≥0，解得a≤1.
由韦达定理可得x1x2＝a，x1＋x2＝2.∵x1x2＋x1＋x2＞0，
∴a＋2＞0，解得a＞-2.∴-2＜a≤1.
9.解:（1）证明:∵△＝（m＋2）2-8m＝m2＋4m＋4-8m＝m2-4m＋4＝（m-2）2≥0，
∴不论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）由根与系数的关系可得，解得m＝-4.
10.解:（1）a≥0且a≠6；
（2）a的值为7，8，9或12.
11.解:（1）m＝6；（2）17.
真题训练
1.D 2.C 3.-2 3 4.2
5.解:（1）由题意可知:△＝（2m-2）2 - 4（m2-2m）＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x1＋x2＝2m-2，x1x2＝m2-2m，∴x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2＝10.
∴（2m-2）2-2（m2-2m）＝10.
∴m2-2m-3＝0.∴m＝-1或m＝3.
知 识 梳 理
知识点1 一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别为x1和x2，则方程根与系数间的关系是x1＋x2＝______________，x1x2＝_____________.此关系也称韦达定理。
例如:设一元二次方程3x2-7x＋2＝0的两个实数根为x1，x2，则有x1＋x2＝，x1x2＝。
注意 方程两个根与系数之间存在必然关系，是在△＝b2-4ac≥0，即有根的前提条件下成立的。
知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的知识拓展
有关根与系数的关系的三个重要推论:
1.以x1，x2为实数根的一元二次方程（二次项系数为1）的表达式是x2-（x1＋x2）x＋x1x2＝0。
2.如果方程x2＋px＋q＝0的两个实数根是x1x2，那么x1＋x2＝_______，x1x2＝_________。
3.与两根有关的几个代数式的变形:
①；②；③；
④(x1 - x2)2＝x12-2x1x2＋x22＝(x1＋x2)2-4x1x2；
⑤.
考 点 突 破
考点1: 利用根与系数的关系求方程的两根之和与两根之积
【典例1】 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积。
（1）3y2＋1＝2y；（2）（x-2）2＝2x＋6.
思路导析:由一元二次方程根与系数的关系可求得。
解:（1）原方程可化为3y2-2y＋1＝0.
∴a＝3，b＝-2，c＝1
∴△＝b2-4ac＝（-2）2-4×3×1＝0.
∴方程有两个相等的实数根。
∴y1＋y2＝，y1y2＝。
（2）整理得x2-6x-2＝0，这里a＝1，b＝-6，c＝-2。
△＝b2-4ac＝(-6)2-4×（-2）＝44＞0，∴方程有两个不相等的实数根
设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1＋x2＝6，x1x2＝-2.
友情提示 不解方程求方程两根和与积应用的前提是b2-4ac≥0，应用的关键是准确确定a，b，c的值，因此应先整理成一般形式确定a，b，c，再利用x1＋x2＝和x1x2＝求两根之和与两根之积。变式1 下列方程中，两根之和为的方程是（ ）
A.-3x2-x＋2＝0 B.3x2＋x＋2＝0 C.x2-x＋3＝0 D.6x2-2x-1＝0
变式2 不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积。
（1）x2＋2x＋1＝0； （2）3x2-2x-1＝0； （3）2x2＋3＝7x2＋x； （4）5x-5＝6x2-4
考点2: 利用根与系数的关系求方程的另一根及字母的值
【典例2】 已知方程x2-6x＋m2-2m＋5＝0的一个根为2，求另一个根及m的值。
思路导析: 此题主要考查了一元二次方程的解的定义，首先把方程的一个解代入原方程中即可求出待定字母的值，然后就可以求出方程的另一个解。
解:解法一:把x＝2代入原方程，得22-6×2＋m2-2m＋5＝0，
即m2-2m-3＝0，解得m1＝3，m2＝-1.
当m1＝3，m2＝-1时，原方程都化为x2-6x＋8＝0
解得x1＝2，x2＝4，
∴方程的另一个根为4，m的值为3或-1.
解法二:设方程的另一个根为x，根据根与系数的关系得
∴或
友情提示 已知方程的一个根求另一个根，优先选择根与系数的关系，通过设未知数列方程达到目的；也可以利用方程根的定义，将已知根代入得一元二次方程，然后解方程，但要注意选择简便方法计算。变式3 已知关于x的一元二次方程x2＋kx-6＝0有一个根为-3，则方程的另一个根为___________。
变式4 已知关于x的方程x2-（m＋2）x＋2m-1＝0。
（1）求证:无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根为1，请求出方程的另一个根。
考点3: 利用根与系数的关系求代数式的值
【典例3】已知一元二次方程x2＋3x-1＝0的两根是x1，x2，请利用根与系数的关系求:
（1）；（2）；（3）。
思路导析:首先对所求代数式进行恒等变形，然后代入x1＋x2＝-3，x1x2＝-1，所求代数式的值便可迎刃而解。
解:由题意知x1＋x2＝-3，x1x2＝-1.
