1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积和体积
在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的面积与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
多面体的展开图和表面积
多面体的平面展开图
多面体是由一些平面多边形围成的几何体，沿着多面体的某些棱将它剪开，各个面就可展开在一个平面内，得到一个平面图形,这个平面图形叫做该多面体的平面展开图.
引入新课
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？
探究
正六棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱柱的展开图
正棱柱的侧面展开图
h
a
正五棱锥的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的展开图
侧面展开
正棱锥的侧面展开图
正四棱台的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？
棱锥的展开图
侧面展开
h'
h'
正棱台的侧面展开图
棱柱、棱锥、棱台的表面积
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
h'
例1 已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积 ．
D
分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成,因此只要求…..．
因为SB=a，
所以：
因此，四面体S-ABC 的表面积 ．
交BC于点D．
解：先求 的面积，过点S作
典型例题
B
C
A
S
a
圆柱的表面积
O
圆柱的侧面展开图是矩形
圆锥的表面积
圆锥的侧面展开图是扇形
O
圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图，试想象圆台的侧面展开图是什么 ．
O
O’
圆台的侧面展开图是扇环
三者之间关系
O
O’
O
O
圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？这种关系是巧合还是存在必然联系？
r’＝r
r’＝0
例2 如图，一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径为15cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长15cm．那么花盆的表面积约是多少平方厘米（ 取3.14，结果精确到1 ）？
解：由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：
答：花盆的表面积约是999 ．
典型例题
例3
蜜蜂爬行的最短路线问题.
易拉罐的底面直径为8cm,高25cm.
分析: 可以把圆柱沿开始时蜜蜂所在位置的母线展开,
将问题转化为平面几何的问题.
A
B
柱体、锥体、台体的表面积
各面面积之和
知识小结
展开图
圆台
圆柱
圆锥
球的体积和表面积
割 圆 术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了“倍边法割圆术”。他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数，使其面积与圆的面积之差更小，即所谓“割之弥细，所失弥小”。这样重复下去，就达到了“割之又割，以至于不可再割，则与圆合体而无所失矣”。这是世界上最早的
“极限”思想。
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积：
推导方法：
分割
求近似和
化为准确和
一、复习回顾
球的概念
球心
球的半径
球的直径
二、球的概念
点集角度
旋转体角度
球面所围成的几何体叫球体简称球。
球面:半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面。
球体与球面的区别？
在空间内到一个定点的距离为定长的点的集合
0
半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面。
球体与球面的区别？
球面概念：
球面所围成的几何体叫球体简称球。
0
A
C
D
球心
半径
直径
半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面（旋转体角度）
球面概念：
在空间内到一个定点的距离为定长的点的集合（点集的角度）
二、球的概念
球的截面的形状
圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆
不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆
球的体积公式的推导
球的体积公式及应用
球的表面积公式及应用
球的表面积公式的推导
教学重点
教学难点
重点难点
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆
不过球心的截面截得的圆叫做球的小圆
R
?
高等于底面半径的旋转体体积对比
球的体积
学习球的知识要注意和圆的有关指示结合起来．所以我们先来回忆圆面积计算公式的导出方法．
球的体积
我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后如上图重新拼接起来，把一个圆近似的看成是边长分别是
当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当份数无穷大时，就得到了圆的面积公式．
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积，并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
球的体积
分割
求近似和
化为准确和
问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
A
O
B2
C2
球的体积
A
O
O
R
O
A
球的体积
球的体积
球的体积
2)若每小块表面看作一个平面,将每小块平面作为底面,球心作为顶点便得到n个棱锥,这些棱锥体积之和近似为球的体积.当n越大,越接近于球的体积,当n趋近于无穷大时就精确到等于球的体积.
1)球的表面是曲面,不是平面,但如果将表面平均分割成n个小块,每小块表面可近似看作一个平面,这n小块平面面积之和可近似看作球的表面积.当n趋近于无穷大时,这n小块平面面积之和接近于甚至等于球的表面积.
球面不能展开成平面图形，所以求球的表面积无法用展开图求出，如何求球的表面积公式呢?回忆球的体积公式的推导方法,是否也可借助于这种极限思想方法来推导球的表面积公式呢?
下面，我们再次运用这种方法来推导球的表面积公式．
球的表面积
球的表面积
第一步：分割
球面被分割成n个网格，表面积分别为：
则球的表面积：
则球的体积为：
O
O
球的表面积
第二步：求近似和
由第一步得：
O
O
球的表面积
第三步：化为准确和
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥
O
球的表面积
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
由计算器算得:
例题讲解
(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸盒中,至少要用多少纸?
用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体
侧棱长为5cm
例题讲解
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。
A
B
C
D
D1
C1
B1
A1
O
例题讲解
O
A
B
C
例３已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，
截面⊙O′的半径为r，
例题讲解
O
A
B
C
例３.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
例题讲解
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm,这个球的体积为＿＿＿cm3.
8
3.有三个球,一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比_________.
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿倍.
练习一
课堂练习
4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.
练习二
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.
2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.
3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.
课堂练习
7.将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大铅球，那么
这个大铅球的表面积是______.
5.长方体的共顶点的三个侧面积分别为 ，
则它的外接球的表面积为_____.
6.若两球表面积之差为48π ,它们大圆周长之和为12π ,
则两球的直径之差为______.
练习二
课堂练习
了解球的体积、表面积推导的基本思路：分割→求近似和→化为标准和的方法，是一种重要的数学思想方法—极限思想，它是今后要学习的微积分部分“定积分”内容的一个应用；
熟练掌握球的体积、表面积公式：
课堂小结