（1）＝(-3)2-2×(-1)＝11；
（2）==3；
（3）(x1-2)(x2-2)＝x1x2 - 2x1 - 2x2＋4＝x1x2 - 2(x1＋x2)＋4＝-1-2×(-3)＋4＝-1＋6＋4＝9.
方法归纳 若方程x2＋px＋q＝0的两实根是x1，x2，则x1＋x2＝-p，x1x2＝q.分别对代数式进行恒等变形，将它们化为含有x1＋x2和x1x2的代数式，然后求解.
变式5 设x1，x2是方程2x2＋4x-3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值
（1）（x1＋2）（x2＋2）；（2）.
变式6 设方程4x2-7x＝3的两个根分别为x1，x2，不解方程，求下列代数式的值.
（1）；（2）。
考点4:利用根与系数的关系求待定字母的值
【典例4】 已知关于x的一元二次方程2x2-mx-2m＋1＝0的两根的平方和是，求m的值。
思路导析:先用含m的代数式表示x1＋x2，x1x2，再将x1＋x2转化为关于m的代数式，最后求得m的值。
解:设方程的两根为x1，x2，由已知，得 ∵= ，
∴=，∴=。解得m1＝-11，m2＝3.
当m＝-11时，方程为2x2＋11x＋23＝0，
△＝b2-4ac＝112-4×2×23＝-63＜0，方程没有实数根，所以m＝-11不合题意，应舍去；
当m＝3时，方程为2x2-3x-5＝0，
△＝b2-4ac＝（-3）2-4×2×（-5）＝49＞0，方程有两个不相等的实数根。
综上可知，m的值为3。
友情提示 利用一元二次方程根与系数的关系求方程中字母系数的值时，千万不要忘记将字母代回原方程验证△≥0.因为根与系数的关系是在一元二次方程的判别式大于或等于0的前提下使用的。
变式7 关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是-2和1，则n的值为（ ）
A.-8 B.8 C.16 D.-16
变式8 已知关于x的方程（k＋1）x2-2（k-1）x＋k＝0有两个实数根x1，x2。
（1）求k的取值范围；
（2）若x1＋x2＝x1x2＋2，求k的值
考点5: 一元二次方程根的情况及根与系数的综合应用
【典例5】 已知关于x的一元二次方程x2＋（2k＋1）x＋k2＝0有两个不相等的实数根。
（1）求k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，当k＝1时，求x12＋x22的值。
思路导析:（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，列不等式求解可得；（2）将k＝1代入方程，由根与系数的关系得出x1＋x2＝-3，x1x2＝1，代入到x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2可得。
解:（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k＋1）2-4k2＝4k＋1＞0，解得k＞-；
（2）当k＝1时，方程为x2＋3x＋1＝0，
∵x1＋x2＝-3，x1x2＝1，∴x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2＝9-2＝7.
友情提示 本题考查了根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握方程的根的情况与判别式的值间的关系及根与系数的关系是解题的关键。
变式9 已知关于x的方程x2＋（2k-1）x＋k2-1＝0有两个实数根x1，x2。
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值。
变式10 已知关于x的方程(x-3)(x-2)-p2＝0.
（1）求证:无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12＋x22＝3x1x2，求实数p的值.
巩 固 提 高
1.一元二次方程3x2-1＝2x＋5两实根的和与积分别是（ ）
A.，-2 B.，-2 C.，2 D.，2
2.已知a，β是一元二次方程x2＋x-2＝0的两个实数根，则a＋β-aβ的值是（ ）
A.3 B.1 C.-1 D.-3
3.若x1，x2是方程x2-2mx＋m2-m-1＝0的两个根，且x1＋x2＝1-x1x2，则m的值为（ ）
A.-1或2 B.1或-2 C.-2 D.1
4.关于x的一元二次方程x2＋（a2-2a）x＋a-1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ）
A.2 B.0 C.1 D.2或0
5.已知x1，x2是一元二次方程x2-2x-1＝0的两实数根，则的值是___________。
6.已知:m2-2m-1＝0，n2＋2n-1＝0且mn≠1，则的值为_____________。
7.已知x1，x2是一元二次方程x2-3x-1＝0的两根，不解方程求下列各式的值。
（1）x1＋x2；（2）x1x2；（3）x12＋x22；（4）。
8.已知关于x的一元二次方程x2-2x＋a＝0的两实数根x1，x2满足x1x2＋x1＋x2＞0，求a的取值范围。
9.已知关于x的一元二次方程2x2-（m＋2）x＋m＝0。
（1）证明:不论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）若此方程两根之和等于两根之积的一半，求m的值。
10.已知x1，x2是关于x的一元二次方程（a-6）x2＋2ax＋a＝0的两个实数根.
（1）求a的取值范围；
（2）若（x1＋1）（x2＋1）是负整数，求实数a的整数值.
11.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2-2（m＋1）x＋m2＋5＝0的两个实数根.
（1）若（x1-1）（x2-1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰△ABC的一条边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长.
真 题 训 练
1.（2018·宜宾）一元二次方程x2-2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ ）
A.-2 B.1 C.2 D.0
2.（2018·眉山）若a，β是一元二次方程3x2＋2x-9＝0的两根，则的值是（ ）
A. B. C. D.
3.（2018·南京）设x1，x2是一元二次方程x2-mx-6＝0的两个根，且x1＋x2＝1，则x1＝__________，
x2＝____________。
4.（2018·江西）一元二次方程x2-4x＋2＝0的两根为x1，x2则x12-4x1＋2x1x2的值为______________。
5.（2018·南充）已知关于x的一元二次方程x2-（2m-2）x＋（m2-2m）＝0.
（1）求证:方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12＋x22＝10，求m的值.
参考答案及解析
知识梳理
知识点1:
知识点2: 2. -p q
考点突破
1.D
2.解:（1）x1＋x2＝-2，x1·x2＝1；
（2）x1＋x2＝，x1·x2＝-；
（3）x1＋x2＝-，x1·x2＝-；
（4）x1＋x2=，x1·x2=
4.解:（1）证明:x2-（m＋2）x＋2m-1＝0，△＝［-（m＋2）］2-4×1×（2m-1）＝（m-2）2＋4，
∵不论m为何值，（m-2）2＋4＞0，∴△＞0.
∴无论m取何值，方程恒有两个不相等的实数根；
（2）把x＝1代入方程x2-（m＋2）x＋2m-1＝0，得1-（m＋2）＋2m-1＝0，解得m＝2，
方程为x2-4x＋3＝0，设方程的另一个根为a，则a＋1＝4，解得a＝3，
即方程的另一个根为3.
5.解:（1）；（2）。
6.解:（1）；（2）。
7.C
8.解:（1）∵关于x的方程（k＋1）x2-2（k - 1）x＋k＝0有两个实数根，
∴ 解得k≤且k≠-1；
（2）∵关于x的方程（k＋1）x2-2（k-1）x＋k＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝，x1x2＝。
∵x1＋x2＝x1x2＋2，即=+2，解得k＝-4，
经检验k＝-4是原分式方程的解。∴k＝-4.
9.解:（1）∵关于x的方程x2＋（2k-1）x＋k2-1＝0有两个实数根x1，x2，
∴△＝（2k-1）2-4（k2-1）＝-4k＋5≥ 0，解得k≤。
∴实数k的取值范围为k≤；
（2）∵关于x的方程x2＋（2k-1）x＋k2-1＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1＋x2＝1-2k，x1·x2＝k2-1.
∵x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1·x2＝16＋x1·x2，
∴（1-2k）2-2×（k2-1）＝16＋（k2-1），即k2-4k-12＝0.
解得k＝-2或k＝6（不符合题意，舍去）.∴实数k的值为-2.
10.证明:（1）（x-3）（x-2）-p2＝0，x2-5x＋6-p2＝0，
△＝（-5）2-4×1×（6-p2）＝25-24＋4p2＝1＋4p2，
∵无论p取何值时，总有4p2≥0，∴1＋4p2＞0.
∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）x1＋x2＝5，x1x2＝6-p2，∵x12＋x22＝3x1x2，
∴（x1＋x2）2-2x1x2＝3x1x2∴52＝5（6-p2）.∴p＝±1.
巩固提高
1.B 2.B 3.D 4.B 5. 6 6. 3
7.解:（1）3；（2）-1；（3）11；（4）-3.
I1I2x1T2
8.解:∵该一元二次方程有两个实数根，∴△＝（-2）2-4×1×a＝4-4a≥0，解得a≤1.
由韦达定理可得x1x2＝a，x1＋x2＝2.∵x1x2＋x1＋x2＞0，
∴a＋2＞0，解得a＞-2.∴-2＜a≤1.
9.解:（1）证明:∵△＝（m＋2）2-8m＝m2＋4m＋4-8m＝m2-4m＋4＝（m-2）2≥0，
∴不论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）由根与系数的关系可得，解得m＝-4.
10.解:（1）a≥0且a≠6；
（2）a的值为7，8，9或12.
11.解:（1）m＝6；（2）17.
真题训练
1.D 2.C 3.-2 3 4.2
5.解:（1）由题意可知:△＝（2m-2）2 - 4（m2-2m）＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x1＋x2＝2m-2，x1x2＝m2-2m，∴x12＋x22＝（x1＋x2）2-2x1x2＝10.
∴（2m-2）2-2（m2-2m）＝10.
∴m2-2m-3＝0.∴m＝-1或m＝3.